PREMIÈRE DÉMONSTRATION

Avant de proposer notre traduction dont nous justifierons ensuite tous les termes, nous allons faire connaître la valeur du nombre géométrique. Cette connaissance aidera à l'intelligence de tout le passage.

Nous considérerons dans le texte deux phrases dont la seconde commence à wv éTçiTpiTo; Truô(XYiv 7ce|xira5i cu^uyel;. Non seulement cette seconde phrase suffit à elle seule à la détermination du nombre, mais il est rigoureusement défini par les quatre derniers mots de la phrase : éxaTov ^è

Si la tradition du nombre, perdue depuis xviii siècles environ, n'a pas été retrouvée plus tôt, cela tient certainement surtout à ce que tous les traducteurs et tous les commentateurs, à l'exception de Sghlëiërmagher, ont traduit TpWçpar « le nombre ternaire. » Or, Tpia; ne signifie pas seulement le nombre trois, mais aussi une triade, un groupe de trois personnes ou de trois choses, qui sont ici les trois nombres 3, 4? 5, désignés au commencement de la phrase par les mots : cTriTpiTo; 7ruO(XYiv ire[A'ïrocSt au^uyeiç.

(25) Procli Diadochi m primum 1 wen/arii. Éd. gr.de GodefroypRiEDLEiN, Euclidis elementorum librum Corn- \ Leipzig, Teubner, 1873.

L'épitrite sTutTpiToç est le rapport -3- qui est égal à -^^ quel que soit m, et le fond tcuôjxyîv d'un rapport est formé des nombres les plus petits, et par conséquent premiers entre eux, qui expriment ce rapport (26). Le rapport épitrite réduit à sa plus simple expression étant -J- , le fond de l'épitrite « iTciTpiTo; wuôjjiYiv » se compose des nombres 3 et 4^ et le fond de l'épitrite joint au quinaire « TrepLTuàSt Gu^uyelç » est le groupe des trois nombres 3, 4? 5 ; c'est la triade qui représente les trois côtés du premier triangle rectangle des Pythagoriciens.

Ce triangle jouit de plusieurs propriétés remarquables : I* il est rectangle, puisque le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres : on a en effet 3' -|- 4' = 5' = 20 ; 2® sa surface égale 6, ainsi que son demi-périmètre, de sorte que les trois côtés et la surface sont représentés par les quatre nombres entiers successifs 3, 4î 5, 6; 3° le cube du nombre 6, qui exprime la surface ainsi que le demi-périmètre, est égal à la somme des cubes des trois côtés, car on a :

Il résulte d'ailleurs de témoignages historiques que ce triangle rectangle entre dans la formation du nombre nuptial. On lit, en effet, dans Plutarque : « C'est de ce triangle que Platon semble s'être servi dans la République pour former la figure nuptiale — w xai n>.aTa)v sv t^

no>.iTeia Jo/cet toutco Trpoffxeyp^côai, ^h Yaji.yf>.iov Jiaypa[ji.|Jia

(ïuvTaTTwv. — Dans ce triangle, le côté vertical vaut 3, la base vaut 4 et l'hypoténuse, dont le carré égale la somme des carrés des deux autres côtés, vaut 5. » (27)

Cette citation montre que l'interprétation complète du c< lieu » de Platon était probablement inconnue de Plutarque.

(26) Théon, Arithmétique^ liv, II, | {2"]) ?lvtarqve, Œuvres morales ySur ch. XXIX, I Isis et Osiris, g 56, p. 457 de l'éd. Didot.

Le témoignage de Proclos est plus affirmatif : « A ce genre de triangle, dit-il, [le triangle rectangle] appartient le triangle de la République dont les côtés de l'angle droit sont 3 et 4 et l'hypoténuse 5. ToioOtov yap I^ti tî> èv no>.iTeia Tpiycûvov, ou r^jv opS/iv Trepiéyoudiv o Te Tpta xal ô TSddapa' Otto- Teivei 5à aÙTTjv oe'. » (28)

Pythagore, que Platon a appelé le plus grand des philosophes et le plus sage des hommes^ avait fait une étude spéciale des propriétés de ce triangle. Platon Ta pris pour base du nombre géométrique .

Nous traduirons donc ainsi les quatre derniers mots « 'EjcaTiv Se xuêwv TpiaSoç » du lieu de Platon : « c'est cent DES CUBES DES TROIS NOMBRES [3, 4, 5]. » Or, la somme des cubes des trois nombres 3, 4? ^f ^st 216, donc le nombre nuptial est cent fois 216 ou 21 600, nombre que, pour nous conformer à la numération des Grecs, nous énoncerons :

2 UTRIADES 1600 MONADES

^f-'i-^si^^^^^^t-^^^^'r^l^l^^^

La définition bien établie du mot 'Appvia de la seconde phrase nous fournira une seconde démonstration de la valeur du nombre de Platon.

