AP = XY, MN X AB = MD X XY

» En multipliant les deux membres de cette égalité par le facteur commun 2tt, on aura enfin

2irMNXAB=.27rMDXXY,

ce qui démontre le théorème (1). »

Nous portons hardiment le défi à ces estimables auteurs d'articuler aucun but utile qui ait pu motiver ces entortillages déplacés. L'obscurité a-t-el!e donc par elle-même tant d'attrait, qu'on doive lui sacrifier les plus chers intérêts de la propagation des sciences? Puisque la surface convexe d'un tronc de cône est celle d'un trapèze, et qu'on évalue celle-ci en multipliant la demi-somme de ses deux bases par toute sa hauteur inclinée, pourquoi ne pas le rappeler ici, pour le promulguer en principes simples, clairs, et déjà radicalement démontrés? A quoi bon celte vaine complication de tant de détours affectés, cette dialectique laborieuse perdue dans des ombres intempestives? est-ce ainsi que, de nos jours, on entend servir cette générale et solennelle cause du progrès? Vous allez maintenant ouïr avec quel diaphane langage les mêmes savants, se traînant avec servilité dans l'étroite ornière de leurs devanciers, vont libeller et cautionner les lois relatives aux angles que forment entre elles, par leur intersection, les lignes droites parallèles, et les lignes droites verticales et obliques :

« Lorsqu'une transversale coupe deux parallèles, elle fait avec elles quatre angles aigus égaux entre eux; et quatre angles obtus égaux aussi entre eux; de plus, les angles aigus et les obtus sont supplémentaires.

» Soient les parallèles AB, CD, et la transversale SS\ D'après le théorème ci-dessus, les angles intérieurs m et d seront supplémentaires ; mais d et a seront aussi supplémentaires comme adjacents : donc, l'angle aigu m = a, et, à cause de l'égalité des angles opposés au sommet, on a m = o = a = c. De même, en comparant les égalités

n-hc = 2 droits et c + 6 = 2 droits, on en déduit n = b, et par suite n=p = b = d.

» Entin, il est évident que les angles obtus et les angles aigus sont supplémentaires.

» Ces propriétés sont d'un usage fréquent en géométrie, et, pour abréger le discours, on a donné des noms particuliers aux divers groupes d'angles désignés ci-dessus.

» Sur ces huit angles , quatre sont renfermés entre les parallèles, et, par cette raison, on les appelle wfm^s; quatre autres hors des parallèles : on les nomme externes.

» Par rapport à la transversale, il y a aussi quatre angles d'un côté et quatre de l'autre ; or, quand on considère deux angles égaux, situés, l'un à droite, l'autre à gauche de cette transversale : on leur donne le nom d'alternes. Enfin, on nomme correspondants ceux qui sont égaux et d'un même côté de la transversale. Cela posé, on dit que : m = c, ou bien n = d, comme alternes-internes; m = ai ou bien d = p, comme correspondants; ces expressions d'angles alternes-internes, correspondants, rappellent les théorèmes ci-dessus, ou le parallélisme des droites, selon les circonstances (4). »

Veut-on savoir à quoi, en définitive, se réduisent ces lois complexes et si longuement déduites? Le voici, en quelques mots : Des parallèles, fussent-elles nombreuses, étant identiques, pouvant se superposer et se confondre, se comportent comme si elles ne formaient qu'une seule et même ligne droite; donc, lorsqu'une ou plusieurs verticales obliques, parallèles, coupent une ou plusieurs lignes

parallèles horizontales, elles déterminent les mêmes angles aigus et les mêmes angles obtus que s'il n'y avait qu'une seule verticale oblique et une seule ligne horizontale, puisqu'elles peuvent être considérées l'une et l'autre comme étant plusieurs fois répétées; ces angles possédant dans leurs ordres absolument les mêmes propriétés, il serait absurde de les différentierpar des dénominations particulières, qui ne feraient qu'embarrasser l'esprit, embrouiller les idées des élèves, et surcharger en pure perte la science. Lorsque les distinctions étaient essentielles, nous avons vu que les géomètres n'en font point; et quand elles sont inutiles, ils les prodiguent, par compensation, selon toute apparence; tantôt ils généralisent à l'excès, et tantôt ils généralisent trop peu, en revanche; toujours pour mettre davantage en relief la prééminence de leurs procédés philosophiques, en accroître la gloire, et en recommander les maximes à l'admiration de tous les âges.

ARTICLE IL Suite du même sujet.

MM. Pascal et Eysséric continuent à faire briller la vérité géométrique en son temple transparent : « Dans tout triangle au plus grand angle est opposé le plus grand côté, et réciproquement.

