tl 3 LU

Le signe 1 correspond au rayon de courbure CB (g„) de l’arc d’épicyclo'ide et le signe — au ra3on de courbure T, B, (ÿi) de l’arc d'iiypoc-yeloïde. La pied de la dent doit d’ailleurs, comme nous l’avctns vu, être raccordé par un congé avec la couronne de la roue.

Kuulesux. le C»n«tructear. *28

DENTIIKES A FEAN(’S DROITS.

1“' Exemple. En miiposant (S3, l = .30, on oltient, pour le rayon de courbure de tare d'épicycldide: n„ — ,30 0,45 30 0,-i.ô i^^

- 0,S33:30, ou, tris-approximolirement, JJ5“" ; de même, on a, ]mur le rayon de cmtrbtirc de l'<irc intérieur: (i. — 30 0,45 ^ — 30-0,45-

mm

2“ E.vemple. On donne A — H , ~ — JO. On a alors; oa —

10 ■ 1,43 et ^li = 10' 1,43 y- = ..kj, c est-a-dtre que,

lUms ce cas, les flancs se comjstsenl de simjdes lùfnes droites, tracées par le centre de la roue.

.3” Exemple. On donne ^ =s= ~, < = .50. On a: <ja = 50-0,45 — 50 0,45j^ — 31""“,3, (m, en tutmhre rond, 31“"“. On trouve en.suite.

pour le rayon de tare intériettr: pj = 50 0,45- ~zZJj — — 50-0.45. ^ =

— 30-0,33~5=“ — J7“"“ ajqnroximatireinent. Dans ce cas les flancs delà dent se trouvent disposés comme t indique la fiy. 453 (§ l'H).

Remarque. Lorsque le nombre des dents est inférieur à 15, il est préférable de reeourir an tracé exact indiqué dans le §191, car, dans ce cas, la fonne a])proxiniative que fournirait le tracé par arcs de cercle ne donnerait pas une inarcbe sutlisaninient régulière.

Denture à Hant's droits.

Ia; tracé des tiancs droits est un cas simple du tracé des cycloïdes; les roues qu’on obtient de cette manière sont des roues non harmoniques (v. § 1H4); ce genre de tracé convient spécialement pour les engrenages coniques, puisqu’il conduit, dans ce cas, i\ adopter, pour les flancs des dents de Imis, des surfaces planes qui sont, à tous égards, les plus avantageuses pour cette matière.

I. Roues engrènatU exti'rieurcmcnf. Fig. 457. .Soient 3 Itî nombre des dents, R le rayon de la roue à dents de bois, 3i et Jt, les données correspondantes j)our lu roue à dents de foute, t le pas, k et f, k, et f\ les longueurs de tête et de pied des dents pour les deux roues, W le cercle de roulement, qui engendre le profil des dents de la roue /<, . Un doit prendre

OKNTtlIîKS A IT-ANrS IlIiOITS.

It

0,1/, /’= 0,6/, k, = <*,5/, fl = 0,2/ et l’éimisscur des dents, 1!)

pour les deux rmies, éfriilc à jW. Le profil aSi de la dent à

tlanc.s droits se eoni])osc de la droite Si, dirigée suivant un rayon du eercle 0 et d'un (piart d’are de cercle Sa, dont le rayon est

égal à L’arc S h, étant j)ris égal à l’arc h, a,. Sa, représente un arc d’épicyeloïdc, engendré par le roulciucnt du cercle W sur le cercle 7’, ; l’arc a, S est prolongé par une portion de droite Si,, qui se raccorde par un congé avec l’arc de la roue; reiiseinblc de ces deux lignes a, S et S i, , ou a, S », , donne le profil de la dent à tlancs courbes.

Kig, 457

II. ItoHcs à mgrhicimnt inimeur. Fig. 4.58. La roue à denture intérieure is>rte les dents courbes en fonte; sou rayon est I{, et le nombre des dents 3i j po*"’ lîi seconde roue, le nombre des dents est 3 et le rayon R ; le cercle générateur W a Ji

pour rayon c;uant aux longueurs de la tête et du pied de

chaque dent, elles ont les mêmes expressions que précédemment. Le profil de la dent en bois est la droite aSi, qui est légèrement arrondie à la partie supérieure; le profil de la dent en fonte est a,Si,, qui se compose de l’arc d’bypoc3’cloïdc «,S, engendré par le roulement de IF sur 7\ et de la partie de raccordement Si,.

