DEUXIEME PARTIE

NOTIONS DE GRAPHOSTATIttUE.

Remarques préliminaires.

L’équilibre de plusieurs forces, agissant sur un système de points matériels, peut être représenté par un tracé graphique, ù la condition de remplacer chacune de ces forces par une ligne droite, ayant même direction, même grandeur et même position dans l’espace. La direction d’une force est donnée par les angles que fait la droite qui la représente avec les axes de coordonnées. La longueur de cette ligne donne la grandeur absolue de la force ; on indique généralement par une flèche le sens dans lequel elle tend à produire le mouvement; enfin la position de la droite, par rapport au système d’axes, définit les constantes qui s’appliquent à la force considérée. Cette représentation des forces par des grandeurs géométriques permet de transformer les questions de statique en simples problèmes de géométrie appliquée et d’arriver, par suite, à des solutions infiuiment plus simples que celles de l’analyse algébrique, dans les cas notamment où certains éléments à déterminer sont des grandeurs géométriques, qui doivent, en définitive, être reportées sur des plans. En coordonnant méthodiquement les solutions graphiques de ce genre de problèmes, on est arrivé à former un corps d’enseignement

NOTIONS OE GBA PHOSTATIQUK.

spécial , sous le nom de statique graphique, que nous proposons de remplacer par celui de graphostatiqtie (1).

Cette méthode est extrêmement précieuse pour rétablissement des projets de machines et nous aurons de fréquentes occasions de l’employer, dans le cours de cet ouvrage, pour l’étude des pièces élémentaires. Afin de rendre plus intelligibles les applications que nous aurons k en faire dans la suite, nous croyons devoir rappeler brièvement quelques-uns des principes de cette méthode.

De la graphostatique on pourrait, il la rigueur, éliminer ces méthodes de caleul graphique qui s’appliquent aux cas où les éléments n’interviennent que par leurs mesures, comme, par exemple ceux où les forces n’entrent que par leurs grandeurs, au même titre que des unités d’ordre quelconque. Ces méthodes, qu’on désigne sous les noms divers de caleul graphique, arithmétique graphique ou arithniographic , etc. doivent, dans tous les cas, former une subdivision (2). Nous commencerons par rappeler les principes relatifs à ces problèmes de pure arithmétique graphique. Nous ne saurions d’ailleurs trop insister, auprès du lecteur, pour qu’il se pénètre bien de ces principes fondamentaux, dont nous aurons à faire un usage constant

Multiplication des lignes.

Les lignes dont on fait usage dans l’arithmétique graphique se mesurent an compas et k la règle divisée; elles peuvent exprimer par leur longueur, et suivant l’unité qu’on aura choisie, des mètres ou des millimètres, des litres, des vitesses, des monnaies, etc. Les opérations d’addition ou de soustraction s’effectuent donc graphiquement sur les lignes elles -mêmes, sans aucune

(1) Voir Culmann, Statique graphique, Zurich 1866. Cet ouvrage, d’une utilité incontestable, expose la théorie de la graphostatique et renferme un grand nombre de problèmes et d’applications tirées do l’art de l’Ingénieur. C'est à < 'ulinann que revient l'honneur d'avoir, le premier, condensé, en corps de doctrine, l'ensemble des solutions de ce genre et introduit cet enseignement dans la pratique.

(2) Voir H. Eggcrs, principes d'une arithmétique graphique, Schaffouse 1865. — Schlesinger, sur les courbes des puissances, Zeitschrift des ôsterr. Ing. -Vereins, 1866. — E. Stamin, sul calcolo gralico, comptes rendus de l'Institut Lombard , Fasc. VI.

NOTIONS DK OKAITIOSTAT1QUK.

difficulté, et l’on obtient des lignes qui représentent les sommes ou les différences d’un certain nombre d’autres. - - Le problème parait uu peu plus complexe, quand i) s’agit de multiplier, les unes par les autres, les lignes qui représentent des grandeurs. Mais, comme toute mesure rodent à comparer une grandeur donnée avec l’unité, le problème de la multiplication graphique se réduit, en réalité, à trouver une ligne qui soit à la ligne prise comme unité dans le rapport donné par d’antres lignes, mesurées avec cette même unité ; en d’autres termes , multiplier deux lignes a et b l'une par l’autre ou , plus exactement , multiplier une ligne de longueur a par une ligue de longueur b, revient à trouver une ligne x, qui contienne axb fois l’unité avec laquelle on a mesuré les deux lignes (facteurs) données. Or, ce problème peut se résoudre simplement, et d’un grand nombre de manières, à l’aide des triangles semblables. Nous donnerons ici quelquesunes de ces solutions:

I. Ou porte en O E (fig. 7) la longueur prise comme unité de mesure; on élève en E une perpendiculaire, jusqu’à sa rencontre en B avec l’arc de cercle de rayon OB = b; sur la direction de OE on porte OA — a, on mène AC parallèle à EB et la longueur OC donne le produit cherché x. On a, eu

, OC O B axb ri , . „

enet, ^ ^ = ou #=*——. Cette solution suppose que run

des facteurs (b) soit plus grand que l’unité.

Fig. 7. Fig. 8. Fig. 9.

II. Fig. 8. En conservant le mode de construction précédent, on peut mener EB obliquement sur OA, ce qui permet d’exécuter le tracé dans le cas où les denx facteurs sont plus petits que l’unité.

III. On prend OE et AB (fig. 9), comme précédemment; sur O B on porte O A = a , on mène A C, de telle sorte que les angles O AC et OEB soient égaux; OC est alors le produit cherché x, attendu que les triangles OEB, O AC sont semblables. Pour ne pas avoir à construire l’angle en A, on prend