BY

Si AZ coupe BY en C, on démontre que Tangle XAZ contiendra le rectangle ABXY tout entier moins le triangle ABC. Mais un triangle égal à ABC se re-

trouve en CED, et Tinfini angulaire comprend encore, en outre du rectangle et du triangle , un excédent infini. Donc il est plus grand que Tinfini rectangulaire et couvre une plus grande portion du plan infini. On démontrerait même, en continuant la même construction et le même raisonnement, que Tinfini angulaire XAZ est infiniment

Il MOUVEMENT POSITIVISTE l^N LOGIQL'E ET MATUÉMATIOUE il) ils grand que le rectangulaire ABXY. Récippoquement, ii un inOui augulaire XAZ est, par hypothèse ou par lémonslratioD, plus grand qu'un infini rectangulaire ^•BXY avec lequel il a un cùlé commun AX, il ne pourra itre tout entier compris dans le rectangle et il devra le léborJer; ce qui n'est possible que si le second cûlé Je B-iigle, jVZ, coupe quelque part le second côté du recl*ngle, BY. C'est encore là, semble-t-il, une cunsé- Huence de tout ce qui précède.

Il suffira donc de démontrer qu'un infini angulaire est plus grand qu'un infini rectangulaire avec lequel il a un <!ûlé commun (c'est-à-dire qu'il ne peut coïncider entiè- •"^nnent avec cet infini rectangulaire, qu'il doit le comprendre et le déborder), pour qu'on ait le droit de conclure qu'une seule condition satisfait à cette nécessité, à savoir *li*e lesecondcôtéde l'angle, AZ, coupe le second côté du "^ctangle, B Y. De mt>rae, si une ligare fermce a une aire supérieure à celle d'une autre figure, la première ne pourra pas être tout entière contenue dans la seconde et ®lle la devra déborder. Il n'y a dans toutes ces considé- *'*lions de plus grand et de plus petit que des rapports •le contenant à contenu ; quelle que soit la figure, fermée **U non de tous eûtes, dire qu'elle est plus grande, c'est *lire que la portion d'étendue qu'elle délinit n'est pas con- •■enue dans l'autre, mais au contraire contient l'autre, ^U son équivalent, et la déborde.

Pour nous résumer ;

1" Deux infinis angulaires de môme sommet sont égaux s'ils ont même angle;

2" Deux infinis rectangulaires construits sur une même ligne indéfinie sont égaux s'ils ont même base;

3° L'infini angulaire XAZ est démontré plus grand que ABXY si AZ coupe BY;

4" La réciproque est également démontrable : si X A Z est plus grand que ABXY, AZ coupera nécessairement BY, puisque l'autre côté AX est commun.

KjDonc, à propos de deux infinis, rectangulaire et angu-

IVKTUtSE OHJKCTIV

laire, construits comme AUX Y et XAZ, il sera suffi«id ou do démontrer que A Z coupe Ft Y pour conclure q» X AZ est plus grand (|ue AltX Y, ou, réciproquemenl, de démontrer que XAZ est [dus grand queABXYpour conclure que AZ coupo BY.

Or, la comparaison avec l'angle droit XABdémonlit ■que XAZ est plus grand que ABXY, puisque, répéli^ fois, il couvre l'angle droit, tandis que AB X Y, répèti autant de fois qu'on voudra, ne le couvrira jamais. Donc, en vertu des deux lliéori'mes (3) et (i) précités et réôproques, XAZ ne peut Hre plus ^rand qu'à la condition que AZ coupe B Y.

C'est à peu près la démonstration du postulat d'EucIiile que Bertrand de Genève avait proposée, mais sansl'a|ipuyer sur une théorie des infinis satisfaisante.

Il y a là un raisonnement, ayant une série de moyeni termes, procédant par comparaison de quantités dwf des conditions définies. On ne saurait doDc assimiler cette série de mixuiis pj-piica/ives aux postulats sans aucune raison ni explication, soit sur l'iaipossibilité dt mener par un point plus d'une parallèle (ce qui n'est ni évident ni expliqué), soit sur les droites se coupinl à angles divers (Euclide), soit sur la somme des triangle! égale à deux droits (qui n'est évidemment qu'une conséquence lointaine), soit surtout sur le polygone et b rotation des quatre angles droits, où nous ne cooi' prenons pas que M. Henouvier puisse voir quelque chose d'évident, tant l'énoncé est peu intelligible ettaol la proposition réclame une démonstration compliquée. Les considérations de Laplace et de Delbœuf surla similitude sont supérieures, mais il semble que, là encore, la conséquence est confondue avec un principe. Bref, nous ne trouvons de raison explicative et de moyen terme que dans la comparaison avec l'angle droit, c'està-dire, en somme, avec le plan infini. Puisque, dans le fait, nous parlons d'infinis rectangulaires ou angulaires, il est logique de faire cette comparaison avec le tout dont ils sont des parties, et là où il y a comparaison,

MOUVEMENT POSITIVISTE EN LOr.tOUE ET MATH KMA TIQUE SI

établissement de rapports définis, il y a raisonnement. Si on recule devant cette conséquence, c'est qu'on a peur des comparaisons d'infinis, qui nous jettent hors des procédés bornés de la géométrie ordinaire ; on ne songe pas que la notion même d'angle et celle de parallèle enveloppent nécessairement l'infini, que la mp.stire des angles est une comparaison d'infinis, déguisée par l'artifice de la circonférence. Donc, selon nous, il faudrait avoir le courage et la logique de rechercher ce que produirait l'étude des infinis géométriques, jusqu'où et comment elle coïnciderait avec la géométrie traditionnelle.