» Dans le triangle ABC, soit l'angle BAOC; on pourra toujours construire dans l'angle A un angle 0AC = C, et alors le triangle OAC sera isocèle, etA0 = 0C. Cela posé, on aura évidemment BO-fOA> AB, ou bien BO-f 0C>

AB, ou enfin BOAB; ce qu'il fallait démontrer (1). » Autre théorème analogue : « Dans tout triangle un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence. Soit le triangle ABC; on aura évidemment la droite AG < AB-J-BC; d'où l'on lire, en retranchant BC de chaque membre, AG — BC<AB, c'est-à-dire AB > AG — BG (2). »

Triomphe scintillant des formes démonstratives de ces messieurs! en voici d'autres un peu plus intelligibles que nous leur opposons : Un angle quelconque est l'écartement entre elles de deux lignes droites qui tombent l'une sur Taulre ou qui se coupent, telles que les deux branches d'un V; donc, plus un angle est ouvert ou grand, plus les deux lignes qui le forment sont écartées à leurs extrémités, et plus est grande évidemment la ligne qui va de l'une à l'autre, ou le côté opposé à l'angle; donc, inversement, plus un angle est petit ou moins il est ouvert, et moins les lignes qui le forment sont écartées à leurs extrémités; moins, incontestablement, est grande la ligne qui va de l'une à l'autre, ou le côté opposé à l'angle; ce langage français, dites-nous-le franchement, vaut-il bien vos grimoires symboliques? Je dis que : Dans tout triangle, un côté quelconque est toujours moindre que la somme des deux autres; car ces deux côtés doivent former au-dessus de lui un angle, et par conséquent une ligne brisée, qui aboutit aux deux extrémités du premier côté : or, une ligne brisée est toujours plus longue que la ligne droite qui

aboutit aux mêmes points, parce que celle-ci ne s'allonge par aucun détour; autre preuve : supposez une base horizontale; si les deux côtés élevés de ces extrémités ne sont pas ensemble plus longs que cette base, en se penchant l'un vers l'autre pour déterminer un angle , ils ne se rencontreront point au-dessus d'elle, mais tomberont sur son développement et se confondront avec elle. J'ajoute que : Dans tout triangle, un côté quelconque est plus grand, nécessairement, que la différence des deux autres; car, soit un triangle dont un des côtés mesure deux mètres, et un second côté cinq mètres, leur différence sera donc de trois mètres; mais si le troisième côté n'était pas plus grand que trois mètres, il ne représenterait, avec le premier côté, qui est de deux mètres, qu'une valeur totale de cinq mètres; le troisième côté, qui est de cinq mètres précisément, serait donc aussi grand que les deux autres réunis, égalité impossible, puisque nous venons de voir que, dans tout triangle, un côté quelconque est toujours moindre que la somme des deux autres : voilà de ces démonstrations palpables, qui, ayant une fois frappé l'esprit par leur saillante évidence, ne sauraient désormais s'échapper de la mémoire.

article m.

Suile du même sujet.

L'éternelle beauté de la science géométrique consiste en ce qu'elle n'est qu'un enchaînement non interrompu d'idées indissolubles, et qu'elle démontre un ensemble

prodigieux de vérités intéressantes ou utiles, à l'aide d'un petit nombre de principes : si un théorème non encore démontré peut faire ressortir plus heureusement, ou avec plus de force et de clarté , une vérité qui attend sa garantie, n'hésitez pas à l'invoquer, par anticipation, et à en faire un usage précoce et opportun; c'est toucher, par avance, pour les utiliser, des intérêts d'une échéance infaillible, mais qui sommeilleraient jusque-là dans une inactivité infructueuse. Plus vous simplifierez la science, plus vous la grandirez, plus vous la rendrez féconde, ou plus ses rayonnements s'étendront au loin, et plus vous la soumettrez à l'empire de l'homme.

Soit une ligne horizontale indéfinie; d'un point de cette ligne, élevez une autre ligne qui ne penche d'aucun côté; si, du sommet de cette perpendiculaire, vous abaissez, jusqu'à la ligne horizontale, une ligne oblique, je dis que celte ligne oblique sera plus grande que la perpendiculaire; car elle forme, avec celle perpendiculaire et la portion de la ligne horizontale qui les sépare, un triangle rectangle dont la ligne oblique est l'hypoténuse : or, l'hypoténuse de tout triangle rectangle est plus grande que chacun des deux autres côtés pris isolément, puisque son carré est égal aux carrés réunis des deux autres côtés. Si, du sommet de la même perpendiculaire, on abaisse, dans un sens opposé, jusque sur la ligne horizontale, une seconde ligne qui ait la même obliquité, il est manifeste qu'elle aura la même longueur que la première ligne oblique, puisqu'elle constituera, avec la perpendiculaire et l'intervalle qui sépare leurs extrémités, un même triangle rectangle, dont elle figurera l'hypoténuse; deux

lignes également obliques étant superposées, coïncideraient; car on peut constater expérimentalement que, si elles ne se confondaient pas, c'est que l'une serait plus inclinée que l'autre, ou qu'elle le serait moins. Je dis, en outre, que si, du sommet de la perpendiculaire désignée, on abaissait, sur la ligne horizontale, une ligne oblique dont l'extrémité se trouvât plus éloignée du pied de la perpendiculaire, que les précédentes, cette ligne oblique serait plus longue; car le carré de l'hypoténuse étant égal aux carrés additionnés des deux autres côtés, si l'un de ces côtés est plus grand, il faut nécessairement que le carré de l'hypoténuse soit aussi plus grand, et que l'hypoténuse elle-même soit plus considérable : or, dans le triangle rectangle dont l'hypoténuse est représentée par la dernière ligne oblique dont nous venons de parler, et qui est plus éloignée du pied de la perpendiculaire , il y a un des côtés adjacents, ou formant l'angle droit, qui est plus grand que dans les triangles rectangles, précédents; ce côlé est la distance plus grande du pied de la perpendiculaire à la ligne oblique dernière ; il suit de là que : Lorsque deux lignes obliques partant du sommet d'une même perpendiculaire, et descendanl sur la même ligne horizontale, se trouvent de la même longueur, elles sont inévitablement à la même distance du pied de la perpendiculaire, puisque, si une d'entre elles en était plus éloignée, elle serait, d'après ce qui vient d'être dit, de toute nécessilé, plus longue. C'est d'après ce théorème que nous avons démontré que : Toute section de la sphère faite par un plan mené dans une seule et même direction est un cercle. C'est d'après ce théorème encore que nous démontrerions

