INTERPRÉTATION DES TERMES SCIENTIFIQUES DU LIEU

Il n'y a de salut que dans l'explication littorale du texte. Les mathématiques étant ici l'instrument indispensable, nous allons interpréter d'abord les termes scientiflques du lieu et exposer très succinctement les connaissances mathématiques nécessaires.

Les écrits qui nous ont fourni les plus précieuses indications sont les Œuvres morales de Plutarque, le plus vaste répertoire de faits et d'idées que nous ait légué l'antiquité, et l'ouvrage de Théon de Smyime le platonicien, ayant pour titre : Twv xaTà [i.aô'iQ[;.aTix7)v /pY](y{[i.wv etç TYjv T0Î3 nXaxwvoç àvaYvwciv (Des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon).

En écrivant ce livre, qui n'a pas encore été traduit en français, Théon n'a pas cherché à exposer avec soin les lieux de Platon, qui ont besoin d'une explication arithmétique ; il a voulu seulement exposer au lecteur la doctrine des nombres, afln do le préparer aux études platoniciennes.

I. — Un nombre jo/an est un produit de deux facteurs ; les facteurs se nomment les côtés du nombre plan.

II. — Un nombre également égal (ïaoç tffâxiç), ou carré, est un nombre plan dont les deux côtés ou facteurs sont égaux.

III. — Un nombre promèque ('::po[i.*/jxY)(;), ou allongé, est un nombre plan dont les côtés sont inégaux : tel est 40, produit de 2 par 5. On nomme aussi promèque, ou allongé, le plus grand facteur du nombre : dans 10, le côté promèque est 5.

IV. — Un nombre solide (cTepeéç) est un produit de trois facteurs; les facteurs se nomment les côtés du nombre solide : ainsi le produit 19x 4X 10 000 donne le nombre solide 760 000 ; les côtés sont 19, 4 et 10 000.

V. — Un nombre cubique, ou un cube (x66oç), est un nombre solide dont les trois facteurs sont égaux : 27 est le cube de 3.

VI. — On nomme nombre harmonique, ou harmonie (àp[ji.ov(a), le produit de deux facteurs dont Tun est multiple de l'autre, c'est-à dire dont Tun égale une ou plusieurs fois Tautre (1) : ainsi le produit de 7500 par 100, c'est-à-dire 750 000 ou 75 myriades, est une harmonie, parce que le facteur promèque, ou allongé, 7500, est un multiple de l'autre, 100 : il vaut 75 fois 100.

VIL — Une harmonie est carrée quand les deux facteurs sont égaux : ainsi le produit de 100 par 100, c'està-dire 10 000, ou une myriade, est une harmonie carrée.

VIII. — h'épitrite (èx(TptTCç) est l+Jou^. La valeur d'un rapport ne changeant pas quand on multiplie ses deux termes par le môme nombre, on a 3 = 3-^» quelle que soit la valeur de n (2).

(1; Cf. Ptolémée, Harmoniques, I, v, Des traditions pythagoriciennes concernant les hypothèses sur les accords, t. III, p. 10 des Œitvres de Wallis, Oxford, 1699, in-f .

(2) De même que Platon parlait la langue mathématique de son temps.

IX. — On nomme /owrf (xu6[jt.ï)v) d'un rapport la plus simple expression de ce rapport : ainsi l'épitrite étant -|^, quelle que soit la valeur de n, le fond de l'épitrite estj, puisque les deux termes 3 et 4 sont premiers entre eux (i).

X. — On nomme nombres plans semblables des nombres plans dont les côtés sont proportionnels : ainsi

aXô 2aX26 3aX3ô et en général nay^nb ou aô 4aô ^ah ... n^ab

sont des nombres plans semblables, quelles que soient les valeurs de a, b, n (2).

XI. — Tous les carrés sont évidemment des nombres plans semblables.

XII. — En multipliant un nombre plan ab par un carré, tel que 16, on obtient un nombre plan i6ab semblable. On peut en elTetconsidérer 16aô comme étant le produit de Aa par 46,-doncen prenant Aa et 46 pour côtés du second nombre plan, on a un nombre plan semblable (3). Réciproquement, si deux nombres plans ab, a'b' sont semblables, leur quotient est un carré. Soit en effet r le rapport commun de leurs facteurs, on a par hypothèse — = — = r, d'oîi a' = ar el b' zz: br, donc a'b' = ab?^.