I. Voyez la note précédente

Il est évidemment vrai pour l'écart entre le nombre des face et le nombre des pile, comme pour l'écart entre le nombre des pile et le nombre des face. C'est-à-dire que la courbe sinueuse partie de o aura des ordonnées négatives qui ne le céderont en rien à ses ordonnées positives.

Une conséquence de ce théorème est que, si loin de Taxe des ^ que nous nous trouvions à un moment donné, nous devrons toujours nous attendre à y revenir au bout d'un nombre suffisant de parties ; en d'autres termes, il n'y a pas de moment à partir duquel la courbe ne coupera plus Taxe des x. Soit en effet X l'écart actuel; je le suppose positif. En prenant ce point de la courbe comme origine, nous sommes certains d'arriver un jour ou l'autre à Técart ( — X), c'est-à-dire à l'axe primitivement choisi comme axe des x.

Tout ceci est nécessaire, parce que nous avons admis en commençant que le phénomène étudié ne saurait être soumis à aucune loi.

Une conséquence évidente de ces remarques est que, pour un nombre de coups très grand, le rapport de l'écart au nombre des parties jouées sera toujours très petit, quelle que soitd'ailleurs la valeur absolue de Técart. En effet, puisque la série des zéros de notre courbe est illimitée, nous pourrons toujours jouer un nombre de coups assez grand pour

LES PRETENDUES LOIS DU HASARD i39

que le nombre ??2i, qui aboutit au dernier zéro avant le commencement de Tare de courbe conduisant à l'écart, soit aussi grand que nous le voudrons. Or, à partir de zéro, Fécart n, dans les conditions les plus favorables, ne peut s'obtenir qu'au bout d'un nombre de coups au moins égal à 7i. Le nombre de coups conduisant à l'écart de n sera donc supérieur ou égal à (mi-j-7i), et le rapport de Fécart au

nombre des coups sera inférieur à ,

rapport que l'on pourra toujours rendre aussi petit qu'on le voudra en donnant à m^ une valeur assez grande.

Le fait qu'aucune loi n'existe en faveur des coups pile par exemple, nécessite les rencontres successives de la courbe avec l'axe ox. Si la courbe, au lieu de prendre une allure vaguement symétrique par rapport à Faxe ox^ prenait cette allure par rapport à un autre axe oVy faisant avec ox un angle a, aussi petit qu'on le voudra, il y aurait une loi en faveur des coups pile, ce qui est impossible. L'angle a ne peut être que nul.

Voilà des conséquences que des raisonnements de sens commun nous font tirer delà nécessité où nous sommes d'affirmer que le jeu de pile ou face n'obéit à aucune loi. La loi des grands nombres, c'est-à-dire la nullité de Fangle a de notre figure n'est donc que la transformation verbale de l'affirmation de

l'absence de toute loi. Et le fait que des penseurs en ont conclu à l'existence d'une loi du hasard me rappelle cette plaisanterie d'une vieille opérette dans laquelle le chef des conjurés s'écrie, ne voyant pas apparaître à l'heure fixée le fanion attendu :

L'absence de signaux serait-elle un signal?

En réalité, il faut bien avouer que nous ne sommes pas très satisfaits de notre raisonnement par l'absurde. Si la loi des grands nombres ne se vérifiait pas au bout d'un nombre très grand de coups, nous en tirerions la démonstration d'une loi en faveur de pile ou de lace, ce qui serait contraire à notre hypothèse ; c'est bien là le raisonnement par l'absurde, ici comme partout où nous sommes réduits a l'employer à défaut d'un raisonnement positif, ce mode de démonstration nous déplaît. Nous pensons instinctivement à l'âne de Buridan. En réalité, notre raisonnement implique un postulat ; nous savons bien qu'il ne saurait y avoir aucune loi dans le jeu de pile ou face, mais notre jeu sera-t-il assez précis, assez souple, pour nous démontrer, par luimême, au bout d'un grand nombre de coups, cette absence remarquable de toute loi? Nous n'oserions pas l'affirmera priori. Nous n'oserions pas énoncer la loi des grands nombres si nous ne l'avions vérifiée expérimentalement un grand nombre de fois pour chaque jeu de hasard. Nos raisonnements à priori ne