que : Quand deux sphères se coupent, dans un seul et même plan, ou perpendiculairement à leur axe, leur intersection est aussi un cercle, et son contour une circonférence; car, tous les rayons de la sphère qui aboutissent au pourtour de la section ayant une même dimension , sortant tous du centre de la sphère, et se prolongeant jusque sur une même base ou sur un même plan horizontal, sont forcément à une même distance du pied d'une perpendiculaire centrale ou d'une portion de l'axe qui, du centre de la sphère, s'élèverait au milieu du plan horizontal ; la courbe qui passerait par tous les points extrêmes de ces rayons serait donc une circonférence, puisque ses diverses parties seraient également distantes d'un même point central. Que l'on compare cette démonstration simple et lucide avec les étranges détours et les mystifications perobscures que les géomètres classiques déploient pour démontrer la même modeste vérité !

ARTICLE IV

Suite du même sujet.

Si, par une ligne horizontale, on divise un cercle en deux parties égales, l'une inférieure, l'autre supérieure; et si, par une ligne perpendiculaire traversant le milieu de la ligne horizontale, on divise de nouveau le cercle en deux autres parties, l'une droite, l'autre gauche, on partagera la surface du cercle en quatre triangles rectangles égaux, dont chacun aura au centre un angle droit qui comprendra entre se's branches un quart de circonférence;

donc, la mesure naturelle d'un angle droit est le quart d'une circonférence que Ton tracerait de son sommet sur ses côtés ; donc, l'angle obtus, plus grand que l'angle droit, a pour mesure un arc supérieur à un quart de circonférence; donc, l'angle aigu, plus petit que l'angle droit, a pour mesure un arc moindre qu'un quart de circonférence ; on peut encore conclure de ce qui vient d'être exposé, que quand une ligne perpendiculaire tombe sur une ligne horizontale, et qu'elle se prolonge au delà, elle forme avec elle quatre angles droits; mais on peut s'assurer expérimentalement que, si on incline la perpendiculaire sur la ligne horizontale, elle déterminera avec elle deux angies différents, l'un aigu, l'autre obtus; qu'à mesure que l'angle aigu se rétrécira , l'angle obtus s'accroîtra d'autant, ou proportionnellement; que ces deux angles comprendronl toujours entre leurs côtés une demi-circonférence, ou deux quarts de circonférence; qu'ils seront toujours, par conséquent, équivalents à deux angles droits; que le prolongement inférieur de la ligne verticale suivra d'une manière absolue le mouvement de la partie supérieure de celle verticale; que, comme elle, elle développera, avec la ligne horizontale, deux angles inégaux, l'un aigu, qui s'amoindrira sans cesse; l'autre obtus, qui augmentera progressivement dans la même mesure, ou de la même quantité que l'autre diminuera; qu'ils auront semblablement pour mesure, dans tout leur accroissement et leur décroissement successifs, une demi-circonférence, ou deux quarts de circonférence; qu'ils seront, comme les angles supérieurs , perpétuellement équivalents à deux angles droits; de là, nécessairement, naît cette loi :

Que quand une ligne verticale coupe obliquement une ligne horizontale, elle fait naître avec elle quatre angles, deux obtus, deux aigus, qui équivalent constamment à quatre angles droits; il suit encore : Que les angles aigus étant engendrés par deux portions de ligne également inclinées, sur une même ligne horizontale, ou par une même ligne oblique répétée, sont égaux; que les angles obtus, qui avec eux forment deux angles droits, sont égaux, par là même; que ces angles aigus étant opposés par leur sommet, de même que les angles obtus entre eux, on peut élever en loi : Que les angles aigus opposés au sommet, que les angles obtus dans les mêmes conditions de rapport, sont égaux, ou ont une même mesure.

