CONTRE - MANIVELLE

Lorsqu’on fait usage de la grapliostatiqiic, pour déterminer les moments, on commence par cbercher, comme nous l’avons fait précédemment, le bras en fer à section rectangulaire, (|u’on remplace par une pièce eu fonte de largeur double (v. § 221), et on passe ensuite de cette deniièrc jiièce à la forme de section en I, au moyen de la talile du § 22:t.

Contre- manivelle.

On désigne, sous le nom de routrc-iiKtnivvlle, une manivelle à bras incliné, qui part du tourillon d'une manivelle ordinaire et qui a la même axe de rotation que cette manivelle. La lig. 531 représente une contre - manivelle en fer, exécutée d’une seule pièce comme celle de la tig. 525. Ordinairement, le petit bras

Fîr. 531.

est dirigé, comme l’indique la figure, en sens contraire du bras principal, mais souvent aussi il occupe une position différente. Le tourillon et le bras d’une contre- manivelle se détcrmincut exactement comme ceux d’une manivelle ordinaire. Comme le moment de la jiressioii sur le tourillon de la contre -manivelle a, en général, une faible importance, le bras de la manivelle peut rester tel que nous l’avons déterminé iirécédemment. Mais, il n’en est pas de meme du tourillon corresimudaut, qui doit être calculé spécialement, eu tenant compte des efforts simultanés de

CALCUL C.ILM'UOSTATIQI'E d’uNE «'O.NTltE - MANIVELLE. 51*3

torsion et de flexion, auxquels il se trouve soumis dans ce cas. On doit alors recourir l’cniploi de la formule (221) en remarquant que, la contre - manivelle se trouvant conduite par la mani vellc, le moment de cette contre -manivelle atteint son maximum pour le milieu du tourillon principal.

('aïeul ^rapliostaüquc de la eoiifre-iiiaiiiTelle.

La fig. 5;î2 représente le diagramme, fourni par la grapho; statique, pour une contre -manivelle, dont les deux bras sont obliques par rapj)ort à l’axe <le la manivelle principale.

Kis.

Dans cette figure, on a tracé d’abord la ligne des axes ABCDEFGH [, en prenant, aussi exactement que possible, les longueurs A D, CE et FG, d’ai»rcs les longucui’s des tourillons corresptmdants, La pression 1 , (pii s’exerce sur le tourillon de la contre -manivelle, e.st supposée dirigée en sens contraire de la pression 2 sur le tourillon principal.

Digitizeci by G- '^igl

504 CALCUL OlLiPilliSTATUiL E d’UNE CONTUE - MANIVELLE.

Polygone des forces. Dtins le polygone des forces, tracé adroite de la figure, la pression 1 sur le tourillon de la contre manivelle est supposée dirigée de bas en haut et correspond à la ligne 01; le i>ôle O est choisi sur une horizontale , passant par le point 0; la pression 2, sur le tourillon principal, est dirigée vers le bas et représentée par la ligne l 2. Traçons les rayons fwlaires üO, lO, 20, puis, dans l'autre figure , menons la ligne a (T parallèle h 1 0 jusqu’à son intersection d' avec la direction de la force 2, qui passe par le point l)j menons également (ï g parallèle à 2 0, jusqu’à sou intersection g avec la direction de la force 3, dont la grandeur n’est pas encore connue, mais qui passe par le point G et qui agit de bas en haut.

Pour trouver cette force, ainsi que eellc qui agit en //, joignons les points g et II, Ha sera la ligne de fermeture, qui doit bien être horizontale, puisque, dans le polygone des forces, la ligne de fermeture Oo a été prise elle -même horizontale. Si, dans ce dernier polj'gone, nous menons 03 parallèle à H g, la ligne 2 3 représentera la troisième force , agissant en G , de bas en haut, et la ligne 3 0 la quatrième force, appliquée en G et dirigée vers le bas.

La figure ad' kg H représente, comme on le voit, le polygone funiculaire pour le système qu’il s’agit de construire. Au point k correspond un moment nul (v. § 90). Dans notre tracé, pour plus de commodité, le triangle kg H a été reporté dans la position kg' H. Le polygone funiculaire, que nous venons de trouver, peut être utilisé, comme surface des moments, pour une partie de la construction, ainsi que nous allons le voir.

Fuseau AB. La détermination des dimensions de ce fuseau s’effectue facilement au moyen des ordonnées verticales du triangle ub'b, lorsqu’on a préalablement calculé le tourillon en A pour la pression l.

