XIII. — On nomme nombres solides semblables des

nombres solides dont les côtés sont proportionnels :

ainsi

aXbXc 2aX26x2c ... naXnbXnc ou abc S abc ... ri^abc

nous emploierons, dans le cours de ce mémoire, le langage et les notalions scientifiques modernes .

(1) Cf. Thêon de Smyrne, Arithmétique^ II, 29, p. 125 de l'éd. gr.-lat. d'Ismaël Rouillaud, Paris, 1644, petit in-4«, et p. 85 de l'éd. gr. d'Edouard Hiller, Leipzig, 1878, in-12.

(2) Cf. EucLiDE, Éléments, VII, déf. Si2, et Thêon, Arithm., I, 22, p. r,7 de l'éd. Bouillaud et 36 de Téd. Hiller.

(3/ Cf. EucLiDE, Eléments, IX, pr 1 et 2.

10 LK NOMBRE GÉOMÉTRIQUIi:

sont des nombres solides semblables, quelles que soient les valeurs do a, b, c, n [\).

XIV. — Tous les cubes sont évidemment des nombres solides semblables.

XV. — En multipliant un nombre solide abc par un cube, tel que 8, on obtient un nombre solide %abc semblable. On a en effet %abc = 2aX26X2c. Si donc on prend 2a, 26 et 2c pour côtés du second nombre solide, on a un nombre solide semblable au premier. Réciproquement, si deux nombres solides abc^ a'b'c\ sont semblables, leur quotient est un cube. Même démonstration que pour les nombres plans semblables. (Voyez supj^a, III, XII.)

Donc les carrés et les cubes sont les seuls nombres qui rendent respectivement semblables les nombres plans et les nombres solides qu'ils multiplient.

XVI. — Un nombre est rationne/ (fv)T6ç), ou commensurable, quand il a une commune mesure avec Tunité.

XVII. — Un nombre est irrationnel (oij>^'q'zoç]^ ou incommensurable, dans le cas contraire, c'est-à-dire quand il ne peut être exprimé ni à l'aide d'unités ni à l'aide de parties égales de l'unité. Telle est la racine carrée de 2 ; telle est encore la racine carrée de 50 qui vaut 5 ^"2.

XVIII. — On nomme nombres générateurs et engendrés, croissants ou décroissants {8uva[jt.evot tô xat 8uvaffTeu6- [xsvoi, %(ii auÇovTeç xal çôtvovTsç), les termes d'une progression croissante ou décroissante. Le passif SuvadTsôeffôat (être dominé) est opposé au moyen 86va(j6ai (pouvoir), il exprime donc le contraire. Les deux participes Suvajxsvot et Suva(jx£uo[i.svot signifient donc produisant et produits. Les nombres générateurs et en- Ci) Cf. EucLiDE, Éléments, VIT, Déf. 2-2, et Théon, Arithm., T, 52.

gendres forment donc une progression; car, dans les progressions, chaque terme, augmenté de la raison ou multiplié par la raison, produit le terme suivant, et il est produit par le terme précédent, augmenté de la raison ou multiplié par le raison

Un passage du Commentaire de Macrobe sur le Songe de Scipion confirme cette interprétation. Macrobe » parlant de la perfection du nombre 8, dit : «... Il résulte aussi du double de 4 qui est engendré et générateur, car ce' nombre 4 naît de 2 [répété deux fois], et [répété deux fois] engendre 8. Est enim aut de duplicato eo, qui ypneratur et générât, id est, quatuor : nam hic numerus quatuor et nascitur de duobus et octo générât. » [Songe de Scipion, I, v.)

De plus, les termes sont croissants ou décroissants, suivant qu'on va du plus petit au plus grand ou du plus grand au plus petit. Ainsi la progression pythagoricienne, formée de la suite naturelle des quatre premiers nombres, est croissante ou décroissante suivant qu'on énonce les termes dans l'ordre :

1, 2, 3, 4 ou 4, 3, 2, 1.

XIX. — L'intervalle (àTuécxaciç) de deux termes successifs est le quotient de ces deux termes. Les nombres

1,2,4,8 et 1,3,9,27

dont s*est servi Platon pour expliquer la création de Tâme, dans le Timée^ forment deux progressions de quatre termes. L'intervalle de deux termes successifs de la première est 2; celui de deux termes successifs de la seconde est 3.

