acte I, scène m
bres [3, 4? 5] : éxaTov èi xuêwv Tpta^o;. -^ Nous avons déjà dit que rpia; est le groupe ternaire des nombres 3, 4? 5, et non le nombre 3. comme Font cru tous les commentateurs de Platon. Dans les œuvres des Pères de TEglise qui ont écrit en grec, Tptaç exprime la Trinité, réunion des trois personnes, et norf le nombre 3 ; et dans Tépigramme en vers d'ERATOSTHÈNE, qui fait suite à son épitre en prose au roi Ptolémée, on lit :
c< M^ ^è Mev6}(^[i(.eiouç xa)V0T0[A£tv Tpia^aç
Ne cherche pas non plus à employer les trois sections du cône, de Ménechme. » (76)
La seconde phrase du passage, depuis wv, paraît un peu contournée. Elle se compose en effet de trois parties qui peuvent se résumer ainsi :
i"* Ajoutez les cubes des trois nombres 3, 4, 5 ;
2** Vous aurez deux harmonies :
l'une 2 qui, élevée au carré et multipliée par 400, donne... 1600 l'autre, de même longueur 2, qui multipliée par 10 000 donne 20000
3** Car il faut prendre 100 fois les cubes des trois nombres.
Elle serait peut-être plus claire, si Platon avait remplacé les quatre derniers mots é^caTov 8i Kuêwv Tpià^o; par ceux-ci : xat TçoXkoLTz'kxGioiGbtiç ItzI éxaTov « et multiplié par cent » mis au commencement après Tpl; aùÇviôetç. Mais le voile qui couvrait le nombre mystérieux aurait peut-être été trop transparent ; et, en outre, Platon tenait sans doute à conserver pour le mot de la fin : « il faut prendre cent fois les cubes de la triade, âxarov 5à >cuê&)v rpia^oç. »
Ainsi le nombre géométrique est 100 fois 216, c'est-àdire le produit du cube de 6 par le carré de 10.
(76) Archimède, Œuwes, éd. Torelli, pag. i4G) vers 8 et 9«
Les autres nombres proposés sont, comme nous Tavons vu au § I :
5o par PiiiLON le Juif 20736 par VoLTERRANUS, qui propose aussi 1728 1728 par Faber, Barocius, etc.
8128 par Cardan 729 par le P. Mersenne 216 par Schneider (pour la |)remière phrase) 5o4o par Fries 46 656 par Scffl.EiERMACflER, qui propose aussi 216 864 par Vincent et M. Th. H. Martin, qui admettent
216 pour la première phrase 7500 par MM. Zeller, Hunziker, Rothlauf, etc.... 2700 par M. Tannery.
g III. Vertus, réelles ou imaginaires, des facteurs 6 et 10 que Platon a choisis pour la formation du nombre 7iuptial.
Avant d'expliquer la phrase d'Aristole, nous allons exposer les vertus, réelles ou imaginaires, des nombres 6 et 10 que Platon a choisis pour éléments du nombre fatal.
Six est un nombre triangulaire, c'est-à-dire égal à la somme de plusieurs nombres naturels à partir de l'unité: on a en effet 6 = 1 -{-2 +3. De plus i, 2,3, étant les parties aliquotes de 6, il en résulte que 6 est égal à la somme de ses parties aliquotes, c'est donc un nombre parfait suivant la définition des arithméticiens. (77)
En outre, il est le premier produit de deux nombres différents : le premier pair 2 et le premier impair 3 (i n'était pas considéré comme nombre, c'était le principe de
(77) Voy. Théon, Arilhm.j ch. xxxii.
Voy. aussi Plutarque, Œuvres mo'
raies, De la création de l'&me dans le Timée^g i3 ;pag. 1246 de Péd. Didot.
