II. Procédé abrégé (Poncelet). Fig. 450. Sur le cercle

primitif T„ on détermine les points s,, qui doivent

venir coïncider, avec les points s, t, u, v... de l’autre cercle T ; si des points s,, t,, «,... etc., comme centres, avec, les longueurs des normales à la courbe donnée, va, ne etc., on décrit des arcs de cercle, il suffit de tracer une courbe continue, tangente à tous ces arcs, pour obtenir le profil cherché. Les points s, t, u, v... doivent être pris suffisamment rapprochés les uns des antres.

Si, dans les deux procédés différents que nous venons d’indiquer, on porte, à partir des points s,, tlf les longueurs des normales va, ne... en sens inverse, on obtient pour la roue O, T, , un profil de dent correspondant h l’hypothèse où la denture est intérieure.

III. Second procédé (Rcidcaux). Fig. 151. On donne, comme ' précédemment, le profil abcSdc et les deux cercles primitifs T et Tt. On mène les normales al, 52, c3...; par les points a, b, c... on décrit, du point O, des arcs de cercle, sur lesquels on prend des points I, II, III..., tels que .SI = al,

jS II = 62, S III = r;i... etc. et on trace la courbe passant par ces points I, II, III, IV, V...; cette courlcc, qu’on désigne sous le nom de ligne d’engrènement, est le lieu géométrique des points

Fig. 451. Fig. 452.

E.NfikKNE.MENT f)KîS IHiNTS.

de contact des dents, c’est-à-dire que le contact a lieu aux points a, b, c... du profil donné, lorsque ces points se trouvent dans les positions 1, II, 111... Si maintenant, du point 0,, ou décrit des arcs de cercle passant par les points J, II, III..., que sur 7, on prenne les arcs Si', S 2', S'A'... égaux aux arcs «Si, S2, Sa... et qu’on fasse, en outre, l'a, — la, 2 b, ‘-■2b, :i' c, = 3e... , la courbe continue a, h , c,..., qu’on obtient en réunissant les points o, , b, , c, . . . ainsi déterminés , représente le profil cherché. Ce procédé, qui est plus simple que celui du n°. I, est au moins aussi exact et il a, de plus, l’avantage de donner la ligne d’engrènemeut (v. le paragraphe suivant).

Profil théorique de la partie inférieure des dents. Fig. 452. Il arrive souvent que , pour donner au pied de la dent une résistance suffisante, on est obligé de le renforcer de chaque côté par un congé, qui vient occuper une partie du vide; il est bien évident d’ailleurs que ce congé doit être disposé de manière à se trouver en dehors du chemin décrit par l’arête de la dent de la seconde roue et qui peut se déterminer de la manière suivante. Soient a S b et a, S b, les profils des dents des roues T et 1\, a, a0 le prolongement du profil du pied de la sceonde dent, IiS’II la ligne d’engrènement, limitée par les cercles de tête K et K,. A partir du point S, prenons, sur les cercles T et Tu des longueurs d’arcs, respectivement égales, Si, 12, 2 3... Si', l'2', 2' 3'. .. et, avec des ouvertures de compas, successivement égales aux droites Sa, la, 2a, 3a... décrivons, des points l', 2’, 3'..., des arcs de cercle, l’enveloppe a a, g de ces cercles déterminera ce qu’on appelle le profil théorique de la hase de la dent, auquel on substitue, en réalité, le profil qui lui est

tangent en S et qui vient se raccorder avec le cercle limite F,. Le profil théorique est une courbe eyeloïdale allongée ou raccourcie (v. § 190); dans la figure, où le cercle T se rédnit à une ligne droite (crémaillère), ectte courbe est une portion de développante (v. tj 195).

§ 1HX.

De l'cngrèncmcnt des dents.

Le troisième des procédés (pie nous vcnoi.s d’indiquer permet de déterminer, non seulement le profil des dents, mais encore la ligne d engrénement de deux roues qui se commandent nmtuelle-

ENOUfeNKMENT DES DENTS.

inent; pour compléter cette question de la denture, nous devons ajouter ici quelques observations assez importantes.

Iji lijrne d’engrènement ] tasse par le point d’intersection du profil de chaque dent avec le cercle primitif et elle rencontre ce profil à angle droit, c’est-à-dire que la tangente NN à cette ligne est normale, en S, au profil de la dent. A chaque point de la ligne d’engrènement correspond un contact de dents et, par suite, nu point de contact sur chacun des cercles primitifs; ainsi, par exemple, au point II de cette ligne , correspondent les points 2 et 2' sur T et Ti. La longueur de l’are du cercle primitif, compris entre le point de rencontre de ce cercle avec la ligne d’engrènement et le point de contact sur ce même cercle, correspondant à un point quelconque de cette ligne, se nomme le cercle de roulement pour le point d’engrènement considéré. Ainsi, S 2 et S 2’ représentent respectivement, sur les cercles T et 7’,, les arcs de roulement correspondant au point d’engrènoment 11.

La somme des arcs de roulement, pour les points d’engrènement les plus éloignés (lS -j- Sb ou VS 4- S b"), constitue ce qu’on appelle l’arc d’engrènement; sa longueur, exprimée en nombre de pas, représente la durée de l’engrèncmcnt des dents considérées, qu’il est facile ici de déterminer graphiquement. Cette durée dépend de la longueur de la partie utilisée de la ligne d’engrènement. Comme la longueur du pied de la dent doit être augmentée par suite de l’addition d’un congé et de la nécessité de donner un passage suffisant à la tête de la dent de l’antre roue, il en résulte (pie, dans les roues ordinaires, cette partie utilisée (V- 1 j se trouve limitée par les cercles de tête K et K,.

Dans une roue, à un profil de dent donné, sur un cercle primitif connu, correspond une seule ligne d’engrônement et, réciproquement, pour une ligne d’engrènement donnée, il n’existe qu’un seul profil de dent satisfaisant. Ce profil 11e peut d’ailleurs se déterminer, à l’aide de l’autre ligne, que dans le cas oà l’on connaît les arcs de roulement, correspondant aux différents points de cette ligne; lorsqu’il en est ainsi, le profil de la dent peut se tracer facilement et le problème se réduit alors à celui que nous avons résolu, à l’aide du procédé indiqué à la fin du paragraphe précédent.

Dans les profils qui appartiennent an genre cycloïdal, l’arc de roulement est précisément égal à la longueur de l’cngrène-

OOUltBES CYCI.OI DALKS.

ment; les dents de cette espèce présentent donc nnc simplicité toute spéciale, au point de vue de leurs propriétés géométriques.

Dans les roues dentées, qui sc commandent convenablement, les lignes d’engrènement sont congruentes et les arcs de roulement pour les points homologues do ces lignes sont d’égale longueur. En satisfaisant à cette condition, on peut construire un nombre indéterminé de roues, destinées à engrèner avec nnc roue donnée.

I-æs roues de ce genre sont ce que nous avons appelé des roues harmoniques (v. § 184), lorsque la ligne commune d'engrènement a une forme telle qu’elle soit divisée en deux parties congruentes, non seulement par le cercle primitif, mais encore par le rayon de son point d’intersection avec ce cercle.

Dans toutes les roues harmoniques, engrènant avec une crémaillère, les deux parties du profil, au-dessus et au-dessous du cercle primitif, sont congruentes.

Si, par le point d’intersection de la ligne d’engrèuement avec le cercle primitif, on mène un rayon aboutissant à un autre point quelconque de cette ligne (SI, par ex. fig. 151), ce rayon donne la direction et le point d’application de la pression exercée sur la dent, pour le point d’engrènement considéré. Pour que cette pression, qui tend à écarter les axes des deux roues, ne soit pas trop considérable, il convient que sa direction ne fasse pas un angle trop faible avec la ligne «les centres.

Courbes décrites par un point d'un cercle roulant.

Les courbes, décrites par le roulement d’un cercle, sont celles qui se prêtent le mieux aux tracés des dents des roues harmoniques ou, plus particulièrement, aux tracés de dents, pour lesquels on tient à déterminer d’avance les propriétés géométriques. Lorsqu’un cercle roule sur un autre cercle, sans glisser, chaque point d’un rayon de ce cercle décrit une courbe qu’on désigne sous les noms de eycloïdo, simple, allongée ou raccourcie, suivant que le point décrivant se trouve sur la circonférence même du cercle roulant, sur le prolongement du rayon ou à l’intérieur.

courbes ctcloioai.es. 429

Le cercle fixe est le cercle directeur de la courbe et nous désignerons son rayon par R\ le cercle mobile, de rayon r, est le cercle générateur ou de roulement. Dans le cas où l’un des deux cercles est intérieur à l'autre, son rayon conserve le signe +, tandis qu’on affecte le second du signe — ; avec cette convention, on peut diviser en cinq classes distinctes les courbes obtenues par les différentes combinaisons de 7f et r, ainsi que de leurs signes.

Cercle

directeur.

Cercle de roulement.

Courbes correspondantes.

Epiet/cloide.

-f- oo

Cydotde.

Hgpocycloidc.

+ cx>

Dévelopjtantc de cercle.

Péricycloule.

Ces cinq espèces de courbes jouissent toutes des deux propriétés suivantes :

1. La normale en un jtoint de la courbe décrite jmsse par . le jtoint de contact correspondant du cercle générateur.

2. Le centre, de courbure, pour un point de la courbe, est donné par l'intersection de la normale en ce point avec la ligne qui réunit le centre du cercle directeur au point diamétralement opposé au point décrivant.

Dans le cas où il s'agit de courbes allongées ou raccourcies, le point qu’il faut joindre au centre du cercle directeur est le point d’intersection du prolongement du rayon et de la perpendiculaire menée à la normale par le point de contact.

C’est à la première propriété qu’est due la supériorité de l’emploi des courbes cycloïdales pour les tracés de dents; la seconde propriété fournit le moyen de remplacer, sans inconvénients, dans le tracé des dents, les profils cyeloïdaux par de simples arcs de cercle.

Tracés des courbes cycloïdales.

Procédé exact. Fig. 453. G est le cercle directeur, W le cercle de roulement, A le point de départ de la courbe. A partir

COURBES CTCEOrDAT.ES.

du point A, et sur les deux circonférences G et W, on porte, du même côté, de petits ares de même longueur; soient a et a,

Fig. 453.

deux points de division correspondants. Si, du point A, avec la distance «a, et dn point a, avec la corde A nn on décrit deux arcs de cercle, le point d’intersection P de ces deux ares sera un point de la courbe cherchée. Ce procédé, qui, dans la tig. 453, a été simplement appliqué à l’Epicycloïde et à l’Hypoeycloïde, peut être également employé pour les trois autres espèces de courbes cvcloïdales.

II. Procédé abrégé. Si des points de division 1 , 2, 3, — a... comme centres, avec les longueurs des cordes correspondantes sur le cercle générateur, mesurées à partir du point A, on décrit des arcs de cercle, ces arcs doivent tous être tangents à la courbe cherchée et peuvent, par suite, permettre de la tracer, dans le eas où la longueur des ares de division A — 1, 1 — 2 . . . a été prise suffisamment petite.

Dans le cas d’une courbe allongée ou raccourcie, ayant son point de départ en B, on commence par déterminer le point P (il n’est pas nécessaire pour cela de tracer la courbe simple ellernême); on décrit ensuite des points « et P, avec at B et AB, comme rayons, deux arcs de cercle, dont l’intersection Q est un point de la courbe cherchée.

On peut encore opérer d’une autre manière; mener par le point a, j. le rayon «3 h du cercle générateur, faire passer par le point b un are concentrique au cercle directeur et prendre nsQi — (jb ; le point Qt est alors le point de la courbe correspondant au roulement sur l’are Aas — Aa3.