LA VALEUR DES DÉMONSTRATIONS GÉOMÉTRIQUES

C'est ici ou jamais que la géométrie doit justifier ses droits au titre de science d'une éminente rigueur, et d'une précision exemplaire qui défie toute rivalité.

ARTICLE 1er.

Idées préliminaires.

Nous allons apprécier le progrès ascendant de la géométrie dans les classiques les plus en vogue : Legendre, (l'une des dernières éditions); Blanchet, plus complet, mais plus obscur; Paschal et Eisseric, récente publication qui déjà jouit d'une précocité de faveur près des habiles.

Mais afin d'avoir du genre de connaissances dont nous allons parler, une idée exacte, commençons par définir celte science d'une perfection exceptionnelle : la géométrie est la science qui traite de l'étendue, de ses propriétés essentielles, de ses rapports et de ses lois : trois sortes d'étendues s'offrent à distinguer, une étendue en longueur ou ligne ; une étendue en longueur et en largeur, ou surface; une étendue en longueur, en largeur et en profondeur, ou solide, corps, capacité. Comme ceux qui les ont devancés, MM. Paschal et Eisseric définissent le point géométrique : « Ce qui n'a ni longueur, ni largeur, nipro-

fondeur (1) : » la ligne, « Une étendue en longueur, sans largeur ni profondeur (2) î » la surface, « Une étendue en longueur et en largeur, mais sans profondeur (3).» Observons cependant que ces Messieurs, comme les géomètres qui les ont précédés, nous apprennent : « Que la circonférence est une ligne courbe dont tous les points sont également distants d'un point intérieur que Ton nomme centre ; » que, « Deux circonférences peuvent se couper en deux points, etc.» Ils regardent donc la courbe qui limite le cercle, comme composée d'une série de points qui sont son étendue même ; mais comment, s'ils sont eux-mêmes inétendus en tous sens, des points peuvent-ils former une étendue ? Comment ce qui n'est rien peut-il engendrer quelque chose? l'opposition des idées n'est-elle point radicale et ne saute-t-elle pas aux yeux ? A l'exemple des autres géomètres, ces Messieurs enseignent : « Que les lignes parallèles sont à une égale distance les unes des autres dans tous leurs points; » que, « Deux lignes droites ne sauraient coïncider dans deux points consécutifs, sans se confondre dans tous les autres points de leur étendue. » Il est donc indubitable qu'ils envisagent encore la ligne droite comme résultant également d'une suite de points ; mais comment, s'ils sont eux-mêmes dénués de toute étendue, des poinls parviendront-ils à donner naissance à une étendue positive, et même immense, indéfinie? Ne serait-ce point la conception la plus extravagante, de pré-

(1) Géométrie, p. 10

(2) Ibid.

(3) Ibid.

tendre que des néants ajoutés les uns aux autres peuvent engendrer une réalité infinie ? De même que ceux qui ont préexisté dans la science, MM. Paschal etEisseric, nous rappelleront : « Que pour obtenir la valeur de la surface d'un triangle, il faut multiplier sa base par la moitié de sa hauteur; que pour avoir celle d'un carré, il est indispensable de multiplier sa base par toute sa hauteur;» mais qu'est-ce que la base d'un triangle, qu'est-ce que la base d'un carré? ce sont des lignes droites. Qu'est-ce que multiplier ? c'est répéter une valeur, c'est l'ajouter à elle-même un certain nombre de fois; si donc en répétant, en ajoutant à elles-mêmes un certain nombre de fois des lignes droites qui sont les bases des triangles et des carrés, on produit essentiellement leur superficie ou leur largeur, ces lignes droites, nécessairement, ne sont point elles-mêmes dépourvues de toute largeur, sans quoi il faudrait dire que des zéros purs additionnés peuvent engendrer une quantité positive, ce qui est absurde au plus haut point, et détruirait les notions les plus fondamentales de l'expérience et du bon sens. Aussi bien que leurs devanciers, MM. Pascal et Eisseric donneront ces formules: « Que pour avoir la solidité d'un prisme, d'un cylindre, il faut multiplier leur base par toute leur hauteur ; que pour arriver à la solidité ou à la connaissance du volume d'une pyramide, d'un cône, il faut multiplier leur base par le tiers de leur hauteur; » mais qu'est-ce que les bases des solides ? ce sont des surfaces ; qu'est-ce que multiplier? c'est toujours répéter une valeur un certain nombre de fois, l'ajouter à elle-même. Or, si en répétant, si en ajoutant à elles-mêmes des surfaces, on