tous les nombres). On l'appelait mariage «^apç », car, d'après les principes des Pythagoriciens, on regardait le nombre pair comme femelle et le nombre impair comme mâle, « d'autant, ditPLUTARQUE (traduction d'AMYOi), qu'il engendre et est plus fort que le nombre pair, estant composé, et si on les divise l'un et l'aultre en unitez, le pair monstrera un lieu vuide au milieu, là où le non-pair a tousjours le milieu remply d'une de ses parties, et pour ceste cause, ils ont opinion que le pair ressemble plus à la femelle et le non-pair au masle. » (78)
Ces rêveries ont exercé un empire souverain sur les esprits pendant plusieurs siècles. Quatre cents ans après J.-C, le nombre six, dont l'excellence commençait cependant à décliner, était considéré comme sacro-saint par plusieurs Pères de l'Eglise. D'après eux, tout ce que Dieu a créé étant parfait, il a voulu achever l'œuvre de la création en un nombre parfait de jours, afin que le temps de la création fût lui-même parfait. Ainsi St. Augustin dit au livre XI, ch. XXX, de la Cité de Dieu : « Si Dieu s'est appliqué à mettre six jours à créer le monde, c'est à cause de la perfection du nombre six. Ce n'est pas que ce délai lui fût nécessaire, comme s'il ne pouvait pas créer à la fois toutes les choses que les temps mèneraient ensuite à bonne fin par des mouvements convenables, mais parce que la perfection des œuvres est révélée par le nombre six. Hœc autem propter senarii numeri perfectionem, eodem die sexies repetitOy seœ diebus psrfecta narrantur : non quia Deo necessaria fuerit mora temporum^ quasi qui non potuerit creare omnia simul, quae deinceps congruis motibus peragerent tempora^ sed quia per senarium numerum est operum significata perfeciio. » (79)
(78) Plutaroue, Œuvres morales ^ Questions romaines, § 102.
Voy. le texte gr., pag. 355 de l'éd.
Didot.
(79) st. Augustin, Cité de DieUj pag. 379 de l'éd. Nisard.
Voy. aussi IlEiLBRONNER,£fw/oria mO' theseos universas, Leipzig, 1742, p. 756.
DE PLATON. k\
sa dissertation Sur le nombre 7iuptial : « Il existe, en outre, une raison pour appeler harmonie particulièrement le nombre deux : c'est que l'intervalle représenté par ce nombre est nommé spécialement âpjjLovta par Pythagore ; de sorte que le nombre deux est lui-même l'harmonie
xar' eÇoyj^'v. » (64)
Ainsi, d'après Vincent, qui n'a pas su profiter de cette heureuse interprétation, l'harmonie par excellence est le nombre 2.
N. — L'une carrée multipliée par autant de fois cent : T/iV [Aev idTiv iaaxiç, èxaTov Toaauraxiç. — Un nombre également égal est le carré de ce nombre ; l'expression est classique. Donc, l'harmonie étant 2, l'harmonie également égale ou son carré est 4 ; et ce carré multiplié par autant de fois cent est 4 multiplié par 4oo ou 1600.
Ce qui a induit en erreur Faber, Barocius, Bodin, Her- MANN (65), Rettig (66), SusEMiHL (67), Zeller,.... c'cst qu'ils ont traduit Uoltov TOdauraxi; par « cent autant de fois », c'est-à-dire joo répétés 100 fois ou 10 000. Si c'était là le sens, Platon aurait écrit ppiaxi; ; car, contrairement à l'opinion presque générale, nous croyons que Platon a cherché à être clair. Le lieu est incontestablement très difficile à interpréter ; mais remarquons qu'il ne paraissait aux Grecs ni difficile, ni voilé, et qu'aucun de ceux qui en font mention, avant Cicéron, ne se plaint de son obscurité.
M. Tannery croit que ioyiv iffaxi; TOdaiiTaxt; est un cube, celui de 27, qu'il faut multiplier par cent, èxaTov. Cette explication est ingénieuse, mais nous ne la croyons pas exacte.
(64) Notices et extraits des mss.
de la bibliothèque du roi, tome XVI, a*' partie, Paris, iS/i7> Essai d'interprétation d'un passage obscur du VHP liv.
delà Rc'publique pur Vincent, pag. 191 .
. (65) G. Fr. IIermann, De numéro P(a(onis disputatio, Marbourg, «839.
(66) G. F. Rettig, Prolegomena ad Platonis Rempublicam, Berne, i845.
Voy. pag. 296.
(67) D*^ Franz Susemihl, Die genetische Entwickelung der Platonischen Philosophie j Leipzig, 1867. Voyez tome II, pag. 316.