On entend par angle inscrit, celui qui a son sommet sur un point de la circonférence, et ses deux autres extrémités sur deux autres points de la même circonférence; le triangle inscrit est celui qui a les trois sommets de ses angles sur trois points de la circonférence; le carré , le polygone inscrits, sont ceux qui touchent à la circonférence par tous leurs sommets. Les géométries classiques établissent par des démonstrations spéciales : Que chaque sorte d'angle inscrit a pour mesure de sa valeur la moitié de l'arc de circonférence compris entre ses côtés. Lorsque l'on a à traiter quelque question géométrique complexe, et qui se rattache à une multiplicité de problèmes, il importe de remonter à des considérations générales qui , les embrassant tous, les démontrent sommairement et les expliquent; c'est le moyen de les faire saisir plus puissamment, dans des rapports plus amples, et de les graver ineffaçablement dans le souvenir. On conçoit sans peine que,

quand un triangle est inscrit dans un cercle, et que les sommets de ses trois angles aboutissent à trois points de la circonférence , ces trois angles comprennent dans leurs ouvertures la circonférence entière, chacun proportionnellement à sa valeur, ou à J'écartement de ses branches, comme une expérimentation détaillée le démontre : or, les trois angles d'un triangle ne sont équivalents qu'à deux angles droits, et la circonférence entière, ainsi que nous l'avons exposé plus haut, est la mesure de quatre angles droits; la conclusion impérieuse et non moins évidente, est donc : Que les trois angles d'un triangle inscrit n'ont pour mesure que la moitié de l'arc de circonférence qu'embrassent leurs côtés. Supposez un angle inscrit isolé, ou dont le sommet se termine à un des points de la circonférence, et ses deux branches à d'autres points : il sera facile de mener, d'une des deux extrémités des côtés de cet angle, à leur autre extrémité, une ligne droite, qui le transformera en triangle inscrit, et dont les trois angles, conséquemment. auront chacun pour mesure la moitié de la portion de circonférence renfermée entre ses côtés. Tout angle dont les branches appuient par leur extrémité sur une partie de la circonférence, et dont le sommet est situé entre celte partie de la circonférence et son centre, a pour mesure irrécusable un arc plus grand que la portion de circonférence interceptée entre ses côtés; car, supposez que cet angle soit droit ou formé par deux lignes tombant perpendiculairement l'une sur l'autre; si son sommet était placé au centre du cercle, et ses côtés allongés, il comprendrait entre ses branches un quart de circonférence, et ce serait là sa mesure naturelle : or, son sommet étant

rapproché de la circonférence, ses côtés comprendront évidemment entre eux une moindre portion de cette circonférence; sa mesure naturelle sera donc plus grande que Parc de circonférence renfermé entre ses côtés. Au contraire, tout angle dont les branches touchent par leur extrémité à une partie de la circonférence, et dont le sommet est reculé au delà du centre du cercle, ou même au delà du cercle, a pour mesure un arc moindre que la portion de circonférence interposée entre les extrémités de ces côtés; car, supposez que le sommet de cet angle excessif soit placé au centre du cercle, la portion de circonférence qu'il embrassera alors entre ses côtés sera sa mesure naturelle; mais comme elle est plus rapprochée de son sommet, les deux côtés de l'angle seront moins écartés, et elle sera incontestablement plus petite; donc cet angle, tel qu'il vient d'être caractérisé, a pour mesure un arc de circonférence moindre que celui qui est compris entre les deux extrémités de ses branches. L'esprit, éclairé par ces vues générales, domine son sujet, en pénètre l'essence. Les géomètres déterminent plus explicitement ces rapports par des lois spéciales, qu'ils démontrent, à l'aide de moyens d'une remarquable sagacité, étonnamment ingénieux , qui , par leur simplicité , leur justesse , leur précision , font sourire la pensée de plaisir, provoquent d'éclatants suffrages de la part de la saine philosophie et seront à jamais l'honneur de la raison humaine, ce rayon sublime de celle de Dieu. Ces démonstrations, qui sans doute ne datent pas d'hier, sont différentes dans MM. Pascal et Eysséric, et dans Blanchet. Celui-ci développe trop peu les siennes ; elles sont fondées sur ce principe : Que quand -

on prolonge la base d'un triangle isocèle, l'angle obtus qui résulte de ce prolongement et du plus proche côté vertical du triangle, déterminant avec l'angle le plus voisin une valeur égale à deux angles droits, est dès-là même équivalent aux deux autres angles du triangle, puisque ceux-ci eux-mêmes, avec le troisième angle, sont équivalents à deux angles droits, d'après ce que nous allons bientôt établir : que les trois angles d'un triangle sont toujours égaux à deux angles droits.

ARTICLE VI

Même objet généra).

Il est des sujets géométriques dont les théorèmes essentiels se démontrent réciproquement, et où il est indifférent de débuter par la constatation préliminaire de telle ou telle loi, pour en conclure la coexistence d'une ou de plusieurs autres lois. Dès l'instant que vous aurez établi : Que les trois angles de tout triangle sont équivalents à deux angles droits, il restera mathématiquement prouvé : Que les quatre angles de tout carré sont égaux à quatre angles droits, puisque tout carré peut se diviser par deux de ces angles, ou, par une diagonale , en deux triangles, ayant chacun une somme d'angles représentant deux angles droits; dès que vous aurez mis hors de doute, inversement : Que les quatre angles de tout carré équivalent sans exception à quatre angles droits, il demeurera incontestable, par là même, que les trois angles de tout triangle sont égaux à deux droits, puisque, un triangle quelconque

étant ajouté à lui-même, ou étant réuni à un autre triangle de même forme et de même dimension dont le sommet pose sur sa base , f3it éclore un carré de même base et de même hauteur, dont les quatre angles offrent toujours une somme égale à quatre angles droits. Tout carré parfait ou à quatre côtés égaux, et tout carré long qui résulte de quatre lignes perpendiculaires l'une sur l'autre, ont immanquablement quatre anglespositivement droits, puisque des lignes droites qui tombent perpendiculairement l'une sur l'autre ne réalisent que des angles droits; tout carré parfait oblique, et tout carré long ou parallélogramme oblique, étant formé par deux verticales obliques et parallèles, tombant,sur les extrémités de deux autres parallèles horizontales, engendre nécessairement avec elles deux angles aigus égaux, et deux angles obtus égaux, dont l'ensemble figure constamment quatre angles droits, d'après divers théorèmes que nous avons démontrés plus haut. Le trapézoïde dont les quatre côtés sont inégaux, et dont aucun n'est parallèle au côté opposé, se partage par la division de deux de ses angles opposés, ou par une diagonale, en deux triangles, dont chacun étant ajouté à luimême, se transforme en carré régulier dont les quatre angles équivalent à quatre angles droits; donc les trois angles de chacun de ces triangles représentant la demisomme des quatre angles de son carré respectif, sont égaux à deux droits; il suit encore que le trapèze lui-même, qui a produit ces deux triangles, par la division de ses angles, a pour valeur totale de ses angles spéciaux celle de quatre angles droits.

Mettons en exemple, maintenant, un triangle acutangle

ou composé exclusivement d'angles aigus : prolongeons sa base; l'angle obtus qui résultera de ce prolongement et du plus procbe côté ascendant du triangle formera, avec l'angle le plus voisin, une valeur égale à deux angles droits, puisque nous avons récemment prouvé : Que toute ligne verticale qui tombe obliquement sur une ligne horizontale, forme avec elle deux angles, l'un obtus, l'autre aigu, qui valent dans toutes leurs nuances relatives deux angles droits : or, je dis que l'angle obtus réalisé par le prolongement de la base du triangle acutangle, et par son plus proche côté ascendant, est égal aux deux autres angles plus éloignés de ce triangle; car, du point où commence le prolongement de la base, élevons une ligne verticale oblique, parallèle à l'autre côté vertical ou ascendant du triangle; celte ligne verticale oblique divisera l'angle obtus en deux angles aigus essentiellement égaux aux deux angles aigus extrêmes ou éloignés du triangle; effectivement, l'angle aigu déterminé par le prolongement de la base et la ligne verticale additionnelle, et l'angle aigu déterminé par la base et le côté vertical du triangle abaissé sur l'extrémité non prolongée de cette base, seront égaux, comme étant deux angles de même espèce produits par deux parallèles descendues sur une même ligne horizontale; le second angle aigu de l'angle obtus étant formé par la ligne verticale additionnelle et par le plus proche côté ascendant du triangle, et le second angle aigu extrême de ce triangle, seront pareillement égaux entre eux , comme étant engendrés par deux parallèles tombant obliquement sur une autre ligne droite qui est le premier côté ascendant du triangle; donc, finalement, les deux angles aigus

extrêmes dti triangle acutangle , sont égaux aux deux angles aigus de l'angle obtus désigné; mais puisque cet angle obtus est, avec le troisième angle aigu du triangle, équivalant à deux angles droits, les deux angles extrêmes eux-mêmes doivent, avec ce troisième angle ,• équivaloir à deux angles droits : les mêmes constructions et les mêmes résultats se répètent pour les triangles rectangles et les triangles obtusangles; d'où naît cette déduction générale : Que les trois angles de tout triangle sont égaux par leurs sommes à deux angles droils.

Avez-vous démontré que les surfaces des cercles sont, entre elles comme les carrés de leur rayon, ou le carré de leur diamètre, ou le carré de leur circonférence, ce quii est une même chose; vous avez établi par là même que les polygones réguliers et semblables, que les triangles isocèles et semblables, sont entre eux, pour la valeur de leur surface, comme les carrés d'un de leurs côtés ou de deux de leurs côtés, ou de leurs bases; puisque les cercles ne sont considérés que comme des polygones réguliers semblables d'un très-grand nombre de côtés : dans des conditions inverses, avez-vous prouvé initialement pour les triangles isocèles analogues, les théorèmes fondamentaux de proportionnalité de surface que nous venons d'énoncer; vous les aurez fait briller par une suite impérative, pour les polygones semblables, et pour toutes les dimensions de cercle.

Soient deux triangles isocèles homologues ou révélant des caractères de similitude, dont l'un, moindre, aura ses deux côtés égaux de vingt mètres, et sa base de dix ; et le second, plus grand, aura ses côtés de quarante mètres in^

dividuellement, et sa base de vingt; ce dernier triangle élant double du premier, par sa base, et double par sa hauteur, aura donc quatre fois autant de valeur ou de surface : or, c'est là précisément le rapport des carrés de leurs côtés, et des carrés de leur base, ou de ces divers éléments géométriques multipliés par eux-mêmes, ainsi que l'on peut s'en assurer par les épreuves du calcul : dix, expression de la base du premier triangle, étant multipliée par dix ou élevée au carré, donne cent; et vingt , expression de la base du second triangle, étant multipliée par vingt ou élevée au carré, offre pour produit quatre cents ou quatre fois la valeur du premier triangle ; vingt, expression d'un des côtés du plus petit triangle, étant élevée au carré, donne quatre cents; et quarante, expression d'un des côtés du plus grand triangle, produit pour son carré seize cents, chiffre quadruple du chiffre analogue du moindre triangle. Harmonisez les diverses parties de la science, ralliez-en les innombrables idées à des points de vue élevés, le plus possible, et vous les assujettirez plus entièrement, par ces heureux liens, à la puissance des facultés intellectuelles de l'homme.

article vu.

Qu'à pourtour égal, toute figure régulière qui a plus de côtés, a plus de surface.

Pour que cet énoncé apparaisse d'une vérité incontestable, il suffit de démontrer : Que dans toute figure régulière que l'on transforme en triangles isocèles, la hauteur

de ces triangles s'accroît à mesure qu'on en augmente le nombre, la longueur du pourtour général, ou périmètre, demeurant invariablement la même; puisqu'on obtient la valeur d'une surface, quelle qu'elle soit, en multipliant sa base par sa hauteur; donc, plus la hauteur grandira, la base restant identique, plus la surface deviendra considérable. Or, on peut s'assurer aisément , par la voie expérimentale, que, dans une figure régulière métamorphosée en triangles isocèles, si l'on divise la base d'un de ces triangles primordiaux pour en faire les bases de deux triangles partiels à côtés égaux , la perpendiculaire abaissée du sommet du triangle primitif sur le milieu de la base du triangle secondaire, cette perpendiculaire, qui indique leur hauteur, présentera son extrémité supérieure sur la même ligne horizontale que la perpendiculaire du triangle primitif lui-même ; mais qu'elle figurera, par rapport à celte perpendiculaire première, une ligne oblique qui, partant de son sommet, et aboutissant à la même ligne horizontale, sera infailliblement, et de toute rigueur, plus longue, d'après ce qui a été prouvé auparavant, sur la longueur comparative des lignes obliques tracées du sommet d'une perpendiculaire jusqu'à une même ligne horizontale; et il en sera toujours ainsi chaque fois qu'on opérera une nouvelle division, et que l'on multipliera les côtés de la figure. On peut accomplir par des moyens vulgaires ces expérimentations. Prenez quatre tiges, ou tronçons d'un fil métallique flexible, d'une égale longueur : composez un carré par leur combinaisons; divisez ce carré en quatre triangles égaux ou isocèles , au moyen de quatre autres petites tiges métalliques, portant sur ses angles, et se rendant à

un centre commun : de ce centre, dirigez une première aiguille sur le milieu de la base d'en des triangles, ce sera sa perpendiculaire marquant sa hauteur; prenez un neuvième fragment de til métallique de même étendue qu'un des côtés du carré, et que la base du triangle précité; pliez-le par le milieu, et disposez-en les deux moitiés sur celte base principale, de façon à ce qu'elles fassent ellesmêmes les bases de deux triangles kocèles plus petits; vous verrez que la perpendiculaire menée du centre de la figure, sur le milieu de la base d'un des deux triangles plus petits, représentera, relativement à la perpendiculaire du plus grand triangle primordial , une ligne oblique descendant jusque sur la même ligne horizontale, et qu'elle devra être, d'après les théorèmes antérieurs, plus longue nécessairement; et chaque fois que vous partagerez de rechef un des côtés du polygone, pour en former les bases de deux triangles partiels moindres par leur largeur, vous constaterez que leur perpendiculaire sera immuablement, par rapport à la perpendiculaire du triangle antécédant, une ligne oblique parvenant à la même ligne horizontale, et accusant toujours par là même une plus grande longueur. Mais si de deux polygones à périmètre identique, celui qui a le plus de côtés est aussi celui qui possède le plus de surface, le cercle, qui est envisagé comme le polygone qui résulte du plus grand nombre de côtés, doit être aussi la figure régulière qui, à pourtour de même dimension , déploie le plus de superficie; lorsqu'on aplatit le cercle et qu'on le transforme en ellipse, sa courbe conserve la même longueur, le nombre des triangles dans lesquels peut se décomposer sa surface ne change point ; mais

les bases de ces triangles s'inclinant, leurs côtés se rapprochent, et leur surface s'amoindrit. Ne sait-on pas que quand un carré long devient oblique, l'intervalle qui sépare ses bases diminue, et que si l'inclinaison s'accroît sans discontinuité, ses bases se confondent, et toute superficie s'anéantit; que quand la base d'un triangle isocèle devient oblique, ses côtés se rapprochent, et si l'obliquité se poursuit, i!s arrivent au contact, et toute surface disparaît? On peut suivre parfaitement les démonstrations que nous avons données plus haut, en reproduisant les opérations expérimentales, soit la plume à la main, soit par la mise en œuvre successive des tiges métalliques destinées à représenter dans leurs éléments essentiels les polygones à côtés progressivement plus nombreux, Un professeur animé dezèîe peut, une faible provision de cire molle à la main, et à l'aide de quelques fragments de fil métallique d'une docile flexibilité, figurer ostensiblement aux regards de ses élèves tous ces théorèmes, les leur faire saisir presque instantanément, en leur épargnant bien des dépits et des tortures. Un cours de géométrie ainsi traduite, pour être parcouru avec un succès brillant, n'exigerait pas plus de deux mois d'une application sans efforts, de la foule des intelligences d'une portée ordinaire.