parvient à engendrer des solides, ou des épaisseurs ; il faut bien que les surfaces génératrices possèdent elles-mêmes quelque épaisseur. Embrasser dans sa pensée comme compatibles des idées aussi inconciliables , que celle de faire naître de riens superposés, des hauteurs réelles de divers degrés, ne serait-ce pas l'aberration la plus délirante de jugement? Pour affranchir la science de ces impossibilités absolues, et la réconcilier avec le sens droit appuyé des faits les plus irréfragables, il est donc urgent d'exposer : que tantôt on considère la ligne comme une simple longueur, sans avoir aucun égard à sa largeur, comme lorsqu'il s'agit de mesurer l'élévation d'une tour, la longueur d'une voie, ou la profondeur d'un lac; que tantôt on considère la ligne comme l'élément générateur des surfaces ; qu'alors c'est une étendue en longueur avec une largeur infiniment petite; que quand l'étendue est infiniment petite dans sa triple dimension, c'est le point ; que tantôt on envisage la surface comme une étendue en longueur et en largeur, abstraction faite de toute épaisseur, comme quand il s'agit de mesurer un champ, la superficie d'une sphère ; que tantôt on envisage la surface comme l'élément générateur des solides: qu'en ce cas la surface est une étendue en longueur et en largeur, avec une profondeur infiniment petite : ces notions précises, et acceptables, exprimant des réalités et non des chimères qui se repoussent, étant posées, la science, sortie honorablement de ces abîmes de choquantes contradictions, peut se constituer,

ARTICLE IL Des lignes parallèles.

MM. Paschal et Eisseric , en plein progrès , définissent en général les parallèles : « Des lignes droites, qui étant tracées sur un même plan, peuvent être prolongées à l'indéfini, sans se rencontrer : » mais aux lignes droites seules n'est pas réservée la prérogative du parallélisme : car toutes les lignes courbes sont susceptibles de révéler la même propriété ; par exemple, deux lignes paraboliques semblables ou d'une ampleur analogue étant concentriques peuvent se prolonger indéfiniment, sans arriver au contact : deux lignes hyperboliques, l'une plus grande, l'autre plus petite, étant renfermées l'une dans l'autre peuvent être prolongées également à l'indéfini, sans coïncider, etc.; en outre, est-il mathématiquement établi, qu'il faille admettre comme parallèles toutes les lignes droites qui étant prolongées sans limite ne sauraient se rencontrer ? Nous ne voulons pas, et pour cause, nous prévaloir des asymptotes, lignes droites, qui étant dessinées entre deux hyperboles, et passant par le centre de leur axe commun, se poursuivraient indéfiniment en s'approchant toujours des courbes hyperboliques, sans y atteindre jamais ; ni d'un arc de cercle qui se déployant sans cesse, en s'agrandissant, rapprocherait éternellement ses extrémités d'une tangente indéfinie, sans parvenir à les y confondre : supposons que deux lignes droites faiblement obliques, soient séparées à l'une de leurs extrémités par un corps rond exigu; que ce corps arrondi diminuerait son diamètre de moitié à cha-

que mouvement de progression de ces lignes, et que celles-ci ne se prolongeraient à chaque instant que dans une mesure suffisante pour se rapprocher Tune de l'autre de la moitié seulement de l'épaisseur actuelle du corps interposé entre leurs points extrêmes ; ces convergentes pourront se développer, sans termes, à pérennuité, l'intervalle de plus en plus faible, interjeté entre elles, restant perpétuellement infranchissable; parce que le corps qui les séparerait ne pourrait se dépouiller de toute étendue, et cesser de mettre une barrière à leur tardive union : la définition de nos auteurs, est donc, sous un double rapport, inexacte et inadmissible ; dites avec plus de philosophie : Que les parallèles sont des lignes droites ou courbes également distantes les unes des autres, selon leurs espèces, dans tous les points de leur étendue; d'après ces prémisses fondamentales, on démontre facilement en quelques mots, qu'elles ne peuvent jamais se rencontrer, puisqu'il faudrait pour cela, que l'une d'entre elles au moins s'inclinât vers l'autre , et qu'elle dérogeât conséquemment à l'égalité de distance.

ARTICLE m.

Des perpendiculaires.

Tout en proclamant que la ligne est une étendue en longueur, sans largeur ni épaisseur, les géomètres, de concert, posent en théorème :« Que d'un point pris sur une ligne droite on ne peut élever qu'une perpendiculaire (1). »

(1) Géométrie, p. 22.

On nomme perpendiculaire une ligne droite qui, tombant sur une autre ligne, ne penche pas plus d'un côté que d'un autre, et fait avec elle, si celle-ci est droite, deux angles égaux gui sont des angles droits. Mais d'un point pris sur une ligne droite on peut mener non-seulement en haut mais latéralement, dans une foule de sens, des lignes droites qui ne pencheront pas plus d'un côté que d'un autre, et qui formeront avec la première ligne deux angles droits. Dans une science qui s'attribue la haute prérogative de la rigueur et de la précision, il fallait donc dire : Que d'un point pris sur une ligue droite, on ne saurait mener dans un même sens qu'une seule perpendiculaire. MM. Paschal et Eisseric ajoutent en thèse : « Que lorsqu'une ligne perpendiculaire tombe sur une ligne brisée, elle forme avec celte ligne deux angles moindres que l'angle droit (1); » ils donnent eux-mêmes pour exemple d'une ligne brisée un Z : or, sur une des saillies d'un Z , si vous élevez une perpendiculaire , elle formera avec les deux côtés abaissés de la saillie, deux angles obtus, ou plus grands que l'angle droit; il fallait donc pour l'exactitude, distinguer les cas, ne point confondre les dissemblances, et dire : Que lorsqu'une perpendiculaire tombe sur la concavité d'une ligne brisée, elle forme avec elle deux angles moindres que deux angles droits; et que si elle tombe sur la convexité d'une ligne brisée, elle forme avec ses côtés deux angles plus grands que l'angle droit ; ce n'est pas trop dans un genre de connaissances qui affiche la prétention de réaliser un idéal de termes et de concep-

(1) Géométrie, p. 22.

tions précises, de doter ses énoncés scientifiques d'une précision qui serait indispensable partout ailleurs.

ARTICLE IV

Que deux lignes droites ne peuvent coïncider dans deux points consécutifs sans se confondre dans tous les autres points de leur étendue.

Nos deux collaborateurs, MM. Paschal et Eisseric, définissent l'axiome : « Une vérité qui est évidente par elle-même (1), » et ils comptent au nombre des axiomes, ces propositions dissemblantes : « Le tout est plus grand qu'une de ses parties ; quand deux quantités sont égales, l'égalité ne cesse point si on les multiplie, ou si on les divise par une valeur commune, si on les élève au carré ou au cube (2).» Ces derniers énoncés ne sont pas des axiomes, mais des principes féconds qui ont besoin d'être démontrés pour briller de la lumière irrésistible des axiomes. Mais si MM. Paschal et Eisseric rangent aussi parmi les vérités évidentes par elles-mêmes, cette assertion géométrique : « Que lorsque deux lignes droites coïncident dans deux points consécutifs, elles se confondent dans toutes leur étendue ; » ce n'est là qu'un théorème qui a également besoin d'une démonstration spéciale; les autres auteurs l'appuient. Voici comme il peut être établi brièvement : Deux points consécutifs ou qui se suivent, forment une ligne ; donc si une verticale, par exemple, coupant une ligne horizontale en un point quelconque, coïncidait avec

(1) Géométrie, p. 22.

(2) Ibid., p. 12.

elle en deux points distincts, elle formerait une ligne horizontale et en même temps une ligne verticale, elle serait donc brisée et cesserait d'être une seule et même ligne droite. Ecoutez cependant comment le contraire peut être prouvé, par une analyse mathématique rigoureuse, avec une non moins irrésistible clarté : deux lignes droites qui ne sont point chimériques ne peuvent se couper que dans un point réel de l'espace. Or, un point de l'espace étant étendu et ayant dès-là même un milieu, peut être divisé en deux portions égales ; celles-ci ayant un centre peuvent être partagées en de nombreux rayons ou parties, essentiellement; donc il est impossible que deux droites qui se coupent en un point réel de l'espace, ne se confondent en une multitude de points mathématiques, par là même : pour sortir de ces gouffres insondables où se plonge la raison pure, lorsqu'elle raisonne d'après l'essence des choses qu'elle comprend si imparfaitement, et s'élever au-dessus de toutes cavillations vaines, il est instant de dire : Que deux lignes droites ne sauraient coïncider dans deux points consécutifs sensibles et appréciables, sans se confondre dans toute leur étendue; le raisonnement théorique que nous avons produit, ne souffre alors aucune réplique, et on peut matériellement le confirmer par cette expérimentation : Supposez deux règles parfaitement droites et inflexibles superposées horizontalement ; si à une de leurs extrémités vous soulevez d'un seul millimètre par un corps résistant la règle supérieure, elle devient instantanément, par rapport à la règle inférieure, et quelque indéfiniment prolongées qu'on les admette, oblique dans toute son étendue, excepté au second point extrême par lequel elle

s'appuie; si la règle supérieure coïncidait par un second point sensiblement distinct, avec la règle horizontale, elle constituerait une ligne horizontale et en même temps une ligne oblique, c'est-à-dire qu'elle représenterait une ligne brisée et qu'elle cesserait d'être une règle parfaitement droite.

ARTICLE V. Des lignes incommensurables.

Plusieurs lignes sont dites commensurables , quand elles peuvent se mesurer avec exactitude et sans aucun reste, par une mesure commune : on nomme incommensurables des lignes qui ne peuvent se mesurer exactement et sans aucun excédant, par une mesure commune. On prouve par des faits nombreux , qu'il existe des lignes de cette sorte. Les géomètres démontrent spécialement : Que les diagonales de tout carré parfait ou dont les côtés sont égaux et forment des angles droits, sont incommensurables avec chacun de leurs côtés; que les diagonales de presque tous les carrés longs rectangles ou qui ont deux côtés plus longs et tous leurs angles droits, sontradicalementjncommensurables avec chacun de. leurs côtés adjacents; que les hypoténuses de tous les triangles rectangles à côtés égaux sont incommensurables avec les autres côtés; que les hypoténuses de presque tous les triangles rectangles à côtés adjacents inégaux, sont pareillement incommensurables avec leurs côtés : on sait qu'un triangle est rectangle, quand un de ses angles est un angle droit; que le côté opposé à l'angle droit se nomme hypoténuse , et que les

côtés qui aboutissent à l'hypoténuse se désignent sous le nom d'adjacents; que dans tout carré parfait rectangle, si d'un des angles à l'angle opposé on mène une ligne droite, cette ligne prend le nom de diagonale; qu'elle est simultanément l'hypoténuse de deux triangles rectangles isocèles ou à deux côtés égaux , dans lesquels elle partage le carré parfait; que dans tout carré long rectangle, si d'un des angles à l'angle opposé on trace une ligne droite , cette ligne est encore une diagonale qui divise le parallélogramme en deux triangles rectangles à côtés adjacents inégaux dont elle figure les hypoténuses; qu'élever au carré une quantité quelconque, c'est la multiplier par elle-même, et que prendre la racine d'un carré, c'est trouver la valeur qui étant multipliée par elle-même donne ce produit : on prouvera plus loin que le carré fait sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. Déroulons maintenant , avec de suffisants détails , les preuves sensibles par lesquelles les géomètres peuvent élever au sceau de la démonstration mathématique , leurs assertions sur l'incommensurabilité des diagonales et des hypoténuses.

Soit un triangle rectangle dont les deux côtés adjacents offrent chacun 3 mètres de longueur : 3 fois 3 font 9 ; 2 fois 9 font 18 ; il suit que 9 est le carré de chacun des côtés formant l'angle droit; que 18, somme de leur carré, est le carré même de l'hypoténuse du triangle; mais 18 n'a point de racine carrée précise, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun nombre qui étant multiplié par lui-même donne exactement 18, sans plus ni moins; on ne saurait donc représenter la valeur de l'hypoténuse de ce triangle , par

aucun Dombre rigoureux ; ni par conséquent préciser ses rapports avec aucun des côtés adjacents, ou leur trouver une mesure commune adéquate ; ces lignes sont donc incommensurables, incon testablement.

