MOUVEMENT POSITIVISTE EN LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES

|bntes implique une nécessilé physique non moins léluctable que la nécessilé logique et abstraite, qui fest peut-être elle-même qu'un dérivé et une formule de ['□écessité réelle et causale. De ce qu'une chose n'est ntradictoire, il n'en résulte donc nullement qu'elle Mt contingente ou libre, encore moins qu'elle soit eslélique ou morale. En second lieu, Leibniz n'était guère biiséquent avec ses propres principes quand il ne rames l'uniformité des lois naturelles et la conservation ( l'énergie à une application Ju principe d'identité luî- ;igme. En efTet, Leibniz admettait (à tort ou à raison, peu bporte) que le temps n'est pas une réalité, une force, ise, conséquemment un principe de changement Ide mouvement, mais qu'il est un simple rapport et un

nple ordre entre les réalités, entre les forces et causes

' efficaces qui seules sont des principes de mouvement. Or, si par hypothèse on accepte celte prémisse que le temps n'agit pas par lui-même et n'est pas par luimôme une cause, une source d'énergie, il en résulte que les mêmes principes en des temps différents sont toujours les mêmes principes et, en vertu de l'axiome de contradiction, no peuvent entraîner des conséquences dilTérentes. La différence Au temps, chose tout abstraite, ne suffit pas pour expliquer un changement dans les conséquences mécaniques s'il n'y a pas aussi un changement dans les principes moteurs. De là résulte la conservation de l'énergie dans la nature, qui, loin d'impliquer une convenance morale, une contingence, se réduit , d'après l'hypothèse même de Leibniz sur le temps, à une nécessité dérivée de la nécessilé qui lie les mêmes conséquences aux mêmes principes. La persistance de l'énergie n'est, en définitive , que l'application au mouvement du théorème général sur le changement, qui veut que tout changement succède à un changement et, en particulier, tout changement dans l'espace à un autre changement dans l'espace.

Que le devenir soit pour ainsi dire un tournoiement : place sans progrès, ou qu'au contraire il soit un pro-

'. OBJECTIVE DES SCIENCBS

grès réel, toujours esUil qu'il est un mouvement soumis à t1e3 règles : causalité est fécondité, sans doute, non stérilité, mais c'est une fécondité selon des lois. Notre espoii de progrès n'est donc pas un espoir en dehors du déterminisme, mais en dedans et par le moyen du déterminisme mfme.

Il importe d'ailleurs, au plus haut point, de distinguer les diverses formes de déterminisme et de ne pas les ramener toutes à la forme brutale, soit de la nécessité logique, soit même de ia nécessité physique : il y a déterminisme là où il y a des raisons, c'est-à-dire partout; mais toutes les raisons ne sont pas ohligées d'être réductibles à A = A, ni à un coup donné et reçu dans l'espace. Les délerminismes s'enveloppent, et la vraie question est de savoir quel est le plus enveloppant, par cela même le plus essentiel, si c'est un déterminisme physique ou un déterminisme psychique.

I. — Stuart Mill, qui soutient une sorte de positivisme géométrique, veut nous faire croire que, avec d'autres habitudes dans un autre monde, nous trouverions naturel qu'un cercle fût carré; mais il y a là une confusion pitoyable. Il pourrait exister un monde où tout cercle nous apparût inscrit dans un carré, mais le cercle ne nous paraîtrait pas pour cela carré. La définition même du cercle exclut analyliquement toute idée de carré, et nous n'avons ici qu'à rester conséquents avec nousmêmes.

Les positivistes empiristes les plus récents se rea* contrent de nouveau avec les partisans de la contingence pour admettre que l'expérience seule peut nous apprendre jusqu'à quel point la nature se conforme aux lois mathématiques et dans quelles limites ces lois sont applicables. < On ne peut, a-t-on dit, savoir » priori dans

;VEME.VT POSITIVISTE EN LOGICUE ET MATIIÉMATIQUES 37

llelle mesure la réalité se conforme » aux lois malhé- «tiques, « symboles imaginés par 1 esprit a ; c'est |robservation et à l'analyse du réel qu'il appartient 3 apprendre si la mathématique règne effecHve- (ent dans le monde. — Ainsi, quand vous ajoutez deux anges à deux oranges, c'est à l'expérience de voua prendre jusqu'à quel point l'arithmétique règne et si pus trouverez bien quatre oranges 1 Voilà ce que nous s saurions admettre. Que, dans le monde fantastique s choses en soi, on puisse supposer que deux choses k soi plus deux choses en soi font cinq choses en soi, encore; personne n'y peut aller voir. Pourtant kbsurdîté se montre déjà, car, dans le monde des loses en sol, les nombres deux et cinq sont inappli-

