II. .\vec les forées données, V,, Qg (fig. O.'î), on

forme un jiolygone des forces, en portant, A ])artir du point A, les forces en ..l I , ‘J, 3, t, 5, 6. La résultante Q se trouve immédiatement déterminée, en grandeur, par la longueur CA,

mais il reste à fixer sa position. cet effet, ou ])rend comme pôle, en dehors tle Ah, un point (|uelconque O, on joint OA, Ol, 02, 0;t .... 0(5, puis on mène bh', bc, cd ;/r/', respectivement parallèles à >10, 10, 2 0 0(5. La ligne g (J (voir

§ :55) coupe b b' en un point q, (jui apjjartient à la direction de la résultante Q.

Kl) se reportant aux développements du § 3G, on voit que la figure, ainsi ohtenuc, pennet d’obtenir très facilement la résultante de deux ou de plusieurs forces successives. Ainsi le point d’intersection c de de et de bq donne le point d’application de la résultante de et Qj , qui est représentée par A 2 dans le

nÉroMIMiHITKlN tlK FfdtCKS KM F( >|{( l>AliAI.I.fcl.KS. 10.1

polyp»iitî des forces. De iiiêiiie r est le point d’a|ipliciition de. lii résultante de Ç, et de Ç;,.

Déeouipositloii de forces en deux ou plusieurs forces purallMes.

Isi décomposition de forces en forces parallèles, à l’aille du j)olv}ïone funiculaire, constitue le jirotdènie inverse du précédent. Si, dans ce polygone uqhed, fig. !it, on connait le côté corresjnmdant i\ une force Q, et si on vent décomposer cette force en deux antres et on réunit les points d’intersection c et /■ des directions de et avec les côtés «</ et hq\ nef h, fig. 91, est alors la partie du polygone funieulaire, qui eorresiHind aux nouvelles forces, dont la grandeur se détennine, en menant Ol jiarallèle h ef, dans le imlygone des forces. Si les forces eliereliécs et sont situées d’un même côté de Ç, fig. 9.ô, le procédé reste le même. Il suffit de prolonger aq jnsipi’à sa rencontre, en c, avec et de mener ef. On peut également utiliser l’intersection de Qi avec qh et de Q, avec qn. Le polygone prend alors In forme nef h. la; [tolygone des forces donne, dans le |)remier cas, (ÿ, ^ 1, = 1 • 2, dans le second, .^1 1' >=>

0, et l'2 = y,.

Si la pièce A G, soumise à l’action de cliarges parallèles y,, fjtj doit être maintenue par deux forces J\ et 1\,

Fig. 94. Fig. 95.

ap|)li((uées en A et G, fig. 9(>, on pourrait, pour déterminer ces forces, clierclier d’abord la résultante V des diverses charges, comme au § lo, et, au moyen de la méthode |»récédente, décomjioser cette force Ç en deux autres 1\ et J\. Mais on peut

110 nÉroMPosiTioN ni-: FfiRCKs en tokces parallèles.

se dispenser de déterminer Q, attendu qu’on eonnait les directions de 1\ et Pj(, ainsi que celle de leur résultante (voir § 37).

Fig. %.

On Ibrnie le polygone des forces Kl, 2 ... 50, on trace tous les rayons pol.aires et leurs parallèles, dans le polygone hiniculaire, et on joint les points d’intersection a et g des côtés de ce dernier polygone, parallèles à KO et 05, avec les directions des forces P, et P,; la ligne a g ferme le polygone funiculaire et la parallèle 0 6 , dans le polygone des forces , donne P* = 5-6 et P, = 6-7. Si, au lieu de prendre les points d’intersection a et g, on s’était sem, comme on pouvait le faire, des deux autres points d et g', la solution eut été la même, car les deux lignes d g' et a g sont parallèles. Le polygone funiculaire eût alors présenté la forme d g' mhcdefmd, le point m appartenant à la direction

de la résultante des forces Q^, qui est également

celle de la résultante de Pj et de 1\.

