OSCILLATIONS ISOCHRONES DU PENDULE

Arrivé en M", à la hauteur du point M, îa vitesse redeviendra nulle, et le mouvement cessera pour reprendre aussitôt. Il est maintenant aisé de comprendre, en effet, que le point matériel recommencera, en sens inverse, un mouvement analogue et parfaitement égal au premier, puisque les circonstances seront les mêmes. Ce serait le mouvement perpétuel, si les conditions supposées pouvaient être remplies.

L'instrument idéal que nous venons de décrire se nomme le pendule. On l'appelle pendule simple, par opposition aux pendules réels, mais composés, qu'on peut construire, et dont il est possible d'observer le mouvement. Le mouvement total de M en M" se nomme une oscillation^ et sa durée est naturellement le temps que met le mobile à parcourir l'oscillation entière. L'angle MAM" des deux positions extrêmes, ou l'arc parcouru MM' M", se nomme Vamplitude de l'oscillation.

Il est à peine besoin .de dire que la perpétuité des oscillations ou du mouvement du pendule est purement théorique. Dans la réalité, il existe des causes multiples qui peu à peu détruisent le mouvement et finissent par arrêter le mobile : le corps suspendu n'est pas, en effet, un point matériel unique, mais une lentille ou une boule métallique, et la tige elle-même a un volume et une masse qui sont loin d'être nuls, de sorte que la résistance de l'air détruit une partie du mouvement du pendule à chaque oscillation. Ajoutez à ces causes de ralentissement et d'arrêt le frottement de la tige ou du couteau sur le plan de suspension. Néanmoins on est parvenu à rendre les lois du mouvement du pendule simple applicables aux oscillations des pendules composés, et à tenir compte des résistances qui proviennent de l'imperfection relative des appareils, exécutés d'ailleurs avec toute la précision possible.

Formulons donc ces lois, si importantes à connaître, et qui,

■[. En Angleterre et en Allemagne les physiciens entendant par oscillation le double mouvement d'aller et de retour qui ramène le pendule à la même position : chaque oscillation est donc double de roscillation telle qu'elle est définie en France. On retiouvera la même différence de définition dans les vibrations sonores ou les ondulations luiniueuses.

011 le verra bientôt, font du pendule rinstrumeiit par excellence pour la mesure du temps, l'indicateur le plus précis des irrégularités du sphéroïde terrestre ou des inégalités de structure de sa masse, et la balance à l'aide de laquelle on a pu peser notre planète et tous les corps de notre monde solaire.

C'est l'observation, nous l'avons vu, qui a fait connaître à Galilée l'isochronisme des oscillations pendulaires. Cet isochronisme est nécessaire dans l'hypothèse du pendule simple, puisque alors, l'amplitude ne variant point pendant toute la durée du mouvement, les arcs égaux sont évidemment parcourus pendant des temps égaux. Mais quand l'amplitude originelle n'est pas très petite, comme, dans la réalité, elle va en décroissant sous diverses influences, la durée des oscillations est elle-même variable et l'isochronisme disparaît.

Heureusement, la théorie démontre et l'expérience confirme la persistance de l'égalité de durée des oscillations quand leur amplitude est extrêmement petite. Voici en quels termes peut se formuler cette loi :

La durée des oscillations pendulaires infiniment petites est indépendante de leur amplUude : elle ne varie qu'avec la longueur du pendule et avec Vintensilé de la pesanteur.

Supposons cette longueur et cette intensité constantes. Alors la loi précédente s'énonce ainsi :

Les oscillations très petites d'un pendule sont isochrones^

1. Celle égiililé tle durée pour des oscillalioiis dont l'ani|ilitude diminue de plus eu plus, c'est-à-dire pour des chemins inégaux parcourus sous l'influence d'une force invariable, semble singulière au premier abord. Comme nous ne pouvons aborder ici la démonslralion mathémalique de la loi, il est bon de cbercher à donner, approximalivemenl du moins, la raison de l'égalilé en question. Si l'on y réflécbil un pou, on comprendra qu'au moment où l'amplitude esl double, par exemple, les fractions de l'arc total parcouru sont doubles en longueur de celles de l'arc correspondant à une amplitude moitié moindre. Mais les composantes de la pesanteur et les vitesses acquises en chaque point sont doubles aussi. Le pendule les décrit donc successivement les unes et les autres en dc< temps égaux. Dès lors la somme de ces durées élémentaires, en mémo nomlire dans les deux cas, reste la même. Le raisonnement s'applique à des amplitudes inégales quelconques, mais à la condition que ces amplitudes soient très petites, parce que c'est dans cette hypothèse seule qu'il est permis de confondre l'arc avec son sinus, et qu'il y a proportionnalité entre les vitesses acquises ou les composantes de la pesanteur et les arcs à parcourir.