ou, s'ils sont applicables, ils devront s'appliquer

comme dans notre monde. Mais, pour revenir à ce dernier, comment ne pas reconnaître que, si des objets réalisent des nombres déterminés, ils réaliseront du même coup les rapports déterminés de ces nombres? Il n'y a ici en jeu que le principe do contradiction. Que la logique et les mathématiques contiennent des éléments irréductibles à la simple identité, cela est clair; mais, nous l'avons vu, ce qui n'est pas identique n'est pas pour cela contingent et arbitraire. — h L'analyse des principes et des méthodes mathématiques y décèle mainte détermination contingente, dit- on encore, maint artifice admis surtout parce qu'il réussit. » — Mais un artifice de méthode n'enlraine pas plus de contingence dans les objets qu'un échafaudage provisoire dans l'équilibre d'une cathédrale. Quant aux déterminations contingentes des mathématiques, où sont-elles* Sans doute : il faut admettre en fait l'unité et la pluralité, l'étendue, la coexistence, la succession, etc. ; mais ces catégories sont si peu contingentes qu'elles sont constitutives de notre intelligence même. Demande-t-on pourquoi il en est ainsi? Certes, nous ne pouvons pas répondre, ni expli- , quer comment il existe un espace ou une durée; raison k'de plus pour y voir une nécessité subie par nous et,

iniluctiveraent, p«r les dioses. Si on veul rêver q«» tout aurait pu être autrement, qu'on fusse ce rère ii contingence; saura-t-on. au fond, ce qu'on veut liirf. et ne jouera-t-on pas avec Jes notions vides, avec Jo fanlâmes do l'imagination métaphysique?

Les lois mathématiques, considérées en elles-niêines. paraissent impropres, ajoute-l-on, à être réalisées, e»f elles impliquent « le nombre infini »: or, « ut» nombre infini actuel est chose absolument inconcevable' ». — U nombre infini est en ellet inconcevable et irréalisable, mais non pas rinfinité sans nombre, l'innombrable, qm est au contraire le réel, supérieur à notre nuraération finie. Les luis mathémaliques, à aucun point de vue, ûi peuvent comme telles envelopper de contingence.

IL — La géométrie, a dit M. Houel, est fondée sur 11 notion expérimentale de la solidité ou de VinvariabiliU des figures, qui fait qu'on peut les déplacer sans les déformer. — Nous accordons volontiers à celte nouvelle forme de positivisme nnalhémalique que rexpérience Je la solidité et du transport de solides invariables est l'occasion première de nos conceptions géométriques; à vrai dire, la géométrie n'a pas besoin de s'occuper de la so/(rfiVe proprement dite; elle n'a besoin que de supposer des figures invariables et mobiles. Or, cette notion n'est pas ■ empirique »; elle résulte de la définition même des figures, joinle à notre idée de l'espace. D'une pari, nous faisons entrer dans la définition du cercle telles cooditions abstraites, comme l'égalité des rayons; d'i part, nous supposons l'espace vide de tout ce qui pourrait modifier une fig^ure par une force quelconque. Dans ces conditions, qui sont les hypothèses premières de la géométrie, il serait coiUradicloire d'admettre qu'un cercle cesse d'èlre un cercle ou que ses dimeusions et sa forme s'altèrent parce qu'on le suppose transporté en un autre point de l'espace, l'espace étant inerte

I Bouti'ooi. Lhtée ,1e lui iialiii-elle. p. 3&,

EMENT POSITIVISTE EN LOGIQL'E ET MATUÉMATIQUES 39

[■ définition. Toutes les ïmR^es Je grandeurs étendues Kot formées en harmonie avec le principe de l'iiomogé- Jilé des parties de l'espace ; supposer que nous pouvons voir une image géométrique qui contredise cette horaoiDéilé, c'est supposer que nous pouvons avoir < une

page qui contredise la condition fondamentale de toute page j>. La notion d' « espaces non homogènes» est donc Bpourvue de sens, à moins qu'on ne veuille dire qu'un

çace rempli d'air et un espace rempli d'eau ne sont pas jènes; mais ce n'est pas en tant qu'espaces qu'ils

nt hétérogènes : il n'y a ici d'hétérogène que l'air et pau. Faites abstraction de l'eau, de l'air et de toute autre

latière remplissant l'espace, pour ne considérer que l'es-

ice en lui-même, vous ne pourrez plus parler d'espaces

ifférents, ni de plusieurs espaces, mots dépourvus de bute signification et dont s'dbusent les néo-géomètres.

picore une fois, le transport des figures géométriques s déformation est une conséquence tout analytique des principes mêmes que la pensée a posés. La géométrie n'a pas à se préocecuper des forces qui, en fait, peuvent déformer un cercle qu'on transporte. En tant que cercle dans l'espace, il est le même à Paris et àLondres, puisque ni Paris ni Londres n'entrent dans les définitions et données primitives. Aussi ne saurions-nous accorder à M. Poincaré que « la possibilité du mouvement d'une ligure invariable n'est pas une vérité évidente par ellemême, ou du moins ne l'est qu'à la façon des postulats d'EucIide, et non comme le serait un jugement analytique a priori •>. Ce qui n'est pas évident a priori, c'est qu'un cercle de fer transporté de Londres sous l'équateur ne sera pas modifié dans ses dimensions ; et de fait il le sera, mais en vertu du changement de température, non du transport dans l'espace géométrique. Quand les néogéomètres rêvent des espaces de toutes sortes, ils donnent arbitrairement le nom d'espace à une lïction de l'esprit. Il n'estpas vrai que l'espace soit simpleiuentunec possibilité ^.de relations » : il est une possibilité de relations s/)atiales, M toutes CCS relations perdent leur sens en dehors des

DES SCIE:NCGS

trois ilimenHions. Qui empôclie de rêver aussi un temjis à II- dimensions, qui n'aura plus du temps que le nom? Les empirisles en géométrie ont invoqué, en faveur de leurllièse, la géométrie non euclidienne, où d'aiUeun d'autres géomètres croyaient, de leur côté, voir Me preuve de l'idéalisme. En réalité, cette géométrie est no roman fondé sur des conventions arbitraires : l'absence de contradiction dans les déductions ne prouve nullement la possibilité des données, leur caractère noD contndictoire. Le rôle de l'intuition, en géométrie, doit sans doute être ramené au minimum, ou du moins au nécessaire, mais on ne peut supprimer l'intuition de l'espace, ni la réduire, ainsi que le dît étrangement M. Poincaré, à un accident comme la blancheur de la craie, à je ne sais quoi de contingent. La vérité est qu'on donne souvent le nom d'inCuithii à de beaux et bons raisonnements fondés sur la contradiction, et que les empirisles en profitent pour voir dans cette intuition de la contingence. La superposition même des ligures, qui a l'air d'abord d'être une expérience idéale et intuitive, est un artifice de raisonnement. Schopenbauer prend à partie Euclide pour la fa(;on dont il démontre qu'un triangle où deux angles sont égaux est isocèle; mais Scliopenhauer se trompe en voyant là une intuition. Si un triangle où deux angles sont égaux est isocèle, c'est que, toutes les données et conditions de construction étant identiques pour un côté etpourl'autre, il &sra.\\.conlradi claire d'admettre que les deux côtés ne fussent pas égaux ; ayant éliminé par hypothèse toute condition difïérenle, on ne peut plus assigner une différence. Quand on regarde les angles égaux et les côtés, on s'imagine qu'on xoit les eûtes égaux; en réalité, on drdnit cette égalité : on raisonna d'un raisonnement rapide en concluant l'identité des conséquences de l'identité des données. De môme, considérez le théorème que deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun sont égaux. Vous verrez qu'il n'y a pas besoin de superposer, ou que la superposition est une simple comparaison

HOUVEMENT POSITIVISTE EN LOGIQUE ET MATH ÉH AT 10 (j ES 41

gique, abouLissanl à des déductions. Vous comparez

I données du premier [riangle avec celles du second,

: vous concluez que toutes les prémisses sont iden-

le part etd'aulre; vous avez même angle, même

Ireclion des deux eûtes, égalité de ces deux côtés;

pinment le troisième côLé, qui est donné par tout ce qui

'écède, se mettrait-il à dilîércr d'un triangle à l'autre?

i n'ai pas Itesoin de faire dos transports de triangle et

Bs promenades dans l'espace; je suis bien tranquille

favance : les mêmes données entraîneront les mêmes

bultats, aussi bien sur les étoiles que sur la terre. La

hperposition et la coïncidence sont donc souvent des

tifices, — etparfois assez grossiers, — pour donnerune

Batérialité apparente à des raisonnements abstraits pro-

ndant par comparaisons abstraites. La prétendue intui-

t ici un raisonnement confus, et en conséquence

elle n'a rien ni de contingent, ni d'empirique, comme

le croient beaucoup de positivistes.

Qu'est-ce que l'intuition même desinfinis, sinon encore un raisonnement, ainsi que Leibniz l'avait bien vu? Les mômes raisons ou données subsistant toujours, il n'y a jamais lieu do s'arrêier, ni d'établir les difTorences. Si vous jugez que les angles droits formés par une perpendiculaire sont égaux, à quoique distance qu'on prolonge les lignes et quelle que soit la surface comprise entre ces lignes, c'est que les mêmes données ou raisons subsistent toujours, — donc les mêmes conséquences; — et c'est cette déduction que vous prenez pour une intuition.

Mais, s'il en est ainsi, pourquoi exclure de la géométrie les considérations d'infini? Pourquoi vouloir, avec l'école classique des géomètres, que les lignes soient toujours fermées de toutes parts? Si je considère deux rectangles infinis de môme base construits sur une même ligne, ne sont-ils pas aussi clairement égaux que deux rectangles ayant leurs quatre côtés? Et je ne fais pas'ici appel à l'intuition, mais au raisonnement. Dans le cas des reclangles finis, il est contradictoire de dire que

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ABEF, BCDE, où tous les £

]gle3 el les côlés s