EQUILIBRE UES FORCES INTÉRIEURES

\je polygone funiculaire affecte des formes différentes suivant la position du point, choisi comme origine, sur la direction d’une des forces extérieures. Ainsi la figure 62 donne, en pointillé, denx autres formes de polygones funiculaires, équivalents

Fig. 64.

à celui qui est en traits pleins. Les côtés de ces nouveaux polygones sont respectivement parallèles à ceux du premier. Du reste, le problème, que nous nous sommes posé (relier les forces extérieures par un polygone articulé), comporte une seconde solution, en vertu de la remarque faite au § 34, problème I.

SSi l’on porte, lig. 65, les directions St.t et St.t, en sens

inverse, à partir Fig. 65.

des extrémités de P3, on obtient un nouveau polygone funiculaire, fig. 64, dont la forme diffère essentiellement de la précédente, comme l’indique d’ailleurs la figure, où l’on a reproduit le premier polygone à côté du second. A l’exception de celles des deux premiers côtés, qui restent les mêmes dans les denx polygones, les directions de tous les autres sont essentiel

Keuleanx, le ('* ms truc tour.

RÉSULTANTE d’|IN SYSTÈME DE FORCES.

lement différentes. On voit par là (pie, pour des t'ornes données, il est jwssible de construire le polygone articulé d’une infinité de manières.

Le polygone funiculaire, combiné avec le polygone des forces, constitue ce que l’on a nommé le plan graphique des forces. Dans certains cas, du reste, une seule des deux figures suffit pour donner la solution du problème que l’on a eu vue (voir § 4H).

Résultante d’nn système de forces, disposées d'une façon quelconque dans un plan.

.Si, dans un polygone funiculaire, fig. 66, on imagine deux des côtés coupés, A", KB et KlK,t, par exemple, et si l’on suppose appliquées aux points de section, et dans les deux sens, des forces de même grandeur que celles qui agissaient suivant ces côtés, l’équilibre ne se trouve pas détroit. Mais on voit

Fig. 66.

devenues maintenant forces extérieures, fait équilibre aux forces qui agissent sur le polygone, soit à droite, soit à gauche. La position de cette résultante s’obtient, en prolongeant les côtés jusqu’il leur intersection M, qui fournit un point par lequel elle doit passer. D’un antre côté, la grandeur et la direction de cette résultante sont données, dans le polygone des forces, fig. 67, par la diagonale 4 • 6 , qui réunit les extrémités des deux forces „ =06 et St.& =04. Cette diagonale représente, par conséquent, la résnl-

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE d’üN SYSTÈME DE FORCES. 99

tante des deux groupes de forces, qui comprennent, le premier Ps et Pe, le second P,, P3, P3 et P.. D’une manière générale, le point d’intersection, obtenu en prolongeant deux des côtés du polygone, appartient à la résultante de toutes les forces extérieures appliquées entre ces côtés; la grandeur et la direction de cette résultante sont données par le polygone des forces. Ce théorème est d’une application fréquente, comme nous le verrons plus loin. Si on renverse son énoncé, on en déduit le moyen de décomposer les forces, connaissant le polygone des forces et le polygone funiculaire. Ainsi, pour décomposer, par exemple, la force 4 - G en deux autres, P5 et Pe, de directions données, on trace ces dernières dans le polygone des forces; dans le polygone funiculaire, on mène une parallèle à l’une d’elles, P0 par exemple; cette ligne coupe la résultante 4-6 en un point N, par lequel il suffit de mener P5, parallèlement au côté 4 • 5 du polygone des forces. La position Ka N choisie ici n’a rien d’absolu ; on peut la faire glisser, parallèlement à elle même, sur M N, soit en avant, soit en arrière, sans modifier les conditions de l’équilibre.

Conditions d'équilibre de forces, disposées d’une façon quelconque dans un plan.

Dans les considérations précédentes, nous avons admis que les forces, dont nous voulions étudier l’équilibre, étaient disposées de telle sorte que cet équilibre existât réellement; on pourrait donc déjà, d’après la règle du paragraphe précédent, les ramener à deux forces égales et directement opposées; mais, pour qu’il en soit ainsi, il ne suffit pas toujours que le polygone des forces soit une figure fermée ; il faut , en même temps , que le polygone funiculaire ou articulé soit lui -même fermé; en d'autres tenues, la position des forces doit satisfaire à certaines conditions. Si la disposition des forces n’est pas convenable, le polygone funiculaire indique celle qu’on doit adopter, pour que l’équilibre puisse se produire et que le corps pe reste pas soumis, en dernière analyse, à l’action d’un couple (voir §38). Il faut, pour assurer ce résultat, que la position d’une des forces reste arbitraire.

100 CONDITIONS d’ÉQITUBRE o’iîN SYSTÈME DE FORC ES.

I. Soit P6, fig. CH, cette force, dont on connaît la grandeur et qui doit être parallèle à la direction Z Z. Après avoir tracé

Fig. G8.

le polygone des forces, fig. G!*, choisi un pôle 0 et tracé les rayons, allant de ce pôle aux divers sommets, de 1 à 6, on commence la construction dn polygone funiculaire, en menant K, Kt, Fig. 69. K. 2 K3, à'3 Kt respectivement parallèles à

1 0, 20, 30 jusqu’à ce qu’on soit arrivé à

Ks A' ; . La ligne, fermant le polygone funiculaire, doit être parallèle à 60, en même temps qu’elle doit passer par À",. Sa position est doue déterminée et son intersection À',; avec

À”,, Kk est un point de la force Pe, qui est d’ailleurs parallèle

Fig. 70.

