EXTRACTION DES RACINES

II. l’uissanrcs des tangentes et cotangentes. On prend, tig. Il, EO= 1 et OEA >=•(/'. Puis, à partir du point A, et dans les deux sens, on traec les perpendieiilaires successives,

Fig. 4o. Fig. 41.

eoninic dans le cas N“. V, § 28 ; ou obtient alors les valeurs suivantes: O A == tiing rp , O'i — lan(j'‘ <f , O'i = tung^(f.. . OE 1 •= tang’‘(p, O— - 1 = cotangip, O — 2 »- cotang*(p, etc.

Le dessin rend d’ailleurs parfaitement sensible à l’oeil la loi de convergence ou de divergence de la série, formée par les puissanees successives.

Extraction des racines.

L’extraction d’une racine carrée s’effectue aisément par les procédés grapbiqucs et de différentes manières, en considérant y n comme moyenne proportionelle entre a et l’unité. Nous indiquerons ici trois des méthodes qu’on peut suivre.

Fig. 42. Fig. 43. Fig. 44.

1. On prend, fig. 42, 0E=1, 0.4 = «; on décrit un demi -cercle sur OA et on élève en E une perpendiculaire, qui rencontre la circonl'érencc en 0; on joint OC et eette ligne donne

8(i tLXTKACTION DK.S KACINICS.

lii valeur ohcrehéc a- = V a (voir § 2H). (îctte méthode suppose fine l’on ait tt > ] , tandis que la suivante s’ajiplique au cas où l’on a a < 1.

II. On prend, fig. dii, OE-^X, OA^a; on décrit un demi-cercle sur OE, on élève la perpendiculaire eu A et ou joint an point O son intersection avec la circonférence, ce (pii donne OC •= x =x/ a.

III. Ou iircnd, fig. 41, ()E=\ et, sur le prolongement de OE, EA = if, sur OA on décrit une demi - circonférence, qui rencontre au point C la perpendiculaire élevée par le point E] EC est la valeur cherchée

L’extraction de la racine quatrième peut s’effectuer ii l’aide de deux extractions successives de racine carrée et on peut ojiérer de la même manière pour toutes les racines qui ont, comme indice, une puissance de 2. — L’extraction des racines euhiques, cinquièmes, etc. . . est plus compliquée. Cuimaim, dans son ouvrage déjà cité, SC sert de la spirale logarithmique; Schlcsinger (voir plus haut) utilise une série de courbes, tracées d’après des principes analogues à ceux du § 28. — Les mêmes ouvrages indiquent de plus une série d’autres méthodes, plus ou moins complexes. Pour notre part, nous n’insisterons pas sur ce sujet, attendu que, dans les problèmes que nous nous proposons de résoudre, nous n’aurons A faire anciuic application de ces méthodes d’extraction de racines de degré supérieur.

Addition et soustraction des forces.

Dans les opérations de calcul graphique que nous avons examinées jusqu’ici, nous n’avons tenu compte que de la grandeur absolue ou de la mesure des lignes, sans nous préoccuiier de la direction de ces lignes, dans nn plan ou dans l’espace, et des points par lesquels elles pouvaient passer; en d’autres termes, nous n’avons, tenu compte, en rien, ni de la position, ni de 1a direction de ces lignes; or ces derniers éléments interviennent nécessairement, lorsipi’on a à étudier l’équilibre des forces. Nous avons donc à considérer, à ce point de vue, un ordre de problèmes nouveaux, qui constitue la yraphostalifiue.

AimmoN KT KOUSTKACTION DKS FORCES.

Lorsque [iliisieurs forces sont uppliquces à un point materiel, leur résultante se (léterniinc en additionnant les projections des lif;nes, <pii représentent ecs forées, sur des a.xes de coordonnées rectangulaires, (iéoniétriqucinent, on peut porter ees forces ((pi’elles soient ou non dans un même plan) bout à bout, en eouservant leurs grandeurs et leurs directions, et construire ainsi un polygone, qu’un point, en suivant les directions des flèches, pourra parcourir complètement, sans piisser deux fois

sur un même côté, Si les forces telles que 1, 2, 3 6, tig. 15,

sont en équilibre autour du point 0, la somme de leurs projections est nulle et les lignes, de 1 à C, qui représentent ces forces, donnent nu polygone fermé, tig. lü, qui porte le nom de polygone des forces.

Fip. 15. Fitr. 40.

L’ordre suivant lequel on porte les forces, pour tracer le polygone, est d’ailleurs indifférent. Ainsi, dans la fig. 46, par exemple, on peut suivre le tracé 1, 2, 3, 4, 5, 6, ou 1 , 3, 4, 6, 5, 2, sans modifier le résultat.

La soustraction des forces est le problème inverse de l’addition. On n’a, par suite, qu’.^ changer la direction de la force qu’il s’agit de retrancher et à ajouter ensuite aux autres la force ainsi changée de signe. La graphostatique ne se prête commodément qu’aux cas où le polygone des forces est contenu dans un plan; mais les autres eas peuvent toujours se ramener à celui-là par des décompositions convenables des forces.

La multiplication ou la division des forces peuvent s’effectuer, par la graphostatique, à l’aide de méthodes analogues à celles que nous avons indiquées pour tes opérations sur les lignes. Comme nous n’aurons pas à appliquer ces méthodes, nous ne croyons pas devoir nous y arrêter plus longuement.

