DE LA TRIGONOMETRIE : SA DEFINITION

Qu'est-ce que la trigonométrie? Legendre répond : « C'est une science qui mesure les angles et les côtés des triangles d'après certaines données. » Cette définition est basse, mesquine, et n'indique pas suffisamment la portée

de la trigonométrie, ni le rôle éminent qu'elle est appelée à jouer dans l'appréciation des distances inaccessibles, et en quelque sorte de l'immensité. La trigonométrie est une science qui apprend à mesurer, selon certains principes, d'après un ou plusieurs angles et un ou plusieurs côtés connus, les autres angles et les autres côtés des triangles qu'elle trouve réalisés et ceux des triangles artificiels qu'elle construit, en faisant entrer dans leur structure, comme côtés, des longueurs inconnues, surtout inaccessibles, et les plus effroyables distances tracées dans l'espace; il ne faut point reculer devant une description détaillée, lorsqu'il s'agit de définir un objet important, de marquer le point précis d'où l'on part, où l'on va, et l'étendue du champ à parcourir.

ARTICLE 1er.

Des applications usuelles et rationnelles de la trigonométrie.

Les champs que la main de l'homme sillonne offrent des plans incessamment changeants, tantôt déprimés, tantôt exhaussés, accidentés de mille manières : un côté d'une parcelle de terre ne ressemble point à l'autre; le commencement n'a point un même niveau avec le milieu; celui-ci diffère de la fin; de là résulte ce principe inévitable : Que l'on est d'autant plus sûr d'avoir une mesure exacte d'un champ, qu'on le divise en fractions ou parcelles modérées, s'il est un peu considérable, et que l'on en mesure positivement , la perche à la main , toutes les faces et les différentes largeurs; la trigonométrie qui ne mesure qu'un ou

plusieurs côtés, pour en déduire les autres, est donc ici inapplicable; elle fait pis que mieux, en supposant des ressemblances qui n'existent pas. Les opéralions trigonométriques que l'on a exécutées sur tout le territoire français pendant tant d'années, avec un si solennel appareil, sont autant de contre-sens qu'il faut réparer aujourd'hui par des mesures positives et mieux raisonnées. Les mensurations trigonométriques sont parfaitement inapplicables aux chemins ruraux et aux grandes routes, dont les sinuosités perpétuelles commandent impérieusement une appréciation totalement pratique, exclusivement exécutée par les applications de la chaîne métrique, lorsque ces voies sont battues et n'offrent point d'inégalités accidentelles.

Les évaluations trigonométriques sont réservées à la mesure des distances terrestres à vol d'oiseau, telles que les arcs partiels d'un de nos méridiens, ou les intervalles de l'équateur de la terre à ses pôles. Le circuit de notre globe, à sa ligne équatoriale et à ses diverses parallèles de latitude, s'apprécie naturellement d'après le cours du soleil, en constatant, pour chacun de ses cercles, quelle distance, d'Orient en Occident, cet astre éclaire perpendiculairement durant quinze minutes, par exemple, ou pendant une heure, et, en en déduisant la longueur totale qu'il doit ainsi parcourir pendant la durée entière du jour.

La trigonométrie embrasse aussi dans sa sphère d'application raisonnée la mesure des longueurs horizontales terrestres inaccessibles, telle que l'étendue d'un terrain inondé, etc.; celle des hauteurs qui s'élèvent sur la surface de notre planète, telles que les montagnes, les collines,

une tour, etc.; l'estimation des dislances aériennes, l'élévation d'un nuage, d'un météore, etc.; celle des distances célestes, l'éloignement du soleil à la terre, celui des planètes, celui des astres fixes ou des points lumineux qui jalonnent autour de nous les espaces indéfinis : c'est ici que la raison a quelque connaissance de la grandeur que Dieu lui a faite.

ARTICLE IL

Du mécanisme mathématique qu'emploie la trigonométrie pour ses mensurations.

Il est très-rare que la trigonométrie trouve les triangles qu'elle doit mesurer tout constitués ; presque toujours elle les construit elle-même de toutes pièces arbitrairement, en y faisant entrer, comme un des côtés, une distance ou une longueur inaccessible, ou difficile à parcourir, et qu'elle évalue scientifiquement, d'après un autre côté ou base, qu'elle mesure instrumenlalement, ou qui est déjà connu; mais les bases des triangles artificiels et isocèles trigonomélriques ont des rapports de longueur très différents avec les autres côtés, selon qu'elles sont opposées à des angles de diverses ouvertures, de trois, de dix, de quinze, de trente, de soixante, etc., degrés d'écarlement. On se rappelle sans doute que pour mesurer l'ouverture des angles, on a divisé la circonférence d'un cercle en trois cent soixante parties ou degrés; chaque degré en soixante parties ou minutes; chaque minute en soixante autres parties encore ou secondes, etc.; que l'on doit placer au centre d'une circonférence le sommet d'un angle à mesurer; que

