LA TRIANGULATION GÉODÉSIQUE

avec des règles métalliques, en apportant à cette mesure toute la précision possible. Cela fait, des points A et A'on vise le point 1 en mesurant les angles m et n. On connait donc, dans le triangle A; A, la base AA, qu'on a mesurée sur le terrain, et les deux angles m et n. On peut alors calculer le côté A 1, qui se trouve, par suite, connu, et peut servir au calcul du tronçon A «. On continue de la sorte en se transportant successivement aux divers sommets 2, 3, 4... et en s'appuyant chaque fois sur la longueur calculée du côté du triangle précédent. On peut ainsi calculer l’un après l’autre tous les tronçons de l'arc de méridien Aa,ab,be,cd.….; cet arc sera donc connu à l’aide d’une mesure unique de longueur, A A', et d'une série de mesures d’angles infiniment plus faciles à faire.

Mais, à opérer ainsi, on risque de voir s'’accumuler les erreurs provenant des mesures successives des angles : aussi fait-on, à la fin de l'opération, une vérification importante. On choisit B', voisin du terminus B, et on mesure directement, avec des règles métalliques, la base de vérification B B'; d'autre part on la calcule en la déduisant des triangles antérieurs : la longueur calculée devra être égale à la longueur mesurée.

Toutes ces mesures, +rès simples en théorie, sont dans la pratique extrémement longues ; la mesure d'une base seule exige quelquefois plusieurs mois et la mesure d’un arc de méridien peut prendre plusieurs années.

F1G. 163: — Principe de la TRIANGULATION.

243. Réductions des mesures faites sur le terrain. — Les mesures de longueurs et d’angles, faites sur le terrain souvent au prix de mille difficultés, ne sont cependant pas utilisables immédiatement, et les nombres qui les expriment doivent subir des corrections qui nécessitent de multiples et laborieux calculs.

D'abord, chaque portion de la base, mesurée avec des règles, doit être corrigée de l’inclinaison de ces règles, de leur flexion sous leur propre poids et de leur dilatation subie sous l’influence de la température extérieure. On voit combien peuvent être longs les calculs relatifs à une base de 10 kilomètres mesurée en portant bout à bout, successivement, des règles de 4 mètres de longueur !

Pour les mesures d’angles, il faut leur faire subir des calculs plus longs encore. D'abord chaque angle est mesuré plusieurs fois par la méthode dite de réifération qui consiste à déterminer l'angle successivement avec des parties différentes du cercle divisé, de façon à réduire l'influence des erreurs inévitables que comporte la division de celui-ci, quelque précise qu'elle soit. On calcule alors, par la méthode dite des moindres carrés, la valeur La plus probable de l'angle ainsi mesuré.

Mais quand cette valeur est ainsi calculée, il faut lui faire subir un calcul dont on va de suite comprendre l'importance,

Dans l'exposé que nous avons fait du principe sur lequel est basée la mesure d'un arc de méridien, nous avons supposé, pour simplifier l'exposition, que cet arc était une portion de ligne droite et que les points A, 1,2, 3... B, B', étaient tous situés dans un même plan.

Or, il n'en est pas ainsi :

sur la surface de la Terre, qui est un ellipsoide dont, précisément, les dimensions exactes sont inconnues.

Toutefois, dans l'étendue d'un même triangle, étendue qui est toujours très petite par rapport à la surface de la Terre entière, on peut confondre cet ellipsoide avec une sphère qui lui serait tangente et aurait la même courbure : le rayon de cette sphère ira en augmentant à mesure qu'on se rapprochera des pôles.

Il faut donc considérer que chaque angle déterminé est celui, non pas d’un triangle plan, mais d'un triangle sphérique, tracé sur une sphère dont le rayon varie pour chaque triangle ; cela complique les calculs et les allonge considérablement.

Ce n'est pas tout : les bases mesurées A A',B B',et les côtés

ces points sont, en réalité, situés

calculés tels que 1-A, ne sont pas des lignes droites (fig. 163): ce sont des arcs de grands cercles que l’on peut imaginer avoir été tracés à la surface de sphères qui, entre les points A et A' d’une part, entre les points B et B' d'autre part, coincideraient avec l'ellipsoide terrestre dans ces régions respectives. Mais les points terminaux de l’un de ces côtés, de la base À A' par exemple, ne sont pas au niveau de la mer, 3 c'est-à-dire ne font pas partie = : Â de la surface du géoïde dont on À 4 cherche précisément la forme : \ : F ils sont situés, en réalité, à une : Ê certaine altitude À A:, A! Ah; \ F de sorte que l’on a mesuré en — réalité l'arc A A', alors que V0 celui qu'il faut connaitre pour le faire légitimement figurer dans les calculs est l'arc A; A.

Il est donc nécessaire d'opérer la réduction des bases et des côtés des triangles au niveau de la mer. De là un nouvel accroissement dans le nombre de la complication des calculs nécessités par l'ensemble du travail.

Déduction d'une BASE de NIVEAU DE LA MER.

24. Pratique des opérations. — Mesure de la base et des angles. — La mesure des bases géodésiques, mesure fondamentale, puisque c'est de sa précision que dépend celle de la mesure de l’arc de méridien tout entier, se fait aujourd'hui avec une exactitude vraiment merveilleuse. Voici sur quels principes elle repose. Après avoir déterminé astronomiquement, avec toute la précision possible, la direction du méridien, on jalonne d'abord sur le terrain la direction A A' de la base, à l’aide d’une lunette d’alignement et de mires. On fixe dans le sol, au point origine À de l'arc de méridien, un repère formé de deux traits en croix gravés sur une plaque métallique scellée sur une pierre de taille, scellée elle-mème dans un massif de maçonnerie, puis on mesure la base A A'en portant successivement, tout le long de cette base, une règle métallique de longueur constante.

Comme nous l'avons dit, ces règles doivent subir la double correction nécessitée par leur flexion et par leur dilatation sous l'influence de la température. Cette dernière correction était la plus incertaine, et on y remédiait jusqu'à ces derniers temps en employant des règles bimétalliques imaginées par Borda, et dont la différence de dilatation faisait connaitre la température.

Mais, aujourd'hui, on a pu profiter de la découverte de l’invar, acier à 36 pour 100 de nickel, dont le coefficient de dilatation peut descendre jusqu'à .un deux-millionième, c'est-à-dire que, pour un degré d’élévation de température, la longueur d'une barre d'un mètre ne s'accroît que d'un demi-millième de millimètre, ou d'un demi-micron (0,05. Dans ces conditions, la

di NZ AS SPrRÉE E D LL rl NS Hé, FLLALRDLS » +

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MESURE MODERNE D'UNE BASE avec l'appareil monométallique à règle d'acier invar; les appareils de mesure (microscopes micrométriques) sont pro tégés par des abris mobiles qu'on déplace progressivement, (Stroë, Pays-Bas, 19713

246 LA MESURE DES BASES NPES REGLES SENMEESMELES lilatation des règles construites en invar est extrémement qui représentait une précision d’un sept millionième. Au cours faible et souvent négligeable; en tout cas, on peut toujours de la récente mesure de l’arc de méridien de l'équateur par la

une précision suffisante.

que l’on emploie sont longues de 4 mètres : sur zle, près de ses extrémités, sont gravés deux traits fins dont la distance, à zéro, est une longueur | aussi voisine que possible de 4 mètres : l'écart, [ toujours micrométrique, a été déterminé pour | chacune d'elles par des mesures de la plus haute | précision, faites au laboratoire du Bureau inter- EE | national des poids et mesures, au pavillon de j Fi Breteuil, à Sèvres. Leur section a la forme d’un H. On fixe, à l'aide d’un support latéral, un mi-

Section L , TRS L À d'une RÈGLE CrOScope micrométrique au-dessus du repère géodésique. terminal À de la base; cela posé, on installe la

règle À B dans la direction jalonnée de cette base, de façon que l'un de ses traits terminaux soit en coïincidence avec l'axe optique du microscope M (/ig. 164) : cet instrument porte dans son oculaire un fil fixe, dont l'image se superpose à celle de l’objet visé, et un autre fil, mobile celui-là à l'aide d'une vis m, dont on peut compter les tours et les fractions de tour. h

Au-dessus de l'extrémité B de la règle, on amène de mème un second microscope N, semblable au premier.

Les deux fils fixes des deux microscopes ne coincident jamais exactement avec les images des traits terminaux gravés sur la règle : on mesure les écarts, précisément par les déplacements des fils ‘mobiles, déplacements qui sont indiqués par le nombre de tours et de fractions de tours dontilfaut tourner les vis m et n pour amener la coincidence.

Cela fait,ontransporte la règle A B dansla direction de la base, de façon que l'extrémité A vienne se placer sous le microscope N : on transporte alors le microscope M de manière qu'il vienne viser le trait placé en B et on recommence les lectures micrométriques que nous avons indiquées. On corrige chaque fois ces lectures de la dilatation que la température fait subir à La vis qui sert à les faire.

Pour mesurer une base de plusieurs kilomètres, l'opération ainsi conduite dure des mois : mais la précision à laquelle on arrive ainsi est considérable. Par exemple, la grande base de la triangulation d'Espagne, mesurée dans la plaine de Madridejos par le général français Perrier et le général espagnol Ibanez, avait 14 kilomètres 663 mètres de longueur : l'erreur commise sur sa longueur ne fut que de deur millimètres, ce

F1G 164. — Principe de la MESURE DES BASES avec les REGLES.

CERCLE AZIMUTAI

réitérateur du Service séodésique français.

mission géodésique française, dirigée par le général Bourgeois et le colonel Perrier (1900), la base de Viviate, longue de 8 217 mètres, a été mesurée avec une précision de 3 millimètres environ, ce qui correspond à une exactitude vraiment remarquable.

Depuis peu d'années, on emploie un procédé de mesure des bases dû au savant suédois Jaderin, et qui permet d'en abréger beaucoup la durée, surtout depuis la découverte de l'invar ; il

AZ EN TAT NT LL fe D it 0

F1G. 165. — Principe de la mesure des BASES avec le FIL TENDU.

consiste à remplacer les règles par des fils d'invar de 24 mètres de longueur, dont les extrémités sont munies de réglettes divisées r et r' (fig. 165) et qui sont simplement suspendus entre deux trépieds, et fendus à chaque extrémité par un poids de 10 kilogrammes. Les microscopes visent alors les réglettes, comme ils visaient les traits terminaux des règles métalliques. La courbure des fils sous leur propre poids a été déterminée avec le plus grand soin une fois pour toutes, ainsi que leur dilatation. On conçoit l’intérèt que présentent des mesures ainsi faites, qui exigent un nombre de « portées » six fois moindre qu'avec les règles et qui divisent par conséquent par six le temps nécessité par la mesure des bases.

Ces fils d'invar sont étudiés avec le plus grand soin au Bureau international des poids et mesures, à Sèvres, sous la direction de M. Ch. Guillaume, le distingué physicien à qui l’on doit la découverte de l'acier invar. Les fils sont enroulés, toujours sous la même tension, sur des tambours de grand diamètre, de façon à rester, autant que possible, toujours comparables à eux-mêmes. Ils ont subi à la sortie de l'usine où ils ont été laminés différentes opérations de recuit, destinées à réduire au minimum le travail moléculaire qu'ils pourraient subir avec le temps. On voit, par l'énumération de ces détails, de combien de précautions est entourée leur construction, ainsi que leur transport et leur manipulation ; leur emballage est également soigné, de façon à leur éviter tous chocs et tous accidents de route.

Ce procédé a été employé par la mission française de l'Equateur, concurremment avec celui des règles. Toutefois, au retour, on a constaté que les fils employés avaient subi un raccourcissement d'un cinquième de millimètre, environ. Aussi, tout en donnant beaucoup d'espoirs, la méthode des fils est-elle encore à l'étude, et la méthode classique de mesure des bases demeure toujours celle des règles.

Quant à la mesure des angles, elle se fait au moyen du Mod. Waits.

cercle azimutal réitérateur, en employant la méthode de la réitération dont nous avons parlé plus haut. Pour la détermination précise des latitudes et des longitudes des points terminaux, on emploie le cercle méridien portatif et l'astrolabe à prisme.

Un THEODOLITE à MICROSCOPES de haute précision (haut. : 0,75).

245. Résultats des mesures géodésiques. — On a mesuré, par des procédés de ce genre, des ares de méridien en des lieux de la Terre dont les latitudes étaient très différentes. Nous don-

AMP IESANETEURMET

nons un tableau qui indique la longueur qu'occupe un arc d'un degré sur un méridien et sur un parallèle aux différentes latitudes :

LONGUEURS DES ARCS DE MÉRIDIEN ET DE PARALLÈLE AUX DIFFÉRENTES LATITUDES (CORRESPONDANT AUX DIMENSIONS DE L'ELLIPSOIDE DE CLARKE)

90° (Pôle) | 111 702 0 000 | |

Ce tableau montre très nettement que, sur un même méridien, la longueur de l'arc de 1 degré va en croissant de l'équateur au pôle. En outre, des mesures effectuées à la même latitude sur divers méridiens ont montré que, à latitude égale, la longueur de l’arc de 1 degré était sensiblement la méme sur tous les méridiens. Donc tous les méridiens semblentétre des courbes identiques, ce qui correspond avec l’idée que le géoïde doit être une surface de révolution. La discussion des nombres précédents montre, d'ailleurs, en suivant la loi de croissance du degré de l'équateur au pôle, que cette surface est celle d’un ellipsoïde tournant autour de son petit axe.

Le D' Helmert a entrepris la discussion de l’ensemble des résultats acquis jusqu'à ces derniers temps (janvier 1913) et il a ainsi pu calculer les éléments de l'ellipsoide de référence, c'est-à-dire de la surface géodésique à laquelle on rapporte le géoide.

Voici quels sont ces éléments :

1/2 grand axe

1/2 petit axe 2

Aplatissement : 4 — 2 = Superficie totale : S—510 100 800 kilomètres carrés.

al=1/296,95 (en chiffres ronds 1/297)

Cette discussion montre que l'erreur maæima qui peut subsister sur la connaissance du petit axe de l’ellipsoïde terrestre n'est que de 72 mètres. Elle montre aussi que la valeur de l'aplatissement, 1/297, est trop faible pour ètre aperçue à l'œilnu sur une sphère qui serait semblable au globe terrestre.

Mais une question se pose aussitôt à l'esprit, surtout quand on constate la répartition inégale des continents et des mers à la surface de la Terre, et cette question est celle-ci : le géoïde a-t-il la même forme dans les deux hémispheres? Autrement dit, l'aplatissement autour du pôle nord a-t-il la même valeur qu'autour du pôle sud?

A priori on peut en douter, étant donné que le pôle sud est continental et que le pôle nord est océanique, c'est-à-dire entouré d'une mer vaste et profonde.

Il faudrait, pour trancher la question, que de nombreux et grands arcs de méridien fussent mesurés dans l'hémisphère austral. Malheureusement, on ne connait actuellement que celui du Cap, qui est encore très éloigné du pôle sud. Il serait nécessaire de le compléter par la mesure d'un arc de méridien sud-américain partant du cap Horn et remontant dans l'Argentine; et, surtout, il faudrait avoir une mesure d'arc faite autant que possible sur le continent antarctique. Alors seulement nous pourrions savoir s'il y a identité entre les deux hémisphères, au point de vue de la forme de la Terre.