MOMENTS DK TOK8ION

j'i produire une flexion, nous pouvons construire, connue précédemment, le polygone des forces A 0 2 et, la surface des moments

Fig. 103.

AheD. Si le corps, entre B et C, est soumis, en outre, à un effort de torsion P, dont le bras de levier soit II, nous aurons à déterminer la surface de moment correspondante. D'après le §43 et la règle de multiplication du §22, I, pour obtenir la ligne représentative de PR, nous devons porter d’abord P, île A en p, dans le polygone des forces, et joindre Op; en menant, parallèlement à A p, une ligne qui soit à une distance II du point O, les deux rayons polaires OA et Op prolongés déterminent, sur cette ligne, une longueur qr, qui donne le moment PII, exprimé avec l’unité OE, qui a déjà servi pour le polygone Abc P. La surface des moments pour la torsion, entre li et C, se trouve dès -lors représentée par le rectangle BCuv, dans lequel Bu ^ Ce = qr. Ordinairement, dans les problèmes pratiques, ce rectangle de torsion doit être comparé et rapporté aux moments des forces de flexion, qui agissent simultanément, et il convient, dès lors, de le remplacer par un moment de flexion équivalent, c’est-à-dire correspondant à la même sécurité pour la pièce. Or, d’après le § 18, ce moment de flexion doit être égal à s/g du moment de torsion. Si donc on prend Bu, = Ct\ = % R ui rectangle Bu, r, C qu’on obtient représente, à la même échelle que le polygone AbcD, la surface des moments fléchissants, susceptibles de remplacer les moments de torsion entre B et C.

Si les moments fléchissants, ainsi obtenus, doivent être combinés avec les autres moments fléchissants, il suffit d'effectuer une addition graphique des deux snrfaces, ponr arriver au résultat précédemment fourni par les formules du § 18. — D’après ces formules, le moment idéal de flexion M;, qui, en chaque

DÉTERMINATION DU CENTRE DE GRAVITÉ

point , peut être substitué au moment de torsion M, et au moment de flexion M/, a pour expression:

Mx - »le.Mf + */, yMS + M*

Pour représenter cette valeur, prenons il//, — % Bb, Cct ^ 6/g Ce, Ee , = 6/„ Ee etc., rabattons But, Cv1} Ewv sur AD et additionnons les hypothénuscs e, ' t>, et c, «?', respective-

ment avec les ligues bblt cc, etec,. Les sommes, ainsi obtenues, représentent les grandeurs des ordonnées , aux points il, C et E du polygone funiculaire idéal Bbb'cccD , correspondant à l'ensemble de toutes les actions auxquelles le corps se trouve soumis.

Déterminât ion du centre de gravité au moyen du plan

des forces.

La détermination du centre de gravité d'une surface plane peut s’effectuer, souvent d’une manière très simple, à l’aide du plan des forces. A eet effet, on commence par diviser la figure en tranches minces d’égale largeur, de telle sorte que la surlace de chaque tranche puisse être considérée comme proportionnelle à sa longueur moyenne. Si, avec ces différentes longueurs, on construit un polygone des forces et un polygone funiculaire, la direction de la résultante fournira une ligne passant par le centre de gravité. Si la figure n’a pas d’axe de symétrie, le tracé précédent devra être répété , en adoptant une antre direction pour les tranehes; on obtiendra ainsi une seconde ligne qui, par son intersection avec la première, déterminera la position du centre de gravité. Dans certains cas, au lieu de tranches minces, on peut faire usage de surfaces d’une certaine dimension , déterminer leurs mesures, d’une manière quelconque, et utiliser ces dernières dans le tracé graphique.

Supposons, par exemple, qu’on ait à déterminer le centre de gravité d’une section dont la forme soit celle de la fig. 104. La figure étant symétrique par rapport à l’axe Y Y, le centre de gravité doit déjà se trouver sur eette ligne. Décomposons maintenant cette figure en trois rectangles, dont les surfaces, représentées respectivement par b x e, bt x c, et b, x g, ont leurs centres de gravité en leurs points milieux. Si on suppose qu’on ait c «=* 1, 5 b, , c, = 6, , les forces, correspondant aux surfaces

DÉTERMINATION lllt CENTRE DE GRAVITÉ.

precedentes, peuvent être exprimées par 1,5 x t), ( et ^ et

portées, à la suite les unes des antres, en A 12 3. Si nous choisissons un pôle O et si nous menons les lignes À', ' K, , K, Kt,

Fig. 101.

Kt Ka , K., Kj ' respectivement parallèles à OA, 0 1, 02 et 03, 1e. point d’intersection M des eôtés K, K, et K3K3' est un point de l’axe vertical M M', passant par le centre de gravité cherché. Ce point S se trouve donc déterminé par la rencontre de cette ligne avec l’axe de symétrie YY.

Résultante des actions de l’eau dans nue roue hydraulique.

Dans l’étude d’une roue hydraulique , il est souvent essentiel de connaître la position de la résultante des actions exercées par l’eau; elle peut se déterminer facilement à l’aide des principes (jue nous venons d’exposer et que nous allons appliquer, comme exemple, à une roue à augets.

Si nous représentons en coupe, tig. 105, la moitié d’une roue de cette espèce, le troisième auget, à partir du haut, reçoit l’eau motrice et se remplit d’une certaine fraction de son volume, fraction qui varie avec certaines circonstances de l’installation, telles que la forme de l’auget, la vitesse de rotation, etc. Si nous admettons que, dans le mouvement de descente, le niveau

DÉTERMINATION DU CENTRE DE GRAVITÉ

de l'eau dans chaque auget reste horizontal (ce qui n’est pas rigoureusement vrai), il est facile de déterminer la position de l’augct, pour laquelle l’eau commencerait à en sortir, si le coursier KL ne venait pas s’y opposer. Si, de plus, nous négligeons les pertes d’eau, ducs au jeu qui existe entre ce coursier et la roue, tous les augets, depuis le troisième jusqu’au dixième inclusivement (le nombre des augets pour la moitié de la roue étant supposé égal à dix), contiendront la même quantité d’eau et, dans chacun d’eux, le poids de cette eau sera naturellement appliqué au centre de gravité du prisme liquide correspondant. Nous admettrons d’ailleurs que, dans la position de la figure, l’auget XI soit déjà vidé.

I. Détermination de la longueur de l’arc du coursier KL. La capacité d’un auget est évidemment équivalente à celle de la partie de la couronne, comprise entre les deux plans menés par l’axe de la roue et par les lignes de division des fonds de deux augets voisins. Supposons maintenant que le coefficient de remplissage soit 0,4, c’est-à-dire que chaque auget reçoive une quantité d’eau égale aux deux - cinquièmes du volume que nous venons de définir. Si, dans l’augct 1, nous prenons l’arc kl égal à 0,4 de la division et si nous menons le rayon lin, la section klmn sera équivalente au profil que présentera l’eau dans l’auget. Pour l’auget II , cette section se trouve remplacée par le quadrilatère équivalent rput , dont un sommet t coïncide avec l’extrémité de la palette rt. L’angle k t u représente la valeur cherchée de l’angle KML du coursier et utM le complément KM N de cet angle.

La transformation du profil klmn en quadrilatère s’effectue de la manière suivante: on construit d'abord le triangle rectangle opq, en prenant le côté op égal à la largeur moyenne de klmn et le second côté pq=* 2 • Im ; de ce triangle on passe ensuite au triangle équivalent rp s , en menant os parallèle à rq et en joignant les points r et s (v. § 25). Si maintenant on mène la ligue st et sa parallèle ru, il suffit de joindre les points u et t, pour obtenir le quadrilatère cherché rput (l’arc p u, vu sa faible courbure, pouvant être considéré comme une droite). On prend ensuite l’angle KMN égal à ut 31 et on prolonge le coursier d’une certaine longueur KJ, pour tenir compte des remous de l’eau.

II. Détermination du niveau de l’eau dans les différents augets. Nous allons d'abord effectuer le tracé

DÉTERMINATION DU CENTRE DE ORAVTTÉ

Fig. 105.

DÉTERMINATION DU CENTRE DE GRAVITÉ

pour l'auget IV. À cct effet, on commence par reporter sur cet auget le quadrilatère rput, puis, par l’extrémité t', on trace une ligne arbitraire t’v, à laquelle on mène une parallèle nie j»ar le point u ; en faisant varier la direction de t'v, on finit, après quelques tâtonnements, par obtenir une ligne vw horizontale, qui donne, dans ce cas, le niveau cherché. C’est ainsi qu’on a déterminé la ligne indiquée sur la figure, de même qne les lignes analogues pour les augets V, VI et VII.

Dans l’auget III, la figure rput a d’abord été transformée en un second qnadrilatère, ayant pour côté supérieur px, puis ce quadrilatère a été remplacé lui -même par un pentagone, dont le côté supérieur horizontal est y z.

Pour l’auget VIII, on a employé une troisième méthode: le quadrilatère primitif rput transformé a donné d’abord la figure terminée par la ligne /), xl , puis celle qui est limitée par le côté horizontal y, z, . On a procédé de la même manière pour les augets IX et X.

111. Plan des forces pour les volumes d’eau des augets. On commence par déterminer les centres de gravité A, B — I! des huit augets pleins, en faisant usage des règles données dans la IV* scetion de cet ouvrage. Les huit forces égales, qu’on obtient ainsi, permettent de tracer d’abord le polygone des forces A O H, puis le polygone funiculaire dbeafghi. la; point i appartient â la direction de la résultante de tontes les forces partielles. On peut remarquer, sur le dessin, que les centres de gravité C et D se trouvant sur des verticales très rapprochées, on peut composer les deux forces qui y sont appliquées et mener id et dti, respectivement parallèles à OA et 02, sans avoir licsoin de tracer une parallèle k 0 1.

Il est facile maintenant de trouver le centre de gravité réel de tons les prismes liquides. Après avoir mené des horizontales par les points A, B, C .... supposons qu’on fasse tourner de 90® le jKilygone des forces A Oü et tonnons, avec les parallèles aux nouveaux rayons polaires, un second polygone funiculaire ou, ce <pii conduit au même résultat d'une manière plus simple, menons les côtés de ce polygone normaux aux rayons polaires de A 0 8 ; nous obtiendrons ainsi le second polygone funiculaire db'cdc'f— * . Le centre de gravité cherché doit se trouver sur l'horizontale menée par le point i'; il sera donc, en définitive, déterminé par l'intersection de cette ligue avec la verticale menée par le point i