LOIS DES OSCILLATIONS DU PENDULE

Qii'entend-on par très petites oscillations? Celles dont l'angle ne dépasse pas trois à quatre degrés.

§ 2. LOIS DES OSCILLATIONS DU PENDULE. — RAPPORT ENTRE LA LONGUEUR X DU PENDULE ET LA DURÉE DES OSCILLATIONS.

La seconde loi qui régit les mouvements du pendule établit un rapport entre la durée des oscillations et la longueur du pendule. Imaginons une série de pendules dont le plus petit batte les secondes, et dont les autres effectuent chacune de leurs oscillations en 2, 3, 4.... secondes. Les longueurs de ces derniers seront 4 fois, 9, 16.... fois plus grandes que la longueur du premier. Des pendules qui marqueraient les 1/2, 1/3, 1/4 de seconde seraient, au contraire, 4, 9, 16.... fois moins longs que le premier. En un mot, les temps suivant la série des nombres simples, les longueurs suivent la série des carrés de ces nombres. C'est ce qu'on exprime d'une manière plus générale, en disant :

Les longueurs des pendules sont en raison directe des carrés des durées de leurs petites oscillations * .

La théorie et l'observation s'accordent pour démontrer cette loi importante. Enfin, pour achever l'énoncé complet de la loi ou des lois des mouvements pendulaires, ajoutons que les durées des très petites oscillations varient quand l'intensité de la pesanteur varie (et nous verrons bientôt comment ont lieu ces variations). Ces durées sont en raison inverse des raciales carrées de Vintensité de la pesanteur. Mais puisque nous venons de parler des vérifications expérimentales, et que nous savons qu'il est impossible de réaliser un pendule simple, il est temps de dire de quelle manière les lois de ce pendule idéal s'appliquent aux pendules réels on composés.

Les pendules de ce genre sont ordinairement formés d'une lentille ou d'une boule sphérique en métal et d'une tige ajustée

1. On, ce qui revient au même, les durées des oscillations des pendules sont entre elles comme les racines carrées de leurs longueurs.

dans la direction dn centre de figure de la sphère on de la lentille. Cette tige vient s'encastrer, à sa partie supérieure,dans un couteau métallique tranchant qui repose par son arête horizontale, légèrement arrondie, sur un plan dur et poli, d'agate ou d'acier par exemple. Le plus souvent, la tige est terminée par une mince lame métallique flexible et élastique serrée dans une sorte d'étau fixe (fig. 47). Tels sont les pendules dont les oscillations donnent le mouvement aux horloges.

Dans un pareil système, ce qu'on entend par la longueur du pendule, n'est pas la distance du point ou de l'axe de suspension à l'extrémité inféi'ieure de la boule pesante, mais, à peu de chose près, la distance entre ce point et le centre de figure de la boule, quand la tige du pendule est déliée, et que la boule est une sphère de métal très dense, par exemple une sphère de platine. Ce dernier point prend alors le nom de centre d'oscillation. Au lieu d'un point, c'est une ligne parallèle à l'axe de suspension, et qu'on nomme axe oscillation , si le pendule oscille, comme d'habitude, antoui- de l'arête d'un couteau. Voici la raison de la distinction fondamentale relative à la définition de la longueur du pendule :

Dans le pendule sinq^le, nn senl |)oint est matériel. Dans le pendule composé, il y en a une infinité, soit dans la tige, soit dausla boule métallique. C'est comme si l'on avait une suite de pendules simples de longueui's différentes, et assujettis à exécuter d'ensemble toutes leurs oscillations. Si tous ces pendules étaient libres, les durées des oscillations varieraient de l'un à l'autre, d'api'ès la loi qui lie les longueurs à ces durées. Mais comme ils sont liés ensemble, le mouvement de chaque molécule se trouve accéléré pour les plus éloignées, ralenti pour les [)lus voisines du |t()iut ou de l'axe de suspension. Enire les

Fig. 47. — Pendille composé.

