CENTRE DE GRAVITÉ DES CORPS

que soit d'ailleurs l'état physique de la matière dont ils sont formés \

Mais, le plus souvent, la forme du corps est quelconque ou irrégulière, ou bien la matière qui le compose n'est pas également condensée dans toutes ses parties. Dans ce cas, la détermination du centre de gravité est du ressort de l'expérience.

Un moyen simple de le trouver consiste à suspendre le corps par un fil. Une fois en équilibre, on est assuré que le centre de gravité se trouve sur le prolongement du fd dont la position est alors verticale. On prend note de cette direction. On fait une seconde détermination en suspendant le corps par un autre de ses points, ce qui fournit une nouvelle ligne contenant le centre de gra-

Fig. 180. — Détermination expérimentale du centre de gravité d'un corps de forme irrégulière,

ou non homogène.

' Quand les corps sont formés de diverses parties géométriques assemblées d'une manière quelconque, et dont chacune a un centre de gravité connu, on peut trouver celui de l'ensemble si l'on connaît les poids des parties. Prenons-en un exemple simple, celui de l'instrument de gymnastique qu'on nomme haltère. Chaque boule étant sphérique, le centre de gravité est à son centre, et celui de l'ensemble est au milieu de la ligne qui joint les deux centres. Ce milieu est d'ailleurs aussi le centre de gravité de la barre cylindrique qui les joint, et, par suite, celui de tout l'instrument. Mais si l'une des sphères 0 est plus grosse et plus pesante que l'autre 0' (fig. 181), le centre de gravité se trouvera au point qui partage la ligne des centres en parties inversement proportionnelles aux poids des deux sphères. Le centre de gravité de la barre cylindrique est d'ailleurs toujours au milieu I. Si cette barre pèse 500 grammes et les deux boules, l'une 1 kilogramme et l'autre 4 kilogrammes, soit 5 kilogrammes en tout, il faudra partager la distance du point milieu de la barre au centre de gravité g des sphères dans le rapport inverse des nombres 500 et 5000 ou 1 et 10. G sera ainsi le centre de gravité de tout le système.

Fig. 181. — Centre de p-avité d'un système de corps homogènes.

vite. Le point de concours des deux lignes donne donc ce centre lui-même (fig. 180), qui peut être tantôt à l'intérieur, tantôt à l'extérieur du corps pesant.

La définition du centre de gravité fait voir que, lorsque ce point est soutenu ou rendu fixe, pourvu qu'il soit invariablement lié à tous les points matériels dont le corps se compose, l'équilibre a lieu. Mais cette condition est difficile à remplir, puisque le plus souvent le centre de gravité est un point intérieur, par lequel le corps ne peut être immédiatement soutenu ou suspendu.

Si la suspension a lieu par un fil ou une corde flexible, l'équilibre s'établira de lui-même, le centre de gravité venant

Fig. 182. — Équilibre d'un corps reposant sur un plan par un seul point ou par un plan.

alors se placer sur la verticale passant par le point de suspension. Si, cette position obtenue, on vient à déranger le corps, il formera un pendule composé, exécutera un certain nombre d'oscillations autour de sa position et reviendra au repos. C'est ce qu'on appelle un équilibre stable, et l'on voit que ce genre d'équilibre a pour condition essentielle que la position du centre de gravité soit inférieure au point fixe de suspension, de sorte qu'en dérangeant le corps le centre de gravité monte.

En généra], pour qu'un corps pesant soit en é(iuilibrc sous l'action de la pesanteur, il faut et il suffit (jue son centre de gravité soil sui' une verlicale passant par le point d'appui, si

ce point est unique , ou à l'intérieur du plan d'appui , ou mieux du polygone convexe qu'on peut toujours former en joignant les points d'appui par des lignes droites, si les points fixes sont plus ou moins nombreux. Les' figures'^ 182 et 183 en

Fig. 185. — Équilibre criiii corps reposant sur un plan par trois points.

donnent plusieurs exemples. Les tours penchées de Bologne et de Pise (la planche VIII représente le second de ces. édifices) sont des cas singuliers d'équilibre, dus à cette circonstance, que le centre de gravité de l'édifice est sur une verticale tom-

Fig. 18i. — Positions (l'('quiiibre des [lersonnes chargées d'un fardeau.

bant en un point intérieur de la base. Mais on comprend que les matériaux dont ces tours sont composées, sont liés ensemble, de manière que chacun d'eux ne peut obéir séparément à la force qui entraînerait sa cluite.