la portion de circonférence qu'il comprend entre ses côtés indique la valeur de son ouverture; que, si celte portion est un quart de circonférence, l'angle est droit; qu'il est obtus, si elle est plus grande, et aigu si elle est moindre; que cet angle est d'un, ou de deux, ou de trois degrés , etc. , si cette portion de circonférence n'a que l'étendue d'un, de deux ou de trois degrés, etc.; que la portion de courbe circulaire qui marque l'ouverture d'un angle se nomme arc de cercle ou de circonférence ; que la ligne droite qui va d'une des deux extrémités de l'arc de circonférence à l'autre s'appelle corde. Les géomètres ayant donc disposé, dans le centre d'un cercle, l'angle ou sommet de leurs triangles artificiels isocèles, la corde de l'arc de circonférence qu'embrasse entre ses côtés l'angle au sommet, et qui indique sa valeur, devient la base du triangle trigonométrique; une ligne perpendiculaire, qui se dirige du sommet de l'angle sur le milieu de la base , divise le triangle isocèle en deux triangles rectangles partiels égaux, dont les bases sont les deux moitiés du triangle primitif; ils n'étudient qu'un seul de ces triangles partiels; ils nomment techniquement sinus sa base, ligne sécante, la perpendiculaire qui concourt à le former, et rayon le côté opposé à l'angle droit, et qui est un des côtés égaux du triangle isocèle primordial : c'est là le triangle trigonométrique fondamental Mais ils ne bornent pas à cela leurs appareils artificiels d'appréciation ; ils prolongent au delà de la circonférence la perpendiculaire qu'ils ont menée sur le milieu de la base du triangle isocèle, en lui conservant le nom de sécanle; ils tracent, d'une extrémité du rayon , et perpendiculairement à cette

extrémité, une tangente ou ligne droite qui aboutit à la perpendiculaire allongée, et forme, avec elle elle rayon, un triangle rectangle plus grand que le triangle rectangle partiel du triangle isocèle initial; ces deux triangles, toutefois, sont semblables ou ont leurs trois angles de même valeur : or, quand deux triangles sont semblables ou ont les mômes angles, ils sont proportionnels, et on peut, d'après les côtés connus de l'un , déterminer les côtés inconnus de l'autre, en se conformant aux règles ordinaires de proportion. Les géomètres ne s'en tiennent point encore là ; car ils ajoutent au triangle rectangle partiel fondamental un autre triangle rectangle, qui complète, avec l'angle au sommet du premier, un angle droit au centre de la circonférence, par l'addition d'un rayon nouveau; une ligne droite, menée de l'extrémité de ce rayon sur la perpendiculaire ou sécante du triangle fondamental, et perpendiculairement à cette ligne, achève le triangle complémentaire, qui ressemble aussi au triangle dominant; comme lui, en effet, il a un angle droit; il offre en outre des angles aigus égaux à ceux du premier : une simple règle de proportion, en ce cas comme dans le précédent, suffit pour évaluer, d'après les côtés connus du triangle principal, les côtés inconnus du triangle complémentaire. Troisième complication : Les géomètres enrichissent leurs appareils mathématiques de mensuration spéculative d'un quatrième triangle, qu'on peut nommer cotangenticl, et qui résulte d'une ligne perpendiculaire ou tangente dirigée de l'extrémité du rayon complémentaire sur la sécante ou perpendiculaire première prolongée du triangle fondamental, en même temps de celte perpendiculaire, appelée

alors, avec son prolongement, cosècante, enfin du rayon complémentaire; ces deux derniers triangles ont pareillement leurs trois angles égaux, sont par conséquent semblables et proportionnels; les côtés connus de l'un servent donc, d'après les lois de la proportionnalité, à découvrir les côtés inconnus de l'autre. Tel est, dans ses dépendances ou ses combinaisons , le mécanisme trigonométrique à la faveur duquel les géomètres se proposent d'apprécier les rapports de longueur des bases connues de leurs triangles artificiels avec les autres qui seraient inconnus.

Les bases des triangles trigonométriques isocèles dont les moitiés sont les sinus ou les bases de leurs triangles rectangles partiels, étant des cordes d'arcs de cercle, représentent chacune un des côtés d'un polygone régulier inscrit ; les déterminations de la valeur des polygones, accomplies par la géométrie pour la fixation des rapports de la circonférence au diamètre sont donc déjà des évaluations toutes faites des bases des triangles trigonométriques, soit que l'on ait débuté, ainsi que nous l'avons pratiqué, par un carré inscrit, et que l'on ait calculé une longue série de duplication de côtés de 8 faces, de 16, de 32, de 61, etc., ou de bases de triangles dont l'angle au centre serait de 45 degrés, de 22 et demi, de 11 quinze minutes, etc.; soit que l'on ait commencé, comme d'autres le préfèrent, par un hexagone inscrit ou un polygone dont chacun des 6 triangles a un angle au centre de 60 degrés, et une base égale au rayon du cercle circonscrit, et que l'on ait poursuivi la mesure d'une suite de duplication de côtés, de 12 faces, de 24, de 48, de 96, etc., ou de base de triangle

dont l'angle au centre serait de 30 degrés, de 15, de 7 30 minutes, etc.; enfin, le triangle complémentaire trigonométrique ayant presque toujours son angle au centre différent de celui du triangle rectangle dominant, et ces bases successives étant, par une règle de proportion, révélées à la clarté des côlés connus du triangle fondamental, fournit encore une forte quantité de bases ou de sinus dévoilés au triangle trigonométrique. Mais les bases de ces triangles sont beaucoup plus nombreuses, puisqu'elles doivent correspondre à toutes les nuances d'ouverlure d'un angle au centre, depuis l'angle le plus aigu jusqu'à l'angle obtus qui approche le plus de deux angles droits; car les deux côtés de l'angle obtus étant parvenus au terme de deux angles droits, l'angle a pour mesure une demicirconférence, et les côtés se trouvent dans une position horizontale, l'un sur la direction de l'autre, comme les deux moitiés d'un diamètre, il n'existe plus d'angles, par conséquent.

