TV

C’est an moyen des formules précédentes qu’a été dressée la table que nous donnons ci - après, jiour les arbres en fer. De la comparaison des nombres fournis par cette table, il résulte qu’un arbre, tout en présentant une sécurité complètement satisfaisante au point de vue des déformations permanentes, peut cependant n’avoir que des dimensions tout- à- fait insuffisantes au point de vue de la torsion. Supposons, par exemple, qu’un arbre, de H" de longueur, soit sollicité à l’une de ses extrémités par une force de lOO’’, agissant sur un bras de levier de 500"“ et qu’il s’agisse simplement de transmettre ce moment de rotation de 50000‘"“ à l’autre extrémité; d’après la ligne 2 de la table, U suffirait, pour cela, de donner à l’arbre un diamètre de 35"“. Mais, sur la même ligne, le nombre de la colonne 4, indique que ce moment est environ dix fois plus fort que celui qu’on peut admettre pour la torsion d’un arbre de ce diamètre et, d’après ce que nous avons dit précédemment, le déplacement de deux points des extrémités, situés primitivement sur la même fibre, correspondrait, dans ce cas, k un angle de 10.8. V4 “20®. Comme, d’après ce que nous avons admis, l’angle de torsion, ne doit pas dépasser V4® par mètre courant, c’est dans la colonne 4 que nous devons chercher le moment qui nous est donné; il ne SC trouve pas directement dans cette table, mais il est compris entre les nombres de la 7” et de la 8° ligne; nous devons donc prendre, pour le diamètre, un nombre intermédiaire entre ceux qui, pour ces deux mêmes lignes, se trouvent dans la colonne 1; nous trouvons ainsi 63"" environ pour le diamètre qu’il convient de donner à l’arbre; d’après la colonne 2, au point de vue de la résistance, cet arbre pourrait être soumis à un moment six fois plus considérable.

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

Pour les arbres d’une faible longueur, où la valeur de ^ est naturellement toujours très - petite , la considération de l’angle de torsion n’a qu’une importance secondaire.' En principe, il conviendrait donc, dans chaque cas particulier, de tenir compte de la longueur de l’arbre, pour déterminer la grandeur de l’angle de torsion qu’on pourrait admettre comme limite.

La table que nous donnons, pour les arbres en fer, peut également servir à déterminer les diamètres des arbres en fonte, à la condition* de prendre pour d, dans chaque eas, le nombre correspondant à une valeur double de celle qui est donnée pour N ’

PR ou — • ‘

La charge limite admise pour l’acier étant les */, de celle du fer, il en résulte que, pour obtenir les diamètres d’arbres en acier, il suffit de multiplier ceux que la table donne, pour les

arbres en fer, respectivement par y 0,6 ou 0,8.1 et y 0,6 ou 0,88, suivant qu’on les calcule an point de vue de la résistance, ou, au contraire, au point de vue de la torsion.

lirmarque. Les arbres, qai sont exposés à de fortes variations de force vive, comme, par exemple, les arbres de laminoirs, de volants, etc., présentent des dimensions notablement supérieures à celles que donneraient les formules précédentes; les arbres de cette espèce constituent une constniction spéciale, qui n’est pas soumise aux principes généraux que nous avons admis.

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

Arbres en fer forgl?.

Galculi'a au point de vup de la résistance.

Calculés au do la (Arbres

[loint de vue

«rsiun.

moteurs.)

fcO

itO

rALClIL DES AltBRES DE TRANSMISSION.

I" Exemple. Une chaîne de grue exerce un effort de 2T00'‘, lattgen- Uellcment au tambour sur lequel elle est enroulée et dont le rayon (me.<iuré juequ'à taxe de la chaîne) est de iSî"”,- quel diamètre dolt-on donner à l'arbre en fer du tambour pour qu'il puisse transmettre cet effort? Dans ce cas, on a PU — 2700185 =» 499500 et, comme on ne doit avoir égard qu'à la résistance, la ligne 10, colonne 3, indique qu'on doit prendre = celle dimension doit être, en réalité, légèrement augmentée , pour tenir compte de l'effort de flexion, aiujuel l'arbre se trouve également soumis (V. § 109).

2". Exemple. Une turbine doit transmettre un travail de 93 chevaux par V intermédiaire d'un arbre horizontal, en fer forgé, ayant mic vitesse de 114 tours par minute et une longueur de 3",6. Pour déterminer le diamètre

à donner à cet arbre, renuirqiujns qu'ici — ■= = 0,807. Au point

de vue de la résistance, il suffirait, d'après la table (colonne H, lignes 10 et 11), de prendre, pour ce diamètre, 78'”"' environ. Mais si Von r«i( que l'angle de torsion, par mètre de longueur, ne déliasse juis '/«“j ce qui corre.spond à */s° pour la longueur totale, la même table indique (colonne 5, lignes 16 et 17) qu'on doit prendre d — 115’°'”. Dans une installation, où les données étaient identiqiiement les mêmes que pour notre exemple , on a donné à Varbre intermédiaire un diamètre d = 135'°'°; ce qui a eu pour résultat de diminuer encore la valeur que nous avions admise pour Vangle de torsion; une partie de l'augmentation de diamètre peut d'ailleurs être considérée comme correspondant aux efforts de flexion. Avec le diamètre d= 115”"°, l'arbre se trouve présenter une résistance supérieure à celle du premier cas, dans le rapport

Arbres de transmission des machines.