valent que par une démonstration à posteriori. Et d'ailleurs, notre loi des grands nombres n'a pas le caractère de quelque chose d'inévitable ; ce n'est pas une loi, en effet, puisque ce n'est que le résultat de l'absence de toute loi. Si nous constations expérimentalement un cas dans lequel, au bout d'un très grand nombre de coups, il y aurait toujours eu deux fois plus de coups pile que de coups face, nous n'aurions pas le droit de nous insurger ; nous rechercherions d'abord s'il n'y a pas une en. ur systématique dans le jeu ; supposons qu'il n'y en ait pas ; nous devrions en conclure qu'il n'y a pas de loi en faveur des coups pile, mais que notre jeu n'a pas, dans le cas considéré, réussi à mettre en évidence cette absence de loi. Je ne sache pas que cela soit arrivé jamais, mais cela n'est pas impossible. Et cependant le théorème de Bernouilli donne une démonstration « jonon de la loi des grands nombres ! Cette loi serait donc vraiment uiu loi? Nous allons étudier par le menu la démonstration du savant Bâlois, et voir si, coiiime le prétend un mathématicien dans un passage précédemment cité, « la loi des grande nombres n'est que la constatation d'un fait analytique très simple ».

J'énonce d'abord le théorème de Bernouilli

dans le cas du jeu de pile ou face. Chaque fois qu'on lance la pièce en l'air il y a deux possibilités ; une seule se réalise. Le coup sera pile ou il sera face. Je reprends la définition que jai donnée tout à l'heure de la probabilité subjective ; si la convention du jeu est la plus simple de toutes, c'est-à-dire que chaque série est d'une seule partie, et que l'un des joueurs parie pour pile, l'autre pour face, la

probabilité subjective est — pour chaque

joueur. Cette probabilité subjective, c'est le

/— ) que nous avons défini précédemment;

en effet, la série étant de i partie, le nombre n de tout à l'heure est égal à i ; 2'* est égal

a 2 ; le — est bien — A 2

Ce ( — ) est calculé à priori, d'après la définition même du jeu, et n'a aucun rapport avec les résultats expérimentaux du jeu effectivement réalisé.

Maintenant, jouons q parties, 12 par exemple. Il y aura, si vous voulez, 8 coups pile et 4 coups face, dans notre expérience. Alors

le \^\ de celui qui parie pile sera — ou — • \q) ^ r 1 12 3^

le /^ ) de celui qui parie face sera — ou \. \qi 12 3

Comme nous nous y attendions, le nombre

LES PRÉTENDUES LOIS DU HASARD i4a

^ ) n'a aucun rapport avec ( -r- ) ; ce sont ql ^ ^ \A/

deux choses entièrement différentes.

Cependant l'expérience d'une part, noire raisonnement desimpie bon sens d'autre part, nous apprennent que, en jouant un nombre

croissant de parties, le nombre [~\ devient

souvent égal à —5 c'est-à-dire à — Cela arrive A 2

chaque fois que notre courbe de tout à l'heure coupe l'axe des^*. D'autre part, même en dehors de ces moments remarquables, nous avons constaté que la différence entre p et {fi — /?), c'est-à-dire entre le nombre des coups pile et le nombre des coups face, devient ordinairement très petite par rapport à q lorsque q devient très grand ; ceci sous certaines i^éserves sur lesquelles j'ai longuement insisté tout à l'heure. Le théorème de Bernouilli a pour objet de démontrer analy-

tiquement que ^ tend vers -— (c'est-à-dire

dans le cas du jeu de pile ou face, vers

— U lorsque q augmente indéfiniment. Je le

répète, p est un résultat d'expérience, donc

-^ aussi, tandis que / — J est une quantité

dont la définition est purement analytique et indépendante de toute expérimentation. Sur-

m LE CHAOS ET L HARMONIE UNIVERSELLE

veillons donc de près la démonstration du théorème pour voir à quel endroit s'introduit frauduleusement le fait que nous sommes certains de Tabsence de toute loi physique dans la succession des coups de pile ou face. Voici d'abord le stratagème employé. En temps ordinaire, il n'y a aucun rapport

entre — et ^j puisque nous définissons — A ^ A

sans nous préoccuper de la manière dont nous réalisons physiquement les q parties

expérimentales, (en particulier — ne change

pas si je pose à ma fantaisie la pièce sur le côté pile ou sur le côté face de manière à

donner à -^ la valeur que je veux ; je répète

ceci une fois de plus de peur que le lecteur ait oublié mes remarques du début). Mais il

y a deux cas dans lesquels ^ est toujours fatalement égal à — ? savoir, le cas où — - est A A