RÉSn.TANTi; I>’|:N SÏSTKMK I>K FOKCF.S.

Iti^snltantc d'un systi^me de forces.

lA)rsqu’un système de forces, 1 û 5, par exemple, fi};. 47, ne donne pas un iiolygone fermé, ces forces ne se font pas équilibre en leur i)oint d’a])plication commun O. Pour ])roduire l’équilibre, il faut appliquer à ce point 0 une nouvelle force ti, qui se trouve déterminée, en grandeur et en direction, par

Fig. 47.

la ligne 5 G qui ferme le polygone. Cette force, faisant équilibre aux forces données, est égale et de sens contraire à leur résultante R. 11 suit de là (pie, dans un polygone de forces fermé, chacune des forces, prise en sens contraire, représente la résultante de toutes les autres. Dans un polygone de forces qui ne SC ferme pas de lui même, la ligne qui ferme ce polygone, prise en sens Contraire du mouvement, représente la résultante des forces. Ainsi, dans la fig. 47, A‘2 est à la fois la résultante de 1 et 2 et de 3 , 4 , 5 et 6. De même , 1 3 est la résultante de 2 et 3, comme de 4, 5, 6 et 1, etc. (1).

Forces agissant sur un système matériel dans nn plan. — Polygone fonlculaire.

Lorsque des forces, appliquées à un corps solide, se font équilibre et qu’elles ne se rencontrent pas toutes en un même

(1) Les proprictes que nous venons d'énoncer, au sujet des forces, sont également vraies pour toutes les grandeurs dans lesquelles on a à tenir conipto

i>OI,Y(iliNK Fl NUaiI-AIKK OU AlîTK ThÉ.

point (ce (jui arrive i'rcqucninient, puis(iuc n forces peuvent avoir points d’interscetion) , le mode préciVlent de représen-

tation n’est plus innnédiatcnient applicable. Toutefois, on jieut toujours raniencr aux ])roblèines siiujdes les cas les plus eonipli(|ués. A cet effet, en supposant d’abord que toutes les forces afdssent dans un même plan, imaginons le corps remplacé par un système de tiges rigides, formant un jtolygone, dont les sommets soient situés sur les différentes ligues (pii reiirésentcnt ces forces; imaginons, de plus, cpic ces tiges, susceptibles de résister aux efforts de traction et de compression agissant suivant leurs axes, aient des directions et des i»ositions telles que ebaeune des forces partielles données soit en éipiilibre avec les deux forces, dirigées suivant les côtés du polygone, ((ui concourent au meme point qu’elle.

Le (lolygone, qu’on obtient ainsi, fig. 1«, porte le nom de polyifone funiviilnirt; ou articuU; dans les voûtes il constitue ce (pi’on apiiellc la courbe des pressions, les différents éléments de cette ligne se trouvant généralement, dans ce cas, soumis à des efforts de compression.

Les sommets K d’un polygone funiculaire sont les articulations. D’après ce que nous vesons de dire, un polygone de

Kig. 18.

«le la direction; c’eat ain.si «(u'cllcs 8'nii]>lii)nciit aux vitesses réelles ou virtuelles, aux trajectoires [«assaut par «les points dt'tcnnin«;s , aux lignes qui, «lans une voûte, passent |«ar les centres «le gravité des voussoirs. Tons les problèmes relatifs à ces lignes peuvent se traiter, comme [)Our les forces, par des polygones.

KQril,lBI{IO DES ElilîCES EXTEKIEI RES.

ce genre peut servir à la dêterinination des forces inconnues agissant sur le corps qu’il représente, puisque, en cliaque articulation, il y a é(piilil)rc entre la force cxtéricnre et les deux tensions, dirigées suivant les cfités correspondants; ainsi, par exemple, si Tou considère rarticulalion K^, les tensions iS', et

ont pour résultante une force, égale en grandeur et en direction à la force 1\, mais agissant eu sens contraire.

Ix“s efforts de traction ou de compression, qui s’exercent suivant les côtés du i)olygone articulé, constituent ce qu’on peut appeler les foreex hitvrkurcs.

Connaissant le polygone fiinicidiiire, on peut appli(|uer les procédés graplinpies pré<'édeiits à la détermination des grandeurs des fon«s. Or, pour arriver au ladygonc fnnicnlaire correspondant à un cas donné, nous avons à chercher d’ahord les conditions d’équilibre

1°, des forces extérieures,

2", des forces intérieures,

en supposant, comme nous l’avons lait, que, jrour chaque arli culation, les forces de la premicre série soient en équilibre avec, les fo'rces correspondantes de la seconde.

Equilibre dos forces extérieures dans le polygone funiculaire.

.Si l’on prend la résultante des forces P, et qu’on la transporte en un |)oint convenable de sa direction jiour la composer avec Pj, (pi’on agisse de même avec cette nouvelle résultante et avec 2^^, etc., il faut, dans le cas où l’équilibre existe, que la résultante obtenue avec l’avant - dcniière force P„/, soit égale et de sens contraire à la dernière force P„. Le procédé de composition, que nous venons d’indiquer, conduit d’ailleurs toujtmrs an incine résultat, tant (|uc les directions et les grandeurs des forces restent invariables. On peut donc, sans troubler l’équilibre des forces extérieures, supposer milles les distances entre les points d’insersection. Mais alors on peut effectuer leur composition et construire le jmlygone des forces, cxactcmeut comme dans le cas, examiné jirécédenimcnt, où toutes les forces concouraient en un même point. Ce polygone peut donc

KQIIU.IIIKE DEK EXTEKIEl lŒS.

