L'INFINI ET L'ABSOLU

Les MatSiématlques cL 1 Analyste La lYiétaphysique et la Siris

\. — L'Analyste

De bonne heure Berkeley avait pris goût à Tétiide des mathématiques. Nous en avons la preuve, non seulement, dans les nombreuses notes relatives à cette science qu'il écrivait dans le Commonplace Book, mais aussi dans deux opuscules latins intitulés Arithmelica^ et Miscellanea Malhematica^ ce dernier dédié ù Samuel Molyneux, fils du correspondant de Locke. Dans la préface des Arilhmelica, Berkeley parle de Tagréable étude des matliémaliques (*) vers laquelle il a été poussé par le R^ John Hall. TouteCois ces deux opuscules cités plus haut étaient publiés sans nom d'auteur.

Plus tard, Berkeley attaquera vivement la méthode des mathématiciens, leurs idées abstraites, l'obscurité de leurs principes ; enfin, dans la dernière partie de sa carrière, il engagera la lutte contre 1 irréligion des mathématiciens de son temps.

(1) Suavissimum matheseos studium.

Nous avons déjà relevé dans le Commonplace Book el V Essai la critique de l'étendue abstraite, et la substitution de l'étendue tangible à Tétendue visible comme but de la géométrie.

Il y a un a minimum tangible » de même qu'il y a un « minimum visible. » Faute de reconnnître cette vérité les géomètres font fausse route et, méprisant à tort le témoignage des sens, n'atteignent que des abstractions. Berkeley professe qu'il est ridicule de mépriser les sens, la réalité tangible, seule concevable et mesurable.

{( La matière visible n'est pas composée d'invisibles... Je prétends que les invisibles ne sont rien, ne peuvent pas exister, qu'ils enferment une contradiction. » (*)

De l'existence des « minima sensibilia )) résulte limpossibililé de diviser ad infinilam une quantité ou étendue finie. Telle est la proposition qui sera soutenue, d'abord dans les Principes ^ puis, beaucoup plus tard, dans V Analyste et qui constituera l'argument essentiel de cet ouvrage de polémique. En voici le germe indiqué dans le Cahier de notes.

« Pas de raisonnement sur les choses dont nous n'avons aucune idée; donc pas de raisonnement sur les infinitésimaux. (^)

(( Quand nous parlons de quantités infinies, ou bien nous entendons par là des quantités finies, ou bien nous voulons parler de ce dont nous n'avons aucune idée, ce quiestabsurde. » (^)

Voici un passage du Commonplace Book reproduit à peu près dans les mômes termes dans la section 127 des Principes : (( Supposons un pouce représentant un mille : — de pouce n'est rien, mais ^-^ du mille représenté est quelque chose. C'est pourquoi ~ de pouce, quoique n'étant rien, ne doit pas être négligé parce qu'il représente quelque chose, c'est-à-dire -^ de mille. » (^)

(1) Cmpl. Book, p. 13. Cf. Principes, sect. 132 : « il n'est pas nécessaire d'imaginer des quantités au-dessous du minimum sensible, ».... etc.

(2) Cmpl. Book, p. 9 et 87.

(3) Ibid., p. 11.

(4) Ibid., p. 78.

L'auteur des P/'//2c//;es dira à peu près de même : « II n'existe rien de semblable à la ^„ parlie d'un pouce, mais la ~^^ partie d'un mille ou du diamètre de la terre représentée par ce pouce, existe. » ('j En fait la rectification des Prz/2c//)es se trouve déjà dans le Commonplace Book lui-même.

« Quand sur le papier, une petite ligne représente un mille, les mathématiciens ne calculent pas d'après ^—^^ de la ligne : ils calculent d'après j^^^. du mille, c'est ce dernier qu'ils considèrent, c'est à ce dernier qu'ils pensent, si toutefois ils pensent, et s'ils ont quelque idée. Le pouce pourrait, peut-être, dans leur imagination, représenter le mille, mais le y;;^,,. de pouce ne peut servir à représenter quoi que ce soit, parce qu'il n'est pas imaginable. » (-)

Par l'exemple des infinitésimaux Berkeley prétend combattre un de ces principes obscurs sur lesquels s'appuient les mathématiciens, soit ici le principe de la divisibilité infinie. c( Des lignes parliculières déterminées, dit-il encore, ne sont pas divisibles à lintini, mais les lignes employées par les géomètres sont telles, parce qu'elles ne sont pas limitées par un nombre fini de points ('j... Suivant la doctrine de la divisibilité infinie, il doit exister une certaine odeur de rose à une distance infinie de cette fleur. » (^)