Pièce de tourillon G DE. Cette pièce est soumise à des efforts de flexion, dont les moments sont représentés par la surface cd'e, et à des efforts de torsion, dus à la force 1, dont le bras de levier r ■= Ce — B b. Pour déterminer le moment de torsion, prenons al >= r et menons l’ordonnée IT; cette ligne est le moment de torsion; la surface correspondante pour EDO est donc le rectangle, construit sur II' et ce, qui, composé avec le trapèze cd’e, donne la surface des moments ccd"e'e. Comme il peut arriver que la j)ression sur le tourillon de la contre -

CAIX'UL (JKAI’HÜSTAïKil'E ü’UNE CONTEE - MANIVELLE. 505

cherché. Si maintenant nous prenons l’ordonnée en a, correspondant à une abscise égale à A a = R — r, cette ordonnée

manivelle agisse seule, auquel cas le côté ad' doit être prolongé jusqu’en »»', nous partirons de ce dernier polygone de flexion et nous obtiendrons alors, comme courbe limite de la surface des moments résultante, la courbe cd"c", dont les ordonnées permettent de déterminer les dimensions de CDE. Ainsi (jue nous l’avons dit dans un paragraphe précédent, la plus ))etite longueur l, qu’on puisse admettre pour ce tourillon, est celle du tourillon normal d’extrémité, correspondant à la pression ‘2.

Arbre F G H I. Cet arbre est soumis à des efforts de flexion, représentés par le polygone Ffy'H, et an moment de torsion de la force 3, diminué de celui de la force 1. Pour déterminer le moment de torsion de la force 3, prenons, dans le polygone des forces, un second pôle O, situé sur une horizontale, menée par l’origine de la force 2, et sur la même verticale que l’autre pôle O; joignons 2 0’, menons dy" parallèle à cette ligne et jirenous dn Ce ^ R-, l’ordonnée nn représentera le moment de torsion

Fig. 533.

r>0(i CALCUI- (iKAl-UOSTATigt'K l>’lINK CUNTUK - MANIVELLE.

donnera le nioiucnt de torsion de la tbicc 1 sur le bnis, le<iuel a{;it en scii.s contraire du ]irécedcut. En retrancliaiil cette dernii're ordonnée de mm', on obtient la ligne Ff, coniine hauteur du rectiuigle de torsion Fit' f", (|u'il suKit de composer, coiniiic à l’ordinaire, avec les moinents de flexion, pour obtenir la surface des inoincnts résultante F f" tj' h" t' I. Il peut arriver que la fon'e 1 soit nulle, c’est, par exemple, ce (pii a sensiblement lieu dans les machines à vapeur, où le tourillon de la contre manivelle ne conduit que le tiroir; dans ce cas, on doit construire la .surface des moments do flexion Fl'^tj'll, celle des moments de torsion FF„ i I et examiner si la surface résultante a des ordonnées j)lu8 grandes «pie la surface précédente, auquel cas ce sont celles- bV qui devraient être utilisées pour la détermination des dimensions. C’est le cas qui se présenterait avec les données de notre figure, où ce second polygone résnlUuit se trouve figuré en pointillé, sans lettres, au-dessus de la ligne FI. En supposant que les forces en I se réduisent à un couple, la pièce III n’est soumise qu’à la torsion et, par suite, le polygone résultant se réduit à un rectangle.

Bnt!^ liC dv la contre- inaniirlle. Ce bras éprouve des efforts de torsion et de flexion , dus à la force 1 , «pii agit, dans le premier cas, avec le bras de levier AA^„ perpendiculaire à Cli prolongé (le moment de torsion est égal à- l’ordonnée en Ug) et, dans le second, avec le liras de levier AgC (le polygone funiculaire est un triangle, dont CAg est l’un des côtés et dont l’angle en Ag est égal à ô««„). La composition de ces deux espèces de moments donne CBcgc" pour la surface des moments (v. fig. 635).

Brun principal EF. La force 2 exerce, .en avant, sur ce bras, des efforts fléchissants, dont les moments sont représentés par les ordonnées de la surface DgFF" (l’angle en Dg est égal l’angle ed(/), et une torsion, dont le bras de le\ier est BDg, perpendiculaire à FE prolongé; ce même bras est s«mmis, en outre, à l’action de la for«-e 1, qui produit, en arriére, des moments fléchissants, rc]>réscntés ]iar la surface E„ FF', et un moment de torsion, dont le liras de levier est AEg, normal à EF. Les moments de flexion, retranchés les uns des autres, fourid.ssent la surface EdgCgF"' F, tandis que les moments de torsion donnent, comme différence, le rectangle construit sur EF\ la composition de ces deux surfaces fournit définitivement E c" F comme

Digitizêd by GoogI

AKBKES COirnÉB.

Biirface des nioiuents. Dans le cas où la Ibrce 1 devient nulle, on n’a plus à faire les ditt'êrenees des surfaces de moments de même espèce et on ohtient le polyp;onc funiculaire, tracé en pointillé, dont les ordonnées supérieures à celles de la surface précédente sont, par conséquent, celles qu’il convient d’utiliser pour la détermination des dimensions.

Après quelques exercices, on arrive ù exécuter rapidement les o])érntioiis que nous venons de décrire, surtout si l’on a soin de se borner ù la recherche des parties importantes, pour lesquelles l’exemple jirécédent donne déjà, d’une manière générale, les renseignements nécessaires. L’emploi du diagramme , pour déterminer les sections des pièces et la transformation de ces sections, ne peut i)résenter aucune difliculté, après les indications du S 226. l>ors<ine le bras principal et celui de la contre manivelle ont une direction perpendiculaire à l’arbre , le jiroblème se trouve notJil)lement simplitié, ainsi que le montre le paragraphe suivant.

Arbre A un seul euiide.

Les arbres coudés se divisent eu deux catégories, suivant qu’ils présentent un ou i)lusieurs coudes. La fig. ô31 représente un arbre à un seul coude.

Fig. .534.

La déteminatioir des dimeftsions d’un arbre de cette nature ne peut se l'aii^, avec queh|uc exactitude, par la méthode analytique, qu’en «âtrainant de grandes complications, tandis que la graphostatique Itennet d’arriver à la solution du problème, d’une

AKbRES COUDÉS.

mauiëre à la fois très -simple et très -exacte; aussi, emploierons nous uniquement cette dernière méthode. La fig. 535 donne le tracé des lignes d’axes ABCDEFGH d’un arbre coudé k bras inclinés, dont il s’agit de déterminer les dimensions.

L’effort V, qui agit sur le tourillon de la partie coudée, a

pour expression - j désignant par Q la pression exercée

par le piston dans la direction KM, et par a l’angle de la direction KL de la bielle avec KM. Pour une valeur constante de Q, cet effort atteint sensiblement son maximum, lorsque KL est perpendiculaire au rayon LM. Comme ce maximum diffère

d’ailleurs très -peu de la valeur — ^ correspondant à la posi- ^ eus U, ' ‘

tioii vertical MIj, de la manivelle, nous jiouvons, sans inconvénient, adopter cette dernière position pour la détermination graphique de P. L’effort en M est parallèle et égal à P; en K s’exerce une pres.sion normale, N ^ Qtgu, dont le maximum correspond à la position K, L, M. 11 résulte de là que les

Fig. 535.

ARBRES rfUTDÉS.

moments de flexion du bras de la manivelle et de l’arbre peuvent être considérés comme atteignant leur maximum an même moment et comme produits par une même pression P.

Dans notre figure, E est le milieu du tourillon de la partie coudée, B et H deux paliers; nous supposons, de plus, qu’en A soit ajtpliqué un couple, capal)le de s’opposer à la torsion produite par la force P, iigissant avec le bras de levier Tl. On voit, d’aj)rès cela, que le problème actuel présente la plus grande analogie avec celui que nous avons traité dans le paragraphe précédent. La i)artie II G remplace ici le fuseau du tourillon de la contre -manivelle, avec cette difl'érenec toutefois que la force en If, au lieu d’être une variable iiuléi»cudaute, dépend de la jiression P en E.

Poh/f/our (1rs forces. Pour (|ue la ligne de fermeture du polygone funiciilairc soit horizoïibde, on commence par joindre les i)oints B et H à un point quelconque e de la normale Ee prolongéc. Cela fait , à partir du j)oiiit O, on porte la force P, on mène oO et lO, respectivement parallèles à He' et Bf, puis 02 peri)endiculaire à P; la longueur 1 à 2 représente alors la force P„ qui agit en B, de bas en haut, et la ligne 2 0 la force P,; agissant eu 7/,"^ également vers le haut; 0 2 est la distance polaire. ^

Fuseau II G de Varhre. Ce bras n’est soumis qu’à une flexion produite j)ar la force P, appliquée en II. IjC triangle Il G g est la surface des moments, dont les ordonnées servent à déterminer les dimensions de la pièce, lorsqu’on a calculé le tourillon en II.

Fu.sean B C de rnrhre. La surface des moments de flexion est le triangle B Ce. Pour tenir compte, en outre, de la torsion due au moment PP, menons, dans le polygone des forces, 0' X nonnale à P et égale à 02, puis Ef,e^ par.allèle à 02 et égale à P e = P ; 0 E„ est alors le moment cherché , <iui donne le rectangle ^a'CV; eu composant, à la manière ordinaire, ce rectangle avec le triangle de flexion, on obtient la surface des moments résultante ABC c’ Ü' a".