égal à I et le cas où — - est égal à o. Par

exemple, si nous jouons à pile ou face avec

une pièce de monnaie qui a deux côtés pile,

celui qui parie pile gagnera toujours :

(— = ^ = J h et celui qui parie face perdra toujours : ( -— r=^ = o V Dans ces deux cas et

dans ces deux cas seulement, nous sommes certains que '- sera toujours égal à — quelle

que soit la manière dont on joue eil'ectivement les parties. Si donc, et c'est ici le stratagème de Bernouilli, nous choisissons, par rapport à un jeu de hasard quelconque, une

convention du jeu telle que le -— correspondant soit égal à i, nous pourrons conclure du /— - j rapport analytique pur, au / ^ j résultat d'expérience.

Etablissons d'abord toutes les séries possibles de q parties consécutives dans le jeu de pile ou face ordinaire ; nous avons fait précédemment le tableau de ces séries pour ^=2 et pour <^ = 3; nous savons que d'une manière générale, il y a 2" séries possibles de q parties. Du moment que nous aurons fait, sur une feuille de papier, le tableau de ces 2^ séries, nous serons sûrs, quelle que soit d'ailleurs la manière dont nous nous y prendrons pour jouer effectivement les parties, que la série obtenue en jouant q fois sera l'une des séries du tableau ; de cela nous sommes parfaitement certains ; mais nous ne savons pas quelle série aura été historiquement réalisée ; or le ( -^ ) varie d'une série à

\9 I l'autre ; il varie de o (pour la série où il n'y

Le Dantf.c. — Chaos. lo

a que des face) à i (pour la série où il n'y a que des pile).

Par exemple pour ^ 1= 3, il y aura une série

où^^o, 3 séries où^==-^, 3 séries où q q ^

E-Tzz— et une série oîi ^=1.

Voilà tout ce que nous pouvons dire. Si on nous pose la question analytique suivante : quelle est la probabilité subjective,

quel est le -^ d'une série dans laquelle il y

a deux coups pile sur trois, nous répondons

en regardant notre tableau : La convention

du jeu étant d'amener 2 fois pile sur 3 coups,

la probabilité subjective est —5 c'est-à-dire

que, sur 8 séries possibles, il y en a 3 dans lesquelles cette convention est réalisée.

D'une manière générale, nous savons, sans faire le tableau dont je viens de parler, calculer analytiquement le (-:-) relatif à une

convention donnée du jeu, c'est-à-dire le rapport du nombre des séries possibles dans lesquelles cette convention est réalisée, au nombre total des séries possibles. Pour étudier le jeu de pile ou face ordinaire (celui où la série est d'une partie et où un joueur parie pour pile, l'autre pour face), nous allons donc définir une seconde convention du jeu, c'est-

à-dire un second jeu relatif aux mêmes parties de pile ou face. Dans ce second jeu, la série est de q parties, et la convention est de chercher le rapport, au nombre total i^ des séries possibles, du nombre des séries possibles

dans lesquelles le rapport J— a une certaine

valeur donnée à l'avance. Dans le jeu de pile ou face ordinaire, la probabilité subjective

est de — ; Bernouilli a établi la formule pu-

rement analytique, qui représente la probabilité subjective du nouveau jeu défini par la condition que l'on comptera comme favorables toutes les séries de q coups dans lesquelles le ^ différera de — d'une quantité q 2

inférieure en valeur absolue à un nombre £ donné à l'avance et aussi petit qu'on le veut ; en d'autres termes, on comptera comme favorables toutes les séries dans lesquelles

'- ) est compris entre ±t.

Nous n'avons pas besoin de connaître la formule à laquelle est arrivé Bernouilli. Cette formule est purement analytique ; sa valeur est indiscutable ; appelons-la si vous voulez, /(ç-, e), pour montrer simplement qu'elle dépend de q et d's. Voici maintenant le côté intéressant de la chose.

