DÉMONSTRATION GÉNÉRALE DU THÉORÈME DE MONGE

I l. Démonstration faite en supposant les densités quelconques. — Soient deux volumes D et R de même masse jouant respectivement les rôles de déblai et de remi)lai. En prenant un systèuie d'axes rectan-

giilaires, nous appellerons J^,y, ^ les coordonnées (.Vun poinl <lu déblai^ .X,, jKi, c, les coordonnées correspondantes du point du remblai, Xf, )i, z^ étant des fonctions inconnues de x, y, z.

On pourra appliquer à ce problème toutes les considérations relatives à la déformation d'un milieu continu, telles qu'elles sont exposées dans le Chapitre 3!2 du Tome IJl de mon Traité de Mécanique ralioitnelie^ avec cette addition que la transformation par symétrie étant admise, le déterminant fonctionnel I) ainsi que les fonctions cp, o,, ^j;, 'j>( peuvent être négatifs. L'hypothèse que nous ferons est que les chemins suivis par les particules qui vont du points, >', z au point a?i, )'i, 5, sont des lignes droites. Nous supposerons que la densité varie dun point à l'autre du déblai ; celte densité o = | cp(x, )', :; ) j étant une fonction donnée de .r, r, ■:?. De même

sera la densité au point du remblai x^^y^^ Z\. Les masses du déblai et du remblai sont supposées égales, et d'après l'énoncé de Monge, il faut déterminer x^^y^^ c, en fonctions de .r, )', -" de telle façon qu'en |)Osant

i= I \.o dx dv dz =11 Le>(,r, K, z.)dx dy dz,

l'intégrale triple étant étendue à tout le volume 1) du déblai, I soit un minimum, L désignant la distance

L'équation exprimant que les masses des deux éléments correspondants sont égales, c'est-à-dire l'équation de continuité, s'écrit actuelleuienl, avec la notation liabiluelle pourles détermiiumts fonctionnels

!>• ■^'M.ri, :;: ) D(.r,, n, :;i) ^ ^. , , , ,. •

l>ix, t, z) ' D( X, y, z ) i -

Le problème de Monge consiste à déterminer .ri, )',, z^ en fonctions de .r, )', ; de façon à rendre minimum une intégrale de la forme

J= / / / \.'s,( X, y. z) dx dydz J J Jif

sous la condition ( i ).

LK PROBLÈME GÉOMÉTRIQUE DES DEBLAIS ET REMBLAIS. Il

Pour oblciiir les valeurs de ^i, Ji, :;i rendant l'intégrale .1 mininiuui, nous devons égaler à zéro la variation de cette intégrale, quand ^i, ri, :;i subissent des variations queleonqiies dans le volume D, sous la condition ( i ).

On peut remarquer d'ailleurs que ces variations étant, comme nous venons de le dire, arbitraires dans le volume, sont, sur la surface S,F(a--,, j'i, ^,1 ) = o, du remblai, liées par une relation linéaire qui est la suivante :

àF , dl' . dF .

Si l'on remplace dans F( a?,, j, , 3, ), J^i, Ji, -, parleurs expressions en X, y, z, on obtiendra l'équation de la surface S qui limite le déblai ; cette équation après la substitution sera encore F(J7,, }-,, 3,) = o. On devra donc avoir à l'intérieur l'équation suivante obtenue en égalant à zéro la variation de l'intégrale J dans laquelle on ajoute, pour tenir compte de la relation (i), le terme

1 étant une fonction arbitraire de x, )■, :;. On a ainsi

.1'= T/ A Lo : X( D — ç'i)]<"/./v/)w/:;, oJ'=o, c'est-à-dire

r r r . i à<i ^ <hi . <hi . \ , , ,

, [àioxi) ]){ r,, :;i)

dx \){y, z )

d{o.v^) D(,)-|, :;i ) -c^) o./'i ) l>(.ri, c,)

"^ ày DU-, x) ^ Oz D(x,j')

^â(o)-x) r)(3,,ir,) <)(h-i) Y){ Zf. .Ti)

<)x Y){ )■, z ) ây D( c, X I

()(o)-^) D(;|,.r,) d(oz,) D(37j,ri'>

()z D( X, )■ ) âx l^(.r, z)

Ix d) dz = o.

d[',z^) Di.r,,)-!) ^ c)(o;,| D^-r,, )•, I ây 1>( ;. x\ "' Vz \>{x. y )

PAUL APPICLL.

D'après les identités

d [ D(,r,. ::i>l , à rD(.>-i, ~m ) ] <) \ D<.>-i, -i)] ^ dx [ D( r, ::) J ' <)y [ IH^, ^^ J "^ ^- L L)(^, j) J '''

à rD(ari, v-,)-| (j rD(a-i, t, i] () rD(.ri,.K,)-] ^

la deuxième intégrale de volume peut, à laide de la formule d'Ostrogradskj ou de Green, s'écrire

[àA D( Ji, JTi

dX D( Kl. --i) , <^X D(,Ki, -I

ày D( ::, .r) o/j D(a7, y)

âl De;,, ^'i )

<;X D( c,,a7,)"| ^ J}. Ucr, K) J "^^ '

— ; ■ o J , > ax a y az = o,

.. Dix., y) I M ^

. r Dû,. J", ) ^JMzi.Xi) 0(^1, a:-, )n

dans laquelle du est un élément quelconque de la surface S de déblai, a, ,3, V étant les cosinus directeurs de la normale extérieure sur cet élément. Dans l'intégrale tiiple finale, on doit égaler à zéro les coefficients des variations ox^, oj'i, or, qui sont arbitraires à l'intérieur du remblai.

On a ainsi les équations

x, — x ' ^^ D( Kl. ci) (A D(^Ki, -Mj <n. Df.Ki, Ji) ^ ^^ '^~jT ^'^d.ri Ox B{j, z.) Oy \Mz,x} àz D(x, y)

.Ki— ,K

d\ D(::,, :ri ) o^X D(si, x^ ) àl D(zi, x^) ô^ D(j-, ::) ~ ày D{z,x) àz V)(x,y)

àX D(xuyi) à\ r)(.ri,j-| ) <)l D.(^-i,.>'i ) (jy IM c, a;; (Vc D(.r, >• )

, dl àX 01 Nous allons résoudre ces trois équations par rapport a — > — j ^•

t^/'i I 1 • àyi

Pour cela multiplions d'abord la première \)i\r -^ , la deuxième Y^^^^-j-;.*

LE PUOULK.ME (iliOMKTRIQUE DES DÉBLAIS ET REMBLAIS.

àz.

la troisième par -^ et ajoutons en remarquant que le coefficient de y^

devient -r — —^ » e est-a-dire o'h, et que les coetucients de -r- et -p-

iH-r, y,z) . T) j j,. ,;,

sont nuls. Nous avons alors en divisant par o

Ox L ôx I. 0.7

Ù'I Oxi <hl ôvx ()-l ,)

Oz] ()x ()zi dx

On obtient de même -r- et -r- ^i 1 on remarque d autre part que ox (Jz ' ' ^

à\j Xi — X / (Jx, àx

(Ji

z âzt

\. \ àx ' / l> (Jx L ()x

()'l (J'b (Jx, ^ ()'l (h-, ()^l ()Zi Or (Jx, ()x ' (J\-, Oz ()zi ()z

on peut écrire l'é(]uation précédente

ii'où l'on liri

en posant de même

L ()x ■ àx

U = X'I; — I. ; )-,—.)- JU ::i— ; 0\i

ày

Le théorème de Monge est ainsi démontré : les routes dont les projections sont proportionnelles à x, — x^ j'i — y, :■ i — z sont normales aux surfaces U = const. Mais ces surfaces sont parallèles, comuie le montre la relation évidente

àx ) '^ \<)y j

àuv

(Jz

<pii signifie que la dérivée -^ de la fonction L suivant la normale à

une surface de niveau est égale à i .

11 est évident cpie dans l'énoncé même du problème, on peut é'clianger J3 et R, c'est-à-dire x, y, z avec x, , 1 1 , ::i et p avec p, .

.Mi:.\IO«IAI, DES se. MATH. — >.•> '1 4

l4 PAUL APPELL.

Le même calcul donne alors le résultat suivant : on a à considérer la même intégrale

i = f f fh^ dxdr dz-^l rmx^^ZllIll L] d^ dy dz,

où l'on fait le changement de variable consistant à remplacer x, )•, :; par les nouvelles variables ,r, , j, , G| ; alors

dx d)' dz

dxi (/il dzi,

donc

1 dxi d)i dzi + À

p Dur, y. z)

D(.r, )-. r- ) 1 , ; , -— ^ dx^ «-/)•, dZi,

rAr, dy\ dzt,

intégrale de la forme précédente où '/. est remplacé par ^ ; on a

alors

X Xi ()\

àX

L ~ dXi

âz,

Àp

Mais au point de vue de l'homogénéité, les premiers meuibres

me changent pa^ quand on remplace :r, r, :■, ■f'u .T'i, '-i par /.r, A')', Azj kxx, ky\-, /5i, donc la même opération multiplie ^U et f)V par /,. Les fonolion-s U et \ ne sont donc déterminées qu'à un facteur cmtslant près et à une constante «dditive près

U - k { - — L ) -f- oonst,,

L ) -h coiist.

d'où

/.' U -f- A V = — xkk' L -H const., /'et /. étant des constantes arbitraires. Par exemple, si les roules

LE PROBLÈMIi GÉOMÉïRIQUi!: DES DÉBLAIS ET REMBLAIS.

concourent en O, en posant

et prenant

on peut prendre

alors

12. Intégrale de surface. — Pieste enfin l'intégrale de surface

D(;, .ri

Di.ri, ^1 1 . , ,

-—^ oa-j + . . . > rfa

Dans cette intégrale o./ , , oj, , o;, ne sont pas arl)itraires, mais sont liées par la relation