COUPLES

Si la dernière force Pfi n’est déterminée, ni en direction, ni en grandeur et si, de plus, pour une des autres forces, on ne connaît que la direction et la position, on peut déterminer les éléments inconnus de la manière suivante.

II. Soit Fe , fig. 70, la force complètement inconnue et soit P, la force dont on connaît seulement la direction K, F\ et un point Kl. — Nous pouvons tracer le polygone des forces, fig. 71, entre les points 1 et 5, en nous bornant à figurer la direction A 1 de la force 1. On peut également tracer le polygone funiculaire, à partir de K,, au moyen des points Kt, Ks, Kt, Kb et K'h. Si maintenant on choisit une direction telle que K, L, par exemple, pour la ligne de fermeture, l’intersection Fig. 71. de cette ligne avec K,, K\ devra appar-

tenir à la force cherchée Pfi. Pour déterminer la grandeur et la direction de cette force, traçons, fig. 71, 06 parallèle à K, L, et joignons les points 5 et 6 , la ligne 5 • 6 donne la grandeur, le sens et la direction de la force P„, tandis que 61 fournit la grandeur, jusque-là indéterminée, de la force P,.

Couples.

Si une figure plane est uniquement soumise à . l’action de couples dirigés dans son plan, c’est-à-dire à l’action d’un système de forces, égales et parallèles deux à deux, mais de sens contraire, le polygone des forces se fermera toujours, sans qu’il en résulte nécessairement que l’équilibre existe. Pour ce cas des couples, les conditions de l’équilibre peuvent s’établir de la manière suivante:

Les forces P, P3 et Ps P4, fig. 72, forment un polygone fermé 1, 2, 3, 4, fig. 73, mais elles ne se font pas équilibre; elles tendent à faire tourner la figure, autour d’un de ses points, avec un moment statique égal à la somme des moments des couples (P, — Pg) et (Pa — P4). Pour rétablir l’équilibre, il faut introduire un couple, de sens opposé, (P6 — P6), dont le moment

COUPLES

soit égal à la somme des deux autres et dont les composantes soient dirigées suivant les lignes parallèles F F et VI VI.

Fig. 72- Fig. 73.

Traçons maintenant, à partir du point A, fig. 74, le polygone des forces Al, 2, 3, 4 avec les couples donnés; ce polygone doit être complété par l’adjonction des forces 5 et 6; si l’on fait partir l’une de ces forces du point A, l’autre doit revenir passer par le même point et, de plus, recouvrir exactement la première. 11 suit de là d’abord, comme nous l’avons, du reste, admis précédemment, que ces deux forces doivent être égales, parallèles et de sens contraires et que, par conséquent,

Fig. 74. Fig. 75.

COUPLES

il n’y a qu’on couple qui soit capable d’équilibrer les couples donnés, du moment où, pour produire l’équilibre, on ne veut introduire dans le système que deux forces nouvelles. La grandeur des composantes du couple additionnel n’est pas connue, mais il n’en est pas de même de leur direction, que nous pouvons porter suivant A Z. .Si nous choisissons, de plus, un pôle arbitraire O, nous pourrons mener les rayons OA, Ol, 02, 03, 04 (= 0.1) et procéder, par suite, au tracé du polygone funiculaire, fig. 75.

A cet effet, remarquons (pie la fig. 72 nous donne les directions II, II II, etc., jusqu’à VI VI. Par un point quelconque Ki} pris sur II, menons des parallèles aux rayons OA et Ol, (qui ont pour résultante la force P,), jusqu’à leur intersection, en Ke, avec VI VI et, en Kt, avec IIII. Traçons ensuite K3 parallèle à 2 0, K, Kt parallèle à 03, enfin Ki Kb parallèle à 04, qui coupent les lignes III III, IV IV et VV, respectivement en Ka, Kg et K,t. — Il ne reste plus alors à tracer que la ligne de fermeture du polygone funiculaire et il suffit, pour cela, de joindre le point Kb au point K,., obtenu précédemment. Le tracé de cette ligne permet de mener le rayon polaire 05, qui doit lui être parallèle (v. § 37, II), et de fermer, par suite» le polygone des forces. La force Pa se trouve alors représentée, en grandeur et en direction , par la ligne 4 • 5 (= A 5) et la force P„ par la ligne 5 A. Quant au polygone lui même, il est donné par le tracé Al, 2 , 3, 4 , 5 A, dans lequel les deux côtés 4, 5 et b A doivent être considérés comme formant un angle infiniment petit au sommet 5.

I^es problèmes traités jusqu’ici, sur le polygone des forces et le polygone funiculaire, montrent comment, pour les forces agissant dans un plan, l’addition et la soustraction géométriques permettent de déterminer les conditions d’équilibre de forces divergentes quelconques. Si les forces agissent dans des plans différents, qui se coupent ou qui sont parallèles, les règles données permettent d’établir séparément l’équilibre, pour chaque plan, et les résultats qu’on obtient ainsi peuvent souvent se simplifier, comme on en verra des exemples plus loin. — Pour le moment, nous cesserons de nous occuper (les principes généraux, pour aborder de suite l’application du calcul graphique aux forces parallèles.