II. Avec les forces données, Qtt (fig. 93), on

forme un polygone des forces, en portant, à partir du point A, les forces en A 1 , 2, 3, 4, 5, 6. I^i résultante Q se trouve immédiatement déterminée, en grandeur, par la longueur CA,

mais il reste à fixer sa position. A cet effet, on prend comme {aile, en dehors de Ab, un point quelconque O, on joint OA, Ol, 02, O 3 .... 06, puis on mène bll, bc, cd g g', respectivement parallèles à AO, 1 0, 2 0 0 6. La ligne g g (voir

§35) coupe b b' en un point q, qui appartient à la direction de la résultante Q.

En se reportant aux développements du § 36, on voit que la figure, ainsi obtenue, permet d’obtenir très facilement la résultante de deux ou de plusieurs forces successives. Ainsi le point d’intersection c de de et de bq donne le point d’application de la résultante de Q, et y,, qui est représentée par A 2 dans le

polygone des forces. De même e est le point d’application de la résultante de Qt et de. Q&.

Décomposition de forces eu deux ou plusieurs forces parallèles.

La décomposition de forces en forces parallèles, à l’aide du polygone funiculaire, constitue le problème inverse du précédent. Si, dans ce polygone aqhcd, fig. 94, on connaît le côté correspondant à une force Ç, et si on veut décomposer cette force

en deux autres et <?s , on réunit les points d’intersection c

et f des directions de Q, et Qt avec les côtés aq et b q-, aefb , tig. 94, est alors la partie du polygone funiculaire, qui correspond aux nouvelles forces, dont la grandeur se détermine, en menant 0 1 parallèle à ef, dans le polygone des forces. Si les forces

cherchées Q , et sont situées d’un même côté de Q, fig. 95,

le procédé reste le même. 11 suffit de prolonger aq jusqu'à sa rencontre, en c, avec et de mener ef. On peut également utiliser l'intersection de Q, avec qb et de Qt avec q a. Le polygone prend alors la forme a n f' b. Le polygone des forces donne, dans le premier cas, Qt ■= A 1, «= 1 • 2, dans le second, A t' <■=

% et l'2 = Çt.

Si la pièce A G, soumise à l’action de charges parallèles <A, Q, •••• <à, doit être maintenue par deux forces 1\ et 1\,

Fig. 94. Fig. 95.

appliquées en A et G, fig. 9 G , on pourrait, pour déterminer ces forces, chercher d’abord la résultante Q des diverses charges, comme au S 40, et, au moyeu de la méthode précédente, décomposer cette force Q en deux antres jP, et Pt. Mais on peut

se dispenser de déterminer Q, attendu qu’on connaît les directions de Pt et Pît ainsi que celle de leur résultante (voir § 37).

Fig. %.

On forme le polygone des forces Kl, 2 ... 5 O, on trace tous les rayons j Hilaires et leurs parallèles, dans le polygone funiculaire, et on joint les points d’intersection a et g des côtes de ce dernier polygone , parallèles à KO et O 5, avec les directions des forces Pj et P,; la ligne a g ferme le polygone funiculaire et la parallèle 06, dans le polygone des forces, donne P, =5-6 et P, ■=6-7. Si, au lieu de prendre les points d’intersection a et g, on s’était servi , comme on pouvait le faire, des deux autres points a et g, la solution eut été la même, car les deux lignes a g et a g sont parallèles. Le polygone funiculaire eût alors présenté la forme a g' mbedefma, le point m appartenant à la direction de la résultante des forces Qlt Q3 • • • • Qbj qui est également celle de la résultante de P, et de P,.

Lorsqu’une pièce chargée doit reposer sur un nombre d’appuis égal ou supérieur à trois, ces appuis doivent, en tenant compte de la question de résistance de la pièce, être disposés à des hauteurs rigoureusement déterminées, pour qu’on puisse trouver la valeur de la réaction exercée par chacun d’eux. Sans cela, le problème reste indéterminé. Toutefois, l’indétermination peut être levée par l’introduction de supports intermédiaires. Supposons, par exemple, qu’une pièce AB CD, fig. 97, soumise à une charge Q, en M, doive être équilibrée par 3 forces verticales P,, Pj, P„, appliquées aux points B, C et D; on peut

d’abord faire une hypothèse sur le rapport de deux de ces forces, ]\ et Pt , par exemple. Ces forces peuvent être considérées

comme appliquées si un support intermédiaire 7i, (\ , sur lequel reposerait la première pièce, en EE1. Le rapport E1Cl:EiBl doit être alors égal au rapport admis P, : P,. On peut, dans ce cas , répartir Q entre les appuis E et D, à l’aide du polygone des forces emd et du polygone funiculaire AO 1.2. On .a alors: A. 1 = Q, 1 . 2 = P8 , 2 A — P, + P, et cette dernière somme peut se répartir elle - même entre P, et (\ , à l'aide de l’une quelconque des méthodes connues. Chaque hypothèse spép

eiale sur le rapport ' donnera lieu à une valeur différente de ' *

Pa. Si l’on s'impose la condition que P, = P, , E tombe au milieu de BC et le support intermédiaire a alors ses deux bras égaux. Les ressorts à lames, dans les wagons et les autres voitures, sont des supports intermédiaires à bras égaux. Dans certaines voitures de luxe, on trouve également des supports à bras inégaux. Ce sont aussi ceux dont on fait généralement usage dans la plupart des balances - bascules.

Si une charge doit être répartie, sur plus «le trois ou quatre points, le problème peut se résoudre par une combinaison convenable de supports intermédiaires. Telle est, par exemple, la solution adoptée pour les locomotives. Etant donnée la charge totale Q d’un châssis de locomotive, supposons qu’on veuille la répartir sur les trois axes B, C, I), de telle sorte que les charges en B et C soient dans le rapport de 3 k 2 ; d’après la position assignée aux roues et les longueurs adoptées pour les ressorts b, bt , c, c,, «i, d,, on connait, en définitive, les longueurs des trois supports intermédiaires; si, on admet, en outre, que la pièce, chargée de répartir la charge entre les axes B et C, doive être exactement

comprise entre les verticales menées par les points et e, , on connaît, par cela même, la longueur bc du quatrième support, qui

2 : 3. On trace alors le polygone funiculaire c m il, en même temps que le polygone des forces, ce qui permet de déterminer chacune des charges partielles. Si, plus tard, le répartition de la charge totale, admise à l’origine, a besoin d’être modifiée, on peut y arriver, dans une certaine mesure, en changeant les longueurs de bx h3 et c, c, ; mais la condition essentielle, qu’on doit chercher à réaliser, avant tout, c’est que la résultante Q de tontes les charges se trouve convenablement placée. Les ressorts, qui agissent comme supports intermédiaires, doivent être calculés d’après les charges qu’ils sont appelés à supporter et ils doivent être ensuite réglés, au moyen des boulons de suspension, de telle sorte que la répartition des charges arrive à être exactement la même que pour des supports fixes.

Forces parallèles uniformément réparties.

Si une pièce est soumise à une charge uniformément répartie, on ne peut plus recourir aux méthodes précédentes pour tracer le polygone funiculaire et celui des forces. Dans ce cas , en effet, le polygone funiculaire devient une courbe, pour la détermination de laquelle il est nécessaire de recourir à un autre procédé; ou peut y arriver de la manière suivante. Imaginons d'abord