SI 0^ 20"S

^3f24 , f ~a • *= ~T06 ” et " 4”^™,é3.

^ = 1,00, ou ll=^60"fi7’ et, par suüe, /f, = 29" fi'. Pour R ~ 49””, la formule (199) (tonne; R' ■=- yjf'— r* ■= "^4'J* --- ISfiO' = 40"“, 55“ et de la relation (196) on tire alors; R',

On a, de plus, tg ,1 ■

25””fi65; on a ensuite; R, V'i»5,6(ë.5* + 4,?^* = 26””fi92.

La fig.492 donne, à demi - grandeur d'exécution, l'engrenage corresiulant à ces dimensions. Conformément a«.r indications de lu table du

pÊmlant

jf Ui6, le ÿfts, sur la grande roue, est t = ^ 26,29

S””, 55 et, sur

'la petite, t,

= 8””fi7.

3" Exemple, a == 90", On trouve, dans ce cas , fi = 4.5",

r = r,, R — R,; les deux hgperboloïdes sont, alors, congruetits (v. Vex. 4,

4" Exemple. Dans le cas particulier où le rapport ~ est numériquement égal à cos a et où la ligne de division, qui détermine l'angle fi, se trouve si(u4e dans l'angle supplémentaire de a, de telle sorte qu'en tenant compte du

ftj

signe, on ait — = — cosu, Vune des surfaces primitives se réduit à un cône et la seconde à un hyperboUnde plan. Cette roue plane hyperboUnde

ENORENAfiF.8 irVPERBOT.OinES.

correspond à la roue plane dans les engrenages coniques (v. § 200) et peut engrener convenablement arec une roue conique ordinaire; elle n'offre d'aitteurs aucun avantage pratique , car la roue plane ne permet pas de prolonger

Fig. 492. Fig. 493.

l'arbre de la roue conique. Pour a = 60", ^ — — cos 60", on obtient

la roue plane. Dans ce cas, on a: tgft= j ^3, = 30", tg fi, = oo, fi,

«= 90", j^,~ - filn gQi ^ 2 i r ==• 0, t‘i = a, R «=■ R', R, +

v'47f-+«>. Si était négatif et <. cos a, on obtiendrait une roue

hyjierboloïde à dentiire intérieure; mais les engrenages de ce genre ne sotit pas pratiques.

Avec les engrenages hyperboloïdes, on peut obtenir également, comme cas limite, l’eiigrènement d'iuie crémaillère avec un pipioii. La crémaillère porte alors des dents obliques, tandis que le ])ipion est formé par la zone correspondant au cercle de gorge d’un byperboloïde. Mais, comme la construction de ce pignon est d’une exécution bien moins simple que celle de la roue filetée de la fig. 483, dont l’efiFet est équivalent, il en résulte que cette dernière -doit être utilisée de préférence dans tous les cas où cet etfet est à produire.

Bentnre des engrenages hyperboloïdes.

Si on voulait donner aux dents des engrenages byperbololdes des fonics parfaitement rigoureuses, ou rencontrerait ' 30*

ENORENAOES mTERBOEOIDES.

de grandes difücaltés d’exécution. Mais on peut se contenter, comme pour les roues coniques, d’une forme approximative. Dans ce cas, pour déterminer les dents d’un engrenage hypcrboloïde, on commence par tracer le cône supplémentaire de la zone d’hyperboloïde qu’on doit utiliser; le sommet H de ce cône , fig. 494 , s’obtient en menant une per])cndiculaire AH à la Fig. 494. génératrice SA, parallèle au plan de la

figure; on détermine ensuite le profil des dents pour le pas normal r sur le cercle de gorge, connue s’il s’agissait d’une roue héliçoidale de diamètre r et d’inclinaison y = 90 — /? (v. § 203), puis on reporte le profil , ain.si obtenu , sur la surface conique H JL, en ayant soin d’augmenter les dimensions, parallèles au cercle de division, dans le rapport / ; t et les longueurs dans le rapport K:r, K re])réseutant la lonj JM gueur de la génératrice du cône supplé-

j<-i' mentaire. On répète la même construction ' pour le cône supplémentaire correspondant

à l’autre base de la zone, en ayant soin, bien entendu, de tenir compte <fè la diminution des valeurs de t et de K. On obtient ainsi, pour chaque dent, deux profils suffisamment exacts, dont il suffit de réunir les points correspondants, par des lignes droites, pour former le corps de cette dent.