Tourillon DEF. La surface des moments de flexion est dff e d‘. Pour obtenir celle qui correspond à la torsion produite par la force P,, agissant en II, avec le bras de levier Ee^R, prenons II g ^ Ee •= R-, l’ordonnée g g' représente le moment de torsion. En cf)mposant le rectangle de torsion dff'd"' avec

ARKRES COUDÉS.

la surface de flexion, on obtient ilff'e'if pour la surface des moments. L’ordonnée maximum ce" est la .seule qu’on ait k utiliser, puis(iue le tourillon doit être eylimlrique.

Jirtis cmuh' (r F. Ce l>ras éprouve un mouvement de flexion , dfl à la force Pj, iigi.ssant en If^, If Ilg ét.aut uonual à F(t] la surface de moments eorrespoiidante est Pf» //o /"o, ofi raiigle ;iaIIo<I est égal à l’angle <1 U y. La force P,, agissant avec le bras de levier // //o, tend, en outre, à produire nue torsion, dont le moment h h' s’obtient eu prenant cette ordonnée, reportée en F h'" et Oh", donne le rectangle de torsion Fh"’<ih"'-, par la composition de cette surface avec la précédente, on obtient délinitivcnicnt la surface des moments

l’'(iy”ÿ"-

Bras coudé CD. On mène KD„ et //// perpendiculaires k (' l>. Pour la position KLM de la bielle et de la manivelle, tig. 5:tü, la force P, apjiliquée en 1\, tend à produire une flexion en avant, Uindis que la force P,, aiipliquée en D', tend, au contraire, k produire une flexion en arrière. Les polygones funiculaires eor-

ARnUKS (,Ol!I>KS.

f)ll

respondaiits sont les trinngles DuCi et Ti' Ci' (Ci=^Olf,f dans le polyf^ono des t'orees et Jl„h^ — CD„). l/.i diirércncc de ces deux siiifaees donne Ci"i"' pour la llcxion du bras DC. De |)lus, ee bras se trouve soumis à deux toi’siuus, l’une en avant, l’autre en arrière; la ])reinière est due à la force P, aj^nssant avec le bras PD„ — /:k„, dans le i»olyp;one des forces, et son moment est, par suite, oA'; la seconde, produite par la force 7,, avec le bras de levier II !)' ---///, dans le pol\!^one funiculaire, a pour moment U . La ditférenee île ces deux derniers moments, jsirtèe suivant f et P du, donne le rectangle de torsion Pd„Ccu. I''nliii la composition de ee rectangle avec le triangle de tlexion fournit la surface des moments f'/>/ 1, ipii complète la série des siiri’aees propres à déterminer les dimensions des einij ]iarties principales de l’arbre coudé.

Le tracé précédent montre très -nettement les efforts auxquels l’arbre se trouve soumis en scs ditférents points et permet, ])ar suite, de conqirendre facilement, dans la ]ilnpart des ca.s, les faits de rupture, signalés pour certaines pièces de ce genre.

Lorsque les deux axes des bras du coude sont jierpendieulaires à l’axe de l’arbre, la recberebe des surfaces des moments .se trouve notablement simplitiée.

Dans ee cas, fig. AB Cl) EF (III représentant la série des axes des jiièccs de l’arbre, nous supjHiserou.s, connue précédeminent, qu’en A soit appliqué un couple, dont le moment soit égal et de sens contraire au moment de torsion PB.

Pohnfime i/cs forces. Nous prendrons ici, pour mesure de la force P, la liauteiir ce du triangle Bc II, tracé comme précédemment. Si on fait Bb" = ce, qu’on mène b" O parallèle à c 11 et Ob perpendiculaire à Bb", b"b et bB représenteront respectivement les efforts P^ et P„ en U et eu B, Ob étant la distance polaire.

Fuseau II a. Cette, partie n’est soumise qu’à des moments de flexion dont la surface est 11 G (h

Fiisemi ABC. Cette pièce, soumise à des efforts de flexion, dont les moments sont représentés ]iar la surface B Ce, est en même temps sollicitée à la torsion par le moment PB. Si on trace e ()' parallèle et égale à la distance polaire h O, é" p parallèle à cette même ligne et égale à Ee =■ B , ee"' est le moment de torsion, auquel correspond le rectangle de torsion ayant, pour base, AC et, pour hauteur. Au = Bb'" — ce'". La