A la théorie des infinitésimaux se rattache la théorie newtonienne des fluxions dont la discussion a servi de thème à l'éloquent pamphlet de Berkeley intitulé V Analyste. A la fin de ses Principzs, déjà, il avait annoncé qu'il reviendrait sur cette question controversée et résumé très clairement, d'ailleurs, les principales idées qu'il devait émettre vingt-quatre ans plus tard. (( Quoique les mathématiciens puissent penser des fluxions ou du calcul différentiel, un peu de réflexion fera voir qu'en travaillant d'après cette méthode, ils ne conçoivent ou n'imaginent pas des lignes ou des surfaces moindres que celles que perçoivent

(1) principes^ sect. 127.

(2) Compl, Book, p. 86.

(3) Cmpl. Book, p. 78.

(4) Ibid., p. 57.

les sers. Ils peuvent en vérité appeler ces petites quantités presque imperceptibles des infinitésimaux, ou, si cela leur convient, des infinitésimaux d'infinitésimaux, mais, au fond, c'est tout, car ces quantités sont finies. . . » (*)

Or le problème des fluxions, tel qu'il est exposé dans ses grandes lignes, et tel qu'il est repris et développé dans VAnali/sle, préoccupe déjà le jeune philosophe de Trinity College : il est curieux d'observer cependant que les allusions au calcul des fluxions se trouvent surtout à la fin du manuscrit de Berkeley. Il commence par se proposer de « faire des recherches sur l'angle de contact et les fluxions» (-). Plus loin (■'), il déclare que « la méthode de K'^il pour prouver l'existence d'infinitésimaux de S*" ordre est absurde et contradictoire. )) Enfin Berkeley ose prendre position contre Newton lui-même. « Les fluxions de Newton sont inutiles. » (*)

Que l'on compare maintenant ces notes avec les passages principaux de V Analyste ou la Défense de la libre-pensée en mathématiques sur l'impossibilité de concevoir les fluxions (*), et l'obscurité de certains principes scientifiques.

«. J'ai dit, et j ose encore dire qu'une fluxion est incompréhensible, que les 2'', 3® et 4' fluxions sont plus incompréhensibles encore ; qu'il n'est pas possible de concevoir une simple quantité infinitésimale, qu'il est encore moins possible de concevoir l'infinitésimale d'une infinitésimale et ainsi de suite. » C^)

A deux reprises Berkeley fait lui-même observer qu'il a autrefois étudié ces questions et acquis ainsi le droit d'exprimer librement ce qu'il pense. « J'ai longtemps soupçonné que cette analytique moderne n'était pas scientifique et j'ai publié quelques remarques à ce sujet, il y a environ 25 ans. » (^)

(1) Principes^ sect. 132.

(2) Cmpl. Book, p. 78.

(3) Ibid., p. 83.

(4) Ibid., p. 86.

(5) Analyst, sect. I. Cf. H. Poincaré, sur la définition des incommensurables, et sur les contradictions qui se trouvent dans Thypothèse du continu mathématique. « Il existe des infiniment petits qui sont infiniment petits par rapport à ceux du premier ordre et infiniment grands au contraire par rapport à ceux de l'ojdre 1 -j- £• et cela quelque petit que soit £. La Science et l'Hypotlièse, p. 42.

(6) Defence of Free-Thinking, sect. 17.

(7) Analyst, sect. 50. — Cf. aussi Defence of Free-Thinking, sect 12.

il aurait pu remonter encore plus haut, jusqu à ses notes de jeunesse, au Commonplace Book. H faut reconnaître d'ailleurs que l'état d'esprit de Berkeley a bien changé. Depuis qu'il croit voir dans quelques mathématiciens des esprits forts, ennemis de la religion, il s'est tourné non seulement contre leur méthode et leurs principes, mais aussi contre leur prétention de nier tout ce qui dépasse la raison, tout ce qui est d'ordre surnaturel. Il consacrera des pages éloquentes à prouver que tel mathématicien qui repousse les mystères de la foi, accorde sans réfléchir toute confiance aux principes scientifiques les plus obscurs et les plus contradictoires : le principe de la divisibilité infinie de retendue, des fluxions, de l'étendue abstraite, etc.