également servir à ilétemiiner les conditions d’éqiiilihrc de, forces aj'issunt sur des points matériels distincts. I>c polygone se tonne de lui -même, s’il'y a é(piilibre; dans le cas contraire, il donne, en grandeur et en direction, la résultante totale et, par suite, la force qu’il convient d’introduire pour arriver ft l’équilibre. Isî tracé du polygone des forces permet doue de déterminer deux inconnues, la direction et la grandeur d’une force, ou encore les directions de deux forces, dont les grandeurs seraient connues; il est évident que le même tracé peut fournir la direction d’une force et la grandeur (absolue) d’une autre force, en supposant connues, la grandeur pour la première et la direction pour la seconde. — Dans ces ditTérents cas, dont le dernier se présente assez rarement dans les applications, on peut arriver h la solution cherchée, à l’aide d’une des méthodes suivantes.

I. Dctirmincr les grandeum dos deux forces, quuml oh connaît leurs directions. Par les points 4 et A du polygone, fig. 49, on trace les deux directions données, 4 5' et ^4 6', qui se rencontrent en 5; les longueurs 4 5 et Ah représentent les forces cherchées, 5 et 6. Si les directions peuvent être portées dans les deux sens, le problème est susceptible de deux solutions; la seconde est représentée, fig. 49, par les lignes AVI' et 4 V, qui donnent, pour les forces, AV et 4F...

• II. On connaît les grandeurs des deux forces, déterminer leurs directions. Des points 4 et A, fig. 50, avec les grandeurs données des forces 5 et f>, on décrit des arcs de cercle, qui, en .SC coupant, déterminent les directions cherchées. Comme, en général, on aura ainsi deux points d’intersection, on voit que le problème comporte deux solutions , 4 ■ 5 avec b- A et 4 ■ F avec V-A.

III. On eomiaît la grandeur de Vunc des forces et la direction de lautre. Par le point 4, fig. 51, on trace la direction

02 FOKCKS KXTKKIKl-KKS. AITI.ICATIONS.

donnée 15' et, dn point A comme centre, avec un rayon à la grandeur de la force (’> qui est donnée, ou décrit un ur' de cercle, qui eou])e généralement la première ligne en deux points 5 et K; il y a donc, dans ce cas encore, deux solutions. Si le cercle ne donnait aucun point d’intersection, on devrait eu conclure que les données sont incomi)atitdes.

Iaîs exemples suivants feront conq)rendre comment, dans la ]iratiqne, ])cuvent s’apidicpicr ces i)rincipes.

Kremjile. Une grue AUC eut chargée en A d'un jmd.t L; la partie li est cglindrùiae et engagée dans un /mjrjsnt « galets; la jsirlie C rqsjse dans une craystmlinc. Le OfCps de la grue a un [mds G et son centre de grarité est en S. Un projsisc de déterminer les forces I\ et 1\ en B et rn C. — On connaît les directions des forces L et G; elles sont rerticales; la direction de 1‘, est tuirizmitale , <i la condition île négliger les frottements gui s'exercent en B. Si mainlemint on imagine que, par un procédé conrcnahle (roir /mr ex. § 39), on ait déterminé la jmsition TÇ de la résultante (,) •= G -|- L des forces G et L (!) , le point d'intersection O de cette ligne aire l'horizontale J', doit igipartenir à la direction de 1\. Cette force doit d'ailleurs jHisser également jHir le ventre du pirot, en C, en admettant, comme nous l'arons fait ici, que la craixiudine enrelojqic le yiimt. 1m direction de la force est donc CO et nous fmnrons, jxir suite, à raide du /mlygotre des forces, fig. 53, déterminer les gramleurs de P, et de Pj. A cet effet, il Fig. 52. Fig. 53.

suffit de porter, sur une verticale, en G r„ la force G L, de mener G 1\ parallèle <i OP, et 1\P, parallèle il CO, jmur obtenir les forces P, et I\. 1m décomfmsition de l’t donne ensuite les deux forces, horizontale H rerticale, auxquelles se trouve soumis le picot C.

2' K.remple. Une grue, chargée comme précédemment, fig. 54, s'appuie en B sur un picot cylindrique et est soutenue en C par un galet conique, rimlnnt sur un tronc de cône, Ixs deux cimes ont leur sommet commun au milieu du tourillon B. On conmiit, comme précédemment, la résultante

(S) It» ifruet ortHtiaires de ^uaiê, (f, «jMi tytrie d’ailleurt jiurtifut arec la lonçurur

de (a porte’e JiA, eet evmpris entre I/5 cl *^4 H« la ckarÿt limite de ta grue.

KOIiC KS KXTÉlîIKrUES. AITUCATUiXH.

y =»= X -j- G, uÎHxi quf la dirtction de In premion P,, qui n'exerce en V, normalement à la narface dn cône; on connaît, ]>ar nulle, le jnnnt d'interseclion O den forcen P, et y et ce jx/int 0 doit apjxirlenir à la direction de lu réaction P, du tourillon. On )>eul donc construire inimrdialenient le ]x>lyyone îles forcen, fu/. 5.î, en menant une rerlicale éi/ale à Ç et des juirullèles aux deux forcen P, et P,. Im cominisante rerticale de 1\ ont ici plus jietile Fiff. ri-l. Fi);. 55.

que lu charge Q, tandisque, dans le premier exemple, elle lui était égale. Cette différence tient à ce qu'ici le cône supjtortc une jxirtie de la charge.

3’ hxemple. Dans une grue du meme genre, fig. .iti, le sommet commun den deux cônen est en J), an -dessous du centre dn tourillon P. On détermine encore le ixnnt 0, en élerant CO jxrjiendiculaire sur 1)C et on comtruit le jndijgone den forcen, fig. aï. Par suite de l'hyqxiihése faite sur

KiK- 50. KiK. r.7.

la position du jsiint I>, la forte P„ qui agit sur le tourillon, s'exerce obliquement et rern le bas, tandis qu'elle s'exercait rers le haut ilann le cas qn'écédenl. Ix tourillon doit donc être muni en B, au-dessus de la jsnrtée, d'une bague ou saillie suffisamment résistante (J),

(1) Celtr f»r/i-aution fat ttfffltÿèf datii uh ÿraïui uumbre df vtutirle-g *U t/ntfn, téUUtmr U eu iKtativn Wobnfrvtr un e*ta <>h un)» tiruf df M toHitft at rrnrrraa a<tH* UHf fharÿf dr

FORCER EXTÉRIEERER. APPUCATIONR.

iSi ton reut, iJuns Vétwle d'une grue, procéder arec plun de riguetir, <m doit, comme l'itulviue Culmann, admettre que la direction de la réiàstance rur le rujyport du galet (C datix la fig. 54, li dans la fig. 52) est rariahle dans les limites de l'angle de frottement et jrrendre la solation qui cotuluit (i la duirge la jdiis forte sur le tourillon.

4" K.r.emjic. Trois forces de TO, 50 et SO^ agissent dans un plan , et sims les angles qu'indique la fig. 58, sur un corjis A H, de telle sorte que leur résultante jmsse par le jmint A. Kn ce jxrint A agissent deux autres forces, l’alu; de .9.», l'autre de 60‘‘, qui doirent faire équilibre au.r p/récédenlcs; quels angles doirent -elles faire arec les premières forces'*

Apres avoir reporté de C à /), fig. 5!), les forces 70, 50 et 80 s, on décrit , des points C et I), deux arcs de cercle arec les rayons GO et 05 ; on Ki({. SS.

obtient ainsi les points iTintersection K et K' ou F et V, ce qui donne, ]snir les directiims des forces, DK et KC (corresjsnulard « F’C et DF') ou D F et FC (correspondant ét K' C et DR'). Les deux- solutions sont ituliquées sur la fig. 58.

5' Kremple. Un obélisque doit être dressé sur son .socle, jtar rotation autour d'une des arêtes A de sa hase, fig. GO, la force motrice P, étant ajqiliquée à Textrémité sujiérieure dans une direction donnée. Suivant quelle direction doit-on faire agir, en A, une force d'intensité déterminée, fsiur que le socle ne soit soumis qu'à une jiression verticale'^

On prolonge la ligne, qui passe pur le centre de gravité S de Cohélisque et qui figure le jmids f) à élever, jusqu'il son interseidion, en O, arec la force P,; il faut iVahord, {tour l'équilibre, que OA soit lu direction de la résultante des forces () et On décompose ensuite cette résultante en

lieux forces, l'une 7’,, dirigée verticalement , Vautre 7'j, de grandeur donnée. Ajirès avoir ]iorté Q et 7’,, fig. Ul, dans le tracé f'()}\, on mène, par le jsiint P,, une verticale P, P„ et du jmint C , avec une ourerture île compas égale

’JfHKïO kitogr.. far t* i/ut U etntuinet Jtnit par sortir UrurUfon 4/M1 u*ai‘aU rU‘ pour

/aire ajjice Je nêpport.

KQUU.IBnE T>ES FORCES INTÉRIEURES.

à A, on décrit un crrclf qui, si le rayon est suffisant , coi<iie J\ en deux fsiinls I) et ly. Jx prMrme cmiipiirle donc deux soluiûms, suirani qu'on

firetul pour 7*j la tp-andeur P, D et jiour P, la direction 1)C, ou qu'on fait Pf = P, Ty, P, receranl alors ht direction !)'('. Il faut d'ailleurs, jtour que le prohlème soit possible, que P, soit au moins égal à la jierjicndiculaire abaissée île C sur P, P,. On a rejstrié, sur la fitj. tiO, les deicr solutions trourées, en AP, et Ai**,. — Les problèmes analogues à celui de ce dernier exemple se rencontrent d'ailleurs asse: rarement dans la pratique, comme nous l'aixtns déjà fait remarquer.

Eqnillbre des forces Intérieures dans le polygone ’

fuiiicnlalre.

