MYRIADES 1600 MONADES
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Ce second mode de formation du nombre géométrique est la confirmation que le nombre mystérieux est bien 100 fois 216: Tune des deux démonstrations de la valeur du nombre peut servir de vérification à Tautre.
Pour obtenir 20000, Platon aurait pu dire que la seconde harmonie a même longueur 2 que la première, et que Tautre dimension du nombre oblong qu'elle forme égale cent fois les carrés des deux diagonales de 5, c'està-dire 100 fois 100 ou 10 000 ; mais le nombre 7 avait une telle perfection d'après les Pythagoriciens, qu'il devait nécessairement figurer dans la formation du nombre géométrique. Platon l'y fait figurer quatre fois :
i"" Il prend les sept termes différents
2"" Ces nombres étant les termes des deux progressions -77-1:2:4:8 et :: 1:3:9:27
il fait observer qu'elles présentent chacune 3 intervalles et 4 termes ; 3 et 4 font 7.
Quant au nombre dix^ il était considéré comme le plus parfait. Il devait se retrouver partout. Citons un exemple : « Il y a des proportions, dit Nicomaqce, qui ont été admises les premières par tous les philosophes anciens, par Pythagore, Platon, Aristote, et tout d'abord la proportion arithmétique, la proportion géométrique et la proportion harmonique. Il y en a trois autres, inverses de celles-là, qui, n'ayant pas reçu de noms particuliers, sont appelées quatrième, cinquième, sixième. Les modernes [il* siècle avant J.-C, Nicomaque florissait en i46] en ont imaginé quatre autres pour compléter le nombre dix qui semblait aux Pythagoriciens le nombre le plus parfait :
au[jL7r^7)pouvTeç tov ^e)caTOv âpi6[ji^v xaTa to toiç nuOoyopDcoiç ^oxoDv cbç Te^etoTaTov. » (80)
Platon, qui fut certainement le plus grand géomètre de son temps, entrevoyait peut-être les précieuses ressources que devaient offrir pour les calculs les diverses puissances de dix.
On connaît le système de numération des Grecs : pour représenter les neuf premiers nombres
I 23456789 ils employaient les neuf caractères
d'une à neuf dizaines, ils avaient
et d'une à neuf centaines
d'un à neuf mille, ils se servaient des neuf premiers carac-
(80) Nicomaque de Gérase/n^roc/.art^/im.Jiv. 11^ ch. xzii,p. 12a de i*éd.Teubner.
tères avec un indice placé à gauche. Le dernier caractère à droite d'un nombre était ordinairement suivi d'un accent, ainsi 1024 s'écrivait ^ajcS'.
Le nombre dix mille formait une nouvelle unité principale appelée myriade, et on comptait par unités, dizaines, centaines et milliers de myriades. Une myriade de myriades, ou 10 000 fois 10 000, formait une myriade double, et ainsi de suite. Donc vingt-sept caractères servaient à représenter tous les nombres ; et chaque ordre principal comprenait des unités, des dizaines, des centaines et des mille.
Archytas de Tarente, philosophe pythagoricien, contemporain de Platon, qui suivit quelque temps ses leçons, avait écrit sur la décade n lïepl tyîç Stx,oi8oç » un livre qui n'est pas arrivé jusqu'à nous. (81)
Mais on peut voir, dans ce qui nous reste du second livre de la Collection mathématique de Pappos, un résumé de propositions que contenait un livre perdu d'ApoLLONios de Perga, qui florissait en l'an ^44 avant J.-C. ; ce livre traitait de la multiplication des grands nombres. (S 2)
« Quel était ce livre, dit Wàllis, comment s'appelait- il ? On n'en sait rien, puisque le commencement du second livre de la Collection mathématique manque ; à moins que ce livre ne soit l'ouvrage perdu d'ApoUonios de Perga qu'EuTOCios nomme Ocytobe à la fin de son Commentaire sur la mesure du cercle par Archimède^ ce qui n'est pas invraisemblable. Quis fuerit ille liber ^ aut quomodo appellatuSy non constat {eo quod secundi hujus Collectaneorum libri initium desit) ; nisi forte [quod non est vero absimile) ille fuerit, quem Eutocius {sub finem Commentariorum in
(8i) Voyez Fabbicius, Bibliolhèque^ grecque, 4' éd., lome I, pag. 833.
Voyez aussi Ars geometricay ouvrage attribué à BoècE; liv. II, pag. 393 et suiv. de l'éd.de God. Friedlein^ Leipzig, Teubner, 1867.
(82) Pappi Aleœandrini Collectto^ tome I, pag. 2-129 de l'éd. gr.-lat. de Fréd. HuLTSCH.
Voyez aussi Œuvres de Wallis, Oxford, 1699, tome III, pag. ôgS- 61 4*
Archimedù dimensionem circali) 'OxuToêoov roca/, abApollonio Pergaeo conscriplum {sed qui periit). » - (83)
Torelli^ dans son édition grecque-iatine des Œuvres d'Archimède , lit •qxutoxiov , c'est-à-dire Enfantement rapide, au lieu de Bœuf rapide. (84)
D'après Apollonios, on nommait fond d'un nombre de dizaines, de centaines, de mille,... le multiplicateur de dix, cent, mille, dans ce nombre. Ainsi les fonds des nombres 20, 3oo,4ooo étaient 2,3,4 ^^^ multiplication de plusieurs nombres de dizaines, de centaines, de mille, se ramenait à celle de leurs fonds.
Voici, comme application de la méthode, la dernière proposition rapportée par Pappos.
« Théorème xxvi.... On voit comment, un vers étant donné, on peut obtenir le produit qui résulte du nombre que désigne la première lettre, multiplié par le nombre que désigne la deuxième, le produit étant multiplié parle nombre que désigne la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à la fin du vers. Apollonios a pris d'abord pour exemple le vers suivant :
*ApT^(xiSoç xXeÎTS xparoç eÇojj^ov evvea xoupat.
Il dit x^etre pour 6jço(xv7(<raT8.
[Muses, chantez la puissance infinie de Diane.]
Ce vers contient 38 lettres
dix : pT(yTpT<r)^up
représentent des nombres de centaines
[savoir: loo 3oo 200 3oo 100 3oo 200 Goo 4oo 100]
dix-sept :[xi oxX ixo^oov vvxo t
désignent des nombres de dizaines
[savoir: 4o 10702030 102070607070505050207010]
(83) Œuvres de Wallxs, tome III, note, page 599.
Voy. aussi la Bibliothèque grecque de
Fabricius^ 4' éd., toaie IV, pag. aoa.
m) Œuvres d'Archimède^ éd. To* relli, pag. 3i6.
et onze :ai^eeaeei désignent des nombres moindres que dix [savoir: i 5 4
Or, il est manifeste, d'après le théorème xii, que le
produit de lo facteurs loo, multiplié par le produit de 17 facteurs 10, donne 10 myriades de puissance 9 [ou 10. loooo*] Mais les fonds des [10] facteurs divisibles par 100 et des [17] facteurs divisibles par 10 sont les suivants :
et les [il] nombres moindres que 10 sont i5455i555i i
Si on multiplie le produit de ces 1 1 facteurs par le produit des 27 fonds, on obtient pour résultat
19 myriades quadruples 60 36 myriades triples 8480 myriades doubles
[ou 19 6o36 8480 0000 0000]
Ce produit multiplié par le produit des facteurs 10 et 100, c'est-à-dire par 10 myriades nonuples, donne
196 myriades de puissance i3
368 myriades de puissance 12
4800 myriades de puissance 1 1
car ioooo'Xioooo*=ioooo"
10 ooo'X 10 000'= 10 000"
et 10 ooo'x 10 000'= 10 000"
comme on l'a démontré.
(85) Je n'hésite pas à faire usage de la notation des exposants. Il y a dans le texte : « iwaicXai yàp (lupiàdcc [icoXXaff>a9ialio|avai] iict (làv tetpaTcXâ^icoiovoi
TpiaxatocxaicXâ<,... car des myriades nonuples [multipliées] par des myriades quadruples font des myriades de puissance treize..*. »
On peut donc dire que les nombres représentés par les lettres du vers
5\pT8(iE.tJo; x^etre y-pàro; e^oyov èvvéa xovpai
étant multipliés entre eux donnent le produit
[ou 196 o368 4800. 10 000*^]
d'après la méthode d'ApoLLOMOS décrite au commencement de ce livre. « (86)
En effectuant la multiplication indiquée, on aurait un produit de 55 chiffres, puisque 10 000" représente Tunité suivie de 44 zéros.
Il est probable qu'ApoLLOiNios de Perga n'a fait que perfectionner et étendre une méthode de calcul déjà employée, chaque théorie ayant ses accroissements successifs.
Nous voyons le rôle particulier qu'on avait su attribuer aux puissances de dix pour effectuer rapidement des calculs qui eussent été très laborieux. Cela suffirait pour justifier, selon nous, le nom de nombre le plus parfait « TeXeioraTo;» que les Pythagoriciens donnaient à dix et pour expliquer le choix que Platon en a fait dans la formation du nombre géométrique.
Le nombre 216 avait aussi attiré l'attention des Pythagoriciens : comme 216 jours contiennent 7 mois de 3o jours, plus le nombre parfait 6 de jours, il représentait pour eux le nombre de jours après lequel les enfants naissent viables. (87)
ViTRUVE, qui vivait au temps d'Auguste, remarque
(86) Pappos, Collection mathématique, liv. H, prop. a6, pag. 49 et suiv.
de Téd. gr.-lat. de Fréd. Hultsch.
Voy. aussi les Œuvres de Wallis,
