ABC

égaux, ne sont pas égaux; car où s'introduirait l'inègalilé, les données étant identiques de part et d'autre' Maintenant, supprimez les côtés FE et ED, eo laissant tout le reste identique, vous introduisez, au lieu des quatrièmes côtés, deux infinis déterminés entre les côtés A F, BE et BE,CD; ce sont deux rectangles infinis ayant même base et un côté commun EB. Le raisonnemeal déductif s'applique ici tout comme dans l'autre cas. Cène sont pas seulement les figures qui peuvent ici coïncider dans toute leur étendue ; les idées génératrices, identiques de part et d'autre, entraînent les mêmes conséquences. Donc on peut raisonner sur des inlinis bien définis, tout comme sur des finis, et sans autres intuitions que primitives, celles qui se retrouvent dans toutes les constructions géométriques.

Les objections faîtes à l'infini actuel de quantité viennent de ce qu'on suppose impossible de comparer deux grandeurs autrement que d'une comparaison numérique. Or, rien n'est plus faux. Le nombre n'est qu'un expédient à notre usage, qui no peut pas exprimer toutes les quantités'. La première et la meilleure comparaison de quantités a lieu par l'espace ; c'est aussi en connexion avec l'espace que la conception de l'infinité vient à l'esprit ; c'est à l'espace qu'il faut en appeler pour faire des comparaisons d'infinis étrangères à toute notion de nombre.

I Vuir, dana le Muiiceiiii'iil itléaliili', les chaiiitrcs auf la pliîlosophia

Voici un exemple donné par le logicien et mathématicien de Morgan.

A est infini comparé à a, sans qu'il soit besoin de comparaison numérique. « Quantité • ou non, A est quelque chose de déterminé pour l'esprit. Et, quoique infini, A peut s'augmenter de a, ce qui le rapproche encore plus des quantités.

On peut d'ailleurs, ajouterons-nous, introduire des rapports numériques. Je conçois très bien que l'espace angulaire inKni AOC est égal à l'espace angulaire infini

COB, et qu'il est la moicié de AOG + COB.

Même dans la géométrie actuelle, on parle d'angles, — ce qui implique un espace angulaire infini, — et de parallèles, ce qui implique encore l'infini; pourquoi donc exclure la considération des infinis ?

L'infini admis dans les mathématiques d'aujourd'hui n'est qu'une variable; c'est dire qu'il n'est point vraiment infini et qu'on ne cesse pas de comparer dos quantités finies. L'infini est en dehors; il est la limite, si on veut. Mais qu'y a-t-il, philosophiquement, d'absurde à considérer des infinis tout donnés dans l'espace, au lieu de s'en tenir à des variable.^ ou à des symboles tmmériqties, qui ne sont que des artifices? Dans l'espace, tout est donné; dans les nombres, il y a progression perpétuelle. Nous convenons qu'on ne peut raisonner sur des infinis en l'air, ni les comparer, mais les espaces angulaires com-

4i syntuilse objective des sciences

pris entre des angles égaux, par exemple, sonUîlsdei inQnis en l'air? Et toute détermination dans l'espace est-elle nécessairement subordonnée à des figures (ermées de tous côtés. S'il en est ainsi, que signitient lu angles, et que signifient les parallèles? Ce sont deiu ouvertures sur l'infini ; il est illogique de vouloir les ramener à des fenêtres closes. Anolre avis, c'est cetillogisme qui a fait aboutir la géométrie classique à l'impasse du postulat d'EucUde.

La grosse question, dans la géométrie des infinis, est celle de l'égal, du plus grand, du plus petit. Voiù ce qu'on peut poser en principe,

d" Deux inlïnis superposables et coïncidant dans toute leur étendue sont égaux, lorsque toutes les conditions qui servent à les définir sont égales.

Exemple : Soit les deux lignes parallèles A X, B Y, infinies dans le sens d'X et d'Y; elles sont égales, parce

que toutes les conditions qui servent à les définir sont égales. Elles sont en efl'et perpendiculaires à une même ligne AB, etla perpendiculaire AX, si elle avançait vers B Y en demeurant toujours perpendiculaireàAB, finirait par coïncider avec B Y.

De môme, deux infinis rectangulaires construits sur une même ligne indéfinie sont égaux si les bases sont égales : on peut démontrer que, en les faisant glisser sur la même ligne, on les amènerait à coïncider.

2" Le contenant est plus grand que le contenu; un infini est donc plus ijrand qu'un autre si tous les points du second appartiennent au premier tandis que des poinb du premier n'apparlieuDent pas au second, ou, en langage vulgaire, si le premier déborde le second.

l MOUVEMENT POSITIVISTE EK LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES 4S

fcÎQsi k ligne infinie AX est plus grande que la ligne

infînie BX parce qu'elle contient tous les points de BX, plus la portion AB que BX ne contient pas.

On n"a plus le droit ici de transporter la ligne A X sur BX sous prétexte de tes faire coïncider, car la coïncidence existe déjà dans la partie B X, Le transport altérerait les conditions ou relations premières et changerait la ligne AX en BX, c'est-à-dire en une ligne différemment déterminée et ne partant pas du même point.

De même la ligne infinie CY est plus grande que la

ligne infinie A X, car, en faisant g'iisser la ligne CY perpendiculairement jusqu'à A, elle coïncide avec AX par la partie BY et Ja dépasse de la partie AD.

L'infinirectangulaireCDXY est plus grand que l'infini rectangulaire ABXY, parce que tous les points du second

appartiennent au premier, qui déborde le second de la partie ABCD.

16 SÏNTUÉSIÎ OBJECTIVE DES SCIËSCBS

Et de même : l'infini rectangulaire EFZH est plus grand que ABXY, parce que, si on le fait g^lisser le

leng de la perpendiculaire AD, il contiendra ABXY en le dépassant de la portion C D EF.

Les infinis angulaires de inème sommet pourront également être comparés et auront les mêmes relations que leurs angles. On peut Jémontrer que deux iniinis angulaires de même sommet sont égaux s'ils ont même angle : car, en faisant tourner le premier autour du ^Ê sommet, on l'amènera à coïncider avec le second.

^1 Les géomètres eux-mêmes transportent des angles

^Ê droits (ou autres) l'un sur l'autre, pour faire coïncider

^M les cùtés ; il les retournent sens dessus dessous

^M comme le poisson sur le gril. Dès lors, qui empêche

^B de retourner l'angle AOB de manière que le point A,

mpêche loint A, I

par exemple, tombe au point G, et qu'on ait ainsi l'angle BOC égal à AOB? L'espace angulaire tout entier compris entre les côtés de chaque angle sera de part et d'autre, puisque les côtés coïncideront. Cela posé, on peut recommencer l'opération, et on arrivera ainsi, en mulliplianl l'espace angulaire par \

«OUVEMENT POSITIVISTE EN LOGIQUE ET MATHÉMATIOUES 47

lui-même, ou, si vous voulez, en faisant coïiiciJer une série de figures, par recouvrir et dépasser l'angle droit AOD. D'autant plus qu'on admet que, d'un point, on peut toujours, avec un rayon quelconque, décrire une circonférence; or tous les côtés des angles représentent des positions diverses du rayon. Il semble donc que l'infinité de l'espace angulaire entre des côtés euxmêmes infiniment prolongés , mais de position définie, n'enlève pas à la figure formée par les deux lignes droites sa <> signification», ni la possibilité d'être comparée (juantilativement à d'autres figures. De môme, la bissectrice d'un angle divise l'espace angulaire infini en deux espaces angulaires infinis égaux, puisque l'on peut faire coïncider les deux figures dans leur totalité infinie. Pareillement, je comprends très bien que l'espace rectangulaire infini AOCB est égal à l'esjiace angulaire

BCED; de plus, si je me sers des artifices de superposition, je comprends que, pour couvrir l'espace angulaire AOX... prolongé à l'infini, aucun nombre fini d'espaces rectangulaires n'est suffisant. C'était le contraire tout à l'heure pour les espaces angulaires.

Dans ces conditions, il semble qu'on raisonne bien sur des figures définies et sur des espaces définis, quoique infinis en un sens; ces espaces sont déterminés par des lignes, infinies il est vrai en tel sens, mais pouvant s'appliquer l'une sur l'autre dans toute leur étendue. Et mèmcil reste unecertaine considération de « variables », puisqu'on a une série d'espaces rectangulaires, pai' uxemple, quia pour limite l'espace angulaire de l'angle droit.