SCHLEIERMACHER a traduit é)caTÎ)V Je xuêwv xpiaSoç par

ces mots : « Yon hundert Wiirfeln der drei », c'est-à-dire par ce cent fois les cubes des trois » et non de trois. Il nous paraît avoir été bien près de déchirer le voile. Mais, après avoir éclairci sa traduction autant qu'il lui était possible, sans parti pris sur l'ensemble du sens jusqu'à

(a$) Procltis in Èuclidem^ commentaire sur laprop. XLVII, p. 428 de i'éd.Teubner.

ces mots 7rê(jL7ra5i gu^uyeI;, « afin que le lecteur allemand puisse, si bon lui semble, essayer ses dents à cette noix, » il ajoute : «... Quant au reste, je n'y entends rien et ne veux point passer pour y rien entendre... Ainsi, que ce problème demeure encore réservé à la bonne fortune de quelque autre; pour moi, je ne puis le considérer comme résolu par les travaux tentés jusqu'ici... » (29)

Voici la traduction que nous proposons. Nous respectons scrupuleusement le texte et nous nous efforçons d'être parfaitement intelligible. Nous faisons d'ailleurs précéder cette traduction d'une version latine littérale et nous la faisons suivre d'un commentaire perpétuel, c'est-à-dire d'un commentaire qui suit le texte mot par mot.

« Est autem ei quod divinitus est genitum circuitus quem numerus continetperfectus ; humanœ vero gaiiturœ is utique, in quo primo incrementay generarUia et generata^ très distantias atque quatuor terminas cùm acceperinty assimilantium et dissimilantiuniy et augentium et deminuentium^ cuncta pronuntiabilia et effabilia invicem effecerunt. Quorum sesquitertia radix [fundi scilicet 3 et 4] quinario conjuncta duos harmonias prœbet ter aucta^ unam quidem œqualem œqualitery centum totieSy alteram vero œqualis quidem longitudiniSy sed prœlongiori [latere] centum quidem numerorum [quadratorum] ex diametris effabilibus quinarii, indigentium uno singulorum^ duabus etenim ineffabilibus ; centum vero cuborum trinitatis [3,47 5]. Universus autem hic numerus geometricus....

« Il y a pour ce qui est divin et engendré (A) une période (B) qu'un nombre parfait embrasse (C) ; mais pour les races humaines il y a un premier nombre dans lequel (D) des puissances génératrices et engendrées (E), comprenant trois intervalles, et quatre termes (F) de ceux qui rendent semblable ou dissemblable (G), qui augmen-

(29) Œuvres de Platon^ trad. par Cousin, tome X, notes, pag. 339.

tent OU diminuent (H), ne présentent les unes par rapport aux autres que des rapports simples et exprimables (I).

Parmi ces termes (J), les nombres fondamentaux du rapport quatre tiers, joints au quinaire (K), élevés au cube (L), présentent deux harmonies (M), l'une carrée multipliée par autant de fois cent (N), l'autre de même longueur (0) et [formant un nombre oblong] dont le côté allongé (P) égale cent fois les carrés (Q) des diagonales exprimables du quinaire (R), chacun de ces carrés étant augmenté d'une unité (S) ; les deux diagonales sont en effet inexprimables (T) . Il faut prendre cent fois les cubes des trois nombres [3, 4^ 5] (U). C'est ce nombre géométrique tout entier qui »

A. — Il y a pour ce qui est divin et engendré : eart Se 6ei(o (xèv yevvYiT^. — Ce qui est divin et engendré, ce sont les astres. Les Pythagoriciens voyaient dans la régularité immuable de leurs révolutions une preuve de leur origine divine.

B. — Une période : irepioSoç. — Platon croyait à une grande année ^ espace de temps après lequel le soleil, la lune et les planètes devaient se retrouver aux mêmes points du ciel. Il n'en connaissait par la durée. C'est évidemment de cette période que parlent les Muses. (3o)

Le P. Mersënnë interprète autrement la période. «... Au Timée et au Criiias^ dit-il, Platon croit que le monde se renouuelle par des déluges et des embrasemens alternatifs, après quelques années qui sont mesurées par le nombre parfait qui est six ; car plusieurs disent que le monde finira au bout de six mille ans, qui ne sont que six iours au regard de Dieu, puisque le Psalmiste dit : Mille

(3o) Platon, le Timée, éd. Cousin, tome XH, pag. i33.

Voy. le texte gr., tome II, pag. 2iode l'ùil. Didot.

Voy. aussi Censorin, Dujournatal, ch. XVIII, pag. 375 de i'éd. Nisard

Et CicÉRON, De la nature des Dieux, liv. lI,ch.xx,t.IV,p.H9dei'éd. Nisard.

annianle oculos tuos tanquam dies hesterna quce prœteriil :

Car mille ans deuant toy sont comme la iournée Qui fut hier finie {Psalmlnite^ Sç)),n

C. — Qu'un nombre parfait embrasse : viv âpiSpc ^epi- >.a(jLêav6i TeXeio;. — Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses parties aliquotes, comme

6 = 1 -}-2-|-3 28= I -|-2-|-^^-f•7-|-I/^ etc.

La règle découverte par les Pythagoriciens pour obtenir les nombres parfaits nous a été transmise par Euclide. En voici l'énoncé : « Si, à partir de l'unité, on prend tant de nombres proportionnels successifs que l'on voudra en raison double, jusqu'à ce que leur somme soit un nombre premier; et si on multiplie cette somme par le dernier terme [additionné], le produit sera un nombre parfait. » (Ss)

La formule (i-j-2-|"^*"h -j"^")^" qui traduit

cette règle peut se mettre sous la forme (2°+* — 1)2", le facteur entre parenthèse étant un nombre premier.

On démontre aisément la proposition des Pythagoriciens, mais on n'a pas encore démontré la réciproque, c'està-dire que tous les nombres parfaits sont compris dans la formule précédente. C'est un desideratum de l'arithmétique. (33).

