M. Franck. Dictionnaire, p

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de ces unités, toutes conventionnelles, laquelle devrons-nous adopter? La moins longue que je puisse choisir, en ce moment, est encore indéfiniment divisible, et je pourrai en dire autant de toutes celles que j'essaierai de choisir. La vraie unité, non plus le terme de comparaison pris à plaisir, auquel on donne le nom d'unité, c'est la ligne la plus courte de toutes ; c'est le point; c'est l'élément de la ligne, manquant lui-même de toute longueur.

Combien y aura-t-il de points sans longueur dans la ligne? L'infini ; il faut y venir de plein saut, sans parcourir la série des nombres croissant indéfiniment : car aucun n'approche de celui-là. C'est un nombre cependant; il entre dans nos calculs; nous le faisons servir à nos opérations, comme le nombre trois ou le nombre cinq, et il nous est d'un usage constant. Par une induction, dont la légitimité ne peut être mise en doute, nous affirmons de lui ce que nous avons affirmé des autres nombres, sitôt qu'une foi générale à tous est apparue à notre esprit.

Revenons maintenant à notre ligne : l'unité de mesure infiniment courte, le point multiplié par le nombre infini deviendra une ligne : ce multiplicateur, avec le néant pour multiplicande, donne cependant un produit.

Et qu'on ne nous dise pas : il s'agit d'un multiplicande très petit et d'un multiplicateur très grand : non, l'un est le néant et l'autre l'intini. Sans l'infini pour multiplicateur, toutes choses rentreraient dans le néant. Voici donc une ligne tracée d'un point à un autre et comprenant les points en nombre infini qui existent entre ces deux points; et nous pouvons dire qu'un point, le néant en fait de longueur, multiplié par l'infini , devient une longueur. Il ne faut pas demander quelle longueur; un millimètre, un myriamètre ne sont que des quantités arbitrairement choisies et servant à comparer d'autres quantités entre elles. Les quantités géométriques, lignes, surfaces ou solides sont tout à tait indépendantes de ces conventions : ce n'en sont pas moins des réalités. Il suffit que ce soit une longueur réelle, et qu'elle soit le produit, la multiplication du point par l'infini.

Maintenant prenons cette ligne, réelle comme longueur, néant comme largeur; supposons- lui une largeur quelconque, comme en a la règle que j'ai sous la main. J'applique cette règle sur mon papier et je la retourne trois fois : elle a couvert quatre surfaces égales à la sienne. La surface totale est égale à quatre règles. Si la règle, étant aussi longue, avait été plus étroite, il tiendrait un peu plus de règles dans la surface totale, il faudrait un

multiplicateur plus grand. Si la règle n'a aucune largeur, si c'est la ligne idéale, le multiplicateur croît sans aucune limite possible ; c'est l'infini. Ainsi la surface sera toujours égale à la longueur multipliée par la largeur, même quand le nombre représentant la largeur dépassera toute limite par suite du choix d'une unité assez petite pour être contenue dans la largeur un nombre de fois infini.

Nous avons le droit, bien plus, nous sommes contraints par la raison d'accepter le résultat de ces inductions : aucune démonstration n'offre plus de garantie. Ici encore, l'infini, multiplicateur, aura donné l'être au néant; zéro, multiplié par l'infini, égale quelque chose; c'est une expression mathématique que notre esprit est forcé d'admettre. L'infini multipliant le néant lui aura donné l'être. Il pourra aussi faire rentrer l'être dans le néant : une quantité divisée par l'infini égale zéro.

Maintenant, une troisième multiplication par l'infini fera d'une surface sans épaisseur un corps solide à trois dimensions. Le volume d'un livre, c'est une feuille de papier, surface plane, répétée cinq ou six cents fois. Moins la feuille est épaisse, et plus le nombre est élevé; si la feuille n'avait absolument aucune épaisseur, le nombre serait l'infini.

Telles sont les idées que l'espace nous suggère. Son caractère, son attribut essentiel est l'infini. Et nous le dirons, non seulement parce qu'il nous est impossible de nous représenter au delà de tous les mondes des limites au delà desquelles l'espace cesserait d'exister, mais aussi parce que dans toute mesure d'une partie de l'espace intervient l'infini. Sans l'infini pris comme multiplicateur, la géométrie élémentaire ne peut passer de la notion du point à celle de la ligne, de la ligne à la surface, de la surface au volume. Nous avons vu comment les Pythagoriciens, faute d'admettre ce multiplicateur, avaient été forcés de supposer des distances, qu'ils appelaient tftaorpîara, entre les points.

Nous savons que nous pouvons être ici critiqués pour avoir fait entrer zéro et l'infini dans la série des nombres, comme les deux termes extrêmes.

On nous dira que zéro n'est point une quantité ; et que l'infini est une quantité variable. Qu'est-ce qu'une quantité infiniment grande? C'est une quantité variable, variant de telle façon qu'elle pourra toujours devenir et demeurer plus grande qu'une quantité fixe, prise aussi grande qu'on voudra.

Les termes inverses donneront la définition d'une quantité infiniment petite. Or la seconde n'est point zéro. La première n'est point l'infini

actuel et immuable, tel que les philosophes le conçoivent.

L'une et l'autre répondent à la conception de Tindéiini.

Mais il nous semble qu'à cette autre manière de présenter les choses , des objections peuvent être faites.

Une quantité variable tend ou ne tend pas vers une limite. On appelle limite d'un nombre variable «, un nombre fixe a, tel que la différence a — a, prise en valeur absolue, puisse devenir et rester plus petite qu'un nombre choisi à volonté.

