première partie du facteur allongé vaut cent fois (49 — 1) ou

H. — Ou de cent carrés des diagonales irrationnelles, diminués de deux (à^pTfjTwv Se, SusTv, pour sxaTcv 8à àptBfjLwv àxb 8ta[AéTpa)v àf pTfjTwv xsfJLxaSoç , 8£0[i.éva)v Sueîv IxàŒTwv). Le carré de la diagonale irrationnelle de 5 est 50 (voy. supra, III, xxvi); donc la première partie du facteur allongé vaut aussi cent fois (50 — 2). Nous verrons (infra, IX) les raisons qui ont pu déterminer Platon à donner deux modes de formation de 4800.

I. — Et de cent cubes de trois. — C'est la seconde partie du facteur allongé : elle vaut 2700. Donc le facteur allongé de la seconde harmonie vaut 4800 -f- 2700 ou 7500, et rharmonie elle-même vaut 7500 X 100 ou 750 000, puisque l'autre facteur est iOO.

L'harmonie carrée étant iOOxlOO et les deux facteurs de la seconde harmonie étant 100 et 7500, on voit que Platon appelle harmonie un produit de deux facteurs dont l'un est multiple de l'autre, définition transmise par Ptolémée (voy. supra, III, vi et vu).

K. — C'est ce nombre géométrique tout entier (Çufjt.xaç 8e ouTOç àptO^xoç Y£W[i.£Tpa6ç) . — Le mot Çujxxaç montre que, dans la pensée de Platon, les deux harmonies doivent être réunies en un seul nombre. Or 10 000 -}- 750 000 égalent 760 000, donc le nombre de Platon est 760000,

ou 76 MYRIADES.

Mais 76=19X4, donc76myriades = 19X4X10 000.

On peut donc obtenir 76 myriades en multipliant d'abord ({ + 5) ou ^ par 3, puis le résultat 19 par 4, et le nouveau résultat 76 par 10 000; le nombre '^ est ainsi trois fois augmenté, puisqu'il a été multiplié successivement par 3, 4 et 10 000. C'est l'explication que nous avons donnée, dans notre précédent mémoire, des mots Tptç aiÇY)6ei^ qui n'ont pas toujours le môme sens que la

locution classique très précise izoWaLizlaQiaLfs^dq liA xpfa (multiplié par 3). En traduisant xpiç par « bien des fois », nous espérons avoir répondu à Tobjection posée en Allemagne à notre précédente explication.

Le docteur Frédéric Hultsch, de Dresde, nous écrivait, en effet, le 9 novembre 1882 : a ... Je crois pouvoir ajouter que tout le monde savant vous sera reconnaissant des nouveaux aperçus que vous avez mis en lumière dans cette seconde solution du problème... On ne peut espérer expliquer avec succès ce passage de Platon qu'en tenant compte, autant que possible, de la langue des mathématiques en usage à cette époque. Réciproquement, tout traité compétent sur ce passage doit ajouter quelque acquisition à l'histoire des mathématiques au temps de Platon. Envisagée à ce point de vue, votre nouvelle interprétation est un bénéfice pour la science, car la langue des mathématiques dans l'antiquité, surtout celle de Pythagore, y est excellemment exposée.

« Quant à la solution du problème, elle est, en général, extrêmement vraisemblable, et j'ai suivi avec le plus grand intérêt vos arguments pleins de sagacité. J'hésite seulement devant l'explication des mots xptç aù^rfidq qui me paraissent désigner le facteur 3... (1). »

(1) .... Ich glaube hinzuruftigen zu dUrfen, dass auch die ganze gelehrte Welt Ihnen dankbar sein wird fur die neuea Gesichtspunkte, welche Sie bei Ihrer zweiten Behandlung des Problems auf gestellt haben . . .

Die Stelle Platons war nur dann mit Aussicht auf Erfolg zu erklseren, wenn maa den mathematischen Sprachgebrauch jener Ëpoche soweit aïs mœglich berucksichtigte. Also muss umgekehrt jede sachkundige Behandlung der Stelle einen Gewinn bringen fUr die Kenntnis der Geschichte der Mathematik zu Platons Zeit. Von diesem Standpunkte aus ist Ihre neue Untersuchungjedenfalls ein grosser Gewinn fUr die Wissenschaft, denn der mathematische Sprachgebrauch der damaligen Zeit, besonders der Pythagoreer, ist vortrefflich dargestellt worden .