« Est-ce que ces physiciens, amis des mathématiques, ces anatomistes et trafiquants de physiologie animale, qui, d'une foi implicite, admettent la doctrine des fluxions, ont bonne grâce à insulter les autres, parce qu'ils croient en des choses qu'ils ne comprennent point ? (^)

(f N'est-on pas plus excusable d'admettre ce qui est au-dessus de la raison que ce qui est contraire à la raison ? (^)

(( Est-ce que les mathématiciens qui se révoltent contre les mystères ont jamais examiné leurs propres principes ? » (^)

Gomme on peut s'en rendre compte, d'après ces questions pressantes, la querelle s'est transformée : elle a quitté le terrain scientifique et s'est placée sur le terrain religieux. Il est difficile de prévoir cette extension de la querelle dès le Commonplace Book^ où abondent les attaques contre les mathématiciens et leur méthode. Peut-être pourra-t-on discerner déjà une tentative de défense des croyances religieuses contre l'esprit scientifique dans le passage suivant qui, du reste, est isolé.

(( Quand je dis que je veux rejeter toutes les propositions dans lesquelles je ne connais pas d'une manière complète adéquate et claire ce qu'elles signifient, je n'étends pas cette rigueur aux propositions contenues dans les Saintes Ecritures :

(V) Analyst^ question 55.

(2) Ibid., quest. 61.

(3) Ibid.^ quest. 63.

je parle de choses concernant la raison et la philosophie, non la révélation. En cela je crois qu'une foi humble, explicite, nous convient, telle que le paysan papiste Taccorde aux propositions qu'il entend à la messe dite en latin.

« Des esprits orgueilleux peuvent trouver cette altitude aveugle, papiste, soumise, irrationnelle.

« Je trouve, quant à moi, qu'il est plus irrationnel de prétendre contester, chicaner, tourner en ridicule les mystères sacrés, c'est-à-dire les propositions concernant des choses qui dépassent complètementnotre savoir, etqui sont hors de notre portée. Quand j'arriverai à la connaissance complète d'un fait quelconque, alors seulement je professerai des croyances explicites. » (*)

Ainsi, d'après Berkeley, les savants ne sont pas fondés à repousser les mystères de la transubstantiation et de la Trinité, par exemple, puisqu'ils admettent d'autres mystères non moins incompréhensibles.

Mais la querelle, à l'origine, porte sur les obscurités de la méthode et la futilité des questions traitées. Pour Berkeley, en effet, les mathématiques ont avant tout une portée pratique. Quand on s'écarte de ce but, et quand on aborde les problèmes difficiles, on peut déployer beaucoup d'ingéniosité et de talent, mais on fait un travail inutile. Tel celui qui passerait une partie de sa journée à faire des nœuds compliqués pour avoir le plaisir de les défaire ensuite. Rien n'est plus futile que ces difficiles niigae où s'exercent les mathématiciens avec une méthode d'ailleurs admirable. Car, à l'inverse des scolastiques qui s'occupent des questions les plus importantes, mais dont la méthode est fausse et stérile, les mathématiciens font les plus beaux raisonnements du monde à propos de riens. Que n'appliquentils leur talent à des sujets dignes d'eux?

(( Nous avons appris de Mr Locke qu'il peut y avoir, qu'il y a môme des discours pleins de facilité, d'harmonie, de méthode et qui néanmoins équivalent à rien. Il avait l'intention d'appliquer cette remarque aux philosophes de l'école : nous pouvons l'appliquer aux mathématiciens. » (^)

(1) Cmpl. Book, p. 42.

Ce qui est plus grave c est que les mathématiciens s'appuient sur des principes non démontrés et acceptés sur la foi d'autrui. Il n'est question que de lavancement des sciences et personne ne se préoccupe de leur fondement. Pourtant il existe en deçà, avant toute science particulière, un vaste domaine inexploré: celui des principes, auxquels on croit, sans prendre la peine de les vérifier. Aveugle respect de l'autorité chez des hommes de science ! Et ce sont ces mêmes hommes qui reprochent aux chrétiens leur soumission aux dogmes ! Qu'ils tâchent d'abord de s'entendre entre eux, avant de s'ériger en censeurs des autres. Ainsi parle Berkeley dans V Analyste. Mais tenons-nous en au Commonplace Book.