0. — L'autre, de même longueur: Tr,v ^è loopxYi (jièv — c'est-à-dire la même harmonie 2. Dans le Timée^ Platon admet comme harmonies les rapports entre les nombres 1,2,3,4? du quaternaire pythagoricien, et entre leurs puissances. Le plus simple de ces rapports, après l'unisson, est celui de 2 à i.
P. — Et [formant un nombre oblong] dont le côté allongé : TYî xpofAyfxÊi ^è — sous-entendu ir>.eupa ; mot à mot, par le côté allongé. Il est donc sous-entendu aussi que la -seconde harmonie forme un nombre oblong, c'est-à-dire un nombre dont les côtés « 7r>.6upai » sont inégaux. C'est à Platon que l'on doit la distinction des nombres en carrés et oblongs, suivant qu'ils sont le produit de deux facteurs égaux ou inégaux. (68)
Q. — Egale cent fois les carrés : éy.aTov (xàv apiôpLwv âxo. — L'expression 6 i%h est classique pour désigner le carré. Socrate dit à un esclave de Ménon : « 'Aito 'rt; ^i7r>.a<7Caç
[opÔYi;] àpa, J) luaî, oO ^fir^actov, oC^k TeTpairXacrtov yiyveTai
ycopiov. Mon enfant, le carré d'une droite double [d'une autre] n'est pas double [du carré de cette autre], mais quadruple. » (69)
Ainsi, âptôpi flêiro JtajjieTpwv, ce sont les carrés des diagonales. Barocius l'a compris ainsi : « Animadvertendum autem quod Platonis intentio non est ut ex duabus diametris ineffabilibus numerus iste constituatur , sed ex potentiis^ seu quadratis duarum ineffahilium diametrorum. »
M. Vincent traduit par « cent fois les diagonales » et M. Martin par « cent nombres formés avec les diagonales ». Nous croyons qu'ils ont fait sciemment un contre-sens, parce que l'interprétation classique « cent fois les carrés »
(68) Platon, ie Théétète, § 5, tome I, pag. ii3 de Téd. Didot. Voy. aussi Théon, Arilhinétique, ch. xiii et xvn.
(69) Platon, le Ménon, §17, tome I, pag. 452 de l'éd. Didot.
ne leur aurait pas donné pour résultat final le nombre 864 dans lequel ils avaient foi.
Les savants qui voient leur théorie mise en échec par un fait, et qui passent outre, commettent une faute. Or, 6 (xiuà apiô|JLou est le carré d'un nombre : voilà un fait.
Sghleiermacher traduit aussi par « von hundert Zahlen^y au lieu de « von hvnderi Quadratzahlen ».
R. — Des diagonales exprimables du quinaire : ^ia(ii- Tpwv ^YiTûv 7rg[i.7raJo;. — Platon ne trouvant pas de carré dont la diagonale soit exprimable, puisque la diagonale du carré de côté a est av^, emploie Texpression de JiapLs- Tfoç ^YiTYf pour désigner la portion de la diagonale qui peut être exprimée par un nombre entier. Soit donc d Tune des deux diagonales de 5, c'est-à-dire du carré de 5, on a c/*=25-|-25 = 5o, donc d=v/3ô=7, 071 067 par défaut à moins d'un millionième près. La diagonale exprimable du quinaire est donc 7 dont le carré est 49*
S. — Chacun de ces carrés étant augmenté d*une unité : JeofAg'vwv évoç éxaorTwv — mot à mot, chacun de ces carrés ayant besoin d'une unité. Il semble que Théon de Smyrne avait en vue ce calcul de Platon, quand il dit : « Le carré construit sur le côté 5 est 25 et celui qui est construit sur 7 est 49, qui est moindre d'une unité que le double du carré 25. 'Àpa to [xèv i-nh tHç irXeupa; e' TeTpaywvov Ke', Tè Je âiro t^ç ^' , jjiô', (xovaât eXaaaov vi Ji'irXa^iiov ToG xs'. » (70)
Ajoutant cette unité à 49, nous obtenons 5o qui est le carré de la diagonale âp^^nV/i. Donc les carrés des deux diagonales valent 100; 100 fois 100 font 10 000 et 2 fois I G 000 égalent 20 000 .
(70) Théon, Arithmétique^ ch. xxxi.
