DE PROJECTION

à l'extrémité V du diamètre perpendiculaire à ce plan et située dans l'hémisphère opposé à celui qui contient le point. Le point a, où la droite de jonction perce le plan du grand cercle, est pris pour la représe ne du point À de la sphère. D'après cela, une figure A B existant sur la surface sphérique se trouve représentée sur la carte en projection stéréographique par une figure ab qui est l'intersection du plan de projection, avec le cône ayant le point V comme sommet et la figure B de la ;

sphère comme base. L A Comme les lignes analogues à ' ARE Aa sont d'autant plus obliques Te

FIG. 146. — Projection STÉRÉOGRAPHIQUE.

par rapport au plan de la carte qu’elles partent des points de la Terre plus rapprochés de celui-ci, on voit que la déformation des régions voisines des bords de la carte se trouve supprimée de ce fait.

Ce système de projections jouit de deux propriétés fondamentales, que nous énoncerons sans les démontrer. La première est que tout cercle tracé sur la sphère est représenté par un cercle tracé sur la carte. Cela simplifie la figuration des méridiens et des parallèles. La seconde est que l'angle sous lequel se coupent deux lignes sur la sphère est le même que celui sous lequel leurs représentations se coupent sur la carte.

Il résulte de là que toute figure de petites dimensions tracée sur la sphère est figurée sur la carte par une figure géométriquement « semblable ». Seul, le rapport de similitude varie avec la position que la figure occupe sur la sphère représentée. Au bord mème de la carte, il n’y a pas de réduction, puisque les portions figurées du méridien limitatif conservent évidemment leurs dimensions sur la carte; mais, au centre de celle-ci, les figures sont réduites dans le rapport de 1 à 2.

216. La projection de Mercator et les cartes marines. — Les projections, soit stéréographiques, soit orthographiques, ont toutefois un inconvénient : celui d'exiger, en somme, deux « cartes » séparées pour la représentation de la totalité de la Terre. Il peut être intéressant, dans certains cas, de figurer une représentation du globe terrestre entièrement comprise sur une seule carte. Et, alors, on emploie diflérents systèmes de projections : les uns conservent l'égalité des surfaces, c'està-dire sont équivalents; les autres conservent l'égalité des angles, c'est-à-dire sont équiangles ou conformes.

Parmi les premiers, figure la projection dite de Mollweide

PLIS SA Me Na NRSRCLLUPRZ

147. — Projection de MOLLWEIDE (ou de BABINET) (Les divisions correspondent chacune à {rois intervalles de 10 degrés).

mployée pour les cartes « statistiques » de présente l'ensemble du globe sous la forme

on trace le canevas de la façon suivante :

ignes droites perpendiculaires : l’une, horizonlongueur le développement de l'équateur ; perpendiculaire au milieu de la première, ayant comme longueur le développement d’un demi-méridien, et cette dernière étant coupée en deux par la première : c’est la ligne des pôles. On divise chacune de ses moitiés en neuf parties, qui correspondent donc à 10 degrés, et par chacune de ces parties on mène une droite ayant comme longueur, de part et d'autre de la ligne des pôles, la moitié du développement du parallèle de la Terre correspondant; on obtient ainsi des points terminaux qui déterminent la courbe de fermeture de la projection.

Cela fait, on divise l'équateur et chacun des parallèles en 36 parties égales. Les courbes qui joignent les points de division correspondants sont les figurations des méridiens. On voit que les figures de la carte seront équivalentes à celles de la sphère, puisqu'elles ont même base et même hauteur. Seuls, les angles sont profondément altérés, surtout au voisinage des bords de l’ellipse terminale.

La projection de Mercator, imaginée en 1569 par Gerhardt Kroemer, dit « Mercator », sacrifie, au contraire, la conservation des surfaces pour ne s'attacher qu'à la conservation de l'égalité des angles.

Cette projection, en effet, était faite en vue de l'établissement des cartes destinées aux marins; à l'époque où elle fut inventée, Colomb venait de découvrir l'Amérique, et c'était le siècle des grands voyages maritimes d'exploration. Il fallait donc fournir aux marins, qui naviguent « par les angles », des cartes où ces angles fussent conservés sans altération aucune.

Cette projection consiste à circonscrire à la sphère, tout le long de l'équateur, un cylindre indéfini dont l'axe est dirigé suivant la ligne même des pôles de la Terre.

Supposons pour cela que l'on ait découpé toute la surface du globe terrestre en une série de fuseaux équidistants : dans ces conditions, les génératrices du cylindre circonscrit qui correspondent aux points A, B, C... de l'équateur ne seront autre chose que les tangentes menées par ces points aux méridiens correspondants. Imaginons que l'on détache de la sphère le demi-fuseau À P Bet qu'on le redresse pour essayer de l'appliquer sur la surface interne du cylindre circonscrit :

comme la largeur de ce fuseau va en diminuant de À B vers P, il ne pourra pas recouvrir exactementla bandecylindrique AB A'B".

Il y aurait un moyen qu'il la FIG. 148. — Principe de la projection TeCOUvrit exactement : ce serait

cylindrique de MERCATOR. qu'on l'élargit d’une façon progressive d’une quantité convenable sur chaque point de sa longueur. Mais, en l'élargissant ainsi, on déformera la portion de ce fuseau comprise entre les parallèles RS et TU, par exemple, puisqu'on accroïtra la longueur des côtés RS et TU de cette figure supposée très petite. I n'y a qu'une façon d'empêcher cette déformation : c'est d’allonger, dans le même rapport, les côtés R T'et SU; alors la figure R'T'S'U' obtenue sur le cylindre restera « semblable » géométriquement à la figure R S TU correspondante, tracée sur la sphère, puisqu'elles ont toutes deux leurs bases et leurs hauteurs proportionnelles entre elles.

Ayant ainsi développé sur la surface intérieure du cylindre

tous les demi-fuseaux tracés sur la sphère, on voit que les dis-

tances qui séparent les parallèles consécutifs augmentent, d'après les exigences mêmes de la condition que nous venons d'indiquer, de sorte que les portions de la surface terrestre très voisines des pôles se trouveraient rejetées à l'infini vers le haut

et vers le bas de la

Laissons pour l'in t inconvénient de côté; arrètons la représentation de | ix deux parallèles 80° nord et sud, par exemple; imagi l'on ouvre le cylindre suivant une de ses génératrice on le déroule sur un plan : ce