Sous ce nom de forces intérieures nous désignons, comme nous l’avons dit précédemment, les forces (pii agissent, jiar traction on par compression, suivant les directions mêmes des différents côtés du ]M)lygone funiculaire et qui sont représentées, '

dans la fig. *>2, par iS',.3, etc. laîs grandeurs de ces forces doivent d’ailleurs satisfaire à cette condition que, jiour chacune des articulations À',, K^, AT,, etc,., il y ait équilibre entre les deux forces intérieures qui y aboutissent et la force extérieure correspondante. Par conséquent, deux de ces forces S, .j, A',.,, par exemple, peuvent être déterminées au moyen de leur résultante Pj, si l’on connaît leurs directions, ou leurs intensités, ou / -

encore la direidion de rnne et l’intensité de l'autre. A cet effet,

!tfj

Kyi ILIHRE DEH EOIICE.S INTEUIEirUEH.

(liins le polygone des forces J\, ]\ ipii, (l’ii])rès ce

([ui prm'ile, doit être une ligure feniiéc, jMirlons, à partir des

Kig. G2.

extrémités 1 et 2 de 7j, fig. C:), les directions des forces

N, . 3, relevées sur la tig. C2. Ces deux lignes se eou])ant en

O, Oi et O-Jt représentent, en grandeur et en direction, les ten-

Fig. C3. sions 6',. J et iS’j.,. Si maintenant on j)asse en ifj, des trois forces J 3, et 63.3, qui se j font équilibre en ce jioint, les denx premières

* / . sont déjà connues; la troisième iSj., sVddient,

^ ])ar suite , en joignant le ])oint d’intersection ou

» le pôle () à l’extrémité 3 de la force P,, tig. f>3. En continuant ainsi, les lignes, menées du pôle aux sommets du jMdygone des forces, donneront successivement, en grandeur et en direction, les forces intérieures du jMdygonc funiculaire. On voit ))ar là (pie, pour des forces extérieures données, la connai-ssaucc des directions de deux forces intérieures, aboiiti.ssant à un même sommet, suttit jiour déterminer toutes les autres. Connaissant ainsi les forces intérieures, on jKiurra tracer immédiatement le polygone funiculaire ou articulé. Pour cela, en jmrtant d’un sommet queleoniiue, 011 tracera les eiôtés du polygone funiculaire, parallèlement aux différents rayons polaires du l>olygone des forces. Quant à la longueur des côtés, elle se trouvera déterminée par les positions que doivent oi-euper, dans le plan, les lipies (pii re])résentent, en grandeur et en direction, les forces extérieures. Dans ce eas, le polygone funiculaire fournit également la position de chacune des forces intérieures.

EQrn.lItHK DES EOnCES INTÉltlEtlRES.

Ix polygone funieuliiire alÏÏH^te des formes diflereutes suivant la {losition du point, ehoisi comme origine, sur la direction d’une des forces extérieures. Ainsi la figure C2 donne, en pointillé, deux autres formes de polygones funiculaires, équivalents

Fig. 64.

à celui qui est en traits pleins. Les côtés de ces nouveaux polygones sont respectivement parallèles à ceux du premier. Du reste, le i)rol)lême, (jue nous nous sommes posé (relier les forces extérieures par un polygone articulé), comporte une seconde solution, en vertu de la rcmanpie faite au § 34, problème 1.

Si l’on porte, tig. 65, les directions /S,., et S,.,, en sens inverse, à partir des extrémités de on obtient un nouveau Fig. 6.5. polygone funiculaire, fig. 64, dont la forme

^ J diffère essentiellement de la précédente, comme

l’indique d’ailleurs la figure, où l’on a reproduit le prenner polvgone à côté du second, l’exception de celles des deux premiers côtés,

' qui restent les mêmes dans les deux p(dygones,

les directions de tous les autres sont essentiel-

Kenlcftux» le CnoHtructfiiir. 7

RKSIil/fAXTE I)’lN SYSI’ÈME IlE h"<>K(KH.

Icilicnt différentes. On voit par là que, pour des l'orees données, il est possible de construire le polygone articulé d’une, infinité de manières.

l>e polygone funiculaire, combiné avec le i)olygone des forces, constitue ce que l’on a uommé le plan gra])hique des forces. Dans certains cas, du reste, une seule des deux figures suffit pour donner la solution du problème que l’on a en vue (voir § IH).

Késiiltaiite d’un système de forces, disposées d’nne façon quelconque dans un plan.

.Si, dans un polygone funiculaire, fig. 66, ou imagine deux des côtés coupés, K, Kg et KgK^, par exemple, et si l’on suppose appliquées aux points de section, et dans les deux sens, des forces <le même grandeur que celles (pii agissaient suivant ces côtés, l’écpiilibre ne se trouve jias détruit. .Mais on voit

Fifj. (il).

qui agis.scnl sur le jiolygone, soit à droite, soit à gauche. La position de cette résultante s’obtient, en ])rolongeant les côtés jusqu’à leur intersection 3f, qui fournit un jioint par lequel elle doit passer. D’un autre côté, la grandeur et la direction de cette résultante sont données, dans le |)olygone des forces, fig. 67, par la diagonale 4 '6, qui réunit les extrémités des deux forces S, .g = ()6 et Cette

diagonale représenfe, par conséquent, la résul

niKUlTlONS n’ÉQI'ILlDKK I>’|:N système I>E Fr)RCES.

