II. Proccdr abri^ijô (PoiurJrJ). Fig. 15d. Sur le cercle

primitif 7',, on détermine les points s^, qui doivent

venir co'incidcr, avec les points s, t, u, r... de l’autre (cercle T; si des points etc., comme centres, avec les longueurs

des normales à la courbe donnée, va, uv etc., on décrit des arcs de cercle, il suffit de tracer une courbe continue, tangente à tous ces arcs, pour obtenir le profil cherché. IjCS points s, f, H, V ... doivent être pris suffisamment rapprochés les uns des autres.

Si, dans les deux procédés diftéreiits ipie nous venons d’indiquer, ou porte, à partir des points .s,, t,, u,... les longueurs des normales vu, ne... en sens inverse, on obtient pour la roue O, T,, un profil de dent correspondant à l’hypothèse ou la denture est intérieure.

III. Second j>roa’(îr (rtculeunr). Fig. 151. On donne, comme précédemment, le profil aheSde et les deux cercles primitifs T et T,. On mène les normales al, I»2, c:}...; par les points a, h, c... on décrit, du point O, des arcs de cercle, sur lesquels on prend des points I, II, III..., tels que SI = ol, «S'il = 5‘i, SIII = c;t . . . etc. et on trace la ('ourbe passant par ces points I, 11, III, IV, V...; cette courbe, qu’on désigne sous le nom de ligne d’engrènement, est le lieu géoméââque des points

Fig. 4.51. Fig. 452.

E.\<ilU-:NKMKNT DES DENTS.

de contact des dents, c’est-à-dire ejue le contact a lieu aux points a, h, c... du profil donné, lorsque ces points se trouvent dans les positions I, II, III... Si maintenant, du point on décrit des arcs de cercle p:Lssant par les points I, II, IIl..., que sur 1\ on prenne les arcs 6'l', S 2', égaux aux arcs S\,'

S '2, S 2... et qu’on lasse, en outre, l'«, = in, 2' h, =»2l/, ;j'c, = 2c..., la courbe continue «, h, c,..., qu’on obtient en réunissant les ])oints a,, b,, c, . . . ainsi déterminés, représente le profil cherché. Ce procédé, qui est plus simple tpic celui du n“. 1, est au moins aussi exact et il a, de plus, l’avantiigc de donner lu ligne d’engrènement (v. le paragraphe suivant).

Profil thcoriqtw de la partie inférieare de.‘> dciU$. Fig. 4.ô2. 11 arrive souvent que , i)our donner au pied de la dent une résistance sut'fisante, on est obligé de le renforcer de chaque côté j)ar un congé, qui vient occuper une partie du vide; il est bien évident d’ailleurs (pie ce congé doit être disposé de manière à se trouver en dehors du chemin décrit par l’arête de la dent de la seconde roue et (pii peut se déterminer de la inanièrç suivante. Soient aSh et a, S b, les jirofils des dents des roues T et T,, tf, «J le prolongement du profil du jiicd de la sc('onde (lent, IiS’II la ligne d’(;ngrèn('ment, limitée par les cercles de tête K et A',. A jiartir du point A’, prenons, sur les cercles T et 2’,, des longueurs d’arcs, respectivement égales, <S’ 1, 12, 2 2... Si', l'2', 2':$'... et, avec des ouvertures de compas, successivement égales aux droites Sa, la, 2a, 2a... décrivons, des points l', 2', (les arcs de cercle, l’enveloppe aa,(j de fes cêrclcB

déterminera ce (pi’on a|ipelle le .profil Ibéoriiiuc de la base de la dent, auquel on substitue, eu réalité, le jirofil n,f,, qui lui est tangent en S et ipii vient se raccorder avec le cercle lioiitc F,. Le jirofil théori(pie est une courla! eycloïdale allongée ou raccourcie (v. g 19D); dans la ligure, où le cercle T se réduit à une ligne droite (crémaillère), cette courbe est une portion de dévelop|iantc (v. g lO.â).

De reiigrènemeiit di's dents.

Le troi.sième des procédés que nous venoi s d’indiquer permet (le déterminer, non seulement le profil des dents, mais encore la ligne d’engrenemeut de deux roues (jui se commaiident mutuellc-

KNfilti-ÿNKMKNT DÛS DENTS.

meut; [lonr comi)lètcr cette question de la denture, nous devons ajouter ici quelques observations assez inq)ortantes.

I^a li;;n>e d’eii{;rèncnient passe par le point d'interseetion du i)rofil de eliaqiic dent avec le cercle priniitit' et elle rencontre ce profil A anurie droit, c’est-à-dire que la tangente N N à cette ligne est normale, en S, au profil de la dent. A chaque point de la ligne d’engrùnenient correspond un contact de dents et, par suite, nn point de conUict sur chacun des cercles primitifs; ainsi, par exemple, au point II de cette ligne, correspondent les points 2 et 2' sur 7’ et T^. La longueur de l’are du cercle primitif, compris entre le j)oint de rencontre de ce cercle avec la ligne d’engrènement et le |K)int de contact sur ce même cercle, cor-’ respondant à un point quelconque de eette ligne, se nomme le cercle de roulement jwur le point d'engrènement considéré. Ainsi, iS'2 et S‘2‘ représentent resj)cctivcmcnt, sur les cercles T et 7’,, les arcs de roulement correspondant au point d’engrènement II.