Lorsqu’une pièce chargée doit reposer sur un nombre d’ap- ])uis égal ou sui)érieur û trois, ces appuis doivent, en tenant compte de la question de résistance de la piètre, être disjjosés à des hauteurs rigoureusement déterminées, pour (}u’on puisse trouver la valeur de la réaction exercée par chacun d’eux. Sans cela, le problème reste indéterminé. Toutefois, l’indétenninatifui peut être levée par l’introduction de supi)orts intermédiaires. Supposons, par cxcmi)le, qu’une pièce Ali CI), fig. 97, soumise SI une charge Q, en M, doive être é((uilibrée par 3 forces verticales P,, P„, Pj, appliquées aux points B, C et 7); on peut

KÉCOMI'O.SITIOS DB KOKCBS EN FfmCKS l*AKALI,fcr,KS. 111

(l’alxird faire une hypothèse sur le rai)port de deux de ees forces, P, et /'a , par exemple. Ces forces peuvent être considérées

Fig. 97.

comme aj)pli<|uces à nu support intermédiaire C, , sur lecpiel reposerait la j)remière iiièce, en A'/?,. Le rapjxirt doit être alors épil au rapport admis P, : 1\. On peut, dans ce cas, répartir entre les a])i)uis E et 71, à l’aide du l>oly- };oue des forces cmd et du poly{;onc funieulairc ylOl.2. Ou a alors: A. 1 = Ç, \ = P, , 2 A ^ P^ + et cette dernière

somme peut se répartir elle -même entre P, et C, , à l’aide de l’une quelconque des méthodes connues. Chaque hypothèse spép

ciale sur le rapport ' donnera lieu à une valeur différente de ■' s

P^. Si l’on s’impose la condition que P, = P, , E tombe au milieu de !{('■ et le sujtport intermédiaire a alors ses deux bras é};aux. Les ressorts à lames, dans les wagons et les autres voitures, sont des sujiports intermédiaires à bras égaux. Dans certaines voitures de luxe, on trouve également des supports à bras inégaux. (Je sont aussi ceux dont on fait généralement UHjjge dans la plupart des balances -bascules.

Si une charge doit être répartie sur jdns de trois ou quatre points, le ])roblème peut se résoudre par une combinaison convenable de supports intermédiaires. Telle est, j)ar exemple, la solution adoptée pour les locomotives. Etant donnée la charge totale Q d’un châssis de locomotive, supposons qu’on veuille la répartir sur les trois axes 7(, C, T), de telle sorte que les charges en li et C soient dans le rapport de .1 à ‘2; d’aj>rès la j)osition a.ssignée aux roues et les longueurs adoptées j)onr les ressorts b, , e, r,, r/, (/,, on connait, en définitive, les longueurs des trois supports intennédiaires; si, on admet, en outre, que la pièce, chargée de ré|)artir la charge entre les axes Jt et (', doive être exactement

112 DÉCOMIHiMlTlON UE Ff)Rf'ES EN l'OKCEH l’AKAI.I.fcEES.

oomprise entre, les verticales iiieuées par les points h, et r, , on connaît, par cela inC-inc, la longueur h a du iiuatrièine support, (pii

Fi«. sa.

doit

2 : :j. On trace alors le polygone funiculaire cmd, en inêine temps que le polygone des forces, ec qui jiennet de (U^terniincr cliaciine des eliarges partielles. Si, plus tard, le rc'partition de la charge t((tale, admise à l’origine, a besoin d’être modifiée, on ]ieut y arriver, dans une certaine mesure, en changeant les longueurs de h^ fcj et c, Cf ; mais la condition essentielle, tpi’on doit chercher à réaliser, avant tout, c’est que la résultante Q de tontes les charges se trouve convenablement jilacée. Ia;s ressorts, (pii agissent comme sujijiorts intermédiaires, doivent être calculés d’après les charges ipi’ils sont ajipclés à supjiorter et ils doivent être ensuite ré’glés, au moyen des boulons de suspension, de telle sorte (pie la répartition des charges arrive à être exactement la même ((iic jioiir des supports fixes.

Forces parallèles nniformèinent réparties.

Si une pièce est soumise à une charge uniformément répartie, on ne peut jilns recourir aux méthodes précédentes pour tracer le polygone funiculaire et celui des forces. Dans ce cas, eu effet, le polygone funiculaire devient une coiirlie, jiour la détermination de laquelle il est nécessaire de recourir à un antre jirocédé; ou lient y arriver de la manière suivante. Imaginons d’abord

('HAKOES ITNITORMÉMENT RÉPARTIES.

la charge donnée renijilacée par nne série de forces égales, agissant en des points également espacés, 1, 2... 9, fig. 99, et traçons le polygone funiculaire ; il est é^ndent que le point d’intersection des côtés aM et b c de ce polygone devra se trouver à égale distance des lignes ta et 2 h et tombera , par conséquent, au milieu de ah\ ]>uisquc les forces 1 et 2 sont égales. De même les côtés cd et nM se couperont en un point également éloigné Fi)f. 99. Fig. 100.

de tic et de lo, c’est-à-dire en h' sur la ligne 2h, etc. En définitive^ les différents points d’intersection des côtés du polygone avec a.M et iM se trouvent également espacés sur ces deux lignes. Il suit de là, d’après un théorème connu, que les côtés du polygone ont pour enveloppe une parabole, dont le sommet SC trouve ici sur la ligne médiane EM, à une distance Ee => EM

