BD ~ BE ~ BC

Ainsi BD et BE sont deux moyennes proportionnelles entre AB et BC, c'est-à-dire entre a et b.

Cette démonstration nous a été transmise par Eutocios d'Ascalon, géomètre du vi* siècle, dans le Commentaire qu'il nous a laissé sur le liv. II du traité De la sphère et du cylindre d'ArchimMe. Ce Commentaire contient aussi les solutions des dix géomètres suivants : (5o)

L Archytas de Tarente, contemporain et ami de Platon, né vers l'an 44o avant J.-C, mort en 36o dans un naufrage sur les côtes d'Apulie. Eutocios nous transmet sa solution, d'après le récit d'EuDÈME « <î>« Euârjpw); tcrropei ». — II. Menëchme, qui vivait au iv* siècle avant J.-C. ; deux solutions remarquables (premier exemple de lieux géométriques), Tune obtenue par l'intersection de deux paraboles, Tautre par l'intersection d'une parabole et d'une hyperbole. — III. Apollonios de Perga, qui florissait vers Tan 244 avant J.-C. — IV. Érastothène de Cyrène (276- '9^)- — V. N1COMÈDE, qui florissait vers l'an 180 avant J.-C. Sa solution est extraite d'un livre perdu sur les lignes conchoïdes « nepl x-oy^oci^ûv Ypa{jL(jL(ov », lignes dont il est Tinventeur.

(ôo) AkghiMêdb, Œuvres, éd. de Torelli, pag. 435 et suiv.

VI. Philon de Byzance, ingénieur qui vivait au ii* siècle avant J.-C. — VII. Aéron l'Ancien, d'Alexandrie, qui vivait vers Tan loo av. J.-C. ; solution extraite de son livre sur la Fabrication des Traits « pe>.oirouxa ». Voy. ce livre, pag. i2i-i44 des Veteres mathematiciy titre impropre, puisque les géomètres ne font pas partie de la collection, qui ne contient que les Mechanici. — VIII. Pàppos, géomètre et commentateur du iv® siècle après J.-C. ; solution extraite de sa Collection mathématique qu'Eutocios nomme Introductions mécaniques « Mioyovixai ÊtcraywYal ». — IX. DiocLÈs, géomètre probablement postérieur à Pappos, et qu'on suppose avoir vécu au iv* siècle après J.-C. ; sa solution est extraite d'un livre perdu sur les machines à feu « nepl iwpiwv ». — X. Et Sporus, qui vivait vers l'an 4oo de notre ère. (5i)

Revenons maintenant aux deux progressions de Platon

et

H-irSrg: 27

2 étant une moyenne proportionnelle entre i et 4, et 4 une moyenne proportionnelle entre 2 et 8, ces deux termes 2 et 4 sont, d'après ce qui précède, de ceux qui rendent semblables les figures planes ; et le terme 2 étant le premier des deux moyens insérés entre i et 8 est de ceux qui rendent semblables les solides. Il en est de même des termes 3 et 9 de la seconde progression.

H. — Qui augmentent ou diminuent : xal aùÇovTwv xal çôivovTwv. — Du temps de Platon, on distinguait les nombres en parfaits reXeiot, abondants uTuepTéXeiot et déficients

(54) Voy. encore sur ce sujet :

PappiAlexandriniColleciio, liv. IIÎ, prop. 5, contenant les quatre solutions d'Eratosthène^ d'Héron, de Nicomède et de Pappos, pag. 57-69 de l'éd. gr.lat. de Frédéric Hultsch, Berlin, Weidmann, 1876. Ouvrage non traduit.

MoNTUCLA, Histoire des recherches sur laqitadrature du cercle^ la dupli-

cation du cube,.... ch. vi, addition, pag. 216 et suiv. de Téd. de i83i, réimpression.

Reimer, HistoriaproblemaUsde cubi dupliçatione, Gottingue, 1798.

Terquem, Èullelin de bibliographie, d'histoire et de biographie mathématiques, Paris, tome U,i 856, pag. aoet suiv*

36 LE NOMBHB

iXkiiTzeiç^ suivant que la somme de leurs parties aliquotes est égale, supérieure ou inférieure à ces nombres. D'après cette définition, 6 est parfait, 12 est abondant et 8 est déficient, parce que l'on a :