LOIS DES OSCILLATIONS DU PENDULE. 109

unes et les autres il en est donc dont les durées d'oscillation sont précisément celles d'un pendule simple d'égale longueur. Le calcul apprend à trouver la position de ces molécules, c'està-dire le point ou la ligne que nous venons d'appeler centre ou axe d'oscillation.

Huygens a démontré une propriété curieuse du pendule composé, dont nous verrons bientôt l'application, et qui peut servir à trouver par expérience l'axe d'oscillation. Cette propriété est la suivante : Si, après avoir fait osciller un pendule composé autour de son axe de suspension, on détermine la durée d'une oscillation, et qu'ensuite on renverse le pendule en le faisant osciller autour de l'axe d'oscillation, la durée reste la même, de sorte que l'axe de suspension pi'imitif est devenu l'axe d'oscillation, et réciproquement.

Le capitaine anglais Kater a le |)remier construit des pendules pouvant osciller à volonté autour de deux couteaux jouant alternativement le rôle d'axe de suspension et d'axe d'oscillation, leur distance étant la longueur du pendule simple ayant la même durée d'oscillation. L'un des couteaux étant mobile, on comprend qu'on trouve par expérience ou par tâtonnement la position précise où les durées d'oscillation sont égales. Un tel pendule a reçu le nom de pendule réversible.

Les relations qu'expriment les lois énoncées plus haut, supposent que le mouvement pendulaire a lieu dans le vide. Comme les observations se font dans l'air, il l'estait à savoir si la résistance de ce fluide modifie les durées d'oscillation et l'isochronisme. Or le calcul prouve que, si les amplitudes ou les écarts vont en diminuant par le fait de cette résistance, celle-ci ne change point la durée de l'oscillation. Chaque demi-oscillation descendante est accrue en durée, par le fait d'une diminution dans la vitesse, mais la demi-oscillation ascendante qui suit est réduite d'autant par la diminution d'amj)litude, qui provient de la même résistance. L'isochronisme subsiste, ainsi que le rapport entre la durée d'oscillation, la longueur du pendule et l'intensité de la pesanteur.

La présence de l'air, à la vérité, altère d'une autre façon le mouvement du pendule, tel qu'il aurait lieu dans le vide. On verra en effet, par la suite, que tout corps plongé dans un fluide* perd une certaine partie de son poids, sous l'action d'une poussée agissant de bas en haut, de sorte que c'est comme si l'intensité de la pesanteur se trouvait diminuée. De plus, cette perle de poids n'est pas la même pour un corps à l'état de mouvement que pour un corps en repos. Il y aura donc une correction à faire, pour rendre comparables les observations des pendules en les ramenant au vide, et cette correction dépendra de la densité de la matière formant le pendule, comparée à celle de l'air.

Nous verrons plus loin quelles importantes applications ont été faites des lois des oscillations pendulaires à divers problèmes de physique terrestre, tels que la détermination de l'intensité de la pesanteur et de ses variations, celle de la densité du globe, la vérification des mesures géodésiques, et enfin la constatation du mouvement de rotation de la Terre. Quant aux applications du pendule à la mesure du temps, elles seront l'objet d'un paragraphe spécial dans la seconde partie de ce volume.

Les anciens et les modernes jusqu'à Galilée avaient sur la pesanteur et sur son mode d'action, comme sur les phénomènes de mouvement auxquels cette action donne lieu, des idées erronées : nous avons eu l'occasion de les rappeler. On a vu aussi comment les expériences du savant florentin ont rectifié ces notions, comment il est parvenu à reconnaître que l'inégalité de vitesse, dans la chute, était due à la résistance du milieu. Newton, par sa fameuse expérience delà chute des corps dans le vide, a confirmé l'induction tirée d'observations nécessairement grossières et imparfaites. Mais dans le tube oiî l'on peut observer le fait de la vitesse égale de masses inégales et de substances fort différentes, il n'est pas aisé de montrer avec