Suivant cette définition, les infiniment petits auront une limite, zéro. Zéro sera donc un nombre, le nombre a de la définition. La différence a moins zéro sera plus petite que e, si petit que l'on suppose e; c'est-à-dire que a sera plus petit que tout ce que l'on voudra imaginer. Il tend vers zéro ; il a zéro pour limite. Si l'on persiste à nier que zéro soit un nombre, on admettra du moins que c'est une limite immuable vers laquelle tendent les valeurs décroissantes de la variable.

Il en est autrement des valeurs croissantes.

En effet, zéro est, sinon un nombre, au moins un terme fixe. Mais si l'infini n'est pas un nombre, -quelle est la limite vers laquelle tendent les nombres infiniment grands? On n'en voit point. Ne nous

arrêtons pas à remarquer que limite et infini sont des mots qui s'associent mal. Prenons le mot limite dans le sens de la définition mathématique : une quantité fixe a, vers laquelle tend la variable quand elle devient plus grande que toute quantité que nous puissions choisir. Cette limite est précisément l'infini : sans cela, il faut avouer qu'on conçoit une limite pour les quantités décroissantes, et non pour les quantités croissantes.

Cette différence de conception entre l'infiniment grand et ('infiniment petit se montre dans le langage. On dira : « telle quantité variable tend vers zéro ; et telle autre variable devient infinie », et non pas « tend vers l'infini ». Un seul des deux termes apparaît comme un point fixe, et un seul des deux buts comme pouvant être atteint.

Mais cette distinction n'est-elle pas tout à fait illégitime? On peut dire de l'un des deux termes ce qu'on dit de l'autre. On ne mesure ni l'un ni l'autre; d'une part, faute de quantité à mesurer, et d'autre part, faute de commune mesure. C'est ce qui est exprimé lorsque l'algèbre enseigne que l'infini divisé par une quantité finie quelle qu'elle soit, reste l'infini. De même que zéro multiplié par la quantité constante qu'on voudra reste zéro.

En géométrie comme en algèbre, les deux conceptions vont de pair, et l'on peut dire qu'elles se

supposent l'une l'autre. Revenons maintenant au polygone régulier, dont les côtés deviennent plus nombreux et plus courts. Le nombre qui exprime la longueur du côté devient de plus en plus petit et celui des côtés dé plus en plus grand. Le premier nombre tend vers une limite : zéro. Quelle est la limite vers laquelle tend le second, sinon I'intini?

Tous les polygones imaginables ayant pour surface leur périmètre multiplié par la moitié de leur apothème, je dis que le cercle a pour surface sa circonférence multipliée par la moitié de son rayon... Le dirai-je parce que je pourrai construire un polygone dont le périmètre sera presque égal à la circonférence, et l'apothème presque égal au rayon ? Ce ne serait pas une démonstration absolue.

Le dirai-je parce que j'aurai qualifié le cercle de limite des polygones réguliers dont le nombre de côtés augmente indéfiniment? Ce ne serait pas, croyons-nous, légitime. En effet, il n'est pas nécessaire, quand des quantités variables tendent vers une limite, que la limite jouisse des mêmes propriétés que les variables. Maints exemples prouvent le contraire.

Dans la sériel + ^ + ^ + -£- .... etc.

une somme quelconque de termes donne un

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nombre fractionnaire, quantité commensurable. On prouve cependant que la limite, comprise entre deux et trois, est une quantité incommensurable. Pourquoi donc aurai-je le droit d'affirmer du cercle ce que j'ai affirmé des polygones, à savoir que la surface du cercle est égale au périmètre multiplié par la moitié de l'apothème ? Je le dirai non parce que le cercle est la limite des polygones réguliers dont le nombre des côtés croît; ce ne serait pas une bonne raison ; mais, parce que le cercle est, lui aussi, un polygone ; c'est le polygone régulier d'un nombre de côtés infini.

Donc l'infini est un nombre. Et pour revenir au sujet qui nous occupe, ce nombre sert à mesurer non pas une quantité idéale, mais un objet réel, existant autour de nous, l'espace. Le nombre qui exprime le volume de l'espace où sont jetés les inondes, est l'infini.

On a dit que le nombre infini n'est pas concevable pour notre esprit : on a dit que ce n'est pas un nombre, car un nombre est essentiellement susceptible de plus ou de moins. On a demandé si ce nombre était pair ou impair, premier ou non. Ce serait ici le cas de rappeler la définition de M. Franck. Ces questions pourraient être posées, s'il s'agissait d'un nombre qu'on pourrait toujours supposer capable d'augmentation. Or, nous ne

parlons pas, comme dit l'auteur du Dictionnaire, « de ce qui est actuellement sans bornes déterminées, mais de ce qui ne peut absolument en recevoir ».

Telle est l'idée qu'il faut nous faire de ce nombre indiqué par le signe 00.

Cauchy a soutenu, par un curieux argument, qu'il était impossible qu'il y eût un nombre infini de choses coexistantes; il déclare impossible, par exemple, l'existence de tous les nombres entiers 1 .

Voici l'argument : chaque nombre a son carré» Il y a donc autant de carrés que de nombres.

Cependant plus nous avançons dans la série et plus les carrés sont rares. Entre le carré de 4 et celui de 5, il y a un écart de 9. Entre celui de 14 et celui de 15, un écart de 29. Entre ceux de 24 et de 25, un écart de 49. Si nous avançons indéfiniment, l'écart entre les carrés des nombres consécutifs croîtra indéfiniment. Et cependant chaque nombre a le sien. La coexistence de tous les nombres entiers n'est donc pas concevable.

Cauchy tire de là cette conclusion que la terre ne tourne pas de toute éternité autour du soleil ; elle aurait accompli un nombre infini de tours, ce