On devra donc écrire que l'intégrale double K dans laquelle on

ajoute le terme

[ àF ^ <)F ^ àF ^ ]

\dxi àji (JZi J

OÙ (J. est arbitraire, est nulle quels cjue soient ox,, ov',, oz,. En égalant à zéro les coef(i<nents de ces quantités, on a les écjuations

D(y, :■) ' '^ D(z,x) "^ ' D(.r, f) j'^'^ôx^ ^ lu zi, xi ) ^ Q D( :;i, a-| ) ^ D( z^, Xj) 1 ^ ^ àF^ '^ D( r, :;) "^ ^ D( j, a-) "^ ''' D(a-, ^r ) J "^ '''' dV, " '^*' r D(.r,,y,) D(:r,,)-i) D(iri,.V|)] r^F

D()-, z) ' l){z,x} l){x,y) J ' àZf

llésolvons ces équations ]>ar rapport à a, 3, y. i'our cela, multiplions-

■ 1. , , àxi àvi Ozi . , . Ox, di'i àzi

les d abord par——) -^> -r— et aioutons-les, liuis par -— , - — ? -— - et

^ (JX ox ox •' 'Il f)y ^y ,)y

1 ■ r <^-^\ 'h'i àzi . ,

ajoutons-les, pui>. eniin par -r^> -~, -~ et ajoutons-les; nous avons

D(xi. vi, 3, I

D( J-, r, ;) ' iJx

ifi

PAUL Al'IM'LL.

équations de la forme

' ~ ''dz'

, àV

ÔV

.. .j... ..„ ... .... .., ,., ; ..... ,...^ " Ox' ày' dz

L'intégrale de surface ne donne donc aucune condition nouvelle sinon que, sur la surface limite, À et p. sont liés au coefficient v par la relation

Àvcpil; -I- \J. = O

13. Généralisation. — On peut, dans ce qui précède, remplacer L par /(L). /" étant une fonction quelconc{ue. Le calcul est fait dans les Comptes vendus (voii- n" 7 de la Bibliographie).

CHAPFJRE IV.

14. Considérations générales. — 11 peut arriver dans la pratique que le déblai et le remblai puissent être assimilés à des lignes. C'est ce c[ui arriverait si l'on avait à combler un long fossé, peu large et peu profond, avec la terre fournie par le creusement d'un second fossé analogue, en négligeant le changement de densité qu'éprouve la terre remuée. Les lignes auxcpielles nous réduirons le déblai et le remblai ont une épaisseur nulle, mais leur densité linéaire peut être variable. Il y a une distinction importante à établir, suivant cjue les lignes de déblai et de reml)lai sont, ou non, dans un même plan.

En général, quand les lignes ne sont pas dans le même plan, une fois que l'on connaît deux points cpii se correspondent sur le déblai et sur le remblai, il suffit de cheminer de longueurs de même masse sur les deux lignes j^our obtenir d'autres ccniples de points correspondants, à moins qu'on ne rencontre des points particuliers j)0ur lesquels la direction des routes varie brusquement. Tout revient donc à déterminer un couple de points correspondants et les points

LE PROBLIlME GEOMETRIQUE DES DEBLAIS ET REMBLAIS. I7

exceptionnels pour lesquels la direction des routes varie brusquement; mais on n'a pas de théorèmes généraux comme dans le cas où le déblai et le remblai sont deux lignes d'un même plan, hypothèse que je conserverai dorénavant.

Je me borne à signaler le cas ou le déblai étant une ligne plane A de densité linéaire p située dans un plan H, le remblai est une ligne A symétrique matériellement par rapport au même plan II. Alors en vertu du principe de symétrie (n° 10), le meilleur système de routes se compose du système servant à déblayer A de densité -o sur la partie de A d'un côté de II et des routes symétriques.

15. Lignes d'un même plan. — Plaçons-nous dabord dans ce qu'on peut appeler les conditions régulières : le déblai et le remblai sont fermés, convexes, n'empiètent pas l'un sur l'autre, n'ont ni point anguleux ni rayon de courbure infini. Les points de contact des deux lionnes avec leurs tangentes communes extérieures divisent chacune d'elles en région intérieure et région extérieure.

Nous appellerons routes entières celles qui servent au transport de deux points du déblai sur deux points du remblai, et routes tronquées celles qui servent au transport de deux points de l'une des lignes sur un seul point de l'autre.

Nous désignons habituellement le déblai parles lettres D, E, le remblai par Pt, S. Considérons deux points M, P, infiniment voisins sur la face extérieure du déblai ; ils seront, en général, desservis par deux routes infiniment peu inclinées l'une sur l'autre : supposons d'abord que les routes soient entières, sortant du déblai aux points N, Q, et coupant le remblai en M', N', P', Q'. On aura, en désignant par AB la masse de l'arc AB,