M, VV

1 + 1 cos. a

1 + 2 1 cos.

Les rayons R et 72, sont les hypothénuscs des triangles rectangles, dont les côtés sont respectivement R' et r, 72', et rx, et ont, par suite, pour valeurs:

R = y R'* + r», 72, = yR\ * + r, 2 . . . (199)

JR' et 72', sont connus d’après ce qui précède , lorsqu’on se donne la longueur SA

Quant aux angles fi et fiu ils sont déterminés par les relations: . ^ sin.a . . sin.a . , ......

ty-fi - -- , t'jfi,-„ • • (*H>).

+ cos.a

+ cos.a

ENGRENAGES HYPERBOLOÏDES.

De même que dans le cas des roues coniques (p. 449), le problème comporte deux solutions, suivant que la ligne SA est menée à l’intérieur de l’angle « ou à l’extérieur (c’est-à-dire dans l’angle supplémentaire), fig. 491. Ces deux solutions diffèrent

par le sens de la rotation de l'arbre mené. L’une de ces solutions peut , comme précédemment, conduire à une roue à denture intérieure; mais ce dispositif, à notre connaissance, n’a jamais été exécuté et il n’aurait, du reste, aucune valeur pratique. Lorsque l’angle d’inclinaison « est égal à 9(J°, on a:

et

JL = V 1 1 „ „ »* .... /onoï

a ni + n1*’ a n8 + wl* '

Il est facile de voir, d’après cela , que les engrenages hyperboloïdes fournissent des solutions en nombre plus limité que les roues hélicoïdales , avec lesquelles elles présentent d’ailleurs beaucoup d’analogies. Dans ces dernières roues, en effet, pour une valeur déterminée de l’angle «, on peut donner une valeur arbitraire à l’angle d’inclinaison des filets d’une des deux roues, tandis que, dans les engrenages hyperboloïdes, il n’y a qu’un seul couple de valeurs d’angles d’inclinaison qui soit admissible, condition dont on ne paraît pas toujours tenir compte suffisamment. Les surfaces primitives des deux engrenages sont formées par deux zones correspondantes des deux hyperboloïdes. Lorsque

Reuletux, le Constructeur. 30

ENGRENAGES HTPERBOLOIDES.

la distance des axes est faible, on ne peut pas le pins souvent utiliser, à cet effet, les zones comprenant les cercles de gorge et on est obligé de recourir à des zones situées à une certaine distance, qui peuvent ordinairement être remplacées, avec une approximation suffisante, par de simples troncs de cônes. Nous allons appliquer les notions précédentes à quelques exemples.

„ g (v. l’ex. 1 », § 202), a ~ 10<>" r O fi -f- cos 40" 1,266

On

2 + cos 40“ ~ 2,766 ~ °>4577> T = = 0,31398, r — 31mm,398, r, => 68mm,601.

0)132393 = tfl 13°, V et fi, = 40"

1 *r Exemple, a = 40 ",

a, dans ce cas: 2 ’ y,

1 4- 2 cos 40" 2,532

l+2-2-cos40"+4 “ 8,064 mn 40"

£n outre, tgfi — — 2,766

26" ,55'. Pour la distance S A — l = 200""', on a R =» t lis 43’,5

. , 200 0,226368 «= 45"", 27, R, — 200 si» 20", 55' = 200-0,452634 » S0““,04 ; enfin R ~ V45/T2* + 31,40* =■ ;Î5”",10 et fl, «= V90,54- 4- 68,60* O» U3ma,59.

2* Exemple, a = 90", -^- — g (valeur « laquelle satisfont les nombres

de dents 3 = 30 et 3, = 20J; a = 20“"“ (ces données sont celles qu'on rencontre dam les bâties à broches). D’après les formules (201) et (202), 0» a :

15""", 28 et r, = 72.

s - tfT

0« a, de pt«s, fÿ,3 = = 1(80, ou fl — 60"fiT et, par suite, fi, — 29»,î'.

Pour P = 49"", la formule (199) donne: R ' — VP'— r* =4/40* — 15)18*

40m“,557 et de la relation (196) o» tire alors: R, — ,t R g

«= 25mm,865 ; on a ensuite: R, = 4/25,86.1* + 4,72* =■ 26mm)!92.

La fig.492 donne, à demi - grandeur d'exécution, l'engrenage correspondant à ces dimensions. Conformément aux indications de la table du

§186, le pas, sur la grande roue, est t = «“ j fg — 8““,55 et, sitr

la petite, t, =■ “ 8"”,27.