Nous ne croyons pas que le nombre dont parle Platon soit parfait d'après la définition des arithméticiens : il a la propriété d'embrasser la période, c'est en cela que consiste sa perfection .

D. — Mais pour les races humaines il y a un premier nombre dans lequel : âvSpwTrciw 5à èv ^ xpwTw. — Dans le

(34) Traité de Vharmonie universelle j liv. H) théorème XIII^ pag. 425.

(32) EucuDE, Éléments^ liv. IX, prop. 36.

(33)Voy . encore Nicomaque de Gérase,

Introduction arithmétique, liv. I, ch.

VIII, p. i6 de l'éd. de Richard Hoche, Leipzig, Teubner, i856. Ouvrage paraphrasé on latin par BoÈCE, au commencement du v* siècle, et non encore traduit.

Timée^ qui passe pour Touvrage le plus sublime de toute la philosophie ancienne, Platon, pour expliquer la formation de l'âme du monde, admet que Dieu divisa d'abord Tessence en autant de parties qu'il était convenable dont il prit successivement

c'est-à-dire que, selon Platon, Dieu divisa l'essence en sept parties qui sont entre elles comme les termes des deux progressions

-TT i : 2:^:8 et -7ti:3:9:27

dont l'une a pour raison 2 et l'autre 3. (34)

Adraste d'Aphrodisie, philosophe péripatéticien et mathématicien distingué du 11* siècle de notre ère, Macrobe et d'autres auteurs anciens disposaient les deux progressions de part et d'autre des deux côtés d'un angle, en mettant l'unité au sommet, les pairs d'un côté et les impairs de l'autre, ainsi :

Proclos, dans son Commentaire sur le Timée^ néglige cet arrangement: il écrit tout simplement en ligne droite les nombres indiqués parle texte de Platon. « C'est de l'assemblage de ces nombres, dit Macrobe dans son commentaire sur le songe de Scipion, que d'après l'ordre du Tout- Puissant naquit l'âme universelle. Et ces sept modules, admis dans sa composition, manifestent assez l'éminente

(3A) PLiTON, le Timéej éd. Cousin, | Voy. le texte gr., tome II, pag. 207 tome XII, pag. 426, et notes, pag. 33i. | de l'éd. Didot.

vertu du nombre septénaire. Et ex his numeris fada contextio generationem animas imperio Creatoris effecit. Non parva ergo hinc potentia numeri hvjus ostenditur, quia mundanse animœ origo septem finibus coniinetur. » (35)

Platon ne désignant aucune progression particulière dans le passage obscur, nous ne doutons pas qu'il n'ait eu en vue les deux progressions précédentes

-rfi : 2 : 4 : 8

et

dont il s'est spécialement occupé ; et, comme la suite de cette justification le fera reconnaître, le premier nombre dont parle la Muse est certainement 316=8X27 (plus petit commun multiple des termes des deux progressions) ou un multiple de 216 contenu dans le nombre géométrique. L'indétermination de cette partie du problème est une conséquence des conditions un peu vagues de l'énoncé. Cependant il est très probable que, pour Platon, \e premier nombre est le plus petit de ces multiples, c'est-à-dire 216 ; c'est, pour ainsi dire, le fond du nombre géométrique. Schneider, Vincent et M. Th. H. Martin admettent aussi deux nombres et regardent 216 comme répondant à la première phrase.

E. — Des puissances génératrices et engendrées : aùÇvfceiç ^uva[jLevai Te xal 5uva<7Teuo[jLevai. — L'expression â^uvà- [xevai Te xal 5uva<7Teuo[jLevai se retrouve dans un passage du Commentaire de Proclos sur Euclide^ où il fait allusion au nombre nuptial. « Enfin, dit-il, ce qui concerne les puissances convient à toutes les mathématiques, aussi bien les racines que les puissances : twv jjiàv ^uvajjtivwv tûv 5à ^uva(7Tguo[Aev(dv ; [mot à mot, aussi bien les nombres produisant que les nombres produits]. C'est à ce sujet que Socrate dans la République prête aux Muses un langage sublime.... » (36)

(35) Macrobe, le Songe de Scipion, liv. I, ch. VI, pag. 25 de l'éd. Nisard.

(36) ProclusinEuclidem, Prologue, I" partie, pag. 8 do l'éd. Teubner.

Faber, Barocius, Cardan, Bodin,.... ont traduit par ce super antes et super atœ ».

Nous traduisons par « puissances génératrices et engendrées » parce que chaque terme d'une progression engendre le suivant et est engendré par le précédent. Dans la progression -rfi: 2:4^8, dont la raison est 2, prenons, par exemple, le troisième terme 4 • multiplié par la raison, il donne 8, donc la puissance 4 est génératrice ce ^uvà[xevY) » ; mais le second terme 2 multiplié par la raison donne 4; donc la puissance 4 est aussi engendrée « îuvaa- T6ud(AevY) ». Les Pythagoriciens et les Péripatéticiens avaient une tendance à associer les contraires : SuvaaTeuojjLevTi est le contraire de ^uvàjjievY), qui exprime Faction de pouvoir, d'engendrer.

Un passage du Songe de Sapion justifie cette interprétation. Macrobe, parlant de la perfection du nombre 8, dit qu'il est formé de la monade et du nombre parfait 7 : on a en effet 8=i-|-7. Et il ajoute : c< Il résulte aussi du double de 4 qui est engendré et générateur, car ce nombre 4 naît de 2 [répétés deux fois], et [répété deux fois] engendre 8. Est enim aut de duplicato eo, qui gêner atur et gèneratj id est y quatuor : nam hic numerus quatuor et nascitur de duobus et octo générât. » (37)

F. — Comprenant trois intervalles, et quatre termes :

Tpeîç âTTOGTaaei;, TSTTapac ^à opouç 'Xaêouaai. — L'intervalle

n'était pas la même chose que le rapport. On lit, en effet, dans Théon de Smyrne : c< De 2 à i et de i à 2 il y a un même intervalle, mais le rapport est différent: de 2 à I le rapport est double, de j à 2 le rapport est moitié. Eratosthène dit aussi dans le Platonicien (38) que l'intervalle et le rapport ne sont pas la

(37) Macrobe, Songe de Scipion, livre I , chap. v, pag. 20 de l'édition Dldot.

(38) Ouvrage perdu d'ERATOSTHÈNE.

Voy. Fabricius, Bibl. grecque, 4* éd., tome IV, pag. 426.

même chose : *A.izo tGv Suo ttooç to tv, y-al âxo toO âvo; ifpbç tÀc îrio, 5ia(TTyi[J!.a ev xai to aÙTo, Xoyoç 8ï ?T6po;* tôv [jl6V Suo irpoç to ?v, St7r>.a<jio;* toO 8ï évoç ^poç Ta Juo vi(xtouç. 'EpaTOOÔévyiç îè ev Tw IlXaTwvixw (pvial [///) TauTov elvai Sta(TT7)[JLa, xalXoyov,... » (Sq)

Or, en général, avec quatre termes différents a, 6, c, d, on peut former 12 rapports, 6 qu'on obtient en divisant chaque terme par chacun de ceux qui le suivent, savoir:

b c d c cl d

et 6 rapports inverses qu'on obtient en divisant chaque terme par ceux qui le précèdent. Mais chaque rapport et son inverse donnent le même intervalle d'après la définition transmise par Théon, donc avec quatre termes on obtient, en général, 6 intervalles différents. Dans le cas où les quatre termes a, 6, c, rf, sont en progression, les six

— — et — j b c d

— - — et —7- étant égaux ne donnent qu'un même

intervalle, de même que et --r- .

Ainsi les quatre termes de la progression -H- 1 : 2 : 4 • 8 divisés deux à deux comme on voudra, ne donnent que les trois intervalles différents de i à 2, de i à 4 et de I à 8, ou de 2 à I, de 4 à I et de 8 à 1, ce qui est la même chose. De même les quatre termes de la progression -H- 1:3:9: 27 divisés deux à deux de toutes les manières possibles ne comprennent que les trois intervalles différents de ï à 3, de I à 9 et de I à 27. Les accroissements aùÇ-i^aei; étant en progression, Platon a donc dit avec raison qu'ils [ne] comprennent [que] trois intervalles : Tpeiç

àiroffTaceiç. ^ (4o)

intervalles se réduisent à trois -

car

(39)THÉON,^rt7/imc7.,liv. II,ch. xxx.

(4o) Le ms. 4642, ancien fond, de la

Bibliothèque nationale^ contient la le-

çon Tpeîç àTUoxaTàoTatrst; (folio 489, verso, ligne 47) adoptée par Ficin et quelques autres auteurs.

G. — De ceux qui rendent semblable ou dissemblable : 6[jLoioiiVT(dv T8 */cat ivofjioiouvTwv . — Platon fait évidemment allusion ici à ce problème : construire une figure semblable à une figure donnée et qui ait avec cette figure un rapport donné. Suivant que la figure donnée est plane ou solide, le problème se ramène à celui-ci : construire un carré qui ait avec un carré donné un rapport donné ; ou à cet autre : construire un cube qui ait avec un cube donné un rapport donné. Le premier de ces deux derniers problèmes était Connu des Pythagoriciens. (4i)

Le second, qu'on nomme le problème de la dvplication du cube y ne peut être résolu par le secours seul de la géométrie élémentaire : on emploie quelque autre ligne que la droite et le cercle ou quelque autre instrument que la règle et le compas. Platon en a donné le premier une solution de la seconde espèce. Avant de la faire connaître, nous nous croyons obligé d'entrer dans quelques détails sur l'origine du problème. Ératostiiène (276-196) la raconte ainsi dans une lettre adressée au roi Ptolémée Évergète. (42)

«Au ROI Ptolémée, Ératosthène, salut.

ce On dit qu'un ancien tragique a mis en scène Minos élevant un tombeau à Glaucus. Apprenant que le monument aurait cent pieds dans tous les sens, il dit : « c'est peu pour la sépulture d'un roi, qu'on le double. » L'architecte ne se trompa point sur la forme, qui devait rester cubique ; mais en doublant chaque dimension du monument il reconnut

(4i) Plutarque, Œuvres morales, les SymposiaqueSjliv. VIII, question 2, §4, pag. 877 de l'éd. Didot.

(42) On trouve le texte de cette lettre dans les ouvrages suivants :

ÂRCHiMEDis qux supersutit omnia.

Éd. gr.-lat. de Torelli, Oxford, 1792.

Commentaire d'EuTocios d'Ascalon sur le 1I« liv. de la sphère et du cylindre, pag. i44.

Francisci Viet^ opéra mathematica.

Éd. de Schooten, Leyde, Elzevier, 1646, pag. 348.

ERATOSTnENis carminum reliquiae^ par Edouard Hiller, Leipzig, Teubner, 1872, pag. 125.

On en trouve aussi une version lat.

dans l'ouvrage : Pétri Rami Scholarum maihematicarum libri unus et trigenta, Francfort, 4699, pag. 28.

qu'il se trompait, car en doublant les côtés on obtient une surface quadruple et un solide octuple. On demanda aux géomètres s'il y avait quelque moyen de doubler un solide donné en lui conservant la même forme. C'est ce qu'on a appelé le problème de la duplication du cube^ car, étant donné un cube, il s'agit de le doubler. Après beaucoup de recherches inutiles, Hippocrate de Chio trouva le premier que, si on insère deux moyennes proportionnelles continues entre deux droites dont la plus grande est double de la plus petite, le problème sera résolu. Il transformait ainsi la difficulté en une autre qui n'était pas moindre. On raconte que, quelque temps après, une épidémie ravageant l'île de Délos, l'oracle ordonna de doubler l'un des autels. Les Déliens rencontrant la même difficulté s'adressèrent aux géomètres de V Académie platonicienne^ les priant de résoudre le problème. Ceux-ci firent d'activés recherches pour trouver les deux moyennes proportionnelles entre deux droites données.... »

BaciXeî nToXe(Jia{a), 'Epaxodôlvïiç, yjxipzi>^.

Twv âpj^aiwv Tivà Tpay({)Jo7roiâ)V (padiv eidayayeiv tov Mivo) Tw rXauxo) xaTaaxsuà^ovTa Taçov. nuOo[/.evov 8ï on Travraj^ou éjcaToiAxe^oç eiT), etireîv, [Jit)cpàv y'eXe^aç ^oLcCkiy^oxi avixov tocçou* St7r>.a(Ttoç CGTO). Tou 5è Toiji xiiêou [ayi cçalslç* &t7r>.a<7ià^(»)v ïxacTOV xû>.ov ev -jçayei Taçou, ê&oxei ^lYijAapTYiîcevai. tûv yàp TfXeupûv ^i7r>.a<Jiaaôei(î(ov to (xèv éiriTueSov ytverai TeTpaTrXaGiov, tÎ) ^è GTepeov ôxTairXàctov. 'E^YiteÎTO Se xal irapà tolç yewjji^Tpatç Tiva av Ttç TpoTCOV to SoOèv GTepeov Siafiévov ev tû aÙTw (T3(^YÎp.aTi Si7C>>a(Ttaaeiev. Kal éxaXeÎTo to toioutov TCpoêlYifxa xuêou SiTîXa- (yta(T[j!.oç* ÛTCoGefxevoi yàp xiîêov, èS^viTOuv toutov SiTrXaGtacai, Ilav- Twv Se SiaTTopouvTCdv è-TUi -jToXùv XP^'^Q'^? irpÛTOç iTTiroxpamç 6 Xtoç eicevoY)(jev oti éàv eûpeô*^ Suo eùôeiûv ypajJLjjiôv wv t{ [xei^^wv tvîç IXûCdcovoç è(jTi Sii^^aata Suo (xeaaç âvà>.oyov ^aêetv Iv auvey^ei «vaXoyia, SiTuXaaiacÔTQceTat 6 >cuêoç' â<jTe to â7Copn(iwc au^b etç

?Tepov oÙK eXaGGOv â7ropYi|//x >caT£aTpeçe. Mexoc ypovov 8i Tiva çaoi A>i>.iouç, èTTiêa^ojtévTi; vogou, xaxà yp7)<y[JLov 5f7r>.aciaGai Tivà tôv ^(i)[xcov [èiriTojrôévTa;], 6(i,7reGeiv eK to aÙTo âicopiQiJLa. AiaTCe(JLij«i- {xevouç 8i Toi>ç icapà tô nXo(T(i>vi év X)ca$7i[/.ia Ye(i>|jL8Tpaç a^ioOv aÙToîç eOpeiv to ^ifiTOuiievov. twv Je çi>.otcovwç eiciSiSovTwv éauTOÎç •/.al ^YiToiîvTwv îuo ^oOeicâv Suo (t£Gaç>.a6eîv....»

L'abbé BossuT, dans son excellente Histoire des mathématiques^ dit que : « les prêtres, qui ne s'oublient jamais, ajoutaient au problème une condition qu'ils présentaient comme un devoir religieux, mais qui heureusement n'en augmentait pas les difficultés géométriques : ils demandaient que la nouvelle matière de l'autel fût de l'or. » (43)

Plutarqub^ dans le Démon de Socrate^ fait un récit un peu différent. Simmias, l'un des personnages secondaires du dialogue, s'exprime ainsi (nous donnons la version d'Amyot, l'inimitable traducteur) : « Ainfey que nous passions le long de la Carie, quelques gents de l'île de Délos nous rencontrèrent qui feirent requeste à Platon, comme estant bien versé et exercité en la géométrie, de leur souldre un oracle estrange et fascheux à entendre que Dieu leur avoit donné. La teneur de l'oracle estoitque les Déliens et tous les aultres peuples Grecs auroyent cessation de leurs maulx et misères quand ils auroyent doublé son autel qui estoit au temple de Délos.... Et lui [Platon] se souvenant du prebstre égyptien (44) leur dict que Dieu se jouoit aux Grecs qui mesprisoyent les sciences, comme en leur reprochant leur ignorance, et leur commandant d'estudier à bon escient, et non pas par dessuz en la géométrie : parce que ce n'estoit pas œuvre d'entendement morose, nez que veist trouble, ains qui feust extresmement exercité en la science des lignes, que de scavoir trouver deux lignes

(43) Charles Bossut, Histoire générale des mathématiques, Paris, 4810, tome I, pag. 17.

(44) Chonuphis, qai conseillait aux

Grecs de mettre bas les armes et de vivre en paix, occupés constamment à des débats littéraires, sous l'inspiration des Muses.

moyennes proportionales : qui est le seul moyen de doubler un corps carré [sic] (45) en augmentant esgualement toutes ses dimensions. » (46)

Voici encore le récit de Théon de Smyrne : a Ératos- THÈNE, dans le livre qui a pour titre le Platonicien, rapporte que, les Déliens ayant interrogé l'oracle sur le moyen de se délivrer de la peste, le dieu leur ordonna de construire un autel qui fût double de celui qui existait alors. Ce problème jeta les architectes dans un étrange embarras : ils se demandaient comment on peut faire un solide double d'un autre. Ils allèrent trouver Platon et le prièrent de leur donner la solution de la question. Celui-ci leur répondit que le dieu avait ainsi parlé aux Déliens, non qu'il eût besoin d'un autel double, mais pour reprocher aux Grecs de négliger l'étude des sciences mathématiques et surtout de la géométrie. Pour entrer dans ces vues d'Apollon Pythien, il s'étendit dès lors longuement sur l'utilitédes sciences mathématiques. » (47)

Je ne sais si, après la réponse de Toracle, Platon et la Pythie ont pu se regarder sans rire, mais le philosophe paraît avoir inspiré la réponse, et ce n'est pas sans raison que La Ramée fait cette réflexion : « Si dans ces temps-là Démosthène a pu dire avec vérité que la Pythie était du parti de Philippe, je croirais maintenant aussi qu'elle était du parti de Platon [mot à mot : qu'elle platonisait]. Equidem si verè temporibus iisdem Demosthenes diœit

(45) Il y a dans le texte ox^f** xu6ixoù aa>(xaTo;, mot à mot, la figure d*un corps cubique, c'est-à-dire un corps de forme cubique.

(46) Plutarque, Œuvres moraleSj le Démon de Socrale, § 7. Voy, le texte grec pag. 699 de l'éd. Didot ; la fin du passage, ligne 9 en remontant, contient une faute d'impression : au lieu de xat Ôuotv {A8(rov àvâXoyov ).^4'^^j ^^ ^^^^ ''^^ 6uoiv (ji<T(i>v, XT>. Cette faute a fait faire un contresens au traducteur latin.

(47) Théon, Arithmét,, liv. I, ch. i.

Voyez encore : Plutarque, Œuvres morales j sur le El à Delphes — Ospi toO E( Toù êv AeXçoî;, titre un peu concis que le bon Amyot traduit ainsi : « Que signifioit le mot El qui estoit engravé sur les portes du temple d'Âpollo en la ville de Delphes?» — § 6, pag. 472 de l'éd. Didot.

Proclus in Timaeumy pag. 449.

M. ViTRUVii PoLLiONis de Architectural lib. X, ad Gœsarem Augustum, liv. IX, préface, pag. i4o de Téd. Didot.

Pythiam çAtnriÇciv, sic crediderim jam nunc quoque rekx'

TWVt?^ClV. » (48)

Quelle que Boit Torigine du problème, il est certain qu'il avait une grande célébrité au temps de Platon, qui en donna une solution ingénieuse, comme nous le verrons plus loin.

Proposons-nous d'abord de doubler un carré et en général de trouver un carré a?* qui soit à un carré donné a* dans le rapport de m à i , m étant d'ailleurs plus grand ou plus petit que i . On cherche une moyenne proportionnelle x

Cl 00

entre a et ma; on a = d'où x^=ma*.

X ma

On conclut de là le moyen de trouver un polygone X semblable à un polygone donné P et qui soit à ce polygone dans le rapport donné de m à i , quel que soit m. Les polygones semblables X et P sont en effet entre eux comme les carrés x^ et a* de leurs côtés homologues a? et a : donc, pour avoir X=?nP, on doitchercher d'abord x^=ma*. On construira ensuite sur le côté a?, homologue de a, un polygone semblable à P. La solution de ce problème était connue des Pythagoriciens.

Supposons maintenant qu'il s'agisse de trouver un cube (JD* double d'un cube donné a' et en général un cube qui soit à un cube donné dans le rapport donné de m à i , quel que soit m. On doit avoir a?'=7na'. Hippocrate de Chio découvrit le premier, comme nous venons de le voir, que, si on insère doux moyennes proportionnelles continues a? et y entre a etwia, la première de ces deux moyennes proportionnelles est le côté du cube cherché. On a en effet :

axy I

maxy m

(^8) La IUmk£, SchoUirum malht^ 1 (49) Les géomètres anciens ne poumaticannHs lib. I, |ia^. la. | vaienl pas disposer des ressources de

ma

d^où

iVoix

x^ ma^

icpo; iWfïkoL ârfçyivav. — Ce membre de phrase ne nous parait pas avoir besoin d'explication. Il est évident que les nombres

pris deux à deux ne présentent que des rapports entiers ou fractionnaires et par conséquent simples et exprimables.