\ • Si l’on repasse maintenant an cas d’une charge uniformé-

ment répartie, le polygone funiculaire vient se confondre avee cette parabole. En considérant le triangle AME comme le polygone correspondant au cas on la charge totale serait appli- (piée en E, on voit immédiatement que ce triangle fournit le moyen de tracer facilement la courbe. Si les forces étaient inclinées sur la Wj^eAEli, comme dans la figure 100, les intervalles sur AM seraient encore égaux entre eux; il en serait de même pour les intervalles sur MB] seulement, dans ce cas, la valeur d’une division sur A M ne serait pas la meme que sur MB. Le point e est encore, comme précédemment, le milieu de EM, mais il n’est plus le sommet de la paralmlc.

Le polygone funiculaire se transforme également en courbe, lorsqu’il s’agit de charges roulant sur une pièce. La courbe est encore, dans ce cas, l’enveloppe des polygones successifs corres-

Rculeauxy le CoDutructeor.

MOMENTS STATigiîES liEH Ff)K('ES PAKAU.fel.ES.

]K)mlant à chaque iMisition de la charge. Le calcul des jxiuts des chemins de 1er offre de noml)reiix exemples de ce genre. Le calcul des glissières, ]iour les tiges de pistons, dans les nundiines vapeur, conduit également à des tracés analogues, cpioique lieaiiconp plus simples.

Moments statiques des forces parallèles.

Ijorsfjue des forces iiarallèles telles, par exemple, que Qi Qu T’i et Pj, tig. 101, agissent nomialement sur une pièce, il est nécessaire, pour évaluer la résistance de cette pièce, de déterminer les moments statiques des forces extérieures. Le polygone funiculaire et celui des forces ])ennettent d’obtenir facilement ce résultat.

Ces deux poljgoncs, ahr.def et .404, étant tracés, supposons qu’on veuille obtenir le moment stati(|uc M pour le point

Pig. 101.

S de la pièce. Ce moment est le i)roduit de la résultante de toutes les forces, ((ui se trouvent d’un même côté (:\ droite ou à gauche) de la ligne S>S,, parallèle à la direction générale des forces, et de la distance l de cette résultante à S/S,. La grandeur de cette résultante est donnée par la ligne /i i => 1 ■ 5 du polygone des forces, qui se trouve comprise entre les rayons 0 1 et 05, parallèles il br. et fa. Quant il sa position, elle s’obtient en prolongeant les deux côtés i»récédcuts du polygone Juscpi’il leur intersection ;/. Si ou mène maintenant la ligue (/f/„, normale

MOMKNTS STATIQUKS IIKS FORt'EK PAKI-AI.ÈLES. 115

à S .S', , cette sera le bras de levier / de la force résultante hi^ (|ui tend à Héeliir la itièce en S. On a donc M = P . l.

Cette multiplication peut aussi s’effectuer graphi(juement. Si on mène, en effet, la peq)endiculaire Ok, dans le (iol^’f^one des forces, cette ligue est la hauteur du triangle Oh i, semblable au triangle fyss„, de hauteur l. On a donc hi- : Ok = s.% : <j% ou, en désignant Ok par II, sSq par t:

et, par suite:

M = PI = Ht.

les moments 8tati(incs, aux différents points de la pièce, sont donc entre eux comme les ordonnées du polygone funiculaire, puiscpic II est constant. Si on prend H pour unité, le procédé qui vient d’être inditpié revient à la méthode de multiplication du § 22 (1), et le moment M se trouve alors avoir pour mesure rordonnée t. Le polygone funiculaire étant une fois tracé, il n’est plus nécessaire, comme ou le voit, de chercher la position {g) de la force résultante et, de plus, s’il s’agit simplement d’étiiblir des rap])orts entre les différents moments statiques, il est indifférent que H ait été pris, ou non, à l’avance comme unité de mesure. Nous aurons j)lus tard à appliquer fréquemment cette imporUinte propriété du j)olygone funiculaire i)our les forces parallèles. Dans le calcul des arbres et dans bcanconj) d’autres cas, elle est d’autant plus précieuse qu’elle n’exige aucune modification ou addition aux tracés et (lu’en réalité les moments des forces se trouvent donnés directement [>ar les opérations qui servent à déterminer ces forces elles -mêmes.

('oui position et décomposition des moments statiques.

