CHAPITRE VIII

APTITUDE DE LA RAISON A TROUVER ET A SAISIR LA YÉMTt ABSOLL^, ATTESTÉE PAR SES OEUVRES, LES SQENCES MATHÉMATIQLTS.

La méthode positive, dit M. Littré {Philoiophie positive, p. 536), ressemble à une échelle double : d'an côté on monte par Pinduction, de Tantre on descend par la dédoc* tioD. Dans le premier cas on part de Texpérience, dans le second on vérifie les conclusions par l'expérience , et, par conséquent , toujours on s'appuie sur Texpérience. — On ne peut mieux dire. C'est bien là le procédé positif qui n'est pas nouveau : c'est la méthode suivie dans les sciences expérimentales. Quelle est la portée de cette méthode ? M. Littré répond : Les notions générales fournies par Texpérience participent du caractère de leur origine; elles sont toutes rekakes. Elles se renferment dans le cercle de ce que Técole aj^lle le ecmiingent (Conservai., p« 37), Et M. Taine ajoute (iferne des Deux-Mmâes, Mars 1865 et 1861 , p. 71) : € L'expénence a beau Caiire, quel que soit son domaine, elle est limitée dans le temps et dans Tes-

pace. ]> — Pouvons-nous, se demande Fadllais Mil {Id., p. 68.), par quelques axiomes empruntés à la généralisation, sortir* de notre étroite enceinte et affirmer quelque chose de Tunivers? En aucune façon, répond-il; les lois générales trouvées par Tinduction n'ont d'autre fondement que notre expérience ; elles tirent leur autorité du grand nombre de cas où on les a reconnues vraies ; elles ne renferment aucune nécessité : elles ne font que résumer une somme d'observations , et , comme toutes les lois expérimentales, elles participent de leur incertitude et de leurs restrictions. ]>

En admettant l'induction comme unique source de connaissance, il est exact de dire avec M. Littré {Conserv., p. iO) que les conceptions humaines sont si loin d'être absolues , qu'il suffit de se déplacer quelque peu dans l'espace historique ou dans l'espace géographique pour lès trouver inapplicables. Rien n'est plus difficile que de faire entrer les idées d'un peuple civilisé dans l'esprit d'un peuple barbare. — L'absolu est inaccessible à l'esprit humain, non-seulement en philosophie, mais en toute chose. {Conservât., p. 33.)

Oui, certainement l'absolu nous est tout-à-fait inacessible si nous sommes réduits, pour tout instrument de connaissance, à l'induction expérimentale. Mais, réduits à ce seul moyen de connaissance, aurions-nous jamais trouvé les mathématiques ? Et cependant nous les avons trouvées grâce à quelque chose de plus fort que l'expérimentation , grâce à la raison. (s< Les notions générales déduites par les mathématiciens, dit M. Littré {Conservât,, p. 3i ou 37), ont sans doute la prétention d'être absolues ; mais elles ne le sont qu'en apparence. ]> (n Les axiomes des mathémati-

qnes sont des résultats de Texpérience {PhibnopkiepatUive, p. 567 ), et les conséquences qa*on en déduit ne valent qu'après vérifications expérimentales : la dédaclion inique rexpérience à faire ; il reste à vérifier. » C'est bien là ce qu'il fallait dire pour défendre le système; mais est-ce bien là ce qni est? Les lignes que nous allons citer vont ramener la question à ses termes les plus simples : c Les mathématiques y dit M. Littré {CaMenxU., p. 54), à Faide d'un petit nombre d'axiomes , arrivent, par la voie de la déduction, à des développements prodigieux; elles en tirent une multitude infinie de propositions enchaînées.

11 est merveilleux de voir comment quelques vérités d'une extrême simplicité mènent à des résultats si importants , à des formules si fécondes. »

Oui, vous avez raison, Taiiome avec le concours de la définition , est le principe générateur des mathématiques. De sa valeur dépend par conséquent la valeur des conséquences qui en sortent. Elles seront absolues ou relatives suivant la nature de Taxiome, et, d'après cette même nature , elles seront équivalentes ou supérieures aux données expérimentales. Concentrons donc toute notre attention sur raxiome, et sachons une fois pour toutes ce qu'il est et ce qu'il vaut.