Dans les calculs précédents, sur le diamètre des arbres, nous n’avons pas tenu compte des forces qui peuvent tendre à leur donner un mouvement de flexion. En réalité, il existe toujours des forces de cette espèce, excepté dans les cas oti le mouvement de rotation est produit par de véritables couples. Pour les arbres de transmission des usines, les forces qui tendent à produire la flexion consistent, dans la plupart des cas, en tensions de courroies et pressions de roues d’engrenages, auxquelles il convient d’ajouter les poids des divers organes. Si on voulait tenir compte exactement de toutes ces forces , on serait conduit il des calculs d’une extrême complication. De plus, il est d’usage, dans la pratique, de ménager sur ces arbres de longues portées, sans changement de tliamétre, afin de pouvoir déplacer à volonté les poulies des courroies , qui servent généralement à transmettre le travail. On arrive, pour ces portées, à des

CAI.Cri, DES ARBRES DE TRANSMISSION.

valeurs partaitenieiit. admissibles , en se, boruaiit à les caleuler par les formules de torsion (100) ou (101), suivant qu’il s’agit d’arbres en fer ou en fonte. Les arbres ainsi ealculés présentant, eomine nous l’avons vu, une résistance généralement très -élevée, il en résulte qu’on peut négliger, sans hésitation, les forées de flexion, que nous avons indiquées précédemment et qui ont des valeurs relativement faibles. Pour arriver à diminuer le diamètre, il suffit d’augmenter le nombre » de tours par minute; ce nombre s’élève de 6o et ho à 120, 14o, 200 et même au delà, lorsque la machine à mouvoir doit tourner très- rapidement. Les arbres moteurs verticaux ont généralement une vitesse de rotation plus faible que celle des arbres horizontaux; lorsqu’un arbre vertical traverse plusieurs étages, on le diminue à chacun d’eux d’une quantité correspondant an travail transmis à l’étage intérieur. Les arbres verticaux de cette espèce s’exécutent assez souvent en fonte; on emploie également cette matière pour les longues transmissions horizontales, qui n’ont à transmettre aucun travail sur leur parcours.

Dans la pratique, la détermination des diamètres des arbres présente d’assez graves contradictions. Ainsi, certains arbres, pour lequels la solidité est une condition essentielle, se trouvent soumis à des tensions très -élevées, comme, par exemple, les arbres à manivelles des locomotives, pour lesquels la tension s’élève jusqu’à 9 ou lO*', et les arbres d’hélices des navires à vapeur, où elle peut aller de 5 à fi‘. Dans un grand nombre d’usines, au contraire, on rencontre des arbres de transmission qui ont à supporter une pression très -faible (ce qui tient le plus souvent à ce qu’on les a calculés, avec raison d’ailleurs, en ayant égard à la torsion); nous devons ajouter, il est vrai, que, dans d’autres usines, les mêmes principes ne se trouvent pas observés et que les arbres, en raison de la faiblesse relative de leurs diamètres, subissent des torsions très -considérables.

L’examen comparatif des arbres de transmission, dans les différentes installations, présente, du reste, d’assez grandes difficultés, en raison de l’incertitude qui existe généralement sur le travail réellement tran.smis par un arbre et qui n’a souvent aucune relation avec le travail nominal, pour la transmission duquel cet arbre a été primitivement établi. Nous nous bornerons donc à faire remarquer que l’emploi des formules, précédemment données liour la torsion, conduit à des valeurs qui, légèrement augmentées

CALCDI- DES ARBRES DE TRANSMISSION

pour les arbres d’une très -grande longueur, présentent une concordance très - satisfaisante avec celles qu’on peut déduire de l’examen d’un grand nombre d’installations.

Quelques exemples rendront plus intelligibles les remarques qui précédent et qui, jointes à celles du paragraphe précédent, présentent une assez grande utilité i»our le constructeur.

i'^ Exemple. Dans un graïul navire de guerre, dont les machines ont erécutées à l'usine d'Indret, l'arhre de Vhélice est commande ;*ir deux pestons à rafieur, gui exercent une pression dcHOjDOO^ sur deux manirelles, de J.70”” de longueur, calées à angle droit. Entre la partie coudée et Vhélice, cet arbre présente une longmuir de 33'^ et un diamètre de 380“'°, Si on calcule cet arbre, en ayant égard simplement à la résistance, comme ici PR <=> 3-^'j^- 80000-550=<j3210000‘‘ '°"‘, on doit prendre, d’après la formule (98), d =« 0f)3 \^6331GOOO—37IP‘'^,4, râleur qui .se raigmtche beaucoup de celle de l'exécution et gui correspotui à une tension maximum de ô'* à la circonférence. Si on rmdait, au contraire, s’imi/oser la condition que Vangle de torsion ti« dépassât pas ‘Z," par mètre, soit, pour toute la longueur, **/,",

on derrait , d'après la formule ( 100), prendre d — 4,13 ^63316000 =■ râleur légèrement inférieure à celle que donne la considération de la résistance. Avec la valeur admise pour l'exéciUion, lu valeur de Vangle total de torsion doit donc être légèrement au-dessous de .î“Va-