On peut, dans certains cas, substituer à la zône d’byperboloïde un tronc; de cône, il la condition de déterminer convenablement son sommet. A cet effet , on fait tourner la génératrice SA autour de l’axe HS, juscpi’A ce que le point A vienne coïncider avec le point J ; la projection de la génératrice , dans cette position, détermine, par son intersection avec HS, le sommet cherché M du cône.

Dans les engrenages byperboloïdes, le glissement des flancs des dents est la source d’un frottement considérable. Ce frottement peut s’évaluer d’après la vitesse de glissement c, qui est égale à celle qu’on obtiendrait pour des roues hélicoïdales, qui correspondraient aux deux cercles de gorge (v. § 2Ü3).

PAS ET LARGEUR DES DENTS d’ENGRENAGES. 469

E. Calcul du pas et largeur des dents des engrenages.

§ au?.

Dirision des ciif^reiiaÿtos. Soctlon des dents.

Pour une même valeur de la pression mutuelle des dents, les dimensions de ces dents, eu naison des chocs, doivent être d’autant plus fortes que la vitesse à la circonférence est plus considérable; on doit également augmenter la largeur des dents, lorsqu’on veut arriver à diminuer l’usure des dents. Pour les engrenages à marche lente, les cflfids dynamiques sont négligeables. Nous sommes ainsi conduits à diviser les roues dentées en deux classes principales.

Dans la première, nous comprendrons tous les engrenages dont la vitesse à la circonférence du cercle primitif est inférieure à */> mètre et, dans la seconde, tous ceux pour lesquels eette vitesse est plus considérable. Dans la classe des engrenages à faible vitesse rentrent, en général, tous ceux qui sont mûs à la main, comme les engrenages de treuils, de grues, etc., tandis que ceux dont la vitesse est supérieure à ‘/n niètrc sont le plus souvent mûs mécaniquement.

Le pas t des dents, la largeur b, la longueur l, l’épaisseur à la couronne, la pression P, et la tension S, sont reliés, d’une manière générale, par la relation:

En introduisant dans cette formule les valeurs que nous avons précédemment admises, pour les rapports de la longueur et de l’épaisseur au pas, cette formule se réduit à:

ht ^ 16,8 g (204).

Cette relation indique que la résistance d’une dent est proportionnelle à sa section et que, par suite, à ce point de vue, on peut adopter indifféremment, pour le rapport entre h et t, telle, valeur qu’on le désire; c’est là une circonstance qu’on utilise souvent avec avantage dans la construction.

PAS ET LAKCiELK DES DENTS d’eNÜRENAGES.

Pas et largeur des dents d'engrenages à faible Tltesse.

Si, pour une roue eu Ibnte à faible vitesse, on désigne par: {Pli) le moment statitiue de l’effort à transmettre,

3 le nombre des dents, '

R le rayon dn eercle primitif,

t le pas des dents.

on a, entre ces différents éléments, les relations;

ce qui permet de déterminer t, lorsque les autres quantités sont données. On a, en même temps, pour la largeur des dents, h\

Dans ces formules on a admis, pour la tension S des dents, la valeur 4,25. La tension qui se produit réellement est plus faible, puisque l’épaisseur du pied de la dent est, en général, supérieure à ainsi que nous l’avons supposé d’ailleurs dans la

formule (204).

Comme le rapport représente l’effort P à la eireon-

férenee du cercle primitif, il en résulte que la formule (205) est applicable au cas oii la force P est donnée directement, comme, par exemple, dans les crémaillères.

Lorsqu’on a calculé, au moyen des formules précédentes ou de la table du paragraphe suivant, les dimensions de la dent en fonte, on peut obtenir immédiatement celles de la dent en fer, en multipliant les premières par des coeffieients.

Ces coefficients sont respectivement:

pour les résultats fournis

par la première formule (205), 0,79

par la seconde formule (205), Vt =

et on doit prendre, comme précédemment.