tante des deux {groupes de forces, qui eoinprennent , le premier 1\ et Pj, le second I\, A, y. et Pj. D'une manière générale, le point d’intersection, obtenu en i)roIongeant deux des côtés du jjolygoue, ajjpartient à la résultante de toutes les forces extérieures appli(|uées entre ces côtés; la grandeur et la direction de cette résultante sont données par le polygone des forces. Ce théorcMiie est d’une application fré(iuentc, comme nous le verrons plus loin. Si ou renverse son énoncé, on en déduit le moyen de décomposer les forces, connaissant le polygone des forces et le polygone funiculaire. Ainsi, pour déeompo.ser, j)ur exemple, la force 4 • ti en deux autres, Pj et Pg, île directions données, on trace ces demiéres dans le polygone des forces; dans le polygone funiculaire, on mène une parallèle il l’une d’elles, Pj par exemple; cette ligne coupe la résultante 4-6 en un point N, par lequel il suffit de mener Pj, parallèlement au côté 4 • 5 du polygone des forces. I.si position AT,, N choisie ici n’a rien d’absolu ; on peut la faire glisser, parallèlement k elle même, sur 31 N, soit en avant, soit en arrière, sans modifier les conditions de l'équilibre.

Conditions d'éqnilibrc de forces, disposées d’une façon quelconque dans un plan.

Dans les considérations précédentes, nous avons admis que les forces, dont nous voulions étudier l'équilibre, étaient disposées de telle sorte que cet équilibre existât réellement; on pourrait donc déjà, d’après la règle du paragraphe précédent, les ramener à deux forces égales et directement opjMisécs; mais, pour qu’il en soit ainsi , il ne suffit pas toujours que le polygone des forces soit une figure fermée; il faut, en même temps, que le polygone funiculaire ou articulé soit lui -même fermé; en d’autres termes, la position des forces doit satisfaire à certaines conditions. Si la disposition des forces n’est pas convenable, le jiolygone funiculaire indi(|ue celle qu’on doit adopter, jtour que l’équilibre jiuisse .se produire et que le corjts ne reste pas soumis, en dernière analyse, à l’action d’un couple (voir § 88). Il faut, pour a.ssurer ce résultat, que la position d’une des forces reste arbitraire.

1(K) f'ONnrriONH l>’Kyi'IMHUK d’i n .SYSTKMK DK POUfKS.

I. Soit fig. GH, cetto t'on-c, dont on connaît la graiultMir et qui doit être parallèle à la direetion Z Z. Après avoir tracé

le i)olygouc des forces, iig. G*J, choisi lui jiôle O et triicc les rayons, allant de ce pôle aux divers .soinincts, de 1 à G, on coninience la construction du polygone funiculaire, en incnant K^ K^,

Fig. 09. A'„ K-jK^ respectivement parallèles à

■ 10, 20, ;i0 jusqu’à ce (ju’on soit arrivé à

N. K^K^. La ligne, fermant le j)olygonc funicu-

, luire, doit être parallèle à GO, en même temps

^ (pi’elle doit pa.sser par K^. Sa position est

6 donc déterminée et son intersection A',, avec

Kr, A'j est un point de la force J\, qui est d’ailleui-s parallèle

L'Ol'l*I,KS.

Si la (iemit'rc l'orco, 7^^ n’est déterminée, ni en direction, ni en {çriuuleiir et si, de plus, jionr une des autres forces, on ne connaît que la direction et la position, on peut déterminer les éléments inconnus de la manière suivante.

II. Soit /■'„ , fig. 70, la force complètement inconnue et soit 7*, la force dout on connaît seulement la direction V\ et un j)oint AT,. — Nous pouvons tracer le jjolygone des forces, fig. 71, entre les points 1 et 5, en nous lioniant à figurer la direction A 1 de la force 1. ün peut également tracer le jiolygonc funiculaire, à partir de K^, au moyen des points Tf,, JC,, K^, et K\. Si maintenant on choisit une direction telle que K^ L, par exemple, pour la ligne de fermeture, l’intersection Fig. 71. de cette ligne avec K\ devra appar-

tenir à la force cherchée Ig. Pour déterminer la grandeur et la direction de cette force, traçons, fig. 71, O fi ])arallélc à K, L, et Joignons les ]M>ints 5 et B, la ligne 5- fi donne la grandeur, le sens et la direction de la force P«, tandis que fi • 1 fournit la grandeur. Jusque-là imlétcrminée, de la force P,.

Si une ligure i)lanc est uniquement soumise à l’action de couples dirigés dans son plan, c’est-à-dire à l’action d’nn système de forces, égales et parallèles deux à deux, mais de sens contraire, le polygone des forces se fermera toujours, sans qu’il en résulte nécessairement ipie l’équilihrc existe. Pour ce cas des couples, les conditions de l’équilibre peuvent s’établir de la manière suivante:

I.1C8 forces P, P3 et P* P4, fig. '72, forment un polygone fermé 1, 2, 3, 1, fig. 73, mais elles ne se font pas équilibre; elles tendent à faire tourner la figure, autour d’un de scs points, avec un moment statique égal à la somme des moments des “■ couples (7* — 1\) et (Pj — P^). Pour rétablir l'équilibre, il faut introduire un couple, de sens opposé, (P5— Pj), dout le moment

COUrLES.

soit égal à la soniinc des deux autres et dont les coiiijMJsantcs soient dirigées suivant les lignes iiaralléles F F et VI VL

Fig. 72. Fig. 73.

Traçons maintenant, à partir du point A, fig. 71, le polygone des forces Al, 2, 3, 4 avec les couples donnés; ce polygone doit être complété par l’adjonction des forces 5 et 6; si l’on fait partir l’une de ces forces du point A, l’autre doit revenir passer par le même point et, de plus, recouvrir exactement la première. Il suit de là d’abord, comme nous l’avons, du reste, admis précédemment, que ces deux forces doivent être égales, parallèles et de sens contraires et que, par conséquent, Fig. 74. Fig. 75.

COLI'LES.

il n’y a (lu’iin couple qui soit caj)al)le d’é(|uilibrcr les couples donnes, du luoineut où, pour produire l’cfiuilibre, on ne veut introduire dans le système que deux forces nouvelles. La grandeur des composantes du couple addltloimel u’est pas connue, mais il n’en est pas de même de leur direction, que nous pouvons porter suivant AZ. !>i nous choisis,sons , de plus, un pôle arbitraire O, nous pourrons mener les rayons OA, 01, 02, 03, 04 (= OA) et proeéder, par suite, au tracé du j)olygonc funiculaire, tig. 75.

A cet effet, remarquons que la tig. 72 nous donne les directions II, II II, etc. , jusqu’à VI VI. Par mi point quelconque K,, pris sur II, menons des parallèles aux rayons OA et Ol, (qui ont pour résultante la force Pj), jusqu’à leur interseetion, en avec VI VI et, en K^, avec II IL Traçons ensuite if, parallèle à 2 O, parallèle à O 3 , enfin parallèle à

04, qui coupent les lignes IIIIII, IV IV et V V, respectivement en ÜTj, K^ et jRT.. — Il ne reste plus alors à tracer que la lipie de fermeture du polygone funiculaire et il suffit, pour cela, de joindre le point K,, au point Kg, obtenu précédemment. Le tracé de cette ligne permet de mener le rayon polaire 05, cpii doit lui être parallèle (v. § 37, II), et de fermer, par suite» le polygone des forces. La force Pj se trouve alors représentée, en grandeur et en direction , par la ligne 4 • 5 (= ^ 5) et la force P„ ])ar la ligne 5 A. Quant au polygone lui même , il est donné par le tracé .41, 2, 3, 4, 5 A, dans lequel les deux côtés 4, 5 et 5.4 doivent être considérés comme fonnant un angle infiniment j)Ctit au sommet 5.

Les problèmes traités jusqu’ici, sur le polygone des forces et le ])olygone funiculaire, montrent comment, pour les forces agissant dans un plan, l'addition et la soustraction géométriques permettent de déterminer les conditions d’équilibre de forces divergentes quelconques. tSi les forces agissent dans des plans différents, qui se coupent ou qui sont parallèles, les règles données permettent d’établir séparément l’équilibre, pour chaque plan, et les résultats qu’on obtient ainsi peuvent souvent se simplifier, comme on en verra des exemples plus loin. — Pour le moment, nous cesserons de nous occuper des principes généraux, pour aborder de suite l’application du calcul graphique aux forces parallèles.

ÉQUIUKKE I>E ïXIliCES l’ARALLÈLES.

Équilibre de trois forces parallMes.

l’our (létemiiiier l’équilil)re des forces parallèles, on peut faire usage, soit de la méthode purement arithmographique, soit des procédés d’addition et de soustraction géométricpies (polygone des forces et polygone funiculaire); il est é\ident (pi'on doit choisir, dans cliaque cas, le procédé le plus commode. Nous examinerons d’ahord le cas très - simple , où une force Q, agissant sur un coqis, doit être tenue en équilibre par deux forces ]\ et Pj, qui lui sont parallèles.

Si nous traçons d’abord une droite AliC, normale aux forces, fig. 76, l’équilibre exige qu’on ait: P, x A 1> •=‘ I\ x B C ou 7^,0, ^ et, en outre, P, -h P, = Pour représenter

graphiquement P, = P^ — , nous pouvons nous servir du pro- Fig. 76. Fig. 77.

cédé du § 24 (fig. 24), en prenant, fig. 77, OE = n,, OA =» Eli’^P^ (supposé coiuiu); la ligne AC, parallèle à Eli, donne la force P,; mais le triangle CAO peut aussi se. placer dans la position pointilléc O'liA' et on a alors évidemment: ÂE—P, -f-Pj === Q. Sous cette dernière forme, la tracé de la fig. 77 peut se reporter, sans difficulté, sur la fig. 76 et on se trouve ainsi conduit au tracé suivant.

1. A l’iui des points d’application des forces P, et Pj, A par exemple, on porte la force Q suivant AI), on joint le point Z) au troisième point d’application C et on prolonge la force Q jusqu’à son intersection, en F, avec DF, parallèle à AC. On a

Fig. 7H. Fig. 79. Fig. 80.

liyi II.IBUK I>K FliKCKS l•AKAI,l,kI.^><. 105

alors, d’après i-e qui précède, JIE-^ P,, EF=^P^. La lig. 7i) représente le même tracé pour le cas où la ligue APC est inclinée par rapport à la direction de la tbrec Q. — Dans la fig. 8ti, le point d'application P de cette force ^ est supposé en dehors de A C.

II. On peut décoin])08cr la force <i> en deux composantes ]>assant i>ar les [K>ints d’application A et C, tig. «1 à «3; on Kig. 81. Kig. 8Ü Fig. S-l.

obtient ainsi deux forces obliques, dont les composantes, parallèles à Q, sont les fon-es d’équilibre cherchées, tandis que les composantes parallèles à APC se détruisent. — Dans les trois figures, on a PF == i', , FD P^.

III. Si on construit le p(djgonc des forces avet^ AD = Q et un pôle quelconque O, tig. 84 à 86, et si on trace tes côtés du polygone funiculaire, Ab et bc, respectivement parallèles à .<‘10 et DO, en menant la ligne de fermeture c/1 et sa parallèle OE, dans le polygone des forces, on obtient EA=‘P,, DE=“P^. IvC polygone funiculaire se réduit ici à un triangle. Si on veut que- la ligne de fermeture coïncide avec APC ou lui soit itarallèlc, on commence par tracer le p<dygoue funiculaire AbC\ CA est alors la ligne de fcnncturc, Ab le premier rayon de ce polygone, pour la force AD = Q, et Cb le second; le j)ôlc O

Fig. 84. Fig. 8ô. Fig. 86.

doit donc se trouver au |)oint d’intersection <te.<4 7y aveeja ligne DO, parallèle ù Cb\ en menant ensuite OE parallèle à b A, on obtient EA >= J', et DE = Pj.

Dans les différents cas (pie nous venons de traiter, la force Q est égale et de sens contraire à la résultante des forces P,

ÉQril.IHKK DK FOFU K.S l’AItALI,Kt,K.S.

et Pj. Si donc- on connaisKait les forces P, et Pj , et qn’on voulût avoir la force Q, il suffirait de recourir à des mêthwles analof^ies aux précédentes.

Kn constniisant d’abord la figure auxiliaire (JE AC B, fig. 87, (pie nous avons déjà utilisée (1), et en reportant encore le triangle (J AO en B A’ O', si on mené B' C parallèle à OA, O'C' et (JB parallèles à A' B, on a B B u,, BC-^a^, B O == Pj, ()' C = P,; ce qui conduit au procédé suivant:

IV. Sur des pcr])cndiculaircs k AC, fig. 88, on prend des longueurs AD<^ et EC = P, -, on joint DE, qui détermine, Kife'. 87. Fig. 88. Fig. 89.

en B, le point d'application de la force (J, dont la grandeur est ED' P, + Pj, DD' étant jiarallèle ii f.

Dans la fig. 89, les forces P, et P, ont été supposées dirigées en sens contraires; leur somme algébri<iue DE est doue la ditTérencc des grandeurs absolues de P, et de Pj. La force (^ tombe, dans ce cas, en dehors de AC.

V. Du tracé ( II ) on peut déduire le procédé suivant : par l’extrémité « de la longueur An = P, , fig. 90 , on mène k AC une parallèle , sur laquelle on prend une longueur arbitraire a A', qu’on porte, en sens inverse, en cC, sur une seconde parallèle à AC, menée par l’extrémité c de la ligne Cc = Pt. Les lignes A' A et C C se coupent en un point F, qui appartient à la direction F B de la force résultante (J. Cette dernière, qui a pour valeur P, +P, , peut-être considérée, en même temps, comme la résultante de DE= C C et de EF-^A'A.

Fip. 1K>.

Fig. ut.

RKHLLTANTK DK FOKCKS rAIK\U,KIJ';S.

VI. La f\g. 91 i'onniit une méthode qui résulte du traeé (III). On porte, en tJA, la valeur de P,, en KD, celle de P*, on prend un pôle arbitraire 0, et on mène la lif^'c fermeture O K du polygone dc.s forces. Kn traçant Ac, ch et .4 b, respectivement parallèles à KO, OD et AO, le point d’intersection h appartient à la direction de la force résultante y =■ Z)/l.

Résultante d’un nombre quelconque de forces parallèles.

Si plusieurs forces parallèles Q,, Q^, agissent,

dans un même plan, sur un cori)s, on peut, pour déterminer leur résultante, faire usage des méthodes précédentes, en composant les forces deux i\ deux successivement, jusqu’à ce qu’on arrive à la dernière.

Le procédé (IV) du paragraphe précédent est ordinairement, dans ce cas, le plus commode à employer.

I. Après avoir mené une ligne A F, fig. 92, perpendiculaire à la direction commune des forces Qy, Çj . . . ^4, on compose Q, et ((),, puis leur résultmitc Q, 4- = bc avec ; on obtient ainsi

4- Cette dernière composée avec founiit en M la résultante générale, <i> -= (ÿ, -f ((/s + <?s 4- <’,)4- Ce procédé est d’une application commode pour un grand nombre de calculs de

Fig. 92.

construction, notamment lorsque les forces Q„ doivent

être déterminées successivement, comme, par exemple, dans la

U)H KKSm.TANTK liK FOJi< F»i FARAI,l,kl,F:«.

recltcrclic <le la répartition de la eharjiîe d’une locomotive sur scs différents axes.

L’emploi du polyfjouc timiculairc et du polygone des forces conduit également très - siuiidcmcnt au résultat.