« Anlangend Ihre Lœsung des Problems, so hat das meiste einen hohen Grad von Wahrscheinlichkeit, und ich habe mit grossem Inte-

JUSTIFICATION DE LA LEÇON •ÏCpO[JI.TpjXSt Se.

L'édition publiée par les soins de Schneider, dans la collection Didot, présente, pour la définition de la seconde harmonie, la leçon plus rare -jcpofjLTfjxTi Se, au lieu de wp0[i.rjxst Se. Dans ce cas, ce n'est pas le plus grand facteur de la seconde harmonie, mais l'harmonie tout entière, qui vaudrait 7500, ce qui est inadmissible pour plusieurs raisons.

1°Les deux facteurs de la seconde harmonie vaudraient alors 100 et 75 qui ne seraient pas multiples Tun de l'autre ; cela ne serait pas conforme à la tradition pythagoricienne sur les accords qui nous a été transmise par Ptolémée (voy. supra^ III, vi).

2° Le nombre géométrique serait 17 500, somme des deux harmonies, 10 000 et 7500; or 17 500 n'est pas divisible par 19, on aurait donc un nombre fractionnaire pour valeur x de xpiç, car elle serait déterminée parla condition

V'Xa? = 17 500,d'oùx=17 500XtJ= 2763+tV

3** Ce nombre 17 500 ne vise aucune période connue du temps de Platon, aucun nombre remarquable.

4° Enfin, et celte raison nous paraît la meilleure, la première harmonie vaut 100 fois 100, et la seconde est de même longueur; donc logiquement, ce qui reste à définir, c'est l'autre dimension de l'harmonie.

resse Ihre scharfsinnigen Beweise vertbigt. Bedeaken habe ich hauptsachlich gegea die Erklaerung der Worte tpU «w^w^ît'î, womit mir nur der Factor 3 gemeint zu sein scheint »

RÉSUMÉ DU PROBLÈME. — PARAPHRASE d'aRISTOTE

En résumé, il y a deux nombres dans le lieu mathématique de Platon. 11 est infiniment probable que le premier est 40, somme des termes de la progression 4, 8, 42, 16, que Platon obtient en multipliant par 4 le quaternaire pythagoricien 4, 2, 3, 4. Pour nous, cette probabilité équivaut à une certitude. Et il est hors de doute que le second, qui est le véritable nombre géométrique, égale 760 000. Platon l'obtient en faisant la somme de l'harmonie carrée, 100 X 100 ou 10 000, et de l'harmonie, promèque ou allongée, 7o00X 1 00 ou 750 000. Il obtient d'ailleurs le plus grand facteur, 7500 ou 100 fois 75, de la seconde harmonie, en ajoutant 100 fois 27 à 100 fois 48.

Le nombre géométrique s'obtient aussi en multipliant par un facteur convenable (120 000) la somme de la demi-décade et du fond de l'épitrite (|), pris parmi les intervalles du quaternaire désigné dans la première partie de la phrase du lieu.

La seconde partie de la phrase, depuis wv eTutTpiToç TwOfXTQv, suffit à la détermination du nombre géométrique, car Aristote, qui entendait certainement la pensée de Platon, néglige l'énigme qui précède.

Dans la République, dit-il, Socrate parle aussi des révolutions, mais il n'a pas fort bien traité ce sujet... A son avis, elles viennent de ce que rien ici-bas ne peut subsister éternellement, et que tout doit changer dans un certain laps de temps; et il ajoute que c la base des périodes est le fond de l'épitrite joint ù 5, qui ofïre deux

harmonies, après que le nombre décrit, qui est un produit, a été obtenu »; mot à mot : quand le nombre de cette description est devenu solide (àpxV ^'etvat toutow, Sv èTCiTpiTOç xuO[ji.tîv TCSfxxûtBt cuÇuf^tç Suo àp|jiov(aç luapéxs'cai, Xé^wv S-cav ô To3 8taYpa[ji.[jLaT0ç diptô|jib<; toutou YSVTQxat aTepeéç) . (Aristote, /a Politique, V, x.)

Les mots xpiç auÇyiôetç n'indiquent donc pas une simple multiplication par 3, puisque le résultat est un nombre solide (voy. supra, III, iv). On trouve Ja valeur qu'on doit attribuer à xptç en cherchant par quel nombre on doit multiplier *| pour obtenir 760 000. Aussi l'interprétation arithmétique d' Aristote ne porte-t-elle que sur les deux mots xptç aùÇriôst!; dont le sens pouvait alors offrir quelque difficulté.