Mais retenons bien d'abord que les notions générales , ainsi que nous l'apprennent les positivistes eux-mêmes, sont toutes relatives, restreintes, bornées par l'espace historique et par l'espace géographique ; qu'elles sont le résul* tat de l'expérience ; qu'elles participent de son incertitude et de ses restrictions, ainsi que nous l'apprend (anglais Mil. — Il faut donc que l'axiome, s'il vient de l'expérience, soit marqué des mêmes caractères ; s'il ne Test pas, nous

aurons la preuve qu'il tire son origine d'ailleurs. Mais d'abord sachons ce qu'il est et ce qu'il vaut.

Avant tout , il est une vérité et non une hypothèse : il est une vérité certaine et très-certaine, tellement certaine, qu'il n'y en a pas qui la surpasse en certitude ; puisque c'est de l'axiome que la certitude mathématique , la plus forte des certitudes , tire son origine. En deuxième lieu, l'axiome , outre qu'il est certain , on ne peut plus certain , possède le privilège unique de transmettre sa certitude , de la communiquer à ce qui ne l'a pas ; il a la vertu de certifier ce qui a besoin de l'être , et lui-même ne peut jamais être certifié ; il donne et il ne reçoit pas la certitude : le premier rang qu'il occupe à la tête de la science ne lui permet pas d'emprunter à autrui , puisqu'il est le principe ou le commencement même de la science. Ainsi vérité certaine, vérité on ne peut plus certaine, et vérité servant à certifier d'autres vérités sans pouvoir jamais être certifiée elle-même, tels sont les deux caractères qui distinguent l'axiome.

D'où les tient-il? De sa nature intime, de sa parfaite é;vidence , de sa clarté sans égale , de la lumière dont il brille et qui frappe tellement tous les yeux qu'elle prévient toute résistance. Dès que les termes qui servent à énoncer l'axiome sont compris , toutes les intelligences sont subjuguées; toutes s'empressent de le reconnaître. On ne lui demande jamais de démonstration parce qu'il est la source même des démonstrations. Des trois ordres de vérités qu'il nous a été donné de connaître, les vérités inductives^ les vérités déductives et les vérités intuitives, l'axiome appartient à ces dernières : il est intuitif ou évident , et par conséquent suggéré par un acte d'intuition. Or, de ce c^u'il est évident par lui-même , il suit une conséquence impor-

tante : c'est qu'il ne peut être confondu avec les *Térité8 générales y les seules que reconnaissent les positivistes. En effet, toute vérité générale , parce qu'elle est générale, est induite/ inférée d'un grand nombre d'observations, et, par conséquent , a pour base et pour point d'appui ces observations elles-mêmes. C'est d'elles qu'elle emprunte sa force et son autorité. Elle n'est donc jamais évidente par ellemême : elle est une conclusion dont la majeure est l'en* semble des faits constatés et vérifiés qui lui servent de préface. On ne peut donc pas confondre l'axiome avec la vérité simplement générale : celle-ci est toujours sujette à vérification ; pendant que l'évidence de la vérité aiiomatique l'affranchit de tout examen qui aurait pour but de la vérifier ; car la clarté qui l'accompagne et la fait pénétrer sans effort dans l'esprit, est si grande, que la sécurité qu'elle produit, pleine et entière, ne peut recevoir aucun accroissement ni complément.