Ce porteur d'eau, ce fort de la halle que représente la

figure 184, prennent des positions inclinées par côlé ou en avant, et telles, que le centre de gravité de l'ensemble de leur corps et du fardeau qu'il soutient reste sui' une verticale tombant à l'intérieur de la base formée par les pieds du porteur. 11 en est de même de cette voiture (fig. 185) qui roule sur un

Fig. 185. — Équilibre sur un plan incliné.

chemin incliné transversalement : elle conserve l'équilibre tant que son centre de gravité reste verticalement au-dessus de la base comprise entre les points où les roues touchent le sol.

Fig. 186. — Kquiliiirc insliililc, indil'IV'renl el staljk'.

Elle versera si le contraii'c arrive, soit par inclinaison trop forte de la route, soit parle fait des chocs imprimés au véhicule et des déplacements qui en résulteront pour le centre de gravité, dans le cas d'une vitesse trop rapide.

Quand le corps est soutenu \m' un axe horizontal autour

duquel il peut tourner librement, l'équilibre peut être stable, indifférent ou instable. 11 est stable, si le centre de gravité est au-dessous de l'axe; indifférent, si ce centre est sur l'axe luimême ; enfin il est instable, si le centre de gravité est au-dessus de l'axe. La ligure 186 donne un exemple de chacun de ces cas.

Divers petits appareils de physique ou, si l'on veut, de jouets, servent à mettre en évidence ces conditions d'équilibre des corps, selon la position qu'occupent leurs centi-es de gravité.

Véquilïbriste de la figure 187 est une figurine qui repose par un point sur la base supé- ^ rieure d'un socle. Deux tiges métalliques terminées par des boules pesantes, de plomb par exemple, sont fixées de chaque côté du personnage , et sont assez longues pour que son centre de gravité soit abaissé au-dessous du plan de suspension. Si alors on fait osciller en divers sens la figurine, elle se redresse toujours de manière à reprendre une position d'équilibre ; et, en effet, le système se trouve dans le cas de l'équilibre stable (voy. figure 186).

Le même cas est encore réalisé dans ces jouets d'enfant formés d'un cylindre de moelle de sureau contre la base duquel est fixé un bouton métallique en plomb. Vient-on à incliner le cylindre sur un plan horizontal, de façon que l'une de ses arêtes soit couchée dans le plan (fig. 188), le centre de gravité ne se trouve plus sur la verticale qui passe par l'arête d'appui. Il y revient brusquement en relevant le jouet, qui se place de nouveau verticalement. Les ponssahs (fig. 189) sont une forme amusante donnée à ces jouets.

Fig. 187. — Équilibriste.

Enfin, les horloges mafjiqucs ou inystérieuses sont construites d'après la même condition d'équilibre qui fait que le centre de gravité d'un système susceptible de tourner autour d'un axe fixe tend toujours à se placer au point le plus bas. Voici en quoi consistent ces horloges et ce qui justifie le surnom qu'on leur a donné.

Fig. 188. — Moiivcau'iit du ceiitir de gravito (équilibre stable).

Un cadran circulaire ou rectangulaire, peu importe (fig. 190), est suspendu dans un plan vertical par deux fils métalliques aboutissant en deux points de son contour. Il est en cristal parfaitement transparent et porte à son centre deux aiguilles

Fig. 189. — Poussalis (équibre sta])le).

qui marquent régulièrement l'heure et la ininute, et marchent sans aucun mécanisme apparent. Il y a plus : donne-t-on aux aiguilles, en les tournant à la main, une position différente de celle de l'heure marquée, aussitôt, après quelques oscillations, elles reviennent se placer à l'heure juste, et si la durée de

l'interruplioii a été sensible, elles vont marquer l'heure nouvelle, comme si elles n'avaient pas été dérangées.