Nous ne transcrirons point la manière dont les trigonomètres exposent leur machine savante de calcul , dans leur langage logogriphique, ou à l'ombre de leurs emblèmes, s'il leur apparaît quelque mode de rédaction d'une éminenle obscurité, c'est celui dont ils embellissent leurs pensées, tant ils sont entraînés à travestir la science en une sotte et dangereuse mascarade, qui l'assimile à l'erreur cauteleuse, et lui fait courir les risques de lui êlre sacrifiée. Nous aurions quelque regret, cependant, de ne point donner un échantillon de la logique lumineuse et profondément démonstrative de nos trigonomètres : Legendre : « Le complément de 100° étant zéro, on a

Tang. 0 = Cos. 400°, et Col. 0 = Tang. 100 ; donc,

Cot. 0 = 7r,elCot. 100° = 0, etc. (1). »

» Quant à Parc ADB, égal à la demi-circonférence, son sinus est zéro, et son cosinus est égal au rayon pris négativement; on a donc

Sinus 200° = 0, et Cos. 200° = tu ;

c'est aussi ce que donneraient les formules

Sinus A = Sinus 200° — A , et Cos. A = — Cos. 200° — A , en y faisant A = 200°, etc. »

« Les tangentes et les colangentes sont donc négatives, ainsi que les cosinus depuis 100° jusqu'à 200°, et, dans celte dernière limite, on a Tang. 200° = 0, et Cot. 200° = — Cot. 0 = — oo (2). »

« D'après ces explications, il est aisé de voir que les sinus et cosinus des arcs multipliés du cadran ont une valeur suivante (3) :

Sin. 0° = 0.

Sin. 200" = 0.

Sin 400° = 0.

Sin. 600° = 0 Sin. 800° = 0.

etc.

Sin.

Sin.

Sin

Sin

Sin.

900° etc.

Cos. 0° = r Cos. 200° = r.

Cos. 400° = r.

Cos. 600° = r.

Cos. 800° = r. etc.

Cos.lOU° = 0.

Cos. 300° = 0.

Cos. 500° = 0.

Cos. 700° = 0.

Cos. 900° = 0.

etc.

Quelle impertinente et solennelle fadaise ! L'auteur

(1) Page 5*1.

(2) Tagc 5*5.

(5, Page 5*7.

ajoute pour couronnement : « Il y a des arcs de cercle qui sont équivalents à deux ou à trois circonférences (1). » Quoi ! Tare de cercle est essentiellement une portion de la circonférence, et il est, dites-vous, quelquefois égal à deux ou à trois circonférences! C'est-à-dire que la partie est quelquefois deux ou trois fois aussi grande que le tout ! Ne sont-ce pas là les dignes pendants de ces proclamations insensées : Que les parallèles de la parabole doivent se réunir dans un même foyer à une dislance infinie? que la parabole elle-même n'est qu'une immense ellipse ; et que ses deux branches, qui, à un éloignement infini, doivent être séparées par tout un infini, puisqu'elles vont essentiellement en s'écartant toujours, se rejoignent cependant, quand elles devraient être le plus écartées, pour former une seconde portion de circonférence autour d'un second

centre, comme la courbe elliptique? que l'étendue

d'une ligne droite se compose exclusivement de points dépourvus de toute étendue ; que des zéros seuls ajoutés à eux-mêmes donneront des unités sans cesse croissantes, des valeurs positives indéfinies : n'est-ce point là le délire parvenu à son extravagance extrême? La géométrie conservera-t-elle éternellement l'héritage misérable de ces absurdités honteuses? C'est ainsi que, tout en calculant, dans les applications de leurs principes, les parallèles de latitudes terrestres, qui sont tous autant de cercles, les géomètres ne rangent cependant au nombre des parallèles que des lignes droites ; c'est ainsi que, ne trouvant à apprécier dans la pratique que des triangles sphériques, compo-

(J) Page 347.

ses de trois arcs de petit cercle, ou d'un ou de deux arcs de petit cercle, et d'an ou de deux arcs de grand cercle, ils n'entendent cependant, par triangles spériques en général, que ceux qui ne sont uniquement formés que de portions de grand cercle, et ne traitent, chose étrange, que de ceux-là : quelle idée décousue, inconcevablement, dans une science qui se vante d'une philosophie modèle f

article m.

De l'exactitude et de la précision comparative de la mensuration trigonométrique et de la mensuration instrumentale.

Legendre nous apprend : « Que nos instruments imparfaits ne donnent qu'une approximation médiocre, tandis que les procédés trigonométriques impriment à leurs évaluations toute l'exactitude que l'on peut désirer. » Voilà donc les jugements superficiels de ces incaractérisables géomètres, qui ne semblent pas se douter que si l'application de nos instruments grossiers ne donne qu'une approximation médiocre, l'intervention des calculs trigonométriques donne encore moins; puisqu'ils ne font que reproduire dans tous les éléments de leurs opérations les résultats erronés des instruments, les combiner, les multiplier un plus ou moins grand nombre de fois, les additionner, en y ajoutant leurs propres défauts : depuis quand l'édifice est-il plus solide que les fondements ruineux sur lesquels il s'appuie? Depuis quand la conséquence, enfantée tout entière par les prémisses, et qui ne fait que les réprésenter, a-t-elle plus de valeur que cette origine? Depuis

quand le tissu se distingue-l-il par plus de consistance que sa trame? Vous vous souvenez peut-être de certain apologue du grand fabuliste, où un pédagogue, appelé pour réparer les dégâts commis en un verger par un élève indiscipliné, conduisit avec lui une troupe de bambins plus indisciplinés encore, qui accrurent la dévastation : telle est la manière d'agir de la trigonométrie, qui, pour obvier aux inexactitudes de la mesure positive, s'en empare tout d'abord, les répète dans ses supputations transcendantes, les systématise, les exagère, et y ajoute des inexactitudes qui lui appartiennent, et qui dérivent des extractions de racines et des élévations au carré de produits défectueux; le remède n'est-il pas pire que le mal? N'est-il point évident que si une base, mesurée à l'aide de l'instrument, est trop courte ou trop longue de deux mètres, et si elle est contenue vingt fois dans le côté du triangle qui doit être apprécié par elle, l'estimation de ce côté renfermera vingt fois l'erreur instrumentale , et que si on a recours à des calculs théoriques essentiellement entachés de faux, ce sont autant de vices de plus? On a bien des fois redit avec orgueil que si la connaissance de la valeur du mètre pouvait se perdre, on la retrouverait dans la mesure du méridien, dont elle est la quarante millionnième partie : quelle inqualifiable irréflexion ! Si, immédiatement après les habiles géomètres qui ont calculé un assez grand nombre d'arcs du méridien terrestre, d'autres associations de savants eussent successivement mesuré les mêmes bases, les mêmes angles des triangles, il n'y eût pas eu deux de leurs résultats de mensuration qui se fussent parfaitement accordés, d'après tout ce que nous voyons se

passer chaque jour sous dos yeux : deux individus qui portent la chaîne métrique ne poseront pas deux fois ses fiches terminales dans une situation de perpendicularilé absolument la même; ils ne tendront pas deux fois de suite cette chaîne d'une façon rigoureusement identique; les angles formés sur les bases des triangles, par des rayons lumineux partis d'un point saillant éloigné, varient fatalement selon la densité des couches atmosphériques qui dévient la lumière, et, conséquemment, selon la quantité de vapeur qui imprègne l'atmosphère, et que l'on ne peut apprécier avec une rigueur absolue , selon la quantité des gaz proprement dits qui accompagnent les vapeurs, et qu'on ne saurait préciser mathématiquement; ces angles varient encore selon le degré de perfection de la vue de l'observateur : de là les dissidences perpétuellement scandaleuses de tant de déterminations de hauteurs terrestres et de distances plus considérables, incomparablement; l'altitude du plus haut sommet de l'Himalaya était, il y a trente années, de vingt-sept mille pieds : elle. n'atteint plus vingt-quatre mille pieds; le Monte-Nuovo, qui, au seizième siècle, naquit en Italie d'une éruption volcanique, était porté à dix-huit cents pieds d'élévation; on ne lui accorde plus que quatre cent cinquante pieds; le Jorulo, qui, dans le Mexique, fut aussi vomi par un volcan, est élevé de dix-sept, de seize, de quinze cents pieds; une cascade fameuse des Cordillières, qui ressemble à une nappe d'argent tombant des cieux, et qui peut bien être de trois à quatre ceuts pieds de hauteur, offre dans ses calculs une discordance qui va jusqu'à cent pieds, à cause sans doute de l'atmosphère d'épaisse vapeur qui environne

sans discontinuité son point culminant; on avait annoncé que la mer Rouge était plus haute de neuf à dix mètres que la Méditerranée, plus reculée vers le nord d'un degré : on ne reconnaît plus maintenant que deux mètres vingtsept centimètres à cet excès d'élévation. Nous admirons, du reste, certes, plus ce résultat que nous ne l'admettons; car il est indémontrable que le baromètre puisse révéler avec certitude, à quelques mètres près, la hauteur d'un lieu; parce que le niveau de la colonne mercurielle dans le baromètre, varie non-seulement selon les nuances de température, mais aussi selon la proportion des vapeurs et des gaz qui augmentent la densité de l'atmosphère, et que l'on ne saurait préciser avec rigueur, et selon les attractions électriques locales des couches plus ou moins profondes du globe, ou de ses éminences, attractions de l'électricité, qui sont une des causes des orages, et peut-être la cause unique des ouragans; action électrique dont il n'est pas toujours possible de constater, avec le secours de nos instruments les plus délicats, l'intensité ou même l'existence, comme nous l'avons vu ailleurs, dans le contrôle de la physique, pour l'anguille de Surinam, et pour quelques conducteurs des machines électriques. La trigonométrie est beaucoup plus incapable encore que l'oracle barométrique de dévoiler avec une garantie suffisante, à quelques mètres près, l'élévation relative d'un lieu; car, supposez qu'une cité se trouve à cent mètres au-dessus du niveau des mers, la circonférence terrestre dont elle fera partie aura un diamètre qui excédera de deux cents mèlres; la circonférence entière aura donc un surcroît de longueur de six cent trente mètres environ, et chacun des trois

ceDt soixante degrés dont elle se compose aura , en plus, un peu moins de deux mètres; or, qui oserait se flatter de mesurer trigonométriquement, ou par toute autre méthode, la valeur exacte d'un degré de longitude, qui, vers Téquateur, est d'un peu plus de vingt-cinq lieues, et au quarante-cinquième de latitude, d'un peu plus de douze lieues et demie? Qui pourrait se promettre de mesurer, à cinquante mètres près, de pareilles étendues par les opérations trigonométriques conduites avec le plus de scrupule? Là où les instruments de mensuration ne peuvent plus rien, ou presque plus rien, les calculs théoriques sont frappés de la même impuissance , comme cela se réalise pour la parallaxe des étoiles fixes ou pour leurs angles visuels au centre, dont nos instruments ne sauraient plus nous accuser avec certitude des fractions trop exiguës de degrés; combien de variations relatives à la parallaxe du soleil n'ont-elles point étonné le monde scientifique, parce que l'angle au sommet de son triangle trigonométrique, dont la base ordinaire est constituée par un demi-diamètre de la terre, ne peut être évalué avec précision par nos meilleurs instruments; si les découvertes de MM. Fizeau et Foucault, sur la vitesse de la lumière, se confirmaient, c'està-dire si ces savants parvenaient à faire concorder leurs résultats, et à démontrer que le mouvement de la lumière ne subit aucune altération dans les conditions où la placent leurs expériences, ce serait l'expérimentation qui aurait de nouveau recordé les calculs, et qui en aurait corrigé les écarts; d'après ces récentes observations, la lumière, au lieu de 77 mille lieues par seconde, n'en parcourerait plus que 74,750; la distance du soleil à notre globe re-

descendrait à 36 millions, et 260 mille lieues, nombre rond, de moins que sa détermination actuelle, d'après le dernier passage de Vénus sur le disque du centre de ses révolulions. Nous verrons plus loin ce qu'il faut penser de semblables déterminations.