Nous venons de dire que toute vérification est inutile par rapport à l'axiome , à cause de son absolue évidence ; nous ajoutons de plus que cette vérification, voudrait-on la tenter, serait impossible ; car où est l'œil assez pénétrant, le compas assez juste et la main assez sûre pour pouvoir constater, par un procédé matériel , l'égalité axiomatique d'un tout avec ses parties , ou des parties avec le tout ; de chaque rayon d'un cercle avec un autre rayon, ou de chaque angle droit avec les autres angles de même nature ? Outre que cette égalité n'existe jamais dans la nature visible, parviendrait-on à la constater un certain nombre de fois , ce succès serait sans valeur, par la raison qu'un cas particulier ne prouve rien, et qu'il faudrait renouveler cette vérification autant de fois qu'il existe de touts décom-

posablésy dans leurs parties, de rayons tracés dans tes divers cercles, ou d'angles formés par une perpendiculaire abaissée sur une droite , afin de s'assurer si ce qui est vrai dans certains cas l'est aussi dans tous les autres. Évidemment ce trarail n'aurait jamais de fin , et nous ne pourrions jamais dire ce que nous disons et ce que disent tous les géomètres avec une parfaite certitude , que toujours et partout , sans aucune restriction, l'égalité est absolue entre tous les rayons d'un cercle , entre tous les angles droits , et entre les parties de chaque tout et ce tout lui-même. Yoili comment s'exprime la langue géométrique, et voilà en même temps ce que ne peut jamais dire une science pure-ment expérimentale, toujours restreinte dans ses afSrmations, parce qu'elle est toujours bornée par le cercle circonscrit des faits observés qui ne sont jamais au niveau da nombre des faits observables.

La méprise de M. Littré, au sujet de l'axiome, est facile à signaler. Â cette question : Comment nous est donné l'axiome? M. Littré répond {Philosophie positive, p. 367 ei 369 ) : Il nous est donné par un acte d'intuition ; et il s'empresse d'ajouter, pour satisfaire au besoin du système , <r acte qui se confond immédiatement avec l'expérience. » C'est là sa grande erreur : ces deux choses , l'intuition et l'expérience, n'ont rien de commun. L'intuition est la vision claire et directe d'une vérité simple et claire elle-même. Cet acte, une fois effectué, n'a pas besoin d'être renouvelé. L'intuition rassure parfaitement l'intelligence ; elle ne laisse aucun doute ; elle éclaire et satisfait pleinement l'esprit. Ce qui laisse toujours quelque doute et a besoin de se renoavêler sans cesse , c'est l'expérience , afin de constater que ce que l'on a vu et observé dans quelques cas particuliers

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trouvée par le génie de Kepler et de Newton a saffi pour expliquer les lois qui président aux mouvements , non pas seulement de notre planète , mais de tous les mondes qui voyagent dans Tespace , aux mouvements de Tunivers toot entier. Simplement relative, ou n'ayant pour éléments que des idées relatives, ainsi que le veulent les positivistes, la géométrie, bonne tout au plus pour notre planète, ne pourrait porter plus loin ses applications, pendant qu'elle les porte aussi loin que s'étend la réalité des choses.

On doit comprendre maintenant pourquoi les sciences mathématiques sont aussi appelées sciences exactes, par opposition aux sciences purement expérimentales. C'est pour faire entendre que ce qu'elles enseignent est nonseulement vrai , mais rigoureusement vrai d'une vérité qui ne comporte ni restriction, ni variation, ni même possibilité du contraire. En fait de certitude, aucune autre science ne les surpasse; on ne saurait monter plus haut. Et pourquoi? Parce que les vérités qu'elles enseignent, toutes enchaînées les unes aux autres par la déduction , se rattachent à un premier anneau commun , l'axiome , qui leur transmet toute sa force et toute son autorité.

Au point où nous sommes arrivés, la question à résoudre est résolue. La raison est-elle de force à atteindre la vérité absolue ? Il n'est qu'un moyen de le savoir ; c'est de la juger d'après ses œuvres. Or, au nombre de ses œuvres les plus éminentes, il faut ranger les sciences mathématiques qui n'enseignent que des vérités absolues. La raison est donc souverainement apte à faire ce que font les sciences qu'elle a trouvées, qu'elle a créées et dont elle continue l'agrandissement.