Rien n'est plus aisé à comprendre que la disposition mécanique imaginée pour produire cette marche en apparence merveilleuse.

L'aiguille des minutes est terminée au talon par un appendice en forme de boîte de montre. Cet appendice renferme en effet un mouvement de montre qui met en marche un poids additionnel en platine et lui fait faire un tour entier en une heure.

Fig. 190. — Horloge magique de M. Henri Robert.

Ce poids en platine a (tig. 191), en se déplaçant ainsi dans une rainure qui fait le tour de la circonférence de la boîte, modifie à chaque instant la position du centre de gravité G de tout le système de l'aiguille. Examinons- ce qui se passe lorsqu'il tourne successivement de 15" en 15° dans le sens indiqué par la flèche. Le centre de gravité de l'aiguille sans le poids a est en g'; celui du poids lui-même est g; le centre de gravité du système est en G, point qu'on obtient en partageant la distance gg' en deux parties proportionnelles aux poids isolés de l'aiguille et de la boule de platine. Quand cette boule s'avance de 15° sur la circonférence de la rainure, puis encore de 15°, etc., le centre de

gravité de l'ensemble passe en des points symétriquement placés sur une circonférence dont le centre C est précisément celui du cadran là où l'axe du mouvement de l'aiguille est fixé. Le système de l'aiguille et du poids se trouve dans le cas de l'équilibre stable. Son centre de gravité, qui tend sans cesse à remonter vers la droite, est donc ramené sans cesse au point le plus bas, ce qui ne peut se produire sans que l'aiguille tourne autour de son axe, en sens contraire, et d'un angle précisément égal à celui de la boule de platine. Pour décrire 50\

Fig. 191. — Mouvements du poids additionnel el de l'horloge magique.

cette boule, on l'a vu, met 5 minutes; l'aiguille des minutes décrit le môme angle dans le même temps, c'est-à-dire que son mouvement est précisément celui d'une horloge bien réglée. L'examen, sur la figure 191, des positions successives occupées d'un côté par le poids additionnel de platine et par le centre de gravité du système, de l'autre par l'aiguille même, permettra de comprendre aisément l'explication qui précède.

Nous avons vu plus haut quelles sont les conditions d'équilibre d'un corps qui repose sur un plan, ou qui s'appuie par un de ses points sur un axe ou point fixe : la verticale du centre de gravité doit tomber sur le polygone d'a|)pui, ou bien passer

par l'axe ou le point qui soutient le corps. Cette condition est nécessaire s'il s'agit d'un corps en repos, mais elle ne l'est plus si ce corps est animé d'un mouvement de rotation rapide.

Une toupie, par exemple, qu'on fait tourner sur un plan horizontal, a le plus souvent son axe incliné sur ce plan, et elle reste delà sorte en équilibre, tant que la vitesse de son mouvement de rotation est suffisante.

Mais en même temps que son axe est incliné, on le voit se déplacer et décrire un cône autour de la verticale (fig. 192), donnant ainsi une représentation imagée du lent phénomène que nous îivons étudié sous le nom de précession des équinoxes.

Yoici un autre exemple singulier d'équilibre des corps en mouvement. Un disque métallique M (fig. 195) est monté sur un axeOA qui repose par son extrémité 0 sur un socle, l'autre extrémité étant portée à la main. On donne alors au disque ainsi disposé un mouvement très rapide de rotation, puis on l'abandonne à lui-même, en laissant libre l'extrémité A de son axe. Dans cette position, si la masse M était immobile, on la verrait tomber suivant la verticale de sou centre de gravité en tournant autour de Fig. 195.— Momemuni l'extrémité 0; mais grâce à la vitesse de jijioscopique. rotation qui l'anime, elle conserve sa position; son axe reste incliné, en décrivant lentement autour de la verticale une surface conique régulière. Le cas est évidemment analogue à celui de la toupie.