XX. — Dans un6 progression par difî'érence, les intervalles des termes successifs sont différents, parce que la valeur d'un quotient change, quand on augmente d'un même nombre les deux termes. Ainsi dans la progression 1, 2, 3, 4, les trois intervalles sont 2, |, |.

XXL — ËLude de la progression pythagoricienne 1, 2, 3, 4. — Cette progression avait une grande importance au temps de Platon. La somme 10 des termes était considérée comme le nombre le plus parfait, et si l'on prend les trois intervalles des termes successifs, en divisant chacun d'eux par celui qui le précède, on a les rapports 2, |, j qui expriment respectivement les consonnances musicales d'octave, de quinte et de quarte, mesurées d'après la longueur des cordes vibrantes. Cette mesure est une des grandes découvertes de Pythagore ou de son école (\).

XXII. — Étude de la progression platonicienne 4, 8, i2, 16. — Le quaternaire pythagoricien 1,2, 3, 4 ne contient qu'un carré, et il ne contient aucun cube ; 1 n'était pas considéré comme nombre, c'était le principe de tous les nombres. Platon lui a substitué un quaternaire plus parfait qu'il obtient en quadruplant celui de Pythagore, ce qui donne la progression 4, 8, 12, 16 dont la somme des termes, 40, est aussi égale à la somme des termes do la progression triple 1,3, 9, 27. Si l'on prend les trois intervalles des quatre termes, on a, après simplification, les rapports 2, | et |, c'està-dire l'octave, la quinte et la quarte, comme dans la progression pythagoricienne. De plus 4 et 16 sont des carrés, 8 est un cube, et 12 n'est ni un carré ni un cube. Enfin, 40 égale aussi la somme des nombres 1,4,8, 27, qui sont carrés ou cubiques. Plutarque, à qui nous empruntons cet exposé de la perfection de la tétractys platonicienne, conclut ainsi : « D'où il suit que le quaternaire de Platon est beaucoup plus parfait et plus riche que celui de Pythagore (ôdTs luoXu vfi<; xuBaYoptxYJç

(1) Cf. DiooÈNE DE Laerte, VIII, I, 11. — Théon, Arithm,, II, 12 et 37, pp. 90 et 46 de Téd. Bouillaud, et pp. 58 et 93 de Téd. Hiller. — Gensorin, Dif jo2«r natal, X, p. 364 de l'éd. Nisard. — Ed. Zeller, Philosophie des Grecs, trad. p. Boutroux. Paris. Hachette, t. I, p. 385, note 2.

TTjV lUAaiwvDtYjv TSTpaxTuv TcctxtXwTépav sTvai TY^ SiaOéaet %(ii TcXeiOTépav. />e /a ci^éation de l'âme dans le Timée, XIV, 1019, b, c).

XXIII. — Théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle égale la somme des carrés des deux autres côtés; et réciproquement, si le carré du plus grand côté d'un triangle égale la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

XXIV. — Etude du triangle dont les côtés sont 3, 4 et 5. — Le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, car on a 25=: 9 -f- 16, donc ce triangle est rectangle, d'après la réciproque du théorème de Pythagore. Le périmètre 3 + 4 -f- 5 = 12, et le rapport des côtés de Tnngle droit est | (1).

XXV. — On nomme diagonale (BiatxeTpoç) d'un nombre 5, la diagonale du carré dont le côté est ce nombre 5.

XXVI. — Le carré de la diagonale d d'un nombre 5 est double du carré 2o de ce nombre. — Cette proposition est une conséquence du théorème de Pythagore; on a en effet d^- = ^o^ 2o = 50. Platon établit directement cette vérité, dans le Ménon^ à l'aide d'une construction élégante [Le Ménon^XlX; 84-85).

XXVII. — La diagonale d d'un nombre rationnel 5 est irrationnelle. — De ûf- iz: 25 -f- 25 = 50, on conclut en effet d = y/ 5Ô = 5 v/T.

XXVIII. — • On nomme diagonale ratiotinelle d'un nombre o la racine 7 du plus grand carré 49 contenu dans le carré 50 de la diagonale irrationnelle.

(1* Cf. Antigitae tnitstcae auctores septem^ éd. de Meybaum, Amsterdam, 1652; t. II, Aristide Quintilien, Traite sur la musique, liv. III, p. 150.