3". Exemple. Dans la filature de Saltair , un arbre vertical en fonte, faisant 93 tours par minute, doit transmettre <m travail de 300 chevaicx ; .son diamètre est de 10 pouces anglais ou 334'""'. En calculant cet arbre

d'après la formule rie torsion (101), ninis trourerions d = 143

193'"'" fl, râleur qui n'est que les */, de celle qu’on a adoptée pour Vexécution. Tous les autres arbres de ru*in« son< établis dans les mêmes conditions de résistance que l'arbre principal.

3" Exemple. Dans un moulin, établi sur une chute du Rhin, un arbre, en fer forgé, de 68“ de longuexir, doit transmettre aua: meules un travail de 120 chevaux, fourni jmr une turbine. Le nombre de tours de cet

VT f2Q

arbre est de 93 par minute, par suite ^ = lfiG3. En n'ayant égard

qu’à la torsion, on devrait prendre d = 130'"'" (colonne 5, lignes 17 et 18), tandis qu'en ne tenarU compte que de la résistance, la mime table donne d = 93'°'° (colonne 3, lignes 13 et 14). Le constructeur a donné, en réalité, 96""" aux tourillons , qui sont au nombre de 33, et 100'" au corps de l'arbre Le maximum de tension eorrespondant est de 3''f} à la circonférence des tourillons et de 4'',6 setdement pour le corps principal. Le constrttcteur de l'usine de Saltair (1) aurait donné à cet arbre un diamètre de 300°“" au moins, correspondant à une résistance environ huit fois plus grande que celle qui a été adoptée en réalité.

(1) Fairbaim, fUi, pour l^u# Iti cas analogues, a proposé l’emploi de la J'ormule d ~ ISO •

CALOT. DES ARBRES DE TRANSMISSION

4’ Exemple. Dans la filature du Logelbach, un arbre en fonte de de diamètre, dont la vitesse de rotation est de in tours par minute, sert à transmettre un travail de 140 chevaux (mesuré au frein). Le rapport

— est alors = 5,19. Comme il s'agit ici d'un arbre en fonte, nous

devons doubler la valeur de ce rajgtort et nous trouvons ainsi que la valeur de d est comprise entre 200 et 220 (colonne 3, lignes 23 et 26); un calcul plus exact donne d <=55.5"", valeur qui est très -sensiblement celle qu'on a adoptée pour l’exécution. En tenant compte simptement de la résistance, on aurait trouvé, d'après la meme table, d = 1.9.5""^ (colonne 3, lignes 23 et 24).

5*. Exemple. Le même établissement pos.sède u>te autre transmission en fonte de 23“', 3 de longueur, qui, arec une vitesse de 30 tours par minute, doit transmettre un travail de 270 chevaux (mesuré au frein); ce qui donne

5,4 pour le quotient — . Les tourillons de cette transmission ont un diamètre de 175“"“; quant au corjts de l'arbre, qui est légèrement renflé, il présente en section une forme analogue à celle (je la fig. 282; on /(eut le supposer remplacé jMr un corps eglindriqae, de 215""“ de diamètre, qui possède approxinuttivenwnt la même résistance. Si ou cherche dans la table le diamètre à donner aux tourillons, en ayant égard .simplement n la résistance,

il convient, comme précédemntent, de doubler le raiiport et on trouve

alors HH nombre compris entre 180 et 190 ou, plus e.ractement , 187""“, valeur supérieure à celle qu'on a admise en réalité. A ce dernier diamètre, qui est de 175“"“, correspond une tension B = 3'', 67. Pour le corps de l’arbre, comme sa longueur est très-grande , il convient de déterminer son diamètre jsir la formule de la torsion et de le chercher dans la colonne 3, jxnir une valeur de K

— égale à 2-3,4 =■ 10,8. On trouve ainsi que d est tvmj/ris entre 200 et

220; si on le calcule plus exactement parla formule (101), on arrive à <i =

143 Va, 4 = 143-1,52 = 217“"“, valeur epti cdincide très- sensiblement avec celle qu'on a admise en exécution.

Calcul de l’angle de torsion d'un arbre.

Dans un arbre cylindrique, de diamètre d, qui, sur toute sa longueur L, est soumis à nu moment de rotation PB, l'angle de torsion, pour une matière dont le eoetficient d’élasticité de torsion est G, a pour valeur, d’après le § 13, n" I: