CONSIDERATIONS GENERALES

ARTICLE 1er.

Les géorûétries classiques, à l'unanimité, exposent traditionnellement la génération de la sphère, par le mouvement d'une demi-circonférence tournant autour de son axe ; la génération du cône, par le mouvement d'un triangle rectangle tournant autour d'une de ses perpendiculaires; la génération du cylindre, par le mouvement d'un parallélogramme tournant autour d'un de ses côtés verticaux : pourquoi ne pas faire engendrer le prisme par une surface triangulaire, carrée ou polygonale, ajoutée à elle-même un assez grand nombre de fois pour produire une hauteur appréciable; le paraliélipipède, qui est une espèce de prisme, par la surface d'un parallélogramme superposée à elle-même un nombre de fois suffisant; la pyramide, par une surface triangulaire, quadrilatère on polygonale, ajoutée à elle-même, mais de façon à ce que ses côtés se rétrécissent sans cesse, en s'élevant, jusqu'à se terminer par un point; pourquoi, allant plus loin, ne point faire engendrer la ligne par une portion d'elle-même; la surface, par la ligne additionnelle, comme tout solide par une surface? Les géomètres, tout en paraissant répudier ce mode de développement, le proclament, essentiellement, sans s'en

douter, quand ils enseignent : Que pour mesurer une ligne, il faut reproduire multiplement une portion d'elle-même, et faire la somme de ces unités; que pour mesurer une surface, il faut multiplier sa base, ou la ligne qui la représente, par sa hauteur totale, ou par une partie de son élévation; que pour mesurer un solide, il faut multiplier sa base ou la surface qui la représente par une fraction ou par la totalité de sa hauteur : qu'est-ce en effet que multiplier, que faire une somme? N'est-ce point répéter une valeur, l'ajouter à elle-même? Donc, multiplier une ligne, une surface, et répéter cette ligne, cette surface, c'est l'ajouter à elle-même pour réaliser un produit; donc, accomplir une somme d'éléments linéaires, c'est ajouter une unité fondamentale linéaire à elle-même; est-il bien philosophique de repousser le mot et de retenir la chose? Appliquez-vous à donner des éléments géométriques, dans des définitions raisonnées, les notions les plus claires et les plus radicales, dont on puisse déduire naturellement leurs propriétés, leurs rapports et leurs lois, sauf à confirmer, par les épreuves irréfragables et toujours nécessaires de l'expérimentation, ces déductions spéculatives. Dans ce but, et pour être complètement conséquent avec vousmême, vous ferez engendrer encore le cylindre par la surface d'un cercle superposé; le cône, par une surface circulaire ajoutée à elle-même, en rapetissant progressivement ses diamètres, jusqu'à se terminer par un point culminant. D'après ce système général d'évolution, vous comprendrez instantanément pourquoi il faut, pour en déterminer les valeurs respectives, répéter une portion initiale et génératrice de la ligne ; multiplier les bases linéaires

des surfaces, les bases ou superficies des solides; vous concevrez sur-le-champ pourquoi les étendues définies nommées surfaces, et les diverses espèces de solides, sont entre elles comme leur base multipliée par leur hauteur, et si elles ont les mêmes dimensions verticales, pourquoi elles sont entre elles comme leur base; ou si leur base accuse une égalité parfaite, pourquoi elles son! entre elles comme leur hauteur; vous saisirez sans effort de pensée, et antécédemmentà toute démonstration, pourquoi, lorsqu'on tranche dans leur hauteur, par un plan parallèle à leur base, des prismes, desparallélipipèdes, des cylindres, la figure de la section est constamment pareille à celle de la base; pourquoi, lorsqu'on tranche dans leur ascension, des cônes, des pyramides, par des plans parallèles à leurs bases, la figure de la section est toujours non égale, mais semblable à celle des bases; pourquoi aussi, lorsqu'on tranche une sphère par un plan parallèle à une de ses tangentes, ou à un des points de sa superficie, considérés comme une surface infiniment petite, on obtient immuablement une figure circulaire ou dont le pourtour est une circonférence; et pourquoi, quand deux sphères qui se pénètrent et se coupent sur un même plan perpendiculaire à un de leurs axes, et parallèle à un des points de leur surface, la section est persévérament un cercle; car nous avons oublié de dire que la sphère peut encore être envisagée comme engendrée par une série de cercles ou de circonférences, allant toujours en décroissant depuis l'équateur, ou la ligne médiane de la sphère, jusqu'à deux de ses pôles, où elle se trouve enfin réduite à un point, comme dans le développement des cônes. La coordination

raisonnée ou philosophique de la géométrie doit, en se conformant à leur ordre naturel de génération, livrer successivement à la pensée attentive du lecteur la science des lignes, celle des surfaces, celle des solides; et, dans chacune de ces partitions, traiter, dans des subdivisions communes et toujours les mêmes, régulièrement , des lignes, des surfaces, des volumes ou capacités, considérés isolément, envisagés dans leurs combinaisons avec elle-même, et avec d'autres éléments de mensuration ; démontrer leurs rapports et leurs lois d'égalité, d'équivalence, de similitude et de proportionnalité. Les plans étant composés de lignes, leurs théorèmes sont absolument les mômes que ceux qui sont relatifs aux lignes, et doivent, non les accompagner, mais les suivre immédiatement, par l'enchaînement spontané des idées; ce sont des surfaces considérées dans leur plus grande généralité, indépendamment du nombre des lignes qui les limitent; de la valeurspécialede celles-ci, et qui ne sont pas plus aériennes ni dans l'espace, que les surfaces étudiées comme circonscrites par trois, par quatre ou un plus grand nombre de lignes; qu'est-ce qu'un plan, et combien y en a- 1— il de sortes; quelles sont les combinaisons des plans entre eux et avec les lignes ; quelles sont les propriétés et les lois des plans perpendiculaires et horizontaux, des plans parallèles et des plans obliques; quels sont leurs rapports de valeur égale, leurs rapports de valeur équivalente, leurs rapports de valeur proportionnelle? Tous les classiques offrent ici des lacunes essentielles, relativement aux lois d'égalité des plans ou surfaces rectilignes parallèles comprises de toutes parts entre d'autres plans parallèles, relativement à leurs

lois de proportionnalité sous le rapport de leur hauteur, s'ils ne sont délimités que dans le sens de leur largeur par d'autres parallèles: relativement aux lois de proportionnalité des plans ou surfaces courbes concentriques : la surface extérieure d'une tour est proportionnelle à sa surface intérieure; elles sont entre elles comme leur diamètre; la surface apparente et concave des deux est pour nous proportionnelle au plan convexe de notre .sphéroïde: c'est pour cela que l'on a tracé dans les cieux des lignes géographiques qui correspondent strictement à celles de la surface de notre globe : les plans courbe- sur lesquels le soleil et la lune répandent leurs rayons à la distance de noire planète, sont proportionnels à la surface de ces deux astres, et leurs valeurs se trouvent être entre elles comme leur diamètre : les ombres des objets sont des plans qui tantôt sont égaux, tantôt proportionnels aux corps qu'ils représentent, et tantôt se montrent disparates : telle est l'ombre d'une sphère, qui apparaît triangulaire; les plans lumineux qui tigurent les objets lointains, comme un navire voguant sur la plage des mers, un mont éloigné, le flambeau du jour, celui de la nuit, sont proportionnels aux distances. Les géomètres séparent arbitrairement de leurs cadres respectifs les théorèmes qui concernent les rapports d'équivalence et de proportionnalité, pour les rassembler dans de» sections générales, où des éléments géométriques différents, tels que les lignes, les triangles, les carrés, û garent 3 la luis, et reçoivent tardivement le idées supplémentaires : c'est un tort réel ; lorsqu'on s cupe d'un sujet, si l'on épuise les q . .:. re-

lat \ prit, les notions principale- étant encore pré-

sentes, saisit mieux les idées éloignées, embrasse plus puissamment les liens qui les enchaînent, et les retrouve plus facilement dans sa mémoire , où elles sont déposées, en formant un tout indissoluble. Ne traitez-vous que plus tard certain point de vue? l'esprit, les idées radicales étant comme flétries* et aperçues dans un lointain vague, en découvre moins bien les rapports et les aspects nouveaux.

Après les révélations doctrinales de chaque division théorique, surviennent, comme terme complémentaire, les applications positives qui constituent la pratique, partie non moins intéressante, certes, et non moins opportune que la pompe des démonstrations, préliminaire toutefois indispensable, qui Ta rationnellement préparée, puisque c'est elle qui achève de faire comprendre, dans les limites de leur portée et dans leur profondeur, les principes, et qui permet à l'arbre brillant de la science de se couronner de ses fruits le plus généralement utiles : il faut donc la développer avec soin et ne point économiser mal à propos les détails. On préludera «à l'appréciation minutieuse des lignes en rappelant que les lignes droites sont horizontales, ascendentes ou profondes, perpendiculaires ou verticales obliques : nous dirons plus loin par quel moyen trigonométrique on mesure toutes ces longueurs : il est en outre d'autres procédés acceplables dont on peut se servir; l'arpenteur mesure toutes les longueurs horizontales terrestres à l'aide d'une chaîne longue de trente pieds, flexible, qui ne saurait se tendre parfaitement : il existe, dans les champs que l'homme cultive, des inégalités accidentelles, qui sont l'effet de leur sillonnement. des cavités qui ne subsisteront plus demain, des élévations qui.

n'auront pas plus de durée, des sinuosités fugitives : la chaîne s'adaptant plus ou moins à ces ondulations d'un moment, donne une mesure trop longue, et aboutit quelquefois à des résultais très-faux. Comment le progrès n'at-il point compris que la mesure naturelle de ces sortes de terrains est une tige inflexible, portant à ses deux extrémités deux fiches immuables dans leur position, et qui ne peuvent s'incliner ni en avant ni en arrière, conime celle de la chaîne, pour fausser à chaque instant la mensuration; que la chaîne géométrique n'est la mesure légitime que des voies battues, des chemins ruraux, des grandes routes de tous les ordres, dont les inégalités seraient permanentes. On mesure sur les mers les longueurs au moyen d'une ficelle enroulée autour d'un cylindre, et fixée par son extrémité libre à un flotteur, qui, projeté et restant dans les flots qui l'ont reçu, force la ficelle à se dérouler et à marquer les distances parcourues; mais les vents repoussant en arrière, ou précipitant en avant, ou sur les côtés, le trop mobile flotteur, trouble l'évaluation. Ceux qui s'occupent du commerce des étoffes font , à la fin de chaque année, par un travail long et pénible, un recensement de ce qui leur reste dans leurs magasins, et mesurent partiellement, le mètre à la main, toutes les pièces de tissus qu'ils n'ont point trouvées à faire écouler : ils pourraient abréger de beaucoup les fatiguantes opérations de leurs revues annuelles, en pesant tous les ballots qu'ils reçoivent, et en notant par une étiquette, sur la pièce même, à quel poids correspondent un ou plusieurs mètres du tissu; il suffirait, à chaque vérification générale, de peser successivement les pièces d'étoffes, pour connaître

le nombre de mètres qu'elles recèlent. On mesure les longueurs que l'on ne peut pas parcourir, telles que la largeur d'un marais, celle d'un fleuve, en se plaçant au bord de ses étendues, la visière d'une coiffure, ou simplement la main inclinée sur les yeux, jusqu'à ce que le bord opposé du marais ou du fleuve soit la dernière chose que l'on aperçoive; en se retournant ensuite sur soi-même, sans changer l'inclinaison de la visière ou de la main, vers un lieu accessible, et en observant quel est le point extrême saillant que l'on découvre : la distance de ce point à celui que l'on occupe étant estimée, révèle celle que l'on cherche. On peut mesurer les profondeurs en y jetant un corps solide, et en calculant en combien de secondes il en atteint le fond; ce corps, abandonné à lui-même, parcourant, dans la première seconde de sa chute, 15 pieds ; 45 pieds dans la deuxième seconde, 75 pieds dans la troisième, et ainsi de suite, en augmentant toujours de 30 pieds à chaque seconde nouvelle; on additionne toutes ces valeurs, et leur somme est la mensuration approximative de la profondeur; plus sûrement, on attache le corps solide à une corde; on le descend dans la profondeur, un puits, un abîme; la longueur déployée de la corde représente celle de l'excavation à apprécier. Pour sonder les mers, on attache à un boulet une corde, ou mieux, une chaîne, dont la longueur développée donne la dimension perpendiculaire de l'immense gouffre ; au sein de l'Océan, lorsque les profondeurs sont de 30 à 40 mille pieds, on conçoit que des bras nombreux et puissants sont nécessaires pour retirer la chaîne; un voyageur, François Arago, nous assure qu'il ne fallait pas moins du concours de cinq cents

hommes pour relever, eu pareille circonstance, la corde d'une sonde.

L'ombre d'une hauteur verticale terrestre , au moment où elle est égale au corps qui la projette, livre exactement la mesure de la hauteur terrestre, quand la conformation de cette éminence et la nature du sol permetlentà l'ombre de se dessiner parfaitement : si l'on peut parvenir au sommet de la hauteur, et qu'elle soit à peu près penpendiculaire, un corps solide à Tune des deux extrémités d'une ficelle en fournira la valeur adéquate, comme pour les profondeurs. Quant aux hauteurs inaccessibles, sur l'appréciation desquelles les opérations trigonomélriques sont si discordantes dans leurs résultats, nous avons trouvé le moyen de les évaluer rigoureusement, à un centimètre près; ce n'est plus à un corps lourd qui tombe que l'on attache la ficelle, mais à un corps léger qui s'élève dans les airs, à un petit ballon portant à son sommet un petit fanal, dont les rayons lumineux, concentrés et dirigés par un tube horizontal suffisant, projette sur la cîme de la montagne un faisceau de lumière éclatant pendant la nuit, lorsque le petit ballon est arrivé à son niveau : la longueur de la ficelle, plus le diamètre de l'aérostat, donne avec une grande précision l'élévation perpendiculaire de Téminence terrestre ; lorsque la pente de la montagne est très-longue, on peut et on doit la fractionner en plusieurs hauteurs partielles, dont on mesure successivement durant le jour les portions accessibles : l'aérostat étant lancé au pied de la montée, un observateur s'élève sur le revers, jusqu'à ce que ses regards soient sur la même ligne horizontale qu'un point frappant du petit ballon ; la longueur de la ficelle

alors déployée, plus le diamètre de l'aérostat , dévoile l'élévation perpendiculaire de la partie de la pente déjà parcourue, si l'on déduit la distance des pieds de l'observateur à ses yeux; cette première opération étant accomplie, on en exécute privativement d'autres de la même façon, jusqu'à ce que l'observateur soit parvenu à la fraction inaccessible de l'immense relief, à laquelle on applique le mode de mensuration première au fanal.

Les faces extérieures des pyramides d'Egypte sont taillées en escaliers ou en gradins; il suffit de mesurer quelques-uns de ses degrés, d'en prendre la moyenne, défaire la somme de toutes les hauteurs partielles, pour avoir l'élévation totale de ces monuments gigantesques de la vanité humaine et du néant de sa puissance; les escaliers d'une tour fournissent semblablement des moyens d'en mesurer l'ascension perpendiculaire: nous avions imaginé, pour évaluer d'après une similitude de méthode, l'élévation des collines surtout, un instrument spécial, appelé oromèlre, que l'on nous a montré plus tard figuré dans un traité élémentaire d'arpentage; cet instrument se compose de deux tiges, l'une perpendiculaire, portant une échelle d'évaluation, et l'autre horizontale, encastrée vers une de ces extrémités dans la première, et glissant sur elle : on dresse au pied de la coliine la branche perpendiculaire, et l'on abaisse la branche horizontale jusqu'à ce que son extrémité repose sur le sol ; la hauteur qu'elle marque sur la branche verticale est la hauteur partielle du revers de la colline, dans l'espace compris entre les deux extrémités de la branche horizontale; l'instrument est reporté après cela sur le point du sol qu'atteint l'ex-

trémité libre de la branche mobile; cette branche étant de nouveau abaissée jusqu'à ce qu'elle louche la pente , la valeur qu'elle indique sur la branche ascendante est la seconde hauteur partielle du terrain incliné; on poursuit ces opérations jusqu'au sommet de la colline; on en additionne les résultats individuels, dont îe total décèle Pelé* vation perpendiculaire de l'éminence terrestre dont le revers a été transformé en un vaste escalier, On sait que la colonne de mercure descend dans un baromètre à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère, et que la pression de celle-ci diminue. Au niveau de la mer, l'instrument marque 76 centimètres, ou 760 millimètres; en Amérique, à la métairie d'Antissana , à 12,300 pieds d'élévation, la colonne barométrique descend à 454 millimètres, un peu moins de trois millimètres par cent pieds; à Quito (8,070 pieds d'élévation), la colonne mercurielle s'abaisse à 527 millimètres, moins de 3 millimètres encore par cent pieds; elle descend à 648 millimètres, valeur un peu plus forte, mais n'atteignant point encore trois millimètres par cent pieds, à Barèges, village des Pyrénées (387 pieds d'altitude); à Turin (690 pieds d'élévation), le baromètre marque 738 millimètres, un peu plus de 3 de ces fractions métriques par cent pieds de hauteur; d'où il suit qu'en définitive, la colonne barométrique indique à peu près cent pieds d'élévation perpendiculaire pour un abaissement de 3 millimètres. Les lignes courbes peuvent se mesurer instrumenlalementàraide de tiges métalliques, flexibles qui s'adaptent parfaitement aux surfaces convexes. et concaves, et ne changent pas, si elles ne sont que d'une, médiocre épaisseur, lorsqu'elles son*, redressées, leur Ion-.

gueur d'une quantité dont il soit essentiel ordinairement de tenir compte; les rapports du diamètre à la circonférence ajoutent aux moyens de calculer les courbes circulaires, etc., etc., etc. MM. Pascal et Eysséric citent, au Traité des Solides ou des Volumes, comme moyen de mensuration des capacités, la jauge; mais, d'après des expériences comparées, cet instrument, que le progrès depuis longtemps aurait dû exclure de la pratique, donne des résultats incessamment variables et presque toujours faux ; peut-il en être autrement, puisque la proportionnalité de longueur des fûts, de leurs bombements, de la hauteur de leurs fonds, est presque toujours plus ou moins aventureuse et d'une rigueur peu satisfaisante?

ARTICLE II

Considérations générales (Suite).

Le choix des matières qui doivent entrer dans une science est commandé par la philosophie, comme leur arrangement raisonné, et aussi bien que l'expression qui les trahit. La vie de l'homme est trop courte, et le nombre des choses qu'il lui importe de connaître est trop grand, pour qu'il applique ses nobles facultés à des frivolités indignes de leurs élans; et s'il a besoin d'une gymnastique qui mette en jeu et développe les ressorts puissants de son entendement, l'horizon indéfini des idées scientifiques intéressantes et utiles, lui fournira de fréquentes occasions de cet exercice rationel. Un auteur qui approfondit quelquefois supérieurement les questions géométriques, mais

dont l'obscurité et le pêle-mêle des idées sont désespérants pour le lecteur novice, Blanchet , parsème son œuvre de stériles théorèmes, relaiifs aux lieux géométriques, aux lignes polaires, et à d'autres points de nuance complètement futile, qui ne sont propres qu'à énerver l'esprit et l'abêtir. Intérêt ou utilité, est la condition essentielle de tout élément scientifique admissible. Les classiques géomètres ont cru devoir se montrer assez discrets, pour ne rien dire des lignes spirales ou hélices, qui pourtant ne sont pas dénuées d'un piquant intérêt; MM. Pascal et Eysséric n'échappent qu'un mot, transitoirement, sur la spirale cylindrique, qui de toutes est la plus facile à évaluer, Les hélices ou spirales sont de trois sortes : les cylindriques, dont tous les circulaires ou spires sont de même diamètre, telle qu'une vis; les coniques, dont toutes les spires vont en décroissant, jusqu'à se terminer en pointe, comme le cône qui leur a valu leur nom; les concentriques planes, qui ne sont que des spirales coniques écrasées : tel apparaît dans ses circonvolutions un ressort de montre. Appliquez, sur la surface convexe d'une hélice cylindrique, un carreau de papier fin qui la recouvre tout entière; puis, ayant déployé ce carré long de papier, transformez-en la surface en parallélogrammes étages, par autant de lignes qu'il y a de spires dans l'hélice; tracez, dans tous ces parallélogrammes, une suite de diagonales dirigées incessamment en sens inverse , c'est-à-dire dont l'une se porte de gauche à droite, Fautre de droite à gauche, et ainsi de suite dans le même ordre d'opposition , jusqu'à la base supérieure du carré long le plus élevé; réappliquez ensuite, sur la surface convexe de la spirale

cylindrique, la bande de papier; mais de façon à ce que les parallélogrammes décrits soient tournés à l'extérieur, vos regards vous montreront avec surprise que toutes les diagonales figurent exactement les circulaires de l'hélice; vous mesurez donc une de ces diagonales, vous la multipliez par le nombre de ces lignes droites , si étonnamment transformées, et vous avez pour produit la longueur totale des spires de l'hélice qu'il fallait apprécier. Si l'hélice a une forme conique, vous transformerez la bande de papier qui en représentera la surface convexe en autant de trapèzes qu'il y aura de spires; vous diviserez tous ces trapèzes, comme précédemment, par des diagonales qui figureront les tours de la spirale. Mais la base d'une lame de papier qui reproduit la surface convexe d'un cône n'est point une ligne droite, mais une portion d'une circulaire ; toutes les bases des trapèzes, qui doivent lui être parallèles, seront donc circulaires aussi; leurs diagonales devront être des courbes; de quelle espèce, toutefois? et comment les dessiner, les mesurer? On tracera les bases circulaires comme toute autre portion de circonférence; et, ce qui n'est pas peu surprenant, on pourra évaluer les diagonales sans connaître la valeur de leurs courbes et sans les décrire ; les trapèzes gradués étant donc construits, vous les métamorphoserez, comme cela est facile, sans changer la longueur de leurs diagonales, en carrés longs, qui à leur tour seront convertis en triangles rectangles par les diagonales qui en représentent les hypoténuses; or, en élevant au carré les deux côtés adjacents d'un triangle rectangle, en additionnant ces carrés, on forme.le carré de l'hypoténuse, et la racine de son carré révèle la valeur

de cette hypoténuse; on mesure donc, par cet heureux artifice, des diagonales dont on ne connaît point l'espèce, et que l'on n'a point décrites; leurs additions dévoilent la longueur de la spirale conique. La mensuration des spirales planes se déduit de celle qui vient d'êlre exposée, puisque les spirales planes ne sont que des hélices coniques applaties, et que leur surface est transformable en trapèzes à bases circulaires, ceux-ci en parallélogrammes à base semblable, aisément réductibles en lignes droites. Voici cependant un théorème beaucoup plus extraordinaire que ceux que nous venons de toucher, un article de symbole scientifique en quelque sorte prodigieux, qui, de prime-abord, semble incroyable à la raison, mais qui n'en est pas moins démontré matériellement aux regards : nous pouvons l'énoncer sous celte forme problématique : existet-il un moyen de faire tourner sur elle-même une roulette, ou petite roue, de façon à ce qu'un clou à demi-enfoncé sur sa circonférence ne décrive que des lignes droites pendant la rotation de la roulette sur elle-même? J'entends le bon sens se récrier soudain que cela est impossible; ne précipitez point vos jugements; écoutez plutôt un moment cette simple exposition : prenez donc une petite roue ayant un pied de diamètre seulement; faites ensuite choix d'une demi-circonférence portant deux pieds de diamètre ; tournez en haut sa concavité , et fixezla solidement dans cette position; la petite roue ayant son clou dirigé en bas, mettez en contact ce clou avec l'extrémité droite de la demi-circonférence; faites tourner la petite roue en la tenant appliquée sur la face intérieure de la demi-circonférénce ; à mesure que la petite roue mar-

chera en avant, elle descendra proportionnellement, et son clou, au lieu de monter, restera au même niveau; lorsque la roulette aura atteint le fond de la demi-circonférence, elle aura exécuté un demi-tour, elle sera descendue d'un pied , et son clou , qui devrait être descendu d'un pied, se trouvera encore au même niveau; continuez à faire cheminer la roue en avant, contre la face intérieure delà demi-circonférence, cette roue s'élèvera, et lorsqu'elle aura gagné l'extrémité gauche de la demi-circonférence, elle aura accompli un tour entier, et sera remontée d'un pied , et son clou , qui devrait être redescendu d'un pied, se rencontrera toujours au même niveau : n'est-ce point là un prodige d'une gentillesse admirable, et une des plus curieuses merveilles qui recommande la géométrie aux applications intellectuelles de l'homme? C'est, à notre sens, un crime de lèse-science de l'exclure du tableau plein de charme de ces surprenantes révélations.