D’après ce qui précède, les moments statiques des forces parallèles peuvent se rej)rèsenter par des lignes de grandeur, de ])osition et de direction déterminées, exactement comme de simples forces. Si donc une pièce, en un de scs points, se trouve soumise à l’action de deux moments statiques, agissant dans la même direction ou dans des directions différentes, ces moments peuvent être additionnés graphiquement, comme on l’a vu pour les forces, S :il. ABC et AT)C, fig. 102, .sont les polygones funiculaires de deux séries de forces parallèles, qui agissent sur

COMPOSITION nus MOMENTS STATIQUES.

un corjis tournant AC, nomialenient à son axe de rotation, dans les direetions A' B' et A D', inclinées l'une sur l’autre de l’angle if,

Fig. 102.

on obtient le moment résultant, pour un point S de l’axe du eorjis, en construisant le triangle T,ST^', de telle sorte que l’angle en S soit le supplément de l’angle (f, et T.,T^' ST,' t est le moment eberebé. IjU eomjiosition comjdéte des polygones funiculaires ABC et ABC, lesquels, d’après, ce qui a été dit précédemment, peuvent aussi s’appeler surfaces des moments, fournit la surface des moments résultante AT UC. IjCS côtés AT ci eu sont ici des lignes droites, tandis que TU est une courbe et, dans le cas actuel, une hyperbole. Dans la pratique, cette courbe peut souvent être remplacée jiar sa corde TU] sa construction n’offre, du reste, aucune difficulté.

En renversant le problème, on est conduit à décomposer un moment statique t, d’une direction donnée, en deux autres /, et /, , dont on connaît également les directions.

t'ouiposition graphique des iiiouieiits de torsioQ et de

fie^don.

En dehors des efforts de flexion, certaines pièces de macliincs ont à supporter des efforts de torsion; le plus souvent même elles se trouvent soumises simultanément aux deux genres d’efforts. Les moments de torsion, coinmc il est fiu-ile de le comprendre, peuvent se rejirésenter par des surfaces analogues à celles que nous venons d’indiquer pour les moments de flexion. Ainsi, ABCD, fig. I(i3, étant l’axe d’un eorps de rotation, supporté en A et D et soumis, en B et C, à des forces ipii tendeut

MOMKXTS l»K TORSION.

il pl•o(lllir^^ iiiic flexion, nous pouvons construire, eoininc prêeé- (leininent, le polypinc des forées 0 2 et la snrl’acc des moments

Ahr.lK Si le corps, entre R et C, est sonmis, en outre, à un effort de torsion P, dont le bras de levier soit R, nous aurons à déterminer la surface <le moment correspondante. D’après le §13 et la règle de miiltijilication du §22, I, pour obtenir la ligne représentative de PR, nous devons porter d’abord P, de A en J), dans le polygone des forces, et joindre Op] en menant, parallèlement k Ap, une ligne qui soit è une distance R du point O, les deux rayons polaires OA et Op prolongés déterminent, sur cette ligne, une longueur qr, qui donne le moment Pli, exprimé avec l’unité OE, qui a déjà servi pour le polygone Ah cl). La surface des moments pour la torsion, entre R et C, se trouve dès -lors représentée par le rectangle RCuv, dans lequel Ru = Cv •= qr. Ordinairement, dans les problèmes pratiques, ce rectangle de torsion doit être comparé et rapporté aux moments des forces de flexion, qui agissent simultanément, et il comient, dès lors, de le remplacer par un moment de flexion équivalent, c’est-à-dire correspondant à la même sécurité pour la pièce. Or, d’après le § 18, ce moment de flexion doit être égal à % du moment de torsion. Si donc on prend Ru, => = */g rectangle Bu,i\C qu’on obtient représente,

à la même échelle que le polygone AbcD, la surface des moments fléchissants, susceptibles de remplacer les moments de torsion entre R et C.

Si les moments fléchissants, ainsi obtenus, doivent être combinés avec les autres moments fléchissants, il suffit d’effectuer une addition graphique des deux surfaces, pour arriver au résultat précéilcmmeut fourni par les formules du § 18. — D’après ces formules, le moment idéal de flexion Mi, qui, en chaque

UÉTliltMlNATlON DU CKN’rKK DK «IDiVlTK.

point, peut être nnhstitué au moment de torsiwi il/, et au moment de flexion il/,, a pour expression;

ii/, = % ü/, + % y +

Pour représenter cette valeur, j)renons Bhi = */g lih, 6V, = \ Ce, Ec, = */g Ec etc., ralxittons Bu,, Ci\, Ew, sur AD et additionnons les liypothénnses et c, w', respective-

ment avec les lignes bb,, ce, etcc,. Ia‘s sommes, ainsi obtenues, représentent les grandeurs des ordonnées, aux points B, ü et E du polygone tinnculaire idéal Bbb’cccD, correspondant à !’enscnd)le de toutes les actions auxquelles le cor])S se trouve soumis.

Dcteriiiiiiatioii du ecutre de gravité au moyen du plan

des forces.

La détermination du centre de gravité d’une surface plane peut s’effectuer, souvent d’une manière très siiiqjlc, î\ l’aide du plan des forces. A cet effet, on commence i)ar diviser la figure en tranches minces d’égale largeur, de telle sorte que la surface de clnuiuc tranche puisse être- considérée comme i)ro])ortionnelle à sa longueur moyenne. Si, avec ces différentes longueurs, on construit un polygone des forces et un jiolygone fuidculaire, la direction de la résultante fonniira une ligne passant par le centre de gravité. Si la figure n’a pas d’axe de symétrie, le tracé précédent devra être répété, en adoptant une autre direction pour les tranches; on obtiendra ainsi une seconde ligne qui, par sou intersection avec la première, détemnnera la position du centre de gravité. Dans certains cas, au lieu de tranches minces, on peut faire usage de surfaces d’une certaine dimension , déterminer leurs mesures, d’une manière quelconque, et utiliser ces dernières dans le tracé graphi»iue.

Supposons, par exemple, (ju’oii ait à déterminer le centre de gravité d’une section dont la tonne soit celle de la fig. 104. La figure étant symétrique par rapj)ort à l’axe Y Y, le centre de gravité doit déjà se trouver sur cette ligne. Décomposons maintenant cette figure eu trois rectangles, dont les surfaces, rei>résentées respectivement par b x c, b, x c, et 6» x r/, ont leurs centres de gravité en leurs j)oints milieux. Si on snpjMisc qu’on ait c=l,5àj. Cl “■i'j, les forces, correspondant «aux surfaces

IIÊTKKMI.NATIOS OU ( KNTUK t>K «KAVITÉ.

precedentes, jicuvent être exprimées par 1,5 x ^ et ^ et

portées , 5 la suite les unes des autres , eu ^ l 2 3. Si nous elioisissons un pôle O et si nous meiioiis les ligues K^' AT, K^,

Fig. 104.

K^K^, K^K^' respeetivement parallèles OA, 01, 02 et 03, le point d’interscetir)u M des côtés K, K, et K,j K^' est un point de l’axe vertical M 3[’, passant par le centre de gravité elierehé. Ce point S se trouve donc déterminé par la rencontre de cette ligne avec l’axe de symétrie l’Y.

Résultaiiitc (les actions de rean dans une rone hydraulique.

Dans l’étude d’une roue liydrauliaiuc, il est souvent essentiel de connaître la position de la résultante des actions exercées par l’eau; elle ))eut se déterminer t'acilcment à l’aide des principes fine nous venons d’exposer et que nous allons appliquer, comme exemple, h une roue il augets.

Si nous représentons en coupe, fig. 105, la moitié d’une roue de cette espèce, le troisième auget, à partir du haut, re(,oit l’eau motrice et se remplit d’une certaine traction de son volume, fraction (pii varie avec certaines circonstances de l’installation, telles (pie la forme de l’anget, la vitesse do rotation, etc. Si nous admettons que, dans le mouvement de descente, le niveau

120 DÉTEKMINATION DU CENTKE DE OIUVITÉ.

do l’ean dann chaque auget reste horizontal (ce qui n’est pas rigoureusement vrai), il est facile de déterminer la position de l’auget, pour laquelle l’eau commencerait à en sortir, si le coursier KL Md venait pas s’y opposer. Si, de plus, nous négligeons les pertes d’eau, dues au jeu qui existe entre ce coursier et la roue, tous les augets, depuis le troisième jusqu’au dixiéme inclusivement (le nombre des augets pour la moitié de la roue étant supposé égal à dix), contiendront la même quantité d’eau et, dans chacun d’eux, le poids de cette eau sera naturellement appliqué an centre de gravité du prisme liquide correspondant. Nous admettrons d’ailleurs que, dans la position de la figure, l’augct XI soit déjà vidé.

I. Détermination de la longueur de l’arc du coursier il L. La capacité d’un auget est évidemment équivalente à celle de la partie de la couronne, comprise entre les deux plans menés par l’axe de la roue et ]>ar les lignes de division des fonds de deux augets voisins. Supposons maintenant que le coefficient de remplissage soit 0,4, c’est-à-dire que chaque auget reçoive une quantité d’eau égale aux deux - cinquièmes du volume que nous venons de définir. Si, dans l'anget I, nous prenons l’arc kl égal à 0,4 de la division et si nous menons le rayon Im, la section klmn sera équivalente au profil que présentera l’eau dans l’auget. Pour l’auget II , cette section se trouve remplacée j)ar le quadrilatère équivalent rp « t , dont un sommet t coïncide avec l’extrémité de la palette rt. L’angle ktu représente la valeur cherchée de l’angle KML du coursier et uiM le complément KM N de cet angle.

La transfonnation du profil klmn en quadrilatère s’effectue de la manière suivante: on construit d’abord le triangle rectangle opq, en prenant le côté op égal à la largeur moyenne de klnnt et le second côté pq = 2 ■ Im-, de ce triangle on passe ensuite au triangle équivalent rps, en menant ou parallèle à rq et en joignant les points r et s (v. § 25). Si maintenant on mène ta ligne s f et sa parallèle ru, il suffit de joindre les points u et /, pour obtenir le quadrilatère cherché rpul (l’arc pu, vu sa faible courbure, pouvant être considéré comme une droite). On prend ensuite l’angle KMN égal k ut M et on prolonge le coursier d’une certaine longueur KJ, pour tenir compte des remous de l’eau.

II. Détermination du niveau de l’eau dans les différents augets. Nous allons d’abord effectuer le tracé

KKTKKMINATKIS Dit CKNTIU': l>K (iUAVITK,

Fig. 105.

122 IiKTKUMIXATtON DU CENTIŒ I>E (ÎUAVITÉ.

pour l’aiigct IV. A cet effet, on comniencc par re]iorter sur cet aiigct le (piadrilatêre rput, ])iii.s, par rexfremité on trace une ligne arbitraire i'v, h la<|uelle on mène une parallèle ii w par le point il'; en taisant varier la direction de t'v, on finit, après quelf|ues tâtonnements, par obtenir une ligne vw horixontale, qui donne, dans ce cas, le niveau cbcrchè. C’est ainsi qu’on a dèterniiné la ligne indiquée sur la figure, de même que les lignes analogue.s j)our les augets V, VI et VII.

Dans l’auget III, la figure rjyut a d’abord été transformée en un second ([uadrilatère, ayant ])Oiir efitê supérieur px, puis ce quadrilatère a été rein|)lacé lui -même par un pentagone, dont le eèité supérieur horizontal est yz.

Pour l’auget Vlll, on a employé une troi.sième méthode: le quadrilatère primitif rput transforme a donne d’abord la figure terminée ]nir la ligne //, x^ , j)uis celle qui est limitée par le côté horizontal 1/,^,. Ou a ])rocédc de la même manière pour les augets IX et X.

III. Plan des forces pour les volumes d’caii des augets. On commence par déterminer tes centres de gravité

A, B n des huit augets pleins, en faisant usage des règles

données dans ta IV” section de cet ouvrage. Les huit forces égales, qu’on obtient ainsi, pennettent de tracer d’abord le polygone lies forces AO», puis le polygone funiculaire dbeafgbi. Le point i aiijiarticnt à la direction de la résultante de toutes les forces partielles. On peut remarquer, sur le dessin, que les centres de gravité C et I) se trouvant sur des verticales très rapiirochécs, on peut composer les deux forces qui y sont appliquées ét mener itl et db, respectivement parallèles à OA et 02, sans avoir besoin de tracer une parallèle à Ol.

Il est facile maintenant de trouver le centre de gravité réel de tous les prismes liquide.s. Après avoir mené des horizonUdes

par les points A, B, C supposons qu’on fasse tourner de 90"

le polygone des forces A OH et formons, avec les parallèles aux nouveaux rayons polaires, nn second polygone funiculaire ou, ce qui conduit au même résultat d’une manière jilus simple, menons les côtés de ce polygone normaux aux rayons polaires de .fl 08; nous obtiendrons ainsi le second polygone funiculaire ab'c'd'ef— t- 1a; centre de gravité cherché doit se trouver sur l’horizontale menée par le point i'; il sera donc, en définitive, déterminé par l’intersection de cette ligne avec la verticale menée par le point i

l'I.AN DKS FOUCES DANS IJiS CIIAUPENTK.S.

La position de la lipic iP doit évidemment varier un peu avec la position des aiigets; mais, dans une roue bien construite, cette variation est extrêmement t'aihlc. Le procédé que nous venons d’indi<iuer a donc le grand avantage de l'ournir, d’une manière simple et rapide, une solution, (pii sans être rigoureusement exacte, comporte cejiendaut une très grande approximation.

IMaiis des forces dans les charpentes.

Dans les différents genres de constructions on l’ait usage de pièces assemblées, composées de parties droites, dont la réunion constitue des systèmes invariables; tels sont, jiar exemple, les poutres, les fermes de ponts et de toitures, les balanciers, etc. Les efforts de tension ou de compression, qui s’exercent dans ces pièces, peuvent être représentés très -simplement au moyen du plan des forces, que forment le polygone des forces et le jiolygone funiculaire. Nous allons donner ici quelques cxcnqiles d’application d^ la méthode. Dans les différents cas que nous allons examiner, chaque joint sera considéré comme une articulation jiarfaite, ou, du moins, on ne tiendra pas compte de sa résistance à la flexion.

Pour construire le plan des forces, dans un système de pièces assemblées , dont la disposition est indiipiée sur un dessin, on doit d’aliord eoimncnccr jiar déterminer, d’après les conditions du jiroblème, la distribution des forces, puis partir d’une de ces forces pour la décomposer suivant les directions des pièces droites, qui constituent rassemblagc correspondant; les forces partielles, ainsi obtenues, transportées aux jioints d’assemblage voisins, doivent être composées rcsjiectivcmcnt avec les forces extérieures, appliquées en chacun de ces points; chaipie résultante doit ellcmême à son tour être décomposée suivant les directions des jiièccs de l’assemblage correspondant, etc. Les triangles ou quadrilatères consécutifs, que l’on détermine ainsi, constituent le plan des forces.

Pour lever toute incertitude sur la direction des composantes, jiar lesquelles on doit remplacer une force donnée, ou préalablement déterminée, il suffit de se rcjmrtcr aux jirojiriétés du polygone des forces (§ 32). Nous rappellerons notamment ici

ri-AN DKS F0RCK8 DANS I,KS CIIAKPKNTKS.

les deux suiviuitcs: pour décomposer une Idrce en deux ou plusieurs autres, on doit renverser la flèclie qui indique sa direction et la prendre alors pour li{;^c de fermeture S' (fig. 1U6) du polygone des forces comiHisantes.

8i on vent reuq)laccr deux ou plusieurs forces données par deux on plusieurs autres, le polygone des premières forces et celui des nouvelles ont la meme ligne de fermeture S, fig. I(i7.

Fig. 100. Fig. 107.

Cette dernière règle contient d’ailleurs la première, comme cas particulier, attendu qu’une force unique doit être considérée , dans un tracé, comme un j)olygone de forces non fermé, ilont la ligne terminale s’obtient précisément, en revenant au point d’origine, c’est-à-dire en marchant dans un sens opposé à celui de la force.

Pour déterminer avec sécurité, dans un projet de charpente, la manière dont travaille chaque pièce, il suffit, en cas de doute, d'imaginer que (Tttc jiiécc soit coupée et qu’aux deux extrémités on a])pli<pie des forces extérieures, dont l’action soit la même que celle des forces intérieures; la direction de ces forces extérieures fait immédiatement connaître la manière dont travaille la pièce considérée.

Plans des forces pour les poutres armées.

1. Voutn'. à um sruh contre fiche, fitf. 10H. La poutre A B C qui, en son milieu B, normalement à AC, jtortc une charge

2 P, repose, en A et ü, sur deux appuis simples, dont chacun développe une réaction égale à P, puisque l’on a AB •== BC.

PLAN DES FOUf^ES POi:i{ I,ES POl TItES ARMÉES. 125

Proposons nous de déterminer les efforts que supportent les difl'érentes pièces du système 1 , 2 5.

Dans la petite fifture, dèsi{;^ièc par n, nh représente la force P, qui aj^it en, A de has en haut. Cette force doit être décomposée, suivant AB et AD, en deux autres, qui représentent des forces intérieures de renseinhlc du système. Pour plus de sinqdieité, nous dési{,'ncrons ecs forées intérieures par les n'“ des pièces corresjMmdantcs et nous mènerons 1 et 2, resj)ectivcment parallèles k AB et à A D. Pour que la ligne de fermeture du triangle des forces, ainsi obtenu, ait la direction de P (e,-à-d. pour que la résultante des forces 1 et 2 soit dirigée en sens contraire de la force P, V. § 48), les forces doivent être dirigées, comme l’indiiiuent les flèches de la fig. 1 08 a. La pièce A B travaille donc par compression, tandis que la pièce AD est soumise k une traction. Pour j)lu8 de clarté, dans cet exemj)le et dans ceux que nous donnerons après, nous adopterons la convention suivante: dans les pièces travaillant par compression, les forces seront représentées par un double trait, tandis (pie dans les pièces soumises il des efforts de traction, elles seront figurées par un trait simple.

Pour le même motif, dans le tracé de la poutre, nous donnerons une largeur appréciable aux pièces (pii iqrfssent comme contreficbcs , tandis que les tirants seront représentés par de simples lignes.

