MP-^NO = M'P'-^^'Q

en effet, d'après la règle fondamentale deMonge, les éléments de MP

et de NO ne pourront être transportés que sur les arcs M'P', N'Q' :

donc

MP^NQ^M'P'+N'Q ;

maintenant, si l'on intervertit les rôles du déblai et du remblai, on verra qu'on doit avoir

M'P'^\ Q :,MP~ NQ;

l8 PAIL APPELL.

ces deux inégalités ne j^euvent coexister que si elles se réduisent à Tégaliié annoncée.

Considérons maintenant deux points très voisins, ;?i, /», desservis par des routes tronquées ninin' ^ pqp qui coupent le déblai en m et /?, p ex, q, le remblai seulement en m' et/>'; on trouvera d'ai)ord, comme

précédemment,

mp -!- np = ni' p' \

les points tels que in^ p appartiennent à une région, nécessairement limitée, de la face extérieure de DE; les points extrêmes F, H de cette région sont desservis par deux routes entières FGF G', HKH'K'; mais les extrémités G'. K' doivent coïncider. En elFet, les parties du déblai immédiatement au-dessus de FG seront transportées sur des routes dont les parties utiles iront jusqu'à la face extérieure du remblai et s'étageront au-dessus de F'(î'; il j aura de même une série de routes s'étageant au-dessous de H'K', et l'on aurait deux zones qui empêcheraieiit toute parcelle du déblai de venir sur l'arc G'K', ce qui est inadmissible. Ainsi, le système de routes tronquées que nous considérerons sera compris à l'intérieur d'un angle ayant son sommet sur le bord externe du remblai; la masse de l'arc de remblai compris dans l'angle sera égale à la somme des masses des arcs de déblai correspondants.

On pourra de même avoir un système de routes tronquées du côté du déblai; il sera limité par deux routes entières se coupant sur le bord externe de DE. Enfin, on pourrait avoir un système de routes tronquées s'étendant d'un côté jusqu'aux limites du déblai et du remblai, et terminé de l'autre côté par une route entière. Dans tous les cas, les arcs correspondants auront des longueurs égales.

Cela posé, envisageons l'ensemjjle des routes du meilleur système vn suivant l'ordre dans lequel elles s'étagent les unes par rapport aux autres : nous irouvons d'abord une série de routes d'une certaine espèce, des routes entières, par exemple, puis viennent des routes tronquées, et ainsi de suite. Nous avons vu que les portions de déblai et de remblai comprises entre deux routes entières consécutives ont des masses égales, aussi l)ien que celles qui, s'étendant depuis une route entière extrême jusqu'à la limite du déblai et du remblai, seraient desservies par un système de routes ti^onquées; il en résulte cet important théorème, où nous appelons équisécantes des droites détachant des masses égales.

l-E PROBLÈME GÉOMÉTRIQL'E DES DÉBLAIS ET UKMBLAIS. If)

Les routes entières appartenant au meilleur système de routes sont toutes dirigées suivant des éqaisècantes.

Oa trouvera dans de Sainl-Germaiii (3]. p. i-, uiif discussion détaillée des différents cas qui peuvent se présenter; on trouvera également des exemples dans le Mémoire [ i].