J. — Parmi ces termes : wv — mot à mot, desquels.

K. — Les nombres fondamentaux du rapport quatre tiers, joints au quinaire : èTriTpiroç ipjÔjjlviv 7r8(jL7rà5t cu^uyeU — mot à mot, le fond de l'épitrite joint au quinaire. Nous avons déjà expliqué qu'il s'agit du groupe des nombres 3, 4, 5, si cher aux Pythagoriciens et formant le plus beau des triangles rectangles « to xflrA>.icTov tûv ôpôoywviwv Tpiywvwv », (54)

Fàber, Barocius, Cardan, Schneider et d'autres auteurs ont vu dans le fond de l'épitrite la somme des nombres 3 et 4, c'est-à-dire le nombre septénaire^ puis dans le nombre septénaire, joint au quinaire, leur somme 12. Plusieurs d'entre eux, en élevant cette somme au cube, ont obtenu 1728 pour le nombre géométrique. Nous croyons qu'ils se sont trompés : le mot <?u2^uyeU, de (yuÇguyvu[jii, n'indique ni une addition, ni une multiplication à faire^ il signifie qu'il faut ajouter le nombre 5 au groupe des deux nombres 3 et 4) de manière à constituer le groupe géométrique des nombres 3, 4, 5. Schneider et Schleiermâcher disent que ce triangle [3, 4, 5] n'a rien à faire ici.

Les anciens ont cherché des méthodes pour résoudre le triangle rectangle en nombres entiers, c'est-à-dire qu'ils ont cherché des règles donnant des groupes de trois nombres tels que le carré du plus grand égalât la somme des carrés des deux autres. Proclos, dans son Commentaire

(54) PLUTARQUE, Œuvres morales, 1 cessé, g 36^ pag. 622 de l'édition Di- Des sanctuaires dont les oracles ont | dot.

sur le premier livre d'Euclide, dit qu'on attribue une de ces méthodes à Platon et une autre à Pythagore : t^v (liv

ei; n^ocTWva ivaic^jjLiuoudi [[xéôoJov], tiqv §è ciç nuOaytipav. Après

avoir exposé la règle de Pythagore qui se traduit par cette formule :

dans laquelle a est un nombre impair, il ajoute : ce Quant à la méthode de Platon, elle a pour base les nombres pairs. Prenant donc un nombre pair donné, il en fait Tun des côtés de l'angle droit. Puis il en prend la moitié qu'il élève au carré. En ajoutant une unité à ce carré, il en fait rhypoténuse, et en retranchant une unité du même carré, il obtient l'autre côté de l'angle droit. 'H Se nXaTwvix-Jj itco TÛv âpTi(i>v èTrtyetpeT. AaÇouaa yàp tov SoôévTa apTtov, TiÔYiaiv aÙTOv (ôç (JLiav wXeupàv tûv irepi Tr,v ôpôiQV, xai toutov Sie^ouaa ^iyjx, >cal TCTpaywvtdaaa to >5(/.i(ju, (lovaSa [/.h t^ TETpaywvcf) irpoerôeica Troieî TYiv ù-TUOTeivoudav, [/.ovàSa Se â(pe>.ouGa toO TCTpaycovou -Tuotei TYiv ér^pav tûv irepl ti^v opOvfv. >? (55)

La formule

dans laquelle a est un nombre pair, est la traduction de

cette règle. Proclos prend pour exemple le nombre pair 4

qui donne

L. — Élevés au cube : Tpl; aùÇ»6eiç — mot à mot, [chaque nombre] ayant été multiplié trois fois, c'est-à-dire pris trois fois comme facteur. La langue mathématique n'était pas encore fixée : au^Yictç était l'augmentation par addition, par multiplication et par élévation aune puissance.

(55) Proclus in Euclidem^ prop. XLVii, pag. 428 de l'éd. Teubner.

KaToc ôuva(jLiv, en puissance, est peut-être sous-entendu. Nous lisons en effet dans Platon : )taTà 8ï Juva(xtv xal Tpir/;v

ao^Ylv ^^Xov 8ri aTTOdTaatv OGy^v a-i^eoTTiKibçYiyveTai. En élevant le

nombre au cube (mot à mot, selon la puissance et l'augmentation triple), on voit combien il [le plaisir du tyran] est éloigné du véritable. (56)

EucLiDE emploie une locution analogue à celle de Platon quand il dit : « Al Gcpatpai irpoç iXkri'koLç èv TpiTrXaciovi \6y(ù einX Twv î^lwv JiajxeTpwv, les sphères sont entre elles comme les cubes de leurs diamètres [mot à mot, en raison triple de leurs propres diamètres]. » (Sy)

M. — Présentent deux harmonies : Suo àpiAoviaçTrapsyeTai. — Plusieurs commentateurs ont pris pour harmonies deux nombres, Tun carré, l'autre cubique, parce que, les côtés étant alors égaux, aucun d'eux ne surpasse l'autre, comme dans les sons à l'unisson. D'autres, parmi lesquels figurent Saint Thomas d'Aquin et Faber, ont pris les rapports de

quarte et de quinte, c'est-à-dire-^ et M. Th. Henri

Martin a pris le nombre 8. Il importe de bien établir la définition de l'harmonie, parce qu'elle nous fournira un second mode de formation du nombre géométrique.

Les anciens, qui appellent harmonie l'octave, dit Nico- MAQUE dans son Manuel d'harmonie : ot ira>.aioTaToi àppviav (jLèv xaXouvreç tyiv SiaTracôv. (58)

Aristide Quintilien dit encore dans son Traité sur la musique :chez les anciens, l'octave était appelée harmonie: i^apoc (jiévTOi Toîç iraT.aiotç.... to Se Siàiracwv 6)caXetT0 àpjjLovia. {5g)

L'un des plus grands savants de l'Allemagne, Edouard

(56) Platon, la République, liv. IX, tome II, pag. 473 de Téd. Didot.