Des à présent, on peut conclure que tout espace angulaire, en quelque point que se trouve le sommet de l'angle, s'il est ajouté à lui-même un nombre de fois déterminé, épuisera l'inlinité de l'espace circulaire ; tandis qu'un espace rectangulaire infini, quelles que soient sa base, sa hauteur et sa position, et quel que soit le nombre par lequel on le multiplie, n'arrivera jamais à couvrir le quart seulement de l'espace circulaire intini. Si bien qu'un espace angulaire quelconque est plus grand qu'un infini rectangulaire quelconque, comme représentant une portion plus grande de l'espace circulaire infini, auquel les deux termes sont respectivement comparables. C'est, croyons-nous, l'intuifion vague de cette relation qui se cache sous le postulat d'Ëuclide, — une sorte de postulat honteux. 11 doit bien y avoir une raison pour laquelle l'oblique rencontre la perpendiculaire ; et au fond, on entrevoit dans cette oblique un rayon de circonférence en marche pour faire tout le tour de l'espace circulaire infini, par l'addition d'espaces angulaires, tandis que la perpendiculaire a beau reculer et ajouter sans cesse des espaces rectangulaires, elle n'arrivera jamais à clore enfièrement l'angle droit, les mêmes raisons et conditions subsistant toujours. Avec un espace angulaire que renfermerait tout entier un espace rectangulaire, on ne pourrait plus reconstituer le cercle infini dont le centre est partout et

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la circonférence nulle part. Il nous semble que c'est le sentiment de ces infinis qui est au fond de la conviction universelle que l'oblique ne pourra pas rester en deçà de la perpendiculaire; car alors l'angle, ajouté à luimême, resterait contenu dans le quart du cercle iiilint, , comme y restent contenus les espaces rectangulaires | ajoutés indéfiniment à eux-mêmes : on ne pourrait plus faire le tour de l'horizon en faisant pivoter l'angle sur I un cOté, puis sur l'autre, et ainsi de suite. Mais ces < intuitions encore grossières réclament un établissement ' de relations plus précises. '

En tout cas, déflnir les parallèles au moyen de la \ notion de l'iniini et refuser ensuite d'admettre cette j notion dans la déduction qui part de celte délinition I même, nous semble logiquement absurde; et c'est à nos i yeux le vice de la géométrie euclidienne, philosophique- ' ment considérée. De là le désir que nous avons de voir se construire une géométrie des infinis. Il y a là quelque chose à chercher, dût-on ne pas trouver la démonstration du postulat. Peut*être arriverait-on à des rapports géométriques autres que ceux qui sont traduisibles dans le langage géométrique ordinaire. Celte recherche serait beaucoup moins étrange que la géométrie non euclidienne, qui en somme repose sur une absurdité ; car, < postulat ou démonstration, il est évident, par la comparaison avec l'angle droit, que l'infini angulaire est infiniment plus grand que l'infini rectangulaire. C'est donc « rêver les yeux ouverts » que de prendre pour point de départ un infini angulaire contenu tout entier dans un rectangulaire. Si on s'amuse pendant des volumes à tirer les conséquences logiques d'une impossibi-: lité (comme si on raisonnait à perte de vue sur un pied plus grand que le soulier dont il est chaussé), ne pourrait-on s'amuser aussi à tirer les conséquences logiques d'une considération d'infinis? Quant à l'absence de contradiction dans la géométrie non euclidienaei nous^avons déjà fait observer qu'elle ne prouve rien, sinon qu'on a déraisonné logiquement et sans se contre-

riIOUVEMENT l'ÛSITIVISTE EN LOGlOliE ET MATHÉMATIQUE !i3

tre '. On n'en saurait donc conclure aucun empirisme ni iicune contingence de la géométrie. Celle-ci sera con- Dgente quand on pourra montrer que le contenu est lus que le contenant, que ce qui est plus grand est lus petit, et que les contradictoires peuvent coexister, ans doute l'espace doit être préalablement donné au îomètre avec ses trois dimensions ; mais, comme il il donné en vertu môme de noire constitution mentale, contingence est encore ici impossible. Tout ce qu'on ïut imaginer en debors des conditions de notre pensée it X, mais n'est pas pour cela contingent. Le positi- .sinc empirique des géomtlres contemporains nous imble donc insoutenable.

■ JU. Mïlhaud a fort bîeD dil : > Supposons qu'on parle d'une proposim Bcceplde de tout \e. monde, comme : certains nombres sonl à k fois ipairs et premiora (3. â, 7, 11 . . ) ou de telles consoquencea logique» l'U plaira; puis, pour passer da celle chaîne do déductions i une autre, le l'on construise le vocabulaire suivant : nombre se traduira par irnnie, impair par vivani, premier pai' mort; on énoncera alors d'abord: rtains hommes sont à la fois vivants et morts. Puis viendra une série de '0|>ositions se succédant en bonnetogique comme celles dont elles seront traduction. , Qui songera à dire que la correspondance terme à terme celle suite d'énoiicca 'à une suite de déductions arithmétiques garaniJl bsencc de contradicliun de ces énoncés ? - (Lit Cerlïli'de tot/iiiue.)