« On a montré beaucoup d'activité dans la marche en a\ant. On est allé fort loin, mais personne n'a reculé en deçà des principes; de ce côté s'étend une vaste lerra incognita que je dois explorer et découvrir, un vaste champ de découvertes. » (^) Voici un passage plus clair. « Une cause universellement répandue de nos erreurs, est notre négligence dans l'examen de nos propres notions. Je veux parler de l'étude de ces idées en ellesmêmes , pour les fixer el les déterminer , car nous ne les considérons que dans leurs relations réciproques. En un mot, nous faisons fausse route en étudiant les relations des choses avant de les étudier absolument, en elles-mêmes. Nous cherchons, par exemple, à découvrir les relations des figures entre elles, ainsi que les relations des nombres, avant de nous efforcer de comprendre exactement la nature de l'étendue en soi et du mombre en soi. Nous croyons que cela ne présente aucun intérêt, aucune difficulté, mais, si je ne me trompe, celte élude est de la plus grande importance. » (^)

Si maintenant nous nous reportons aux Principes de la connaissance^ (=*) nous verrons que les idées d'unité, de nombre, de quantités infinitésimales, s'ajoutent à ces idées que les mathématiciens ont négligé d'approfondir.

(1) CmpL Book, p. 23.

(2) Jbid.^ p. 25. « C'est dans la démonstration des Ihéorèmes les plus élémentaires que les auteurs des traités classiques ont déployé le ' *' précision et de rigueur. » H. Poincaré, op. cit.^ p. 14.

(3) Principes, sect. 118 - 133.

moins de

he Commonplace Book est rempli de passages qui dénotent, chez Fauteur, beaucoup de goût pour les mathématiques. Presque à chaque page, Berkeley indique une recherche à faire, un problème à résoudre : quadrature du cercle, nature du point, de la ligne, etc. Parfois même l'idée est exprimée sous une forme ironique et piquante :

« Les mathématiciens croient qu'il y a des lignes non perçues... nous autres Irlandais, ne pouvons concevoir de telles lignes...

(( Les mathématiciens parlent de ce qu'ils appellent un point. Ce point, à ce qu'ils prétendent, n'est pas absolument considéré comme rien, et ce n'est pas non plus véritablement quelque chose. Or nous. Irlandais, sommes portés à croire que ce quelque chose et ce rien sont proches parents l'un de l'autre. » (^)

Comment le goût de Berkeley pour les mathématiques a-t-il pu se transformer en une antipathie très vive pour les mathématiciens, c'est une évolution difficile à expliquer par le seul moyen du Journal de jeunesse. Mais après avoir lu l'Analyste et la Défense de la libre pensée en malhémaliqiies^ nous pouvons nous croire en possession de la clef. Quoi qu'il en soit, nombreuses et quelquefois vives sont les attaques de Berkeley, soit contre la futilité des questions mathématiques et l'obscurité de leurs principes, soit contre le ton assuré et dogmatique des malhématiciens. Avant de livrer en plein jour le grand combat de V Analyste pour la défense de la religion, Berkeley amasse en secret les munitions, il prépare ses armes pour la lutte qu'il semble prévoir.

(( Il a beau se donner des conseils de prudence, se promettre de faire preuve, en toute circonstance, de la plus grande modération; réfuter les mathématiciens avec la plus grande civilité et le plus grand respect, ne pas les appeler savants nihilistes,.... (^) brider son tempérament satirique, » il n'aime pas « l'air el le ton assuré des mathématiciens » (^). Il ne leur pardonne pas de « mépriser les témoignages des sens » et de « contempler les idées

(1) Cmpl. Book, p. 91.

(2) IBid., p. 32.

(3) Ibid., p. 22.

abstraites » (*). Il conteste leur talent : « Je ne veux pas admirer les mathématiciens... Quelques-uns ont des qualités: c'est d'autant plus regrettable. S'ils n'avaient pas été mathématiciens, ils n'auraient été bons à rien. Ils étaient si naïfs qu'ils n'ont pas su faire usage de leur talent.

« Les mathématiciens ne pouvaient même pas dire en quoi consistaient la vérité et la certitude, avant que Locke le leur eût appris... Nullum prœclarum ingenium unquam fuit mathemaiicus (-). Je ne vois d'esprit chez aucun d'eux, excepté Newton... )) (^)

Plus tard, Berkeley revendiquera contre les savants le droit de penser librement, et il écrira la Défense de la libre pensée en malhémaliques. Mais cette indépendance d'esprit dont il fait preuve dans Y Analyste contre Halley, contre Newton lui-même, se fait jour dans le Commonplace Book, où Berkeley se déclare l'ennemi de toute autorité en matière de science. Rien ne lui paraît évident que ce qu'il a reconnu tel, à la lumière de sa propre intelligence.

Il observe, en effet, qu'il était « défiant vers huit ans et porté vers ces théories nouvelles. (^)... Je suis jeune, écrit-il, dans un autre endroit, (^) je suis un parvenu prétentieux et vain, soit. Je m'efforcerai de supporter patiemment les épithètes les plus injurieuses que Torgueil humain irrité puisse imaginer. Mais il est une chose dont je ne me rends pas coupable : je ne m'accroche pas à l'habit du premier grand homme venu. . . Je n'adopte aucune opinion parce qu'elle est ancienne, remise en honneur ou à la mode du jour, ou parce que j'ai passé beaucoup de temps à la cultiver. »

En agissant ainsi, Berkeley croit mériter l'approbation des bons esprits et de Locke lui-même : a Telle était l'ingénuité de ce grand homme que, s'il vivait encore, je suis persuadé qu'il ne

(1) Cmpl. Book, p. /i5.

(2) IBid., p. 89. Scaliger.

(3) Ibid., p. 88.

(i) Ibid,, p. 79.

(5) Ibid., p. 14.

prendrait pas ombrage de mes divergences d'opinions, vu que de cette manière, je suis son propre conseil, d'après lequel je dois faire usage de mon jugement, voir de mes propres yeux, non avec ceux d'un autre. » (^)

Nous sommes maintenant préparés à entendre les vives critiques de V Analyste el surtout de la Défense de l^ libre pensée en mathémaliqiies contre Fipsedixitisme de quelques savants. Berkeley n'a rien écrit d'une logique plus serrée, d'une ironie plus éloquente que ce dernier pamphlet où il combat les mathématiciens qui (( raillent les mystères et admirent les fluxions (')

« Je signale, dit- il, les contradictions de quelques analystes sceptiques. Je note quelques défauts dans les principes de l'analytique moderne. Je prends correctement la liberté de différer d'opinion avec Sir Isaac Newton. Je propose quelques moyens de diminuer l'ennui des études mathématiques et de les rendre plus utiles. Qu'y a-t-il dans tout cela qui puisse vous faire écrier : l'Espagne, l'inquisition, l'odium theologicum? .... De même que j'abhorre l'inquisition en matière de foi, de même vous n'avez aucun droit de l'établir en matière de science. .... Vous cherchez à m'accabler en citant des autorités. . . .

« Je reconnais librement que Sir Isaac Newton s'est montré mathématicien extraordinaire, profond naturaliste, homme de grand talent et de grande érudition. Je consens à accorder tout cela, mais je ne peux aller aussi loin que vous. Je ne dirai jamais de lui comme vous le faites : vestigia pronus adoro. Cet acte d'adoration que vous lui adressez, je ne veux l'adresser qu'à la vérité. (^)

« Il n'est aucun grand nom au monde qui puisse me faire accepter des choses obscures pour des choses claires, ou des sophismes au lieu de démonstrations... Vous parlez comme d'un crime de la possibilité de dépasser jamais Sir Isaac Newton,

(1) Cmpl. Book, p. 39.

(2) Nous croyons devoir donner quelques extraits do cette œuvre dont il n'existe pas de traduction et parce que ce développement répond à l'importance de la ])artie mathématique du Cmpl, Book. Defence of Free Thinkmg in Mathematics^ sect. 5, 9, 11, 12, 13.

(3) Defence^ s. 14.

(( D'autres ne craignent pas de passer au crible les principes de la science humaine, ne trouvent aucun honneur à imiter le plus grand homme dans ses défauts, croient même que ce n'est pas un crime de désirer aller non seulement au delà de Newton, mais de tous les hommes. J'en appelle au lecteur pour décider si celui qui pense autrement peut être appelé philosophe?... (*) Je ne prends rien pour accordé ; je ne crois pas qu'aucun écrivain soit infaillible. » (-)

De cette fierté, de cette indépendance d'esprit à l'égard des philosophes et des savants, Berkeley, nous l'avons constaté, a donné des preuves dans son Journal. Ce trait de son caractère s'est de plus en plus accusé — et, trouvant devant lui des savants d'un tour d'esprit positif et négateur, sur la fin de sa carrière, il a défendu contre eux, la liberté de croire. Avec la Défense, cesse la longue querelle préparée dès le Commonplace Book., portée une première fois devant le public de son temps, dans quelques chapitres des Pr//2cz'/9<?s, reprise enfin avec éclat, après un intervalle de vingt-cinq ans, dans V Analyste. Cette partie de son œuvre , répond comme les autres à une préoccupation de sa vie entière et que nous retrouvons exprimée dans le dernier passage du Commonplace Book : « Toute l'œuvre dirigée vers la pratique et la morale. »