(67) EucLiDE, Eléments y liv. XII, prop. 18.

(58) Antiquss musicas auctores septem. Ed. grecque-laline de Meybaum,

Amsterdam, Elzevier, 4652. Voyez tome I, NicoMAQUE, Manuel d'harmonie, pag. 47.

(59) Môme ouvrage. Voy. tome II, Aristide Quintilien, Traité sur la musique, pag. 47.

Zeller, dans son ouvrage la Philosophie des Grees^ dit aussi : « L'harmonie n'est pour eux [les Pythagoriciens] rien d'autre que l'octave » «les Pythagoriciens identifient l'harmonie et l'octave » (60)

C'est donc le rapport d'octave que les Pythagoriciens nommaient spécialement harmonie. Or ils savaient que ce rapport est celui de 2 à i . « On considère l'intervalle d'octave comme étant en raison double, dit Plutarque : -h \f^>f ykf ^làxaorûv cv JiTrXoatovt Xoyw ôcwpeiTat. » (61)

Citons encore, d'après Censorin, cette admirable invention de Pythagore « admirabile Pythagorw commentum » : il prit plusieurs flûtes de même diamètre, mais de longueur inégale. L'une, par exemple, était longue de six doigts, une autre en avait douze. ... ; il trouva que les sons de la première étaient à l'octave aiguë de ceux de la seconde C'est ce rapport de longueur des flûtes qui mesurait l'intervalle d'octave. (62)

Les Pythagoriciens ont aussi mesuré cet intervalle en réduisant à la moitié la longueur d'une corde sonore fixée à l'une de ses extrémités et tendue par un poids attaché à l'autre. Il observèrent que le son est alors l'octave aiguë de celui que donne la corde quand elle vibre dans toute sa longueur. (63)

Nous invoquerons encore l'opinion de M. Vincent, mathématicien helléniste, auteur de travaux remarquables sur la musique des Grecs. Voici ce qu'il dit de l'harmonie dans

(60) Voy.pag. 345, 410, 4i3, du tome!

de la traduction française par Emile BouTROUx. Le i«' volume de la première édition allemande a paru en i844' La traduction française (Paris, Hachette) comprendra une dizaine de volumes.

(61) Plutarque, Œuvres morales^ De la musique, g 22, pag. 1892 de Téd.

Didot.

(62) Censorin, Dujournalaly c\\. x, pag. 364 do Téd. Nisard.

(63) Voy. encore Diogêne de Laerti:,

Vies des philosoplieSj liv. VIII, ch. i, Pythagore, g h, p. 207 de l'éd. Didot.

Jamblique, In Nicomachi Geraseni arilhmelicam inlroduclionem^ p. i52 de Téd. gr.-lat. de Tennulius, Arnbeim, 1668. Ouvrage non traduit.

MACROBE,leS'OMp'eck Scipion, liv. II, ch. I, pag. 73 de l'éd. Nisard.

BoÈC£,/)e inslilulione musica, liv.I, J^ 10, pag. 197 de l'éd. de Godefroy Friedlein. Leipzig, Teubner, 1867. Ouvrage non traduit.

On conclut de là le moyen de trouver un polyèdre X semblable à un polyèdre donné P et qui soit à ce polyèdre dans le rapport donné de m à i, quel que soit m. Les polyèdres semblables sont en effet entre eux comme les cubes a? et a* de leurs arêtes homologues a? et a; donc, pour avoir X = r?îP, on doit chercher d'abord x^=^ma\ c'est le problème de la duplication du cube. Si on sait trouver a?, on construira ensuite sur ûp, homologue de a, un polyèdre semblable à P.

Nous avons dit que Platon a résolu le premier le problème des deux moyennes proportionnelles. Il y employa un instrument formé de deux règles, dont l'une est mobile parallèlement à Tautre, en glissant entre les rainures de deux montants FG,MH, fixées perpendiculairement à celle-ci.

Soient a et fc les deux droites entre lesquelles on veut insérer deux moyennes proportionnelles. On trace deux droites perpendiculaires AE, CD, sur lesquelles on prend, à partir de leur point de concours, AB=a et BC=6. Puis on applique rinsLrument sur la figure de manière que le bord d'une règle passe par le point A, et le bord de Vautre par le point C. On écarte alors, plus ou

Talgèbre, qu'ils ne connaissaient pas ; mais les proportions, qu'ils maniaient avec une très grande habileté, quoiqu'ils n'eussent aucune notation partiliëre, leur fournissaient des procédés de calcul très simples et très ingénieux.

En combinant les proportions par voie de multiplication, de division,.... et en simplitiant' les rapports de la proportion finale, ils parvenaient à ne conserver qu'une inconnue dans des questions qui en comportaient plusieurs.

moins, la règle mobile de la règle fixe, et en même temps on fait tourner l'instrument dans le plan de la figure, jusqu'à ce que, les bords des deux règles passant toujours par les poiifts A et C, les prolongements des droites AB et BC passent en même temps par les sommets du rectangle que forme Tinstrument.

Les deux triangles AD£,CD£ étant rectangles^ la hauteur de chacun d'eux est moyenne proportionnelle entre les segments de l'hypoténuse, et Ton a, en langage moderne: