PLAN DES FORCES POUR LES FERMES

équilibre les réaerions [(J des appuis A et B, de telle sorte qu’on a Q ^ H- P,.

Fig. lit*.

Dans le plan des forces, tib P,, 6c=> Pj, vd P, et, par suite, ad ^ Q; la décomposition de ad, parallèlement h AB et AJ, donne, en ca et de, les forces 1 et 2; de même, la résultante de l et de P, fournit, suivant cf et f'b, les forees 3 et 1 ; de la connaissancÆ de 2 et 3 on déduit facilement 5 et 6 (gf et d(j). La résultante ge des trois forees 4, .5 et P„ par sa décomposition suivant deux directions parallèles à CK et CD, donne 7 et 8. On continue ainsi jusqu’à ce qu’on arrive, en kd, à la force 12, qui complète la première moitié du plan des forces. Les pièces KL, DL, EL et ML travaillent toutes par traction.

Plan des forces d'une ferme, en tenant compte de la pression du vent.

Lorsqu’on veut établir, avec une certaine précision, des fermes d’une grande portée, il convient de tenir compte, non seulement des charges, résultant du poids de la toiture ellemême et de celui de la neige, mais encore de l’action du vent, laquelle, dans certains cas, est loin d’être négligeable.

Pour montrer, par un exemple, comment on peut appliquer la graphostatique à la solution de ce problème, reprenons la

que sur l’une de» faces de la toiture, AB. Soit W la résultante des actions du vent, dirigée normalement à AB, et P la eharge verticale totale sur cette même face; la composition des deux forces Pet ir donne une résultante, dirigée suivant FS et dont la grandeur est représentée, sur le plan des forces, par CC,. L’antre arbalétrier BD est soumis uniquement à la force verticale P, appliquée à son point milieu J.

Si on prolonge la direction de cette force verticale jusqu’à sa rencontre avec la résultante précédente, le point d’intersection S appartient à la résultante de toutes les forces qui agissent sur la toiture. Si, dans le plan des forces, on prend c, a P, la ligne UC représente cette résultante; la ligne ST, menée par le

fiJVN DKK KUKIUS i'Ol'Ii LES FERMES. 135

ferme de la tig. lis et supposons cette ferme soumise , en dehors des forces verticales, à la pression fr du vent (fig. 120).

Nous avons à déterminer d’abord les forces (J, et aux points A et D, en supposant que la pression du vent ne s’exerce

Kia. 120.

PLAN DKN FOKl'KN l’oru LP> FKKMKS.

13ti

point S, parallùlcnu'iit à ac, donne donc sa direction sur le trace de la l'enne. Pour déterminer luaiutennnt les forées y, et V,, reportons-nous aux considérations du S 34; nous avons vu <|ue, dans le cas où ou a, coinnie inconnues, deux forces, qui doivent satisfaire, à la condition de fermer le polygone, il est nécessaire d’avoir ])our ees deux forces au moins deux données. Or, ici nous possédons des éléments suffisants pour déterminer les directions de y, et

La pression du vent donne lieu à une poussée horizontale, qui doit être détruite par la résistance des appuis (murs ou jmteaux). On aura à examiner, dans chaque cas particulier, si e«s deux aj»puis sont susceptihles de se déidacer horizontalement de la mciue quantité ou si, au contraire, leurs déplacements doivent être ditférents; dans ee dernier cas, la ixmssée devra être répartie proportionnellement à ees déplacements. Cela fait, au point d’intersection de ST et «le AD, on décompose ac, suivant la verticale et l’horizonUde , puis on détermine (d’après le S 39) les comjjosantes de la première force pour les deux appuis ; on compose ensuite ces forces avec celles qui proviennent des actions horizontales.

Il arrive fréquemment que l’un des appuis ne soit pas susceptible d’éprouver un déiilacement horizontal; c’est ce qui se présente notamment, lorsque l’extrémité d’une ferme repose sur une colonne ou un pilier isolé; dans ce cas, tout le déplacement horizontal doit se reporter sur l’autre appui, qu’il lonvient de renforcer en conséquence. C’est ainsi, ]uir exemple, que sont établies la plupart des halles de chemins de fer, dans lesquelles on suppose que l’appui D ne peut otfrir de résistance que daiw la direction de la verticale. Cette hypothèse permet de déterminer la direction de l’autre force.

8i, en effet, on prolonge la verticale de D, jusqu’à sa rencontre avec S T, et qu’on joigne le ])oint d’intcrscetion au point A, on obtiendra la direction de la force appliquée à ce point A. Cette force et celle du point D ne représentent pas toutes les forces extérieures qui agissent aux points d’ajjpui; il faut leur joindre les composantes qui ])roviennent de la charge de la toiture. Pour déterminer ces inconnues, décomposons la résultante de P et de W sur les divers points d’assemblage de A If et la force P sur ceux de DD. Nous obtiendrons ainsi la force P,, pour le point A, et P,, pour les autres points D, F et 6r.

l’I.AN liKS l'-KUCHUS 1,KS KKIÎ.MKS.

Au point B agit la i'orcc J\, aux points H, J et K la l'on’e

P., = et enfin, au point D, la force verticale P, = —

Dans le plan des forces, nous devrons donc faire cd=*P, , de =*= <■/' = /■;/ = P,, (jh = P,, hi — ik = kl = P^, lu = P^ et nous obtiendrons finalement les lignes hl et bd, qui représentent, la première la réaction en J), et la seconde la réiietion Q,, en A. La détennination des forces partielles, agissant aux différents points d’assemblage, est maintenant facile. Isi décomposition de bd ^ V,, parallèlement à AB et AL, donne, en bm et md, les foR’es 2 et I; de la même manière on déterminera

successivement toutes les autres forces, jusqu’à la' tension du tirant BC, pour laquelle on obtient rs» 12, le point s étant l’intersection de la verticale rs avec la ligne h s, menée par le point h, parallèlement à BD. On trouvera ensuite sans peine

les forces 15, 16 25 de la seconde moitié de la ferme. Il

est d’ailleurs facile de reconnaître, sur le plan des forces, que

l'I.AN KKS KOKCKS l'Ol U I.KS KKKMKI<.

les pièces symétriquement placées ne sont pas soumises aux mêmes efforts.

La détermination des forces partielles peut également s'effectuer, en commençant par la force 2.5, qui serait donnée par le triangle xhl, et, comme on doit évidemment retomber ainsi, pour les forces, sur les valeurs précédemment trouvées, cette seconde opération constitue une véritication de la première. Le point X ébint déterminé par l’intersection des lignes hx et Ix, qu’on peut tracer dés le début, on se trouve avoir une vérification immédiate de l’exactitude du premier tracé en ce que la dernière ligne de la construction wx, menée parallèlement à K O, doit passer par ce point x. Pratiquement, pour obtenir cette vérification, c’est-à-dire pour que le dernier triangle se ferme, il faut que le tracé ait été effectué avec le plus grand soin.

Si l’on compare les forces données par le tracé de la fig. 121 avec celles de la fig. 118 (établie à la même échelle), on voit que l’influence de la pression du vent est loin d’être négligeable. Du reste, pour achever complètement l’étude de la charpente précédente, il y aurait lieu d’effectuer un second tracé, en supposant l’action du vent s’exerçant sur la face BD.

Plan des forces pour une pièce en treillis, libre à une de ses extrémités.

Les pièces en treillis, en fer ou en fonte, trouvent un assez grand nombre d’applications dans la construction des machines ; on en fait usage pour les balanciers, les bras de grues, etc. Nous allons Indiquer, sur quelques exemples, le mode de calcul de ce genre de pièces.

1. SupjHtrl CH treillis formé de pièces droites. Fig. 122. Considérons une pièce, fixée à l’iinc de ses extrémités, en B et C, et supportant à l’antre, en A, une force P, perpendiculaire à un axe, par rapport auquel nous supposerons la pièce symétrique. \je diagramme des forces peut s’établir de la maniéré suivante: on prend ab = P et on décompose cette ligne suivant les directions des pièces l et 2; «c et ftc représentent alors les forces 1 et 2. Chacune de ces forces se décompose à son tour en deux antres, 1 en 3 et 4, 2 en 5 et 6, à l’aide des triangles