ARTICLE IV

De la fixation des rapports de valeur des bases des triangles trigonométriques avec leurs autres côtés.

Quand les géomètres, pour fixer les rapports de valeur des bases ou sinus de leurs triangles, n'ont plus la ressource des polygones inscrits dont nous avons parlé, ni celle du triangle complémentaire, ils comblent les lacunes par des analyses algébriques et des équations , fausse monnaie qui sert à régler les comptes de l'illusion la plus grossière comme du vrai. Qu'est-ce donc qu'analyser? qu'est-ce qu'établir des équations? Analyser, c'est anatomiser pour ainsi dire un sujet , le considérer dans les idées essentielles qu'il embrasse par sa compréhension ; formuler des équations, c'est comparer ces idées essentielles entre elles, et avec d'autres idées métaphysiques, ou avec des principes, pour découvrir leurs rapports et leurs propriétés : eh bien! c'est en analysant la sphère, qu'on la considère comme une série de troncs de cône, terminée à ses extrémités par deux sommets ou deux petits cônes entiers; c'est en comparant la sphère ainsi conçue, comme résultant de deux cônes opposés et réunis par leurs bases, avec les cônes proprement dits, qu'on reconnaît leurs

rapports d'identité, puisque le cône de révolution peut aussi être envisagé comme un assemblage de troncs de cônes surmontés par un petit cône entier terminal, et que l'on en conclut : Qu'on peut mesurer la surface convexe de chaque moitié de la sphère, mathématiquement, comme celle du cône, en multipliant la circonférence de sa base par la moitié de sa hauteur inclinée; or, nous avons vu que ce procédé de mensuration , enfanté par une sévère analyse, est vicieux, et qu'il faut ajouter à son produit le septième de ce même produit (1), plus un quarante-

(I) Sur les triangles de la surface convexe du cône et sur ceux de la surface convexe de la demi sphère, d'après les faits de construction géométrique, les difféients diamètres du cône, sur tous les points do sa hauteur, sont exactement rcpiéscntés par les largeurs du triangle isocèle, sur tous les points de son élévation , puisqu'on peut considérer le cône comme engendré par un triangle isocèle tournant sur luimême ; or, nous avons vu qu'à une distance perpendiculaire double ou triple, etc., du sommet, les deux côtés égaux d'un triangle isocèle sont deux fois, trois fois aussi longs, et aussi distants entre eux, c'est-à-dire que la largeur du triangle isocèle est double ou triple; it suit de là, inversement, qu'à une distance double ou triple de la base, la laigeur des triangles isocèles est deux fois, trois fois plus petite; que le diamètre du cône, dans les mêmes circonstances, est deux fois, trois fois moins considérable; que leurs circonférences sont moindres dans la même proportion; que les largeurs des triangles de la surface convexe du cône sont absolument analogues; que si l'on joint entre eux deux de ces triangles, en les opposant par leurs bases et leurs sommets, on forme un carré quia la même largeur dans toute son élêvatio i ; que, par conséquent, en multipliant la base de ces triangles par la moitié de leur hauteur, le calcul n'a d'autre inexactitude que celle qui résulte de la transformation en ligne droite de leur base circulaire et de sa multiplication pour constituer la hauteur de la sui^ face du cône.

Mais il n'en est plus de même pour la surface convexe de la demisphère ; car ses différentes épaisseurs sont strictement représentées pa?

deuxième; c'est en analysant d'une autre façon encore la sphère, que Ton considère la surface convexe de ses deux portions hémisphériques comme formée de triangles qui ont pour base la circonférence de leurs bases individuelles, et pour hauteur, son élévation inclinée ou un quart de circonférence; c'est en comparant ces notions essentielles avec celles du cône géométrique , dont la surface convexe peut aussi être convertie en triangles, que Ton constate que ces triangles sont scientifiquement semblables; que ceux du cône ont, comme ceux de la demi-sphère, dans leurs trois angles, un excès de valeur sur deux angles

les diverses eordes d'une demi-circonférence, puisqu'on peut envisnger la demi-sphère comme engendrée par une demi-circonférence tournant km- elle-même; or, nous avons vu que le diamètre d'une demicirconférence peut-être regardé comme la corde qui la sous-tend; que la eorde qui sous-tend un quart de circonférence est plus grande que la moitié du diamètre ou de la corde de la demi-circonférence ; que la corde qui sous-tend un huitième de circonférence est plus grande que le quart du diamètre, etc.; d'où il suit qu'à une dislance inclinée double ou quadruple de la base, l'épaisseur de la demi-sphère se trouve plus grande que la moitié, ou le quart du diamètre de celle base; que les petiUs circonférences dont ces épaisseurs figurent les diamètres sont plus grandes proportionnellement ; que les triangles de la surface convexe dd la demi-sphère sont, aux distances indiquées^ plus larges que la. moitié ou le quart de la circonférence de la base, dans leur somme totale; qu'en unissant entre eux deux de ces triangles, et en les opposant par leurs bases et leurs sommets, on obtiendrait un carré qui aurait à son milieu une largeur plus grande qu'une de ses bi?es, puisque cette largeur naîtrait de celle des deux triangles dont chacun, à son milieu , serait plus large que la moitié de sa base; que, par conséquent , en multipliant les hases de ces triangles par la moitié de leur hauteur, on aurait, outre les inexactitudes dépendant de la transformation en lignes droites de lours bases circulaires et de sa multiplication, un déficit de valeur provenant de l'excès de lar-

droits ; que, pour les uns comme pour les autres , cet excès de valeur peut approcher de quatre angles droits; que les uns comme les autres ont une base circulaire; que la hauteur courbe des triangles de la demi-sphère est d'une nature identique, et que l'on en déduit finalement que ces deux ordres de triangles ont une même mesure rationnelle et impérative, jugement illusoire, quoique sorti d'une analyse sévère et d'un enchaînement rigoureux d'idées. C'est en analysant le tronc de pyramide que l'on reconnaît qu'il a une base inférieure de plus ample dimension que sa surface supérieure ; qu'en divisant l'excès de valeur de la base

geur moyenne des triangles de la surface convexe de la demi-sphère. C'est pour cela que, quand nous avons tenté d'estimer expérimentalement la surface convexe de la demi-sphère, nous avons renvoyé, pour plus d'exactitude encore, à d'autres expérimentations que nous avons indiquées; parce que, dans notre évaluation, nous avons considéré les petites bandes recouvrant la convexité de la demi-sphère comme formées chacune de deux triangles rectilignes unis par lrur base, tandis que ces triangles ont plus de largeur dans leur développement, et qu'il est incertain si cet excès de valeur est suffisamment ou non compensé par la détermination des rapports de la circonférence au diamètre que nous avons adoptés , et qui fixent la longueur de la circonférence à trois fois celle du diamètre, plus un septième, rapport un peu trop fort, avons-nous observé.

Les triangles dans lesquels on transforme la surface convexe de la demi-sphère sont parfaitement réguliers, comme ceux de la convexité du cône, et diminuent de même graduellement dans leur largeur, mais dans une autre proportion; et ce n'est point spéculalivement , mais par des faits de construction géométrique, que l'on peut démontrer scientifiquement cette différence. On voit ici une fois de plus qu'en géométrie, comme dans toute autre science , un principe démontré pour un cas ne saurait être appliqué arec ccititudc à un cas un peu différent, sans une constatation positive préalable pour ce cas nouveau.

inférieure, et en en reportant la moitié sur la base supérieure, on les égaliserait; et c'est en comparant ces idées avec celles du prisme, que Ton s'assure de leur similitude, et que l'on infère de cette équation, que la pyramide tronquée se transforme, par la péréquation de ses deux bases, en un prisme de même hauteur, et qui aurait pour base la demi-somme des bases du tronc de pyramide, et qu'il faut conséquemment calculer son volume en multipliant sa base égalisée par toute sa hauteur perpendiculaire; or, nous avons vu que ce principe d'évaluation donne un produit beaucoup trop fort. C'est en analysant les corps que nous voyons, que nous louchons autour de nous, en les considérant dans leurs idées essentielles, et en comparant entre elles ces idées, et avec des principes absolus, que nous avons démontré irrécusablementla manifeste impossibilité de leur existence ; c'est en analysant et en approfondissant, dans leurs idées fondamentales, le temps, l'espace où nous vivons, et dont nous ne pouvons douter, que nous avons prouvé avec une rigueur suprême que ce sont des chimères contradictoires et à jamais irréalisables; c'est en analysant et en scrutant, dans les notions de leur essence, l'esprit, Dieu, cause de tous les êtres, que nous avons établi d'une manière irréfragable leur inconciliabilité absolue et l'absurdité de leur admission égale à celle des corps; l'analyse la plus sévère et les équalions les plus irrésistiblement évidentes et les mieux liées, prêtent donc le concours de leur romanesque autorité à Terreur et aux visions les plus inouïes, et leurs résultats, qui ne peuvent trouver grâce aux yeux de la philosophie, ne sont acceptables qu'autant qu'ils sont marqués au sceau irrévocable

des faits convenablement raisonnes; mieux vaut alors invoquer immédiatement la voix révélatrice et infaillible de l'expérimentation légitime. « L'aveugle logique de l'analyse, dit excellemment M. Bertrand, membre de l'Institut (Eloge de M. Senarmont), a besoin de s'appuyer sans cesse sur l'expérience : aussi M. Senarmont, poursuit-il , ne manquait-il jamais d'assurer ses hauts suffrages aux déductions de ces analyses. » Les géomètres pensent-ils qu'en affublant leurs équations savantes de signes symboliques, en les entourant d'épais nuages, en les enfonçant dans la nuit, ils changeront leur nature, et les rendront des cautions plus fidèles de la vérité? pensent-ils qu'en se mettant eux-mêmes un bandeau sur les yeux, ils y verront plus clair?

article v.

De la simplification raisonnée de la trigonométrie.

Soit la hauteur d'une flèche à mesurer trigonométriquement : on prend une base terrestre dont elle occuperait le milieu; à chaque extrémité de cette base, on examine, au moyen d'un quart de cercle ou d'un graphomètre, quel angle un rayon lumineux parti du sommet de la flèche, et arrivant à l'œil de l'observateur, formerait avec une ligne horizontale parallèle à la base terrestre; on calcule de combien la somme des valeurs des deux angles diffère de deux angles droits : admettons, par hypothèse, qu'ils sont chacun de quatre-vingts degrés, et qu'ils ne diffèrent que de vingt degrés de deux angles droits, il s'ensuivra, puis-

que les trois angles d'un triangle sont égaux à deux angles droits, que l'angle que les deux rayons lumineux forment au sommet de la flèche est de vingt degrés ; que si , de ce sommet, on décrivait une circonférence, et qu'on la fît passer sur les deux extrémités de la base terrestre ou de la ligne horizontale qui la représente, l'angle, au sommet, embrasserait entre ses côtés, qui sont les deux rayons lumineux descendus du point extrême de la flèche, une portion de circonférence de vingt degrés, ou la dix-huitième partie de cette circonférence, que je nommerai circonférence de mensuration ; accordons encore que la base terrestre, qui est la corde de Tare de circonférence de vingt degrés, soit de dix mètres de longueur, et qu'elle ne diffère que de deux centimètres de la valeur de l'arc de circonférence, il faudra conclure que cet arc ou portion de circonférence est de dix mètres plus un centimètre; qu'étant multipliée par dix-huit, ou par le nombre de fois qu'elle est contenue dans la circonférence entière, elle donnera cent quatre-vingts mètres, plus dix-huit centimètres, pour valeur totale de la circonférence; que le rayon, étant la sixième partie de la circonférence, moins la cent trente-deuxième parcelle de celte courbe, sera d'environ vingt-neuf mètres; que ce rayon, représentant chacun des côtés du triangle isocèle trigonométrique, la valeur de vingt-neuf mètres sera également celle de chacun des côlés du triangle isocèle et de la hauteur perpendiculaire de la flèche, en y ajoutant toutefois ia hauteur de la branche horizontale de l'instrument; car, dans le cas d'une si petite base, un des côtés obliques du triangle isocèle diffère assez peu de la perpendiculaire abaissée de son

sommet sur le milieu de sa base, pour qu'on puisse négliger cette différence. Mais, lorsqu'il importe de ne point confondre ces deux hauteurs, la hauteur oblique et la hauteur perpendiculaire, comment découvrir la valeur de celle-ci? On n'a pas oublié que la perpendiculaire d'un triangle isocèle divise sa surface en deux triangles rectangles partiels, qui ont pour bases les deux moitiés de la base générale du triangle isocèle, et pour hypoténuses ses deux côtés latéraux; que, dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal au carré des deux côtés adjacents; que le carré d'un de ses côtés, à son tour, est égal au carré de l'hypoténuse diminué du carré de la base ou de l'autre côté adjacent; donc, en élevant au carré l'hypoténuse d'un des triangles rectangles partiels du triangle isocèle, et en en retranchant le carré de sa base, on aura le carré de la perpendiculaire, dont la racine sera sa valeur. On est dispensé de ce dernier calcul, quand le triangle trigonométrique est un triangle rectangle, et que la hauteur ou la longueur à mesurer en constitue la perpendiculaire; on peut cependant transformer toujours ce triangle rectangle en triangle isocèle, et l'apprécier de même, en lui supposant associé un second triangle rectangle complètement semblable à lui.

Dans la mensuration de l'élévation d'un nuage, on prend pour sommet de l'angle au centre de la circonférence d'évaluation, un point saillant de la surface de ce nuage; dans celle d'une montagne, un point remarquable de sa cîme; pour le soleil et les planètes, le centre de leur disque; pour les astres fixes, leur disque môme, puisqu'ils n'apparaissent que comme des points dans les télescopes.

Mais comment mesurer comme base, par exemple, la moitié de la largeur d'une montagne, puisqu'on ne peut approcher de son centre ou du pied de son axe perpendiculaire? Comment mesurerait-on la moitié de la largeur d'un marais? En mesurant la moitié d'un de ses côtés libres ou d'une ligne parallèle qui le représenterait, quoiqu'en étant distante; on ferait de même pour la demi-largeur d'une montagne. Nous avons déjà observé que nos imparfaits instruments ne décèlent point assez exactement les nuances d'ouverture de l'angle au centre du soleil, de son triangle trigonométrique, et que les calculs de ce triangle ne donnent qu'un résultat très-défectueux; que les planètes éloignées, telles que Jupiter, Saturne, etc., ne sauraient avoir pour base de leurs triangles que la dislance du centre de la terre au centre du soleil; que les rayons lumineux sortis de leur centre se confondraient sur une base terrestre et ne produiraient point d'angle; que les plus proches des astres fixes n'ont pour base possible de leur triangle qu'un des diamètres de la courbe que la terre décrit autour du soleil, diamètre de septante-six millions de lieues, à quelques millions près; qu'avec cette immense base, l'angle au centre de l'astre serait à peine d'une seconde, et ne comprendrait entre les extrémités de ses côtés, figurés par des rayons lumineux , que la treize cent millième partie de la circonférence de mensuration.

Veut-on apprécier la distance, en ligne droite, de deux localités situées, l'une sur le quarantième degré de latitude nord et sur le premier degré de longitude; l'autre sur le dixième degré de latitude, même hémisphère, et sur le trentième degré de longitude? Avec trois lignes,

menées, Fune du premier degré de longitude, quarantième de latitude, jusqu'au trentième degré de longitude; la seconde, du trentième degré de longitude, toujours quarantième de latitude, jusqu'au dixième degré de latitude; la troisième, de ce degré de latitude au quarantième de latitude, mais premier de longitude, on composera un grand triangle rectangle, dont celte dernière ligne sera l'hypoténuse; en élevant au carré les deux côtés adjacents, leur somme sera le carré de l'hypoténuse, et sa racine la valeur de cette hypoténuse, ou la distance en ligne directe des deux localités en hypothèse, opération indépendante du triangle trigonométrique. Les degrés de latitude étant, chiffre rond, de vingt-cinq lieues, un des côtés de notre triangle rectangle, comprenant trente degrés de latitude, sera de sept cent cinquante lieues; les degrés de longitude étant, vers l'équaleur, d'un peu plus de vingt-cinq lieues, et diminuant jusqu'au pôle de onze cents mètres environ à chaque degré de latitude, le second côté adjacent de notre triangle rectangle comprenant également trente degrés de longitude , de quatorze lieues chacun au quarantième de latitude , sera de quatre cent vingt lieues, approximativement. Les côtés courbes du triangle sphérique représentant des arcs de petit cercle, sont ici redressés et transformés en lignes droites, comme la circonférence d'un cercle dans la mensuration de sa surface. Ainsi, en résumé : Faire entrer une longueur ou une dislance inconnue dans un triangle isocèle, comme un des côtés obliques, ou comme perpendiculaire de ce triangle; disposer l'angle au sommet de ce triangle isocèle au centre d'une circonférence de mensuration, telle que nous l'avons