Cette convention faite , nous avons à composer 2 P = o // c avec 1 et, jionr cela, à construire le triangle dae, en remarquant (pie, dans la pièce 1, la coiiqircssion s’exerce de A vers B-, si nous décomposons la ligne de fermeture du triangle (représentée en pointillé) horizontalement et verticalement, nous obtiendrons les deux forces 3 et 4, qui sont toutes les deux des compressions; la composition de 2 et 3 fournit la force 5, qui est une traction. Le plan des forces se trouve ici composé de deux parties symétriques, comme on imivait le prévoir à priori, en raison de la symétrie de la poutre par rapport à son milieu; nous aurions pu, par suite, nous borner à l'étude des forces de l’nne des moitiés.

8i l’on suppose que la charge 2 P, au lieu d’être appliquée en un seul point Ji, soit uniformément répartie sur toute la longueur ABC, chacune des jsirtées, AB et BC, donne lieu à un effort

PT,AN OKS Ff)UrKS POriî I,KS POl’TUKH AltMKES.

en cliacun des ])oints d’assemlilaj^e A, B et C, de telle sorte ([u’cn détinitive la iiiùee peut être considérée eoinine soumise à

deux forces —, en A et ü, et à une force F en B. On obtient

alors le plan des forces h, lequel est j;êoinétriqueincnt semblable au précédent, niais avec des dimensions linéaires moitié moindres.

II. PoHlrr à deux cnntrefiehes. (Cette disjiosition est fré- ((uemment employée dans les jionts à bascule, les wagons etc.), fig. 109. Kn B et C agissent deux forces verticales F, en A et 7) deux autres forces, égales aux premières, mais dirigées en

Fig. 109.

sens contraire. Dans .le plan des forces n , on jirend nh = P, on mène les lignes 1 et 2, parallèles respectivement à AB et ji AB, et on obtient ainsi les forces 1 et 2, qui représentent, comme précédemment, la première une compression, la seconde une traction. Cette dernière force, décomposée suivant deux directions parallèles à BE et à EF fournit deux nouvelles forces, une traction .5 et une comiiression 3. Les forces 3 , 1 et F, composées en B, fourni-ssent , d’après le |dan, la force de compression 4. La seconde moitié de la jioutrc étant symétrique de la première, nous n’avons pas à nous en occuper.

Si les forces verticales en A et B n’ont pas la même intensité, ce qui se présente fréquemment dans la pratiipie, l’articulation en B n’est plus admissible, à moins d’ajouter des pièces de renforcement EC et B F. Le plan h correspond à cette disjiosition. Si F, a,b, agit en .4, P, = Ci cnit,, la déconijiosition de 2, parallèlement k EB et EF, donne une force verticale 3, différente de celle qu’on obtient, en déconipos.ant la résultante de Pj et de 1 suivant les mêmes directions EB et EF. Si donc on supprimait les tirants en croix, l’assemblage tendrait à se déformer et les pièces finiraient jiar prendre, les unes ]iar rapport aux autres, des inclinaisons telles ([ue les deux

pr.AN i)i-:.s tfiucES poru lks pouthks akmées.

modes de déeomposition ])rêeédcnt.s loiiniisseiit la niêinc valeur pour la eainpressioii 3.

111. Poutre à trois contrvfichcs. Fi{ç. 110. Le l)laii qui rej)ré.sente la poutre indique le mode de répartition des forees. On eommenee par décomposer la iorce ;iP= nhc en deux t'orees 2 et 1 , ou ce et en\ on compose ensuite 1 avec ah = 27', et on <lécomi)osc la résultante t>e suivant ef et fh, ce qui donne 3 et 4; la résultante fc de 2 et 3 tdurnit, par .sa déconqio.sition, eu f(j et (fc, les ibrccs f) et G. Comme les deux tractions G et 10

Fig. 110.

doivent être éfrales, en menant ch parallèle à GH et éfral à cij, on obtient i/h = 7. Kn vertu de la symétrie de la pièce et des charges, l’autre itartie du i)lan des forces n’est que la rej)roduction de celle que nous venons d’indiciuer.

IV. Autre disjMsition de poutre à trois contrcfielies. Fig. lit. La travée H C a une longueur doulde de celle de la travée A 7/ et la charge 12 7' est supposée uniformément répartie, ce (|ui donne, pour les divers points d'assemblages, les forces indiquées par la tig. 111.

Dans le jtlan des forces, on prend nhc =5 7' et on décompose cette force suivant ne et ce, ce (|ui donne 1 et 2; les

Fig. ni.

forces 1 et 3 P (assemblage Ji) donnent une résultante qui, décomposée suivant ef ci fh, fournit 3 et 4; on obtient de même les forces 5 et G, parallèles î\ FC et FG, au moyen de la résultante ef des deux forces 2 et 3; ici, la force 5 est une com-