ARTICLE VIII

De la grandeur de !a circonférence et de ses rapports avec celle d'un de ses rayons et de son diamètre.

Une ligne courbe est essentiellement incommensurable, c'est-à-dire que l'on ne saurait déterminer avec une abso-

lue rigueur son rapport d'étendue à ia ligne droite; ce n'est donc qu'approximativement que l'on peut constater par des théories, ou par une mensuration positive, la valeur de la circonférence, comparativement à un de ses rayons ou de son diamètre. Du sommet d'une circonférence, quelle que soit sa grandeur, au point opposé, tracez un diamètre perpendiculaire; faites passer par le milieu de ce diamètre vertical un autre diamètre horizontal qu'il coupe perpendiculairement; joignez par quatre lignes droites les quatre extrémités de ces deux diamètres qui s'intersectionnent, vous aurez construit manifestement un carré parfait inscrit, composé de quatre triangles rectangles égaux, ayant un angle droit au centre, pour branches latérales des demi-diamètres ou des rayons, et pour hypoténuses les quatre côtés mêmes du carré ou quadrilatère inscrit, hypoténuses qui représentent en même temps les cordes de quatre arcs de cercle ou des quatre quarts de la circonférence.

Pour déterminer la valeur totale des quatre côtés du quadrilatère inscrit, côtés qui sont simultanément les hypoténuses de quatre triangles rectangles intégrants, il suffira d'élever au carré les branches latérales d'un de ces triangles, branches qui sont des rayons supposés connus du cercle; de faire la somme de ces deux carrés, pour en obtenir le carré précis de l'hypoténuse ; d'extraire la racine de ce dernier carré, pour découvrir la valeur de l'hypoténuse elle-même et d'un des côtés du quadrilatère ; et de multiplier cette valeur par quatre, pour en faire sortir enfin la valeur générale des quatre côtés du quadrilatère , pu de son pourtour tout entier.

Pour construire, après cette évaluation première, un polygone d'un nombre double de côtés, ou de huit côtés, et que Ton nomme octogone, mener du centre de la circonférence une ligne perpendiculaire sur le milieu de la base d'un des premiers triangles isocèles, base qui est un des quatre côlés du quadrilatère inscrit, et prolongez cette perpendiculaire jusque sur le milieu de l'arc de cercle ou du quart de circonférence correspondant; ce prolongement prend scientifiquement le nom de flèche : du sommet de cette flèche abaissez deux lignes droites sur les deux extrémités du côté sous-jacent du quadrilatère : ces deux côtés seront les deux cordes de deux huitièmes de circonférence, et concomitamment, deux des côtés de l'octogone ou polygone à huit côtés inscrits. Mais comment dévoiler la valeur de ces deux nouveaux côtés? D'après la même méthode que précédemment, c'est-à-dire en élevant au carré les deux branches latérales des deux petits triangles rectangles formés par la flèche, par la base d'un des premiers triaDglesou par un des cotés du quadrilatère inscrit, et par les deux côtés de l'octogone que nous venons de décrire, et qui sont les hypoténuses de ces triangles partiels; ayant fait la somme des deux carrés, on en prend la racine, et l'on a la valeur d'un des côtés de l'octogone, valeur qui, étant multipliée par huit, donne pour produit la longueur du pourtour entier de Pectogone, il faut se rappeler que la flèche précédemment désignée est le prolongement d'une perpendiculaire sous-jacente élevée du centre du cercle sur le milieu delà base d'un des triangles primitifs, ou d'un des côtés du quadrilatère inscrit; qu'elle complète avec elle un rayon; que cette perpendiculaire

sous-jacente constitue, avec un des côtés d'un des triangles primitifs ei la moitié de sa base, ou la moitié d'un des côtés du quadrilatère, un triangle rectangle partiel inférieur, dont un des côtés du triangle primitif, représentant un rayon connu du cercle, est l'hypoténuse; qu'en élevant au carré cette hypoténuse, et en retranchant de ce carré le carré de la base également connue du triangle rectangle partiel inférieur, on obtiendra le carré de la perpendiculaire indiquée; que l'extraction de la racine de son carré donnera sa propre valeur; et que la différence de cette valeur à celle d'un rayon complet du cercle décèlera la longueur particulière de la flèche.

Vous comprenez spontanément de ce qui précède : Que pour construire un autre polygone d'un nombre double de côtés ou de seize faces, représentant chacune la corde d'un seizième de circonférence, il faut mener du centre du cercle une perpendiculaire sur le milieu d'un des côtés de l'octogone, la prolonger jusqu'au milieu de l'arc de circonférence qui le surmonte et dont il est la corde; abaisser du sommet de ce prolongement ou flèche, sur les deux extrémités du côté indiqué de l'octogone, deux lignes droites qui sont les cordes de deux seizièmes de circonférence, deux des côtés d'un hexadécagone ou d'un polygone à seize faces, et en même temps les hypoténuses de deux triangles rectangles partiels supérieurs de seconde division, que l'on évalue, ou dont on calcule les côtés divers, ainsi qu'il vient d'être minutieusement exposé. La dimension individuelle d'un des côtés de l'hexadécagone ou polygone à seize faces, résultant de ces calculs, est ensuite elle-même multipliée par seize et révèle dans son

produit la dimension totale du nouveau polygone. On poursuit, d'après une identité absolue de procédés, la constatation de la mesure d'un polygone de trente-deux côtés, de soixante-quatre, de cent vingt-huit, etc., successivement, jusqu'à ce qu'étant parvenu à un très-grand nombre de cotés, où la valeur des polygones ne s'accroît plus d'une quantité dont il soit utile de tenir compte, on juge que le dernier polygone peut représenter suffisamment dans l'expression de sa longueur celle de la circonférence.

L'égalité du carré de l'hypoténuse, avec les carrés des côtés adjacents du triangle rectangle, est un principe admirablement fécond; mais ce qui en affaiblit l'éclat, ce qui en diminue considérablement les avantages pleins d'intérêt, c'est que dans la pratique, en dehors de quelques cas infiniment rares, on ne l'applique jamais exactement; que l'extraction de la racine du carré de l'hypoténuse n'est qu'approximative, contient toujours une nuance de faux, qui, se reproduisant dans les éléments des calculs, se multiplie, et grandit comme leurs résultats.

Dans le sujet éminent qui nous occupe, chaque fois qu'on double les côtés des polygones, il y a deux extractions nouvelles de racines qui ne sont qu'approximatives et qui renferment quelques inexactitudes; deux de ces produits erronés sont élevés au carré ou multipliés par eux-mêmes; l'extraction de leurs racines ajoute aux altérations du vrai ; la somme de toutes ces erreurs partielles est multipliée par le nombre actuel des côtés du polygone, lorsqu'on apprécie la valeur totale de son pourtour, d'après la mensuration théorique d'un de ses côtés; et lorsque ces

côtés se comptent par milliers, par sept à huit mille, par quatorze ou quinze mille, par plus de trente mille, par plus de soixante mille, etc., le total des inexactitudes déjà accumulées se répèle autant de fois; et notez bien que l'élément fondamental des calculs, en cette occurrence, ou le rayon du cercle, doit être mesuré par nos instruments que l'on nomme grossiers, et que si cette mesure contient plus de faux, ce surcroît d'erreurs passe dans tous les calculs progressifs, dans tous leurs éléments évalués essentiellement d'après le rayon; et qu'à chaque pas, à chaque duplication , dans la série ascendante des polygones, l'excès d'inexactitude de la mesure positive se multiplie avec les côtés des figures polygonales ; et que si le nombre s'en élève à cent mille, l'inexactitude émanant de l'application des instruments, et déjà accru par les calculs, s'ajoute à lui-même autant de fois. Il ressort de là évidemment que le moyen le plus sûr pour déterminer la grandeur de la circonférence, et son rapport avec le diamètre ou le rayon, serait d'en venir d'emblée à la mensuration expérimentale; de faire confectionner avec une grande perfection un cercle ou un cylindre; d'en mesurer, à l'aide d'un fil métallique très-délié qui, en se redressant, ne changerait point appréciablement de longueur, leurs pourtours, puis relalivement leur diamètre. On s'assurerait de la perfection de ces corps ronds, en plaçant sur leur surface une tige de métal représentant leur diamètre, et en faisant parcourir successivement, par un mouvement de rotation sur son centre, à ses extrémités, la circonférence : n'évalue-t-on pas aujourd'hui, avec une précision rare, par l'intermédiaire de verres grossissants, les mil-

lionièmes d'allongement des corps que I'od chauffe à divers degrés de température? Pourquoi ne donnerait-on pas plus d'extension au bienfait de cette méthode? On pourrait aussi pratiquer l'expérience dans les plus grandes proportions, en fixant une tige métallique inflexible à un pivot central autour duquel elle pourrait tourner, en l'allongeant, par des additions successives, comme on le fait pour la foration des puits artésiens, puis en décrivant avec beaucoup de soin une portion de circonférence immense, par exemple la cent millième, ou la millionième partie même de cette circonférence; on déploierait toutes les ressources d'une industrie intelligente pour porter sa mesure à une grande perfection: on en multiplierait le résultat par cent mille ou par un million pour s'élever à la valeur totale de la circonférence, dont on préciserait le rapport avec le rayon et le diamètre. Si celte mesure expérimentale contenait quelque erreur, celle-ci du moins ne serait multipliée qu'une seule fois, tandis que dans le procédé complexe des géomètres, l'inexactitude de lamesure instrumentale est multipliée une foule de fois dans les calculs progressifs, et qu'à ces erreurs s'ajoute celle des extradions de racines, des élévations d'éléments imparfaits au carré, et qui à leur tour sont multipliés un grand nombre de fois dans la succession des opérations purement mathémathiques. Nous avons déjà remarqué que quelques mathématiciens ont obtenu pour valeur relative de la circonférence trois fois celle du diamètre , plus quatorze centièmes de fois, appréciation un peu moins forte que celle qui est le plus communément adoptée, et dont Archimède passe pour être Fauteur.