3' Exemple. « — 90", ~ — 4. On trowe, dans ce cas , /J = 45", ra»?,, R = it, ; tes det*æ hgperboloïdes sont, alors, congruents ( r. T ex. 4, § 202).

fL

4' Exemple. Dans le cas particulier où le rapport — est «wm/rrçwe-

ment égal à cos a et où la ligne de division, qui détermine l'angle fi, se trouve située dans l'angle supplémentaire de a, de telle sorte qu'en tenant compte du

signe, on ail ~ = — cos a, l’une des surfaces primitives se réduit à un cône et la seconde à un hyperboloïde plan. Cette roue plane hyperboloide

ENOREXAOES HYPERB0I.0IDE8.

correspond à la roue plane dans les engrenages coniques (v. § 200) et peut engrener convenablement avec une roue conique ordinaire; elle n'offre d'ailleurs aucun avantage pratique , car la roue plane ne permet pas de prolonger

Fig. 492. Fig. 493.

yy J

l'arbre de la roue conique. Pour a — 60", — = — g = — cos 60", on obtient

la roue plane. Dans ce cas, on a: tg ,4= ^ y'ÎT, fi, = 301', tg fi, ■= oo, fi, = 90 ", j^rr ™ «in 90” = 2 > r = ’ï — et, S — ü', R, •= )/ It’,* a*

” y4P!-)~ a*. Si était négatif et < cos a, on obtiendrait une rôtie

hyperboloïde à denture intérieure; mais les engrenages de ce genre ne sont pas pratiques.

Avec les engrenages byperboloïdes, on peut obtenir également, comme cas limite , l’engrènement d'une crémaillère avec un pignon. La crémaillère porte alors des dents obliques, taudis que le pignon est formé par la zone correspondant au cercle de gorge d’un hyperboloïde. Mais, comme la construction de ce pignon est d'une exécution bien moins simple que celle de la roue filetée de la lig. 483, dont l'effet est équivalent, il en résulte que cette dernière doit être utilisée de préférence dans tous les cas où cet effet est à produire.

Denture des engrenages hyperboloïdes.

Si on voulait donner aux dents des engrenages hyperboloïdes des formes parfaitement rigoureuses, ou rencontrerait

ENGRENAGES HTPEBBOEOIDES.

de grandes difficultés d’exécution. Mais on peut se contenter, comme pour les roues coniques, d’une forme approximative. Dans ce cas, pour déterminer les dents d’un engrenage liyperboloïde, on commence par tracer le cône supplémentaire de la zône d’hypcrboloïde qu’on doit utiliser; le sommet H de ce cône, fig. 494, s’obtient en menant une perpendiculaire AH à la

génératrice S A , parallèle au plan de la ligure; on détermine ensuite le profil des dents pour le pas normal i sur le cercle de gorge, comme s’il s’agissait d’une roue hélicoïdale de diamètre r et d’inclinaison y = 90 — [i (v. § 2o;t), puis on reporte le profil, ainsi obtenu, sur la surface conique Il JL, en ayant soin d’augmenter les dimensions, parallèles au cercle de division, dans le rapport / : r et les longueurs dans le rapport K :r, K représentant la longueur de la génératrice du cône supplémentaire. On répète la même construction pour le cône supplémentaire correspondant à l'autre base de la zone, en ayant soin, bien entendu, de tenir compte de la diminution des valeurs de t et de K. On obtient ainsi, pour chaque dent, deux profils suffisamment exacts, dont il suffit de réunir les points correspondants, par des ligues droites, pour former le corps de cette dent.

On peut, dans certains cas, substituer il la zône d’hyperboloïdc un tronc de cône, à la condition de déterminer convenablement son sommet. A cet effet, on fait tourner la génératrice SA autour de l’axe HS. jusqu’à ce que le point A vienne coïncider avec le point J ; la projection de la génératrice , dans cette position, détermine, par son intersection avec HS, le sommet cherché M du cône.

Dans les engrenages hyperboloïdcs, le glissement des flaucs des dents est la source d’un frottement considérable. Ce frottement peut s’évaluer d’après la vitesse de glissement c, qui est égale à celle qu’on obtiendrait pour des roues héliçoïdales , qui correspondraient aux deux cercles de gorge (v. § 203).