La théorie rend compte de ces cas singuliers d'équilibre, où la force d'inertie joue un grand rôle.

g 2. MESUliE liU POIDS DES CORPS. — LA BALAKGE DE PKÉCISION.

Déterminer le centre de gravité d'nn corps ou d'un assem- Llage de corps i)esants est un problème qui trouve fréquemment, dans les arts et dans les industries diverses, une multitude d'applications. Mais une autre question non moins intéressante et non moins utile est celle qui a pour objet de mesurer l'intensité de la résultante dont le centre de gravité est le point d'applicalion, ou, pour employer le langage de tout le monde, de peser les corps.

Les instruments destinés à cet usage ont reçu, comme on sait, le nom de Imlances. Les balances employées sont très variées dans leurs formes et dans leur mode de construction, et nous les décrirons plus loin en détail. Commençons par la description de la balance de précision, seule en usage dans les recherches scientifiques .

Le principe sur lequel sa construction est basée est celui-ci :

Un levier, barre rigide, reposant par son milieu sur un point fixe, inébranlable, autour duquel il peut osciller librement, est en équilibre quand deux forces égales sont appliquées à chacune de ses deux extrémités.

Pour qu'un levier de ce genre puisse servir de balance, il est indispensable que certaines conditions dont nous allons parler aient présidé à sa construction.

11 faut d'abord que les deux bras du levier ou fléau AO, OB (fig. 194) soient d'égales longueurs et de même poids, de manière à se faire isolément équilibre. Les deux bassins P, P dans lesquels se placent, d'une part les poids étalonnés, d'autre part le corps à peser, doivent avoir aussi rigoureusement le même poids. En second lieu, le centre de gravité du système doit se trouver au-dessous du point ou de l'axe de suspension, et très voisin de cet axe. Il résulte de celle seconde condition que l'équilibre sera stable, et que les oscillations du fléau ten-

LA BALANCE DE PRÉCISION

dront toujours à le ramener dans une position horizontale, qui est la marque caractéristique de l'égalité de poids des corps placés dans les deux bassins on plateanx de la balance.

Ces deux conditions sont seules nécessaires pour que la balance soit juste, mais elles ne suffisent pas pour qu'elle soit sensible, c'est-à-dire pour qn'elle accuse la moindre inégalité dans le poids, par une inclinaison du fléau facile à constater.

Pour qu'une balance soit très précise et très sensible, il faut encore :

Que les points on axes de suspension du fléau et des deux bassins soient sur la même ligne droite; dans ce cas, la sensibilité est indépendante de la charge des plateaux ;

Que le fléau ait une grande

*^ Fig. 194. — Balance.

longueur et soit aussi léger que

possible ; alors l'amplitude des oscillations est plus grande pour une même inégalité dans les poids ; c'est la môme l'aison qui exige que le centre de gravité de la balance soit très voisin de l'axe de suspension du fléau, sans pourtant coïncider avec lui.

Montrons maintenant comment ces conditions sont réalisées daiis les balances de précision employées par les physiciens ou les chimistes.

Le fléau (fig. 195) est formé d'un losange découpé de champ dans une plaque métallique d'acier ou de bronze, et évidé de façon à diminuer son poids sans augmenter sa flexibilité. En son miheu passe un prisme d'acier, dont l'arête horizontale forme l'axe de suspension du fléau. Cette arête repose sur un plan dur et poli, d'agate par exemple. Les deux extrémités du fléau portent deux prismes plus petits, mais dont les arêtes, également horizontales et parallèles à celles du prisme principal,

supportent les plans d'aeier mobiles, auxquels viennent s'attacher les tiges qui portent les bassins uu plateaux.

Les trois arêtes dont nous parlons doivent être rigoureusement alignées sur un même plan, et leurs distances parfaitement égales.

Au milieu et au-dessus du fléau, on voit deux boutons superposés, dont l'un est taillé en écrou, de sorte qu'on peut l'abaisser ou l'élever à volonté. On s'en sert pour élever ou abaisser le centre de gravité de la balance, de manière à le rapprocher ou à l'éloigner de l'axe de suspension et à donner

Fig. 195. — Balance de précision; le fléau.

ainsi à l'instrument le degré de sensibilité qu'on veut. L'autre bouton est percé excentriquement d'un trou, de sorte que sa masse est répartie inégalement autour de l'axe ; en le faisant tourner, on peut agir sur l'un ou sur l'autre bras du fléau, de façon à compenser une inégalité de poids passagère, provenant par exemple de grains de })oussière imperceptibles en excès sur l'un des plateaux.

Au-dessus et en avant du prisme (ki milieu, le fléau porte une longue tige métallique ou aiguille, qui oscille avec lui, et dont la position est exactement verticale, lorsque le plan foi'mé par les trois axes de suspension est lui-même horizontal. L'extrémité inférieure de cette aiguille parcourt un

LA BALANCE DE PRÉCISION. 395

arc de cercle en ivoire, dont la division %éro correspond à cette dernière position et la détermine. De part et d'autre du zéro, des divisions égales permettent de mesurer les amplitudes des oscillations de l'aiguille : il suffit que ces amplitudes soient égales de chaque côté, pour qu'on soit assuré de l'horizontalité du fléau dans le cas de l'équilibre, et par conséquent de l'égalité des poids que portent les bassins.

Une balance ainsi construite doit être posée sur un plan , inébranlable, et l'on s'assure, à l'aide de vis calantes que porte le pied de l'instrument et par l'observation de l'aiguille avant toute pesée, que sa position est bien horizontale. Pour éviter l'influence des courants d'air et les causes de détérioration provenant de l'humidité ou des autres agents atmosphériques, on l'enferme dans une cage de verre, qu'on ferme pendant la pesée et qu'on ouvre seulement pour poser ou enlever les poids étalonnés. Du chlorure de calcium est en outre placé dans la cage, pour absorber l'humidité de l'air que celle-ci renferme.

Enfui, lorsque la balance ne sert pas, on soulève le fléau à l'aide d'une fourchette métallique, munie d'un engrenage à crémaillère dissimulé à l'intérieur de la colonne. De cette façon, les prismes conservent leurs arêtes vives, que sans cette précaution la pression émousserait à la longue.

On voit avec quelle rigueur sont réalisées, dans l'instrument que nous venons de décrire, les conditions d'exactitude d'une balaiice destinée aux usages scientifiques. La précision qui en résulte est indispensable pour les pesées si délicates exigées par les recherches de physique ou de chimie moderne. Mais ces conditions ne suffisent pas : il faut encore que l'opérateur y joigne l'habileté que donne l'expérience, et des précautions dans le détail desquelles nous ne pouvons entrer. Il est inutile de dire que la précision de la balance serait inutile si les poids marqués n'étaient eux-mêmes d'une rigoureuse exactitude. Quelquefois, outre l'échelle des poids moyens, le savant possède une série de petits poids qu'il a pris soin

de construire lui-même, à l'aide de lils de platine très fins, et dont il se sert pour les pesées d'une précision inférieure au gramme, en décigrammes, centigrammes et milligrammes.

Dans la balance que représente la figure 196, le constructeur, M. Hempel, a imaginé une disposition qui évite les tâtonnements, quand l'équilibre est déjà obtenu à une faible fraction près. On voit, au-dessous des boutons à écrou, un

Fig. 196. — Balance de jnécision, d'ajjrès le modèle construit par M. Heiii|)el.

demi-cercle gradué que parcourt une aiguille horizontale, qu'on peut faire mouvoir de l'extérieur de la cage. Les degrés correspondent à des milligrammes; de sorte qu'en plaçant l'aiguille, par exemple, aux divisions 1, 2, 5.... du quart de cercle du côté gauche, c'est comme si l'on mettait dans le plateau de gauche 1, 2, 5 milligrammes.

On construit aujourd'hui des balances assez précises pour qu'elles trébuchent au milligramme, (piand chaque plateau se

LA BALANCE DE PRÉCISION

trouve chargé de 5 kilogrammes. Dans les balances d'analyse chimique, on pèse jusqu'aux dixièmes de milligramme; mais alors la charge totale doit être très faible, de 2 grammes par exemple.

Les physiciens emploient fréquemment la méthode dite des doubles pesées pour remédier au défaut d'égalité des bras du fléau : cette rigoureuse égalité est, en effet, une condition à peu près impossible à obtenir dans les appareils les plus parfaits ; cette méthode consiste à placer le corps à peser dans l'un des plateaux, puis à établir l'équilibre en mettant dans l'autre plateau une tare ordinairement formée de grenaille de plomb. En cet état, si les bras n'ont pas rigoureusement la même longueur, l'équilibre ne prouve pas l'égalité des poids. Mais si, enlevant le corps, on le remplace par des poids gradués jusqu'à ce que l'équilibre soit de nouveau rétabli, il est aisé de comprendre que ces poids représentent exactement le poids cherché, puisqu'ils produisent le même effet que le corps et dans les mêmes circonstances'.

On a vu que le poids d'un corps est modifié par le milieu dans lequel il est plongé , de sorte qu'il se trouve diminué de tout le poids du fluide ou de l'air qu'il déplace. D'autre part, son volume varie avec la température, et par conséquent

' Ces poids en effet agissent à l'extrémité du même bras de levier 11 y a une autre méthode qu'on peut, plus justement que la première, appeler méthode des doubles pesées. Elle consiste 1° à peser le corps dans l'un des plateaux et à l'équilibrer par des poids marqués. En appelant P le poids cherché du corps, P' celui des poids marqués et a; et y les longueurs des bras de levier à l'extrémité desquels ces poids agissent, on a évidemment

Px = P'«/.

2° A peser le corps dans le second plateau, et à l'équilibrer par des poids marqués qui différeront de ceux de la première pesée, si les bras a; et y du fléau sont réellement inégaux. Alors on aura

en appelant P" les nouveaux poids. En multipliant membre à m nibre les deux inégalités, et supprimant les facteurs communs x et y, on en tirera

d'où

Pr^l/FF'.

Un simple calcul donnera alors le vrai poids du corps.

le même corps ne déplace pas toujours la même quantité de fluide : de là la nécessité de tenir compte de ces éléments de variation, à moins qu'on ne prenne la précaution de faire les pesées dans un espace purgé d'air, c'est-à-dire dans le vide.

§ 3. BALANCES USITÉES DANS LE COMMERCE OU DANS l'iNDUSTIîIE.

Nous venons de décrire la halance de précision, la seule qu'on emploie j)our les déterminations scientiti(|ues de pesées nécessitant une g-rande exactitude. Mais il est d'autres types de balances, plus grossièrement construits, en vue d'une moindre approximation, qui sont d'un usage bien autrement fréquent dans les transactions commerciales et iiulustrielles ; nous allons rapidement décrire les plus usités, sans insister sur les détails de leur construction, qui sont plutôt du domaine de la mécanique pratique que de celui de la physique.

La romaine est un de ces types les plus anciennement connus \ Sa construction, fort simple, repose sur ce principe de mécanique que les poids de deux corps pesants agissant aux extrémités de deux bras de levier inégaux sont , quand l'équilibre est établi, en raison inverse des longueurs des bras de levier.

- . Dans la romaine, le fléau AB (fig. 197) se compose de deux parties, dont la plus courte OA forme un bras de levier de longueur constante, à l'extrémité duquel est suspendu un crochet ou un plateau destiné à recevoir les corps à peser. Sur la plus longue partie OB, convenablement divisée en kilogrammes et fractions de kilogramme, se meut un anneau M qui soutient un poids P, toujours le même : c'est ce poids qui, avancé ou

* « Elle est ainsi nonimée, non pas parce qu'elle était, comme on l'a prétendu, en usage chez les Romains — les Romains ne la connaissaient pas — mais parce qu'elle nous vient des Arabes, qui appelleni roumain (pomme de grenade) l'unique jioids de celle balance. » (Hœl'er, Histoire de la Plijisique.) Quanl à la l)alance à deux fléaux égaux, elle; est d'invention fort ancienne. Homère en lait mention très nellement dans VIliade, l'A on ignore quel en liil rinventeur.