Cette fonction de q et d'e tend vers i quand

y augmente indéfiniment, quelque petit que soit c.

Vous voyez aisément le stratagème. Pour un nombre infini de coups, la fonction en question sera égale à un; or quand la probabilité subjective est égale à i, la probabilité OBJECTIVE est aussi égale à i. Donc, pour un nombre infini de coups, toutes les séries (le q coups (et en particulier notre série unique, notre série expérimentale), auront

effectivement un (~\ aussi voisin de — que

nous le voudrons. Nous en déduirons qu'une série expérimentale quelconque^ du jeu ordinaire de pile ou face, aura effectivement, pourvu qu'elle soit prolongée assez longtemps, une probabilité aussi voisine que nous

voudrons de— • Et ainsi, nous avons conclu

de la probabilité subjective à la propriété objective, par un simple artifice analytique, et sans faire intervenir aucunement la manière dont nous jouons effectivement les parties consécutives. Or il est bien évident que, dans de telles conditions, notre conclusion est erronée ; je puis jouer le jeu en posant toujours la pièce de manière qu'elle montre le côté pile, et alors, quel que soit le nombre des parties jouées, la probabilité objective sera

toujours 1 et non — •

C'est que notre raisonnement ne serait valable que si q était réellement infini. Le passage de la probabilité subjective à la probabilité objective n'est légitime que si la probabilité subjective est rigoureusement égale à zéro ou à i. Or elle ne V est Jamais dans le cas que nous étudions, si grand que soit g; il y a toujours en particulier une série possible dans laquelle il n'y a que des piles, et n'y eùt-il que celle-là, du moment qu'elle est possible, notre raisonnement est en défaut.

Voyons en détail à quoi revient le stratagème de Bernouilli.

Je fais le tableau des séries pour ^ = 2. Il

y a une série où ^ = 1 , il y en a une où ^ = o

et deux où ^ = — • q 2

Pour ^ = 4, il y a une série où ^ = i , une

où ^ = 0, 4 où ^3=4^, 4 où ^== A et 6 où 9 9 ^^ 9 ^^

Pour ^ = 6, il y a une série où ^ zz= i, une

où^ = o; 6 où^ = ^, et 6 où^=z~: i5 où q 9 ^ 9 ^

— = — el i5 où ^ = — ; 20 enfin où ^nz: — « q 6 9 ^ 9 ^

Pour ^ = 8, il y a toujours les 2 séries

i50 LE CHAOS ET L HARMONIE UNIVERSELLE

uniques où ^vaut i eto ; 2 groupes de 8 séries

où-^ vaut — ou ^; 2 groupes de 28 séries où q 8 8

-^ vaut— ou — ; 2 groupes de 56 séries où q ^ [\

■^ vaut — et — ? et enfin un groupe de 70 séq S S

ries où-^ vaut — • q 2

Je m'excuse de cette longue énumération ; elle est indispensable.

Recherchons par exemple, dans chacun de ces tableaux, combien il y a de séries dont le

l^\ est compris entre ( f--r 1 ^t ( ) •

\qj \ 2 4 / \ 2 kj

Pour ^ = 2, il y a, sur 4 séries possibles, ^ séries remplissant la condition ; pourç=i4, il y a sur 16 séries possibles, ik séries remplissant la condition. Pour 9 = 6, il y a, sur 64 séries possibles, 5o séries remplissant la condition ; Pour ^ = 8, il y a, sur 266 séries possibles, 238 séries remplissant la condition, alors qu'il n'y en a que 18 qui ne la remplissent pas.

En continuant à faire les tableaux pour les valeurs croissantes de q, on remarquerait que les séries se massent de plus en plus dans la

région où le ^ est compris entre ( \~-r\ ^t

(- ), et que leur nombre croît très vite 2 4/

dans cette région par rapport au nombre des séries extérieures à cette région.

Nous avons pris £ = — • Pour une valeur

plus petite de s, nous remarquerions de même que, à partir d'une certaine valeur de q, les séries se massent de plus en plus dans la région où le ^ est compris entre ( h^j et

( £ ] • Et ceci sera vrai, si petit que soit e^

pour une valeur suffisante de q. Voilà uniqupment ce que nous apprend la formule de Bernouilli. Etant donné un nombre £ aussi petit que l'on veut, on peut toujours trouver un nombre Q, tel que, à partir du moment où q aura dépassé cette valeur Q, le nombre des séries contenues dans la région du tableau

où J— est compris entre ( 1-£ ) et ( 1\^

soit plus grand que le nombre des séries extérieures à cette région. Et à partir de ce moment, le nombre des séries remplissant la

condition ( £<^< [-£) croîtra beau-

coup plus vite que le nombre des séries pour lesquelles cette condition n'est pas remplie. De sorte que l'on pourra toujours trouver une valeur de q assez grande pour que le nombre des séries de la seconde catégorie soit insignifiant par rapport au nombre des séries de la première.

Cerésultatestpurementanalytique. Peut-on passerréellement,sansraire interveniraiicune considération étrangère aux mathématiques, de ce résultat analytique à une conclusion expérimentale ? Évidemment non. Si Bernouilli avait cru le l'aire, il aurait été lui-même dupe de son stratagème ; il ne l'a sûrement pas été.

Quand on a joué un nombre très grand n de parties de pile ou face, on a obtenu une série de n coups. Il y a i" séries possibles, et la série obtenue est sûrement l'une de ces 2" séries. Tant que nous n'avons pas fait intervenir dans nos raisonnements la manière dont se jouent effectivement les parties, nous ne pouvons rien dire de plus. Il va falloir définir la méthode physique suivie pour exécuter chaque partie. Définissons-la comme on le fait ordinairement, comme nous l'avons fait plus haut. Nous devons être, chaque fois, dans rignorance absolue du résultat qu'amènera la partie ; il faut qu'il n'y ait aucune loi à tirer de la succession des coups. Nous voilà obligés de recourir au sens commun ; les mathématiques ne nous suffisent plus. L'analyse nous a appris que, sur 2'* séries possibles de n coups, il y en a un tj^ès grand

nombre dans lesquelles le i- est voisin de —•>

et un nombre relativement beaucoup moindre

dans lesquelles le ^ est assez éloigné de — ; et

à mesure que n augmente, le nombre des premières séries augmente beaucoup plus vite que celui des secondes, de telle manière que, comme je le disais précédemment, le nombre des secondes finit par devenir insignifiant par rapport à celui des premières. Voici maintenant le raisonnement de sens commun : La série que nous obtenons effectivement en jouant n coups et Tune des 2" séries possibles ; or, d'après les conditions oii nous nous sommes placés, toutes ces séries sont ÉGALEMENT POSSIBLES, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune raison pour que la série effectivement obtenue par l'expérience soit l'une de ces séries plutôt que l'autre. Une première conclusion à tirer de ce raisonnement est que

même une série où — est relativement éloigné

de— PEUT se réaliser effectivement si grand

que soitn; dans aucun cas, on ne pourra affirmer que la loi des grands nombres est une loi inéluctable. Mais d'autre part, pour un nombre n très grand, le nombre des séries

dans lesquelles l'écart du ^ avec — est assez

petit (pour que nous y déclarions vérifiée la loi des grand nombres), sera par exemple looooo fois plus grand que celui des séries où l'écart nous paraît intolérable. Nous aurons donc 100 mille groupes de séries où la loi

est vérifiée et un seul groupe d'exception. Si nous jouons honnêtement une série de n coups, nous devrons par conséquent nous attendre à ce que la série obtenue soit comprise dans les cent mille groupes normaux, plutôt que dans le groupe exceptionnel. Il n'y a aucune raison pour prévoir que notre série fera partie de ce groupe exceptionnel ; il est donc plus probable qu'elle fera partie des cent mille groupes normaux. Et si elle se trouve par aventure, entrer dans l'exception, nous n'aurons pas à crier au miracle ; nous dirons seulement que l'événement est extraordinaire. Si, dans une loterie où il y a looooi billets, Pierre prenait i billet et Paul looooo, il ne serait pas impossible que Pierre gagnât le gros lot ; mais ce serait extraordinaire.

Il y a plusieurs années, pendant qu'on construisait le caniveau du trolle\^ souterrain du tramway électrique de la rue de Rennes, j'ai assisté à un fait de cet ordre. Sur la plateforme du tramway en marche, le conducteur, me rendant la monnaie, laissa tomber une pièce de deux sous ; cette pièce traversa une fente unique percée dans le plancher, et tout juste grande comme une fente de tirelire. Le conducteur fit arrêter et descendit chercher sa pièce de deux sous ; elle avait rencontré sur le sol une fente à peu près de même dimension, percée dans une plaque de fonte^

et avait pénétré dans Tégout sous-jacent. La chose était possible puisqu'elle s'est produite, mais il est vraisemblable qu'elle ne se reproduira plus jamais.

En réalité nous constatons chaque jour des coïncidences ausssi admirables, mais nous les constatons après couj). La loi des grands nombres nous apprend seulement qu'il serait insensé de s'y attendre, et déjouer sa fortune sur un tel accident. Voilà, à mon avis, à quoi se réduit cette loi des grands nombres. Des mathématiciens ont voulu y voir un simple « fait analytique «.Je n'accepte pas cette manière de voir. Le stratagème de Bernouilli, si on y regarde de près, nécessite exactement le même raisonnement de sens commun, que celui que nous avons fait tout à l'heure, sans nous servir de ce stratagème ; nous avions été amenés à dire dans le premier cas : Il n'y a aucune loi de la succession des coups, donc il n'y a pas de raison pour... etc. Avec le procédé de Bernouilli, nous disons de même : De 2" séries également possibles, il y en a 100 000 qui réalisent la condition A et une qui réalise la condition B ; il n'y a aucune raison pour... etc.

Les deux raisonnements se valent; celui de Bernouilli est peut-être plus frappant, mais il est beaucoup plus dangereux puisqu'il dissimule le point essentiel de la méthode ; notre seul point de départ est que nous ne pouvons

rien prévoir ; la prétendue loi des grands nombres n'est que la traduction littérale de cette impossibilité. Comme c'est là ce que je veux établir dans cet article, je n'hésite pas à y revenir une fois de plus en changeant encore une fois la forme de mon raisonnement.

Je joue une série de 82 parties de pile ou face ; j'obtiens une série de 82 coups et une seule. Or il y a plus de i5 millions de séries possibles de 82 coups. Il n'y a aucune raison pour que j'en obtienne une plutôt qu'une autre, et par conséquent, si j'avais choisi à l'avance la série que j'ai précisément obtenue, je n'aurais pas dû m'attendre à la voir réaliser. Je l'ai obtenue cependant, mais je ii'avah pas prévu le résultat.

L'impossibilité de prévoir; tout est là.

Or le théorème de Bernouilli nous amène à diviser le groupe de plus de i5 millions de séries possibles en deux parties extrêmement inégales; 1 une de ces parties qui contiendra plus de i5 millions de séries, l'autre qui en contiendra seulement quelques centaines. Le premier groupe sera le groupe des coups quelconques, le second le groupe des coups exceptionnels. Nous n'avons pas le droit de nous attendre d'avance à ce qu'une série effective de 82 coups coïncide avec l'une des séries exceptionnelles. Si, par aventure, ce résultat se produisait, nous songerions à l'existence d'une loi, et nous continuerions

la série jusqu'à 64 coups par exemple jpour voir si vraiment, il y a une loi. Pendant cette série de 82 coups, nous aurions l'attitude d'un homme qui croit à une possibilité partielle de prévoir. Or il n'y a aucune possibilité de prévoir, et voilà uniquement à quoi se réduit la loi des grands nombres ; à mesure que le nombre n augmentera, nous verrons ordinairement une série qui avait l'air de devoir être exceptionnelle prendre l'allure d'une série quelconque. Il me semble que, sous cette forme, on voit bien à quoi se réduit la prétendue loi des grands nombres : a mesure

QUE n AUGMENTE, IL FAUT s'aTTENDRE DE PLUS EN PLUS A CE QUE LA SERIE DE n COUPS SOIT UNE

SÉRIE QUELCONQUE. On a cu l'idée d'appeler cela une loi parce que la définition de la série quelconque se ramène à une presque égalité entre le nombre des pile et des face. C'est cette presque égalité que l'on prévoit quand on dit que la série de n coups sera vraisemblablement une série quelconque, parce qu'il y a infiniment plus de séries quelconques que de séries exceptionnelles, et que d'autre part, comme aucune loi ne favorise une série par rapport à une autre, il serait bien étonnant qu'une série, obtenue effectivement une fois et une seule, fît partie du petit groupe des séries exceptionnelles.

D'ailleurs, le même raisonnement de simple bon sens qui seul nous a permis de conclure^

lo8 LE CHAOS ET L HARMONIE UNIVERSELLE

nous permettrait aussi d'avancer cette autre assertion, avec le même degré de vraisemblance. Si grand que soit n, si Ton joue effectivement, non pas une série de n coups, mais 2" séries de n coups (ce qui, pour n très grand demanderait plusieurs vies humaines) on devra s'attendre à ce que les 2" séries obtenues soient prises au hasard dans les 2" séries possibles, a?/.95i bïpn dans les séries exceptimnelles que dans les autres, car les séries exceptionnelles ne sont aucunement moins possibles que les séries quelconques. Elles sont exceptionnelles seulement parce quelles sont moins t^ombreuses.

On s'étonnera peut-être que je noircisse tant de papier pour exposer des considération qui n'enlèveront au calcul des probalili tés aucune parcelle de sa valeur, du moins dans les cas où son usage est légitime. J'avais déjà longuement traité cette question d'une manière différente, par de simples raisonnements de sens commun, et sans faire allusion au théorème de Bernouilli. Depuis cette époque, Borel a publié son beau livre des probabilités, dans lequel il a affirmé le danger de mes raisonnements de sens commun en les appelant des raisons de sentiment ; M. Richard-Foy a repris à son compte le pa-

radoxedeM. Poincsiré disant quele hasard obéit à des lois. Je suis fait de telle manière que cette formule m'est intolérable. Le mot hasard et le mot loi me paraissent contradictoires Tun de Tautre, le premier signifiant impossibilité, le second possibilité de prévoir. Je devais donc rechercher quelle est la signification de cette prétendue loi du hasard, et voir aussi par quel subterfuge, peut-être ignoré d'eux-mêmes, les mathématiciens sont arrivés à croire que la simple analyse mathématique peut conduire à une loi physique. J'ai un respect infini pour les mathématiques, l'outil le plus impeccable qu'ait créé le génie de l'homme, et je ne douterai jamais de la valeur d'un calcul fait par un mathématicien éprouvé. Mais si, consciemment ou inconsciemment, le mathématicien mêle à ses calculs des raisonnements de sens commun, je n'ai aucune raison de croire que son bon sens vaut mieux que le mien, et je me permets de discuter la valeur de ses arguments. Voici par exemple un raisonnement de sens commun que Borel a exposé à mon intention dans son ouvrage, pour me montrer précisément le danger des raisonnements de sens commun. Je vais résumer son raisonnement que le lecteur trouvera tout au long dans son livre (p. 19) :

Pierre joue avec Paul à pile ou face à un sou la partie. Pierre se retire du jeu chaque

ibis qu'il a gagné un sou. En reprenant le jeu n fois, il aura donc gagné sûrement n sous, n étant aussi grand qu'on le voudra, car il estpratiquementcertain que, dans toute partie, il arrive un moment où un joueur quelconque gagne un sou. Mais Paul serait de trop bonne composition s'il autorisait Pierre à faire Charlemagne indéfiniment. Au lieu de suspendre le jeu chaque fois qu'il a gagné un sou, il se contente donc de considérer que le jeu recommence à ce moment là, et, de sou en sou, il y aura des moments^ où son gain sera aussi grand qu'un nombre quelconque fixé à l'avance ; il jouera donc a coup sur. Mais Paul peut faire le même raisonnement : « son gain est donc aussi illimité, à condition que l'on puisse jouer assez longtemps » (pp. cit., p. 20). Et l'auteur conclut: « Telle est la conséquence absurde à laquelle on aboutit : chacun des joueurs réalise un gain qui croît proportionnellement au temps. » Une note de la page 19 montre que l'auteur attribue cette absurdité à ce que Ton a considéré comme sûr, pratiquement, d'arriver à un moment où un joueur donné gagne un sou, tandis que ce n'est que presque sûr. Or ce n'est pas du tout là qu'est l'erreur ; elle est, à mon avis, dans le raisonnement

i. C'est moi qui fais remarquer que cela arrivera seulement à certains moments.

même de Borel. Si vous voulez vous rej)orter aux raisonnements de sens commun dont j'ai accompagné, dans le présent chapitre, la courbe figurative placée quelques pages plus haul, vous verrez bien qu'il y a en elTet des moments où, au bout d'un assez grand nombre de coups, Pierre gagne n'importe combien, et d'autres MOMENTS où Paul gagne aussi n'importe combien. Mais ce ne sont pas les mêmes moments. Si l'on arrête le jeu quand Pierre gagne n sous, Paul les perd au même moment ; cela est de toute évidence, et il est néanmoins pratiquement certain que, de loin en loin, la courbe coupera l'axe des x, ce qui fait que, de temps en temps, les gains et les pertes s'équilibreront ; mais entre les points où elle coupe l'axe des x, la courbe passe à certains moments par des maxima (gains de Pierre) et à d'autres moments par des minima (gains de Paul). J'ai l'ait remarquer cela à Borel ; nous avons même eu à ce sujet une longue correspondance de laquelle est résulté un erratum ajouté à la deuxième édition de la théorie des probabilités (p. vu); or cet erratum prouve simf)lement que l'auteur a persisté dans sa manière de voir, et qu'il attribue l'erreur cachée sous un prétendu paradoxe à ce que l'on considère comme stir un équilibre à venir qui n'est que probable.

Les questions de probabilité diffèrent des problèmes ordinaires de mathématiques, eu

Le Damec. - Chaos. ii

i62 LE CHAOS ET L'HARMONIE UNIVERSELLE

ce qu'il faut toujours y faire intervenir, à coté du développement analytique, des raisonnements de sens commun; une fois établies les règles de calcul des probabilités subjectives, le rôle des mathématiciens est terminé ; n'importe qui peut se servir de leurs formules. En particulier, les conclusions philosophiques que l'on peut tirer de l'étude des probabilités sont indépendantes des méthodes — impeccables, je le répète — par lesquelles on arrive au calcul des probabilités subjectives. A mon avis, il y a, par exemple une distinction sérieuse à établir entre l'application du calcul des probabilités à l'étude statistique d'un très grand nombre de coups, et rimportance que certaines personnes veulent attribuer à ce même calcul pour la prévision du résultat d'un coup isolé. Quand il s'agit d'un très grand nombre de coups, l'emploi du calcul des probabilités est absolument légitime, et ses résultats sont pratiquement aussi certains que les autres résultats de la physique mathématique. C'est ce qui a lieu par exemple pour les calculs de moyennes des actuaires et pour l'établissement de la loi de Mariotte dans la théorie cinétique des gaz. J'ai longuement exposé ces considérations ailleurs ^ : je n'y reviens pas ; il suffit de se reporter à la numération que

ï. V. De l'Homme à la Science, op. cit., p. 234-

nous avons faite précédemment, du nombre des séries quelconques par rapport aux séries exceptionnelles, pour comprendre que, sur 2" séries se produisant à la fois, l'effet du petit nombre des séries exceptionnelles disparaît fatalement sous la masse infiniment plus importante des séries quelconques.

Dans la même étude, j'ai exprimé plusieurs fois l'idée que la probabilité d'un corps isolé est une notion qui ne rime à rien. M. Richard- Foy prétend le contraire ; je dois donc revenir une fois de plus sur cette question.

« Si le théorème de Bernouilli, écrit M. Richard-Foy* nous renseigne sur un grand nombre de coups, pouvons-nous dire que nous sommes dans l'état d'ignorance absolue vis-à-vis d'un petit nombre de coups ; ou, au contraire, le calcul des probabilités nous donne-t-il, même dans ce cas, quelques renseignements — et des renseignements de quelle valeur? Par exemple, je vais jouer à la loterie ; je prends cent billets. Qu'est-ce que je veux dire lorsque j'affirme que j'ai loo fois plus de chances de gagner que si je n'avais qu'un seul billet ? Et pourquoi le raisonnement de M. Le Dantec me choque-t-il,