DENTIIUKS A FlTSEAliX.

Si on voulait mettre les dents flancs droits sur la roue à denture intérieure, il l'audrait adopter, pour le profil des dents de l’autre roue, un arc de jiéricycloïde , cnf;endré par le roulement, sur le cercle primitil' de cette roue, d’un cercle générateur, dont le rayon serait le moitié de celui de la première roue. Au point de vue de l’exécution, les i'omics de dents ainsi obtenues seraient moins avantageuses que celles ibunûcs jiar la méthode précédente.

Dans le tracé i)ar flancs droit.s, pour la denture d’une crémaillère et de son pignon, on peut opérer de deux manières: prendre infini, eu conservant pour li une valeur finie; dans ce cas, le profil des dents du pignon serait fonné de lignes droites, tandis que celui des dents de la crémaillère se composerait d’arcs de eycloïde ordinaire; si, au contraire, on ])renait Il infini, Il^ eonscn’ant une valeur finie, la crémaillère aurait des dents à lianes droits, tandis cpic colles du |tignon seraient l'ormécs par des dévehi))pantcs de cercle.

Dans le tracé (lar flancs droits, la ligne d’engrènement

coïncide avec le cercle générateur

la longueur de l’arc

d’engrènement est égale à l’arc \ n, ; enfin la durée de l’eugrènement r. est comprise entre 1,7 et 3,7. Quand les deux

profils de la dent à flancs courbes viennent à se couper, avant de rencontrer le cercle de tête, cette dent n’est admissible qu’il la condition (pie f reste plus grand (pie 1 ; dans le cas contraire, il eonviciit d’augmenter le nombre des dents.

Dentures fuseaux. Dentures mixti's.

Un utilise encore assez souvent le tnicé par lignes droites, en munissant les deux roues de dents, dont le pied est fonné de flancs droits et la tête de flancs courbes. Mais les dents qu’on obtient ainsi ne jouissent pas de la propriété d’engrener rigoiirciiscmcnt l’iinc avec l’autre et, pour ce motif, ne doivent pas être admises dans la eonstruetion ordinaire des macliines. Il n’y a guère (|ue les engrenages d’horlogerie pour lesquels on puisse, à la rigueur, conserver cette méthode de tracé, par ee qu’elle permet h la fois de tailler facilement les vides à la lime et d’employer des roues d’un jietit nombre de dents.

OKNTl'UKS A Fi;siiALX.

iSi on prend le diamètre du cerele générateur supérieur d’une ticrtainc tVaetion au rayon du cerele ])riinitir correspondant, on obtient des dentures (pii sont ene-ore d’une exécution possible, mais ((ui, en pratique, ne sont admissibles que pour des cas tout particulicre.

Lors([u’on prend, pour cercle générateur, le cercle primitif d’une des deux roues, on obtient, pour le ])rofil des dents de la roue correspondant au cercle prindtif sur lequel il roule, des ares d’épicycloïde, tandis que, jinur l’autre roue, le prolil des dents se réduit i\ un point. C’est dans ce genre de tracés que rentrent les engrenages à fuseaux.

Eiujrvuwjrs cxtcricurx à f'iismiw. Fig. 45'J. Du ])oint auquel se réduit le prolil de la dent de la roue lî, on décrit,

avec - i jiour rayon, un cercle, qui donne le prolil du fuseau

correspondant à ce jioint. Quant au profil de la dent sur la roue ii, , il est fonné par une courbe parallèle (ou équidistante) à l’arc d’épicycloïde Sa, engendré par le point S, dans le roulement de T sur T, (l’arc ah — l’arc S&)\ l’enveloppe des cercles, décrits des dilTérents points de Sa, avec un rayon égal à celui du fuseau, doune le prolil cd d’une partie de cette dent; l’autre partie di est formée par un quart de cercle. La ligne d’engrènenient coïncide avec le cercle ï’; sa longueur SI, dont la limite / est détenninée par le cercle de tête A", et qui est égale ii l’and’eugrèneinent, doit être 8U|iérieure à t et, par suite, au moins

Pig. ‘150. Pig. 460.

DENTlüUiS A KUSKAUX.

égale à 1,1 t. Cette deniiére valeur sert à déterminer la longueur lc^ et la longueur réelle de la tête qui s’en déduit.

Emjrcnagc intérieur à fuseaux. Fig. Kîo. La marche à suivre est identique A la précédente. La partie cd du prolil de la dent est formée par une courbe parallèle à l’are d’iiypocyeloïdc Si, engendré par le roulement de T sur T, (l’arc = l’arc ib)\ la longueur SI de l’engréuement, (jui est la même que celle de l’arc, doit être prise au moins égale à 1,1 1. Iaj prolil du du pied

de la dent est une droite, dirigée suivant le rayon et qui n’a

pas besoin d’être raccordée avec la couronne par un arc de cercle d’aussi grand rayon que dans la (ig.

Dans la fig. 4G1, c’est la roue creuse qui porte les fuseaux; le profil cd est parallèle A l’arc de péricycloïde Sa, engendré par le roulement de T sur T, (l’arc Sb = l’aixr ab)\ la longueur SI de l’cngrènement, qui, comme précédemment, est la même que celle de l’arc, doit être au moins égale A 1,1 t] le profil di du pied de la dent est une droite radiale.

La fig. 4l>2 représente un cas particulier du tracé de la fig. 4f)0. Ou a, dans ce cas, ‘'‘L P*''’ 3= V*3i>

ce qui, pour 3 “ 2» donne 3i =4. \jc i)rolil cd est une parallèle A la droite Si, A laquelle se réduit ici l’iiypocycloïdc (l’arc S b l’arc bi); la longueur SI de l’engréncmeiit a encore la même valeur que l’arc d’engrènement. Cet arc est ici nécessairement

plus petit que <; toutefois, comme la forme droite des flancs des dents de la roue R, permet de supprimer tout jeu, de telle sorte

DENTlUiES A KUSKAUX.

qnc le meme fuseau engrène avec les deux flancs opposés, il en résulte que la valeur de l’are d’engrènement peut être considérée comme égale au double de SI.

Plusieurs auteurs regardent cç genre d’engrenage comme un mécanisme s]iécial; du reste, dans les installations où on en fait usage, les fuseaux sont de véritables rouleaux mobiles, munis de tourillons.

Si, dans la flg. lf>ü, on fait croître indéfiniment le rayon Ji,, on obtient le mécanisme à crémaillère, dans lequel les profils des dents, sur la crémaillère elle -même, sont formés par des lignes parallèles à des cycloldcs ordinaires.

Si, au contraire, c’est le rayon R qu’on fasse croître indéfiniment, dans la fig. 4(!1, on obtient une forme de crémaillère très -simple, d’une exécution commode, qui est le plus souvent employée de préférence à la première; sur le pignon les profils des dents sont formés par des parallèles ù des développantes de cercle.

Les engrenages h fuseaux, pour les iustallations qui exigent une certaine précision et qui ne se répètent pas souvent, offrent cet avantage que les fuseaux peuvent être exécutés très -simplement et très - exactement au moyen du tour; les crémaillères à fuseaux, en fer forgé, sont très -employées, dans la pratique, pour tous les appareils qui sont très -exposés an froid, comme les appareils de manœuvre des écluses, des ponts tournants, etc.

Denture à deux jmnts. Fig. 463. Si on réunit ensemble deux dentures à un seul point, on obtient une nouvelle denture, qui permet

Fig. 463. Fig. 464.

UKNïnæiS A KKVKI.OI’l’.VNTli».

d’adopter, pour ruiic des roues, un nombre de dents très -faible et de piisser, par suite, d’une vitesse à une antre très - différente, en employant des roues de dimensions peu considérables. Dans la fitîure, les deux cercles primitifs sont en même temps cercles générateurs. Sa est un arc d’épicycbtfdc (engendré par le roulement de 1\ sur T) qui, sur la longueur SI, engrène avec le point S de la roue 7'; Sa, est un second d’are d’épicycloïde (engendré par le roulement de T sur T,), qui, sur la longueur SH, engrène avec le point S de la roue T,. Si et Si, sont les profils des pieds des dents pour les roues li et 11, , S a (j et S a, y, les profils tbéoriques des vides des mêmes roues (v. IV’, § 1H7). I>ii petite roue est d’un emploi très -convenable, à la condition d’encastrer les dents entre deux couronnes latérales; ce mode d’engrenage se rencontre fréquemment dans les treuils de voitures et les appareils d'élévation.

Denture mixte. Fig. ff>4. Ce genre de denture, <pii est très -convenable pour les. petits pignons des appareils d’élévation, a l’avantage de diniinncr révidcmeiit du iticd tle la dent. Ce résultat est dû à l’emploi de flancs droits pour le pied des dents de la petite roue, l'our obtenir une durée d’engrènemerit suffisante (dans la roue à trois dents avec crémaillère elle atteint 1,15), il convient d’utiliser, sur les deux roues, les courbes qui déterminent la tête des dents, jusqu’il leur jioint de rencontre. Dans la figure, Sa est un arc de dévelojipante de cercle, engendré par le roulement sur T du cercle primitif 7’, (qui ici, pour la crémaillère, se réduit à une lipie droite); S i est une ligne droite nuliale, engendrée par le roulement sur T du cercle IF de rayon

Sa, y, est le profil théorique du vide de la roue T. L’en-

grènement de Sa avec le point S de la crémaillère a lien sur la longueur SU. L’are de cyeloïde Sa,, engendré jiar le roulement de H’ sur T„ engrène, sur la longueur SI, avec le flanc Si du pied de la dent de la roue T.

Dentures A développaiites de eerele.

Dentures extérieure et intérieure. Fig. 4(!5 et Itîfi. Supposons donnés le nombre 3 ‘les dents et le pas t, ou le rapport

DENTL’RKS A DEVELMIM’ANTES.

^ (le la roue, dont il laut tracer les (lents, avec un prolil Coriné

par un arc de d(ivel()ppautc de cercle. Prenons OS Il ^ ^

= 2 (^)’ cercles de tête et de .pied, F Kit K, ;\

des distances /'et k du cercle priiuitit', respectivement égales i\ o,4 t

Fifî- 4GG.

et <1,3 1 et adoptons f pour l’éjjaisseur des deuts. Par le point S menons la ligne NSN^, inclinée de 75® sur la ligne OS; le cercle G, mené tangentiellcment à cette droite, aura pour rayon

r = (>,9r>Gii = 0,1543^ —

Fig. lus.

décrits par le point S de la droite, pendant son déroulement et son enroulement sur le cercle O, donnent le profd cherché aSg de la dent qui, dans le cas de la denture extérieure et pour un nombre de dents inférieur à 5.5, doit être prolongé par une partie droite radiale gi et raccordé par un congé avec la couronne de la roue.

La ligne d’engrénement est JV^V, ; sa longueur totale se compose des deux segments Sh et i'5,, déterminés par les intersections de cette ligne avec les cercles de tête; pour la roue à denture intérieure (Kg. l»îG), le segment inférieur est Sc. Pour déterminer la durée t de rengrênement, il suflit de mener, par les extréndtés d’un arc égal au pas, pris sur le cercle primitif, deux rayons et de j)rendre l’arc (ppils comprennent snr le cercle de rayon r, comme unité de mesure, pour la longueur de l’cugrêne-

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KENTIIiæS A DKVKI/tPI’ANTKS.

inciiL Pour (leux roues de inêine grandeur, ayant eliacune 14 dents, e n’est (|uc très -peu sni(èricur à l’unitè; en général, t se trouve eonii)ris entre 1 et 2,5.

CrctnniUirc. Fig. 4fi7. la; profil des dents se réduit à une droite aSi, inclinée de 75“ sur le cercle priniitit' T, qui est

ici une ligne droite. L’angle de 75* s’obtient l'acilenient en juxtaposant deux équerres ordinaires, l’une à 45“ l’autre

Dans les roues d’un jietit nombre des dents, le cercle de rayon r, (jui limite la partie courbe du ])rolil des dents, se rapproche beaucou|) du cercle primitif. Il en résulte un inconvénient assez grave au jioint de vue de rengrénement. Dans ce cas, en effet, le segment SU de la droite NN, qui se trouve compris entre les deux certlcs, est plus petit que l’antre segment, déterminé par l’intersection de la droite N N avec le cercle (lé tête de la dent de la roue conductrice (fig. 4(i8), de telle sorte (juc l’arête a tend il entiviller le

Fig. 4tiS,

pied de l’autre dent suivant le jirolil correspondant à l’arc nfff (v. fig. 452). Pour que <tet inconvénient ne puisse juis ’sc produire, il faudrait (pic la ligne limitant la tête de la dent, à laquelle appartient le jioint a, ne s'élevât pas au-dessus de la ligne KK\ menée par le point B (l).

(1) Ij» cantrailiction fpi'imjiliiinc'rait ce résnitat d’uno denture géoniétriqncmciit exacte, conduisant à un engrèneinent inadniisaible , n’est, en réalité. qu'apparente. D'après les hypothèses faites relativement à la longueur des têtes de deuts, le prulil du ]>ied de la dent sur la petite roue devrait

KÜO'n'KMKNT DKS DKNTS iVeSOUENAOES. 44;Î

Avec le mode de denture que nous venons d’indiquer, la condition précédente ne se trouve réalisée, pour les roues engrenant avec une crémaillère, que lorsipie 3 est eu moins égal à 28. Un autre moyeu de prévenir cet arc - Imutement consiste à suj)j)rimer l’arête a et à la remplacer i>ar une partie arrondie; ce moyen est souvent usité dans la prati(pie; nous devons ajouter toutefois que, dans cerUiins cas, on est obligé d’aller assez loin , pour faire disparaître tout danger d’arc - houtement.

§ U'fi.

Frottciiu'nt des dents d’engrenages droits.

Le frottement des dents d’engrenages, dans les roues droites, dépend essentiellement des courbes adoptées pour les profils et se détermine d’aj)rés la forme, la grandeur et la position de la ligne d’engrènement. D’une manière générale, le frottement augmente avec la durée t de l’eiigrèncment Dans l’expression de ce frottement, s se trouve affecté d’un coefficient, variable avec la position de la ligne d’engrènement et (pii est égal à Va lorsque l’arc d’engrènement, comme cela a ordinairement lien pour les dents il profils cycloïdaux, se trouve partagé en deux parties égales par la ligne des centres des cereles primitifs ; il est égal il 1, lorsque cet arc se trouve tout entier situé d’un même côté de la ligne des centres, comme dans les dents à flancs droits; enfin il peut être pris égal à Va? lorsque la division de la ligne d’engrènement, conimc dans les dentures par dévelopjiantes , se trouve intermédiaire entre les deux précédentes. Ixj frottement dépend, dans une assez forte mesure, du nombre des dents, puisqu’il est inversement proportionnel à ce nombre et il diminue, par suite, très- rapidement, à mesure que ce nombre augmente.

«Si on désigne par /' le coeflicient de frottement, par 3 et 3i les nombres de dents, la perte de travail Pr, duc au frottement des dents, est exprimée par les formules suivantes:

a) pour les dentures à profils cycloïdaux;

•'''"■■''■(‘ji'àU

être fonné. non [kis d'un arc à 8iin|)lc courbure, mais if'nne double courbe (T). coiu|p06éo de deux arcs do développantes venant se raeconter en pointe sur le cercle de rayon r; de ces deux arcs, l'un tnnberait dans le vide et serait, par suite, inexécutable. 11 s’agit donc ici, en ré.alité, de Tnii des cas traités iprécédeinmeiit (1, § 187). La courbe de pied, indiquée dans la fig. 468, n'est pas admissible , puisqu'elle retranche nue partie de la courbe rigoureuse.

KKori KMUNT DïLS l>KNa'S I» KN(iKKNA(iKS.

b) i)Our les dentures à flancs droits:

0) pour les dentures k développantes ;

(IHO).

Ix; eoellicicnt f, même pour les roues dont les dents sont l)arl’aitement graissées, eonsen'c une assez grande valeur, car la pression par unité de surtaec est généralement très -forte; le plus souvent on peut adopter la valeur f = toutefois, pour les

roues neuves et celles qui ne sont pjis graissées, f s’élève 0,20 on 0,25 et même au delà. Dans les formules on doit i)rendrc le signe — , lorscpi’une des roues (3i) est à denture intérieure.

1'' Kxemiile. Viiiw une paire de ronea, ni/inil totitee les deux sept dents, à profils cijcloidaux, la duree de Teiuiriiiahcnt a jxmr valeur t - 1,325. Kn prenant f =^0,15, la formule (tSOa) donne, pour la jiertede travail jiar

le frottement: p.

0,08243 ou 8 'U p'%-

2r Exemple. Denture à profils eycldidaux. 3 = 3i — T>ans ce

tîO (roue à

. - 3.H 0,lô-3 1,11 „ „ .

cas f = 1,14 et on a: p, — — 0,01009,1 ou I,t p%,.

3^ Exemitle. Denture à profils cycloïdaux. 3 — ’i 3i denture intérieure). (In a alors t -* 1,40 et, }>ar suite,

p, — 3, 14 0,1.5 0,7 iy — J,) ou 4,2 p '!„.

4” E.remple. Denture « profils cycldidau.c. 3 “ 7, 3i (cre-

[y -\-0),ou4.r,p<‘/„.