SURFACES DES POI.YGONEB

Si on décrit, du point O comme centre, un cercle avec le rayon OE= 2, si on mène à ce cercle une tangente passant par le sommet B opposé à O, si cufin, par les deux autres sommets -1 et (', on mène des parallèles à la diagonale O B, ces lignes déterminent, sur la tangente, un segment A' C , qui n’est autre chose que la base du triangle A’ OC, équivalent au quadrilatère A B CO et (pii a pour valeur/', c’est-à-dire la surface même du polygone.

les exemples que nous venons de citer suffisent pour indiquer comment, avec Tune ou l’autre de ces méthodes, on pourra résoudre un problème quelconque du même genre.

Surface des polygones quelconques.

Pour mesurer les polygones , ou commence par les transformer en triangles équivalents, de la manière suivante:

Par l’un des sommets O du polygone 0 ABC DE, fig. HH, on tire la diagonale O B, allant, du point O au sommet le plus

Fig. 33.

Fig. 34.

rapproché; par le sommet intermédiaire A, on mèue la ligue AB’, parallèle à OB, on prolonge le troisième côté CB jusqu’à sa rencontre, en B, avec la ligne A lï et on joint 0 1( ; comme les deux triangles OBB’, OBA sont équivalents, le polygone OB’ C DE a la même surface que le polygone primitif, mais avec un côté de moins. Si maintenant on répète les mêmes constructions pour le sommet C, en traçant OC, puis B C parallèle à 0 C, et ainsi de suite , on finira par arriver à un dernier triangle, équivalent an polygone donné, et dont on sait mesurer la surface. Les lignes auxiliaires OB etc. n’ont pas besoin d’être tracées. Cette méthode se prête spécialement à la mesure des profils pour remblais de chemins de fer ou de routes.

plissantes mes lignes.

Les polygones réguliers , comme l’hexagone , tig. .'14 , n’ont besoin il’être transformés (|ue pour l’une de leurs moitiés; ils se mesurent alors comme les parallélogrammes.

Puissances.

Elever une grandeur a à la n* puissance, c’est chercher une grandeur x, qui contienne an fois l’unité de mesure de a. Si le nombre n est entier, qu’il soit d’ailleurs positif ou négatif, la méthode de calcul graphique se ramène immédiatement si la multiplication ou à la division graphique, puisqu’il s’agit de multiplier ou de diviser un certain nombre île fois par «. Du reste, le tracé peut s’exécuter d’un grand nombre de manières, suivant (pie l’on adopte l'un ou l'autre des différents types de tracés indiqués précédemment.

I. (Voir § 22, 1). On prend OE, tig. 35, égal à limité, et, sur la perpendiculaire en E, on détermine, par un are de cercle de rayon O .1, — le point A, . Sur OE on porte également O jB, = a, sur O 71, on élève eu lil une perpendiculaire, qui coupe, eu Aît la ligne O A, prolongée; ou a (I, §22) OAt = o*. En rabattant cette longueur en 01i% et en menant la

perpendiculaire 7>, A3, on obtient en OA3 la valeur aI. * 3 *, de même en OAt la valeur n*, en OA,, la valeur a5, etc. D’une manière générale, O correspondant à une puissance quelconque de a,

la tit°, par exemple, la perpendiculaire élevée en J!„ déterminera, sur OAt, le segment O Am + ,, qui sera la puissance wr 1 de a. Inversement, étant donnée une puissance quelconque de a, cïi

OAm + ,, la projection 01t„ de cette ligue sur OE représentera la valeur de « à une puissance moins élevée d’une unité que celle correspondant à 0Am t , (voir les règles de division 1, §23).

Reiileanx, le Couatructeur.