décrite, et qui passerait par les deux extrémités de la base de ce triangle artificiel, mesurer positivement celte base avec des instruments; par elle, déterminer la longueur de l'arc de circonférence dont elle représente la corde; estimer, d'après cet arc de cercle, la circonférence tout entière, en le multipliant par le nombre de fois qu'il y est contenu; calculer, d'après la circonférence, la longueur du rayon, qui en est la sixième partie, moins la cent trentedeuxième parcelle de celte circonférence, et qui figure un des côtés du triangle isocèle, et souvent la longueur ou la distance même inconnue à évaluer; et lorsque celte longueur ou cette dislance est la perpendiculaire du triangle isocèle, en constater la valeur par les élévations au carré et l'extraction de racine que nous avons exposés plus haut; telles sont les idées fondamenlales et les opérations essentielles de la trigonométrie, réduite à sa plus grande simplicité raisonnée, et qui alors n'est plus qu'un labeur facile , une sorte de récréation , pour une intelligence d'une portée commune ; il est visible qu'elle peut s'apprendre en moins de temps qu'on n'en met à parcourir un traité ordinaire de trigonométrie. Il n'est point inopportun de faire remarquer maintenant au lecteur : 1° Que, dans la mensuration des grands triangles astronomiques, les bases ouïes cordes des arcs de circonférence sont regardées comme de la même valeur que ces arcs mêmes, et que les principes qui proclament la différence d'étendue des bases ou cordes d'arcs de cercle et des portions de couibe qui forment ces arcs, sont de nulle application, parce qu'on ne saurait espérer dans ces calculs que des approximations Irèslarges, et qu'il serait dérisoire d'éplucher le moucheron

quand on avale le chameau ; 2° Que , dans la mensuration des hauteurs et des dislances terrestres par des triangles trigonomélriques dont les bases seraient très-petites, relativement, les bases et les arcs de cercle dont elles sont les cordes peuvent encore être envisagées comme identiques, parce que leur différence est assez faible pour qu'on soit autorisé à en négliger l'évaluation ; 3° Que, dans la mensuration des autres triangles trigonométriques, les lois qui estiment la valeur des côtés des polygones inscrits, pour la tixalion des rapports d'étendue de la circonférence au diamètre, pourvu qu'on les vérifie expérimentalement, serviront à noter les différences d'une foule de bases ou cordes, et des arcs de cercle qui leur correspondent; 4° Que pour les bases ou cordes non encore déterminées, il suffira de les calculer, de cinq degrés en cinq degrés, par une expérimentation minutieuse, éclairée, et pratiquée sur d'assez grandes portions de circonférence, pour donner des résultats scientifiques satisfaisants; et que les cas intermédiaires non appréciés pourront se résoudre suffisamment, d'après les degrés les plus proches d'une valeur démontrée; 5° Que cependant, pour plus de précision, on pourrait soumettre à l'expérimentation et au calcul toutes les combinaisons de degrés, depuis le premier jusqu'à cent quatre-vingts degrés, valeur de deux angles droits et terme absolu de l'angle obtus le plus exagéré (1).

(1) Bien que, dans toul triangle, à l'angle le plus ouvert corresponde le côté le plus grand, en général , et que le principe inverse soit exact, il n'existe toutefois aucune proportionnalité rigoureuse entre les degrés d'ouverture des angles et la longueur des côtés qui leur sont opposés* et l'on ne pourrait, d'après la valeur des angles seuls., fixer celles des côtés d'un triangle : soit un triangle isocèle dont

La lourde machine de la trigonométrie classique, avec

ses sinus, ses cosinus, avec ses tangentes, ses cotangentes, avec ses sécantes, ses cosécantes, avec la complication de ses quatre triangles se remorquant l'un L'antre, avec quelques-unes de ses hypothèses extravagantes jusqu'à l'absurde, avec ses formules laborieusement déduites, fatiguant et épuisant l'esprit sans compensation . et le rendant moins apte à prendre l'essor dans la carrière des autres sciences , formules toujours ténébreuses quand elles ne sont pas arbitraires, antiphilosophiques, et qui simuleraient plutôt des jongleries de jargon cabalistique que des lois sérieuses, que des principes destinés à éclairer la raison, se trouve donc démontrée au flambeau des faits d'application , aussi superflus, aussi déplacés que nuisibles, en face des connaissances sans nombre , utiles , ou pleines d'intérêt et de charme, qui sollicitent notre ardeur, et du mouvement rapide d'existence précaire et fugitive qui emporte l'homme, comme un météore d'un moment, sur la scène de la vie.

l'angle au sommet diminue sans cesse de moitié, les côtés opposés à ces angles, toujours de moitié moindre, seront plus longs que les moitiés des côtés correspondants aux angles doubles, et cet excès n'est soumis à aucune loi constante d'après laquelle on puisse préciser, ù priori, d'après les angles et les côtés déjà expérimen es, quelle sera la dimension des côtés opposés aux angles qui n'ont point encore été appréciés. La connaissance d'un des côtés du triangle ne suffit pas non plus, en thèse générale, pour fonder avec certitude la détermination des autres côtés - mail ématqucs, ou d'apiès des lois absolues philosophiquement démontrées, en supposant connue la valeur des trois angles des triangles : nous sa\oiis parfaitement que la connaissance de l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle fait exception à celte sévère maxime, puisque, les deux angles adjacents étant égaux, les deux moitiés du carré de celte hypoténuse décèleront les car- 1 es des autres côtés, et l'extraction de leur racine livrera leur valeur.