La somme des arcs de roulement, pour les points d’engrènement les plus éloignés (iS -f .S’ 5 ou l'S -f *Sf5'), constitue , ce qu’on appelle l’are d’engrènement; sa longueur, exprimée en nombre de pas, représente la durée de rengrènement des dents considérées, qu’il est facile i<â de déterminer gra])liiquement. Cetto durée dépend de la^ longueur de la j)artic utilisée de la ligne d’engrènement. Comme la longueur du pied de la dent doit être augmentée par suite de l’addition d’un congé et de la nécessité de donner un passage suffisant à la tête de la dent de l’autre roue, il en résulte «pie, dans les roues ordinaires, cette partie utilisée (V-I) se trouve limitée par les cercles de tête K et K,.

Dans une roue, à un profil de dent donné, .sur un cercle primitif connu, corrcsiiond une seule ligne d’engrènement et, réciproquement, pour une ligne d’engrènement donnée, il n’existe qu’un seul profil de dent satisfaisant. Ce jirofil ne peut d’ailleurs se déterminer, à l’aide de l’autre ligne, que dans le cas où l’on connaît les arcs de roulement, corrcspondiuit aux iliffércnts points de cette ligne,;, lorsqu’il en est ainsi, le profil de la dent peut se tracer facilement et ,1e prol)lèmc se réduit alors à celui que nous avons résolu, à l’aide du ’pimédé indiqué à la fin «lu j)aragraphe précédent.

Dans les pr«;)fils qui a])partiennent au genre eycloïdal,. l’arc de roulement est précisément égal à la longueur de l’eugrènc-

coiiUiiKS (;y(:i/iiriAJ.E.s.

ment; les dents de cette espèce présentent doue une siniplieitê tente spèciale, an point de vue de leurs propriétés fcéoinétriques.

Dans les roues ilentées, <iui se eoniniandent eonvenableincnt, les lignes d’enfcréneincnt sont eonjrruentcs et les ares <le roulement |)our les points lminolo;;ues de ces li;rnes sont d’épde Ion fcueur. Kn satisfaisant à cette condition, on peut construii-c un nondire iniléterminé de roues, destinées à engréner avec une roue donnée.

Ix:s roues de ce genre sont ce cpie nous avons appelé des roues harmoniques (v. § IHl), lorsque la ligne commune d’engrénemeut a une forme telle, qu’elle soit divisée eu deux ])artics copgruentcs, non seulement par le cercle primitif, mais encore par le rayon de son point d’intersection avec ce cercle.

Dans toutes les roues liannoniqiies, engrènant avec une crémaillère, les deux parties du prolit, au-dessus et au-de.ssons du cercle primitif, sont congruentes.

Si, par le point d'intersection de la ligne d’engrènement avec le cercle primitif, on mène un rayon ahoutissant à un autre point quelconque de cette ligne (SI, par ex. fig. lf>l), ce rayon donne la direction et le jioint d’application de ta [iression exercée sur la dent, jiour le point d’engrènement considéré, l’our que cette pression, qui tend à écarter les axes des deux roues, ne soit pas tro]) considérable, il convient que sa directitni ne fasse j)as un angle trop faible avec la ligne <les centres.

f ourbes deerifes par un point d'un cercle roulant.

Ia’s courbes, décrites par le roulement d’un cercle, sont celles (pli se prêtent le mieux aux tracés des dents des roues harmoniques on, plus particulièrement, aux tracés de dents, pour lesquels on tient à déterminer d’avance les i)ropriétés géométriques, v Lorsqu’un cercle roule sur un autre cercle, sans glisser, cha(|uc jmint d’un rayon de ce cercle décrit une courbe (pi’on désigne sous les noms de eycloïde, sinqjlc, allongée ou rac<'ourcie, suivant que le jmint décrivant se trouve sur la eireonfércncc meme du cercle roulant, sur le j)rolongement du rayon ou à l'intérieur.

f:ftuKBF» (:r<;i,nu)Ai.KS.

cerrlc fixe est le cercle directeur de la courbe et nous désijçueroiis HOU rayon par /i; le cercle mobile, de rayon r, est le cercle (lénérateur ou de roulenmd. Dans le cas où l’un des deux cercles est intérieur à l’autre, son rayon conserve le sif^ie +, bindis qu’on affecte le second du signe — ; avec eette convention, on j)eut diviser en cinq classes distinctes les courl)cs obtenues par les dill'ércntes eonibinaisons de II et r, ainsi que de leurs signes.

, Cercle directeur.

Cercle de roulement.

Courbes correspondantes. 1

Epicffcloïde.