Parcourez de même la série indéfinie des nombres ascendants, 4, 5, 6, 7, 8, etc., vous trouverez constamment, sans exception, que tous les triangles rectangles dont les côtés adjacents égaux seront formés de ces nombres, engendreront pour somme de leurs carrés, des valeurs dont les racines carrées exactes seront impossibles et dévoileront que les hypoténuses des triangles construits ne pourront être retracées par aucun nombre précis, ni évaluées strictement par aucune mesure qui puisse aussi être employée à estimer avec une rigueur absolue leurs côtés adjacents. Mais les hypoténuses de triangles rectangles à côtés égaux, sont des diagonales de carrés de même base et de même hauteur ; la conclusion dernière est donc que toute hypoténuse de triangle rectangle isocèle, que toute diagonale de carré parfait, est essentiellement incommensurable avec chacun des côtés corrélatifs ou constituant de la figure à laquelle elle appartient.

On peut soumettre à la même expérimentation décisive les triangles rectangles à côtés adjacents inégaux, et se convaincre que presque toujours les carrés de leurs hypoténuses sont sans racine scrupuleusement exacte; que ces hypoténuses par conséquent ne peuvent être formulées avec précision par aucun nombre ; que ces hypoténuses étant des diagonales de parallélogrammes de même base et de même hauteur, toutes ces lignes qui sont en nombres indéfinis , sont incommensurables, ou ne sau-

raient, par aucune valeur commune, être adéquatement mesurées avec chacun des côtés qui complètent avec elles leurs triangles respectifs, et leurs carrés.

A présent démontrons, à notre tour, et par des faits irrécusables, les théorèmes opposés aux idées que les géomètres ont toujours cru fermement être mis hors de doute.

Prenez une ligne exactement mesurable, de deux mètres de longueur, par exemple : du milieu de cette ligne, tracez , à l'aide d'un compas , une circonférence sur ses extrémités : vous la transformerez en un diamètre de cercle : coupez ce diamètre à son milieu perpendiculairement par un autre diamètre; réunissez par des lignes droites les quatre extrémités de ces deux diamètres, vous construirez un carré parfait, dont les diagonales seront les diamètres mêmes du cercle et auront une valeur précise de deux mètres , qui étant multipliée par elle-même déterminera un carré, dont on pourra extraire la racine avec une exactitude absolue ; il est donc faux que le carré de toute diagonale de quadrilatère parfait, et par une suite nécessaire, que le carré de l'hypoténuse de tout triangle rectangle à côtés adjacents égaux , n'ait point de racine sévèrement exacte. Faites choix d'une autre ligne mesurable, sans reste et sans plus ni moins, par une mesure connue, telle qu'une ligne de dix mètres : du milieu de cette ligne décrivez avec un compas une circonférence qui passe par ses extrémités ; vous en ferez, par cet artifice, le diamètre encore d'un cercle ; traversez le milieu de ce diamètre par un second diamètre perpendiculaire : réunissez par quatre lignes droites les quatre extrémités de ces deux diamètres,

vous produirez un carré parfait dont les diagonales étant les diamètres mêmes du cercle, ayant une valeur précise de.dix mètres, et étant multipliées par elles-mêmes, donneront des carrés dont les racines précises pourront être extraites évidemment ; les conséquences pour les hypoténuses de triangles rectangles à côtés adjacents égaux, ne sont pas moins évidentes ; puisque les diagonales dont nous avons parlé , sont les hypoténuses mêmes des triangles dans lesquels elles partagent leurs quadrilatères. Poursuivez de la même façon , la progression des quantités exactes et de leurs fractions, qui sont en nombre infini, vous les transformerez de même, à votre gré, toutes en diamètres de cercles, en diagonales de quadrilatères parfaits, en hypoténuses de triangles rectangles à côtés formant l'angle droit égaux, qui étant multipliées par ellesmêmes créeront autant de carrés dont des racines mathématiquement rigoureuses pourront être extraites; il est donc erroné , à un degré que l'on peut dire infini , que le carré de toute diagonale de quadrilatère parfait, de toute hypoténuse de triangle rectangle isocèle, soit dépourvue de toute racine précise ; il n'est pas moins incontestable , d'après l'expérimentation, que dans une infinité de cas, la diagonale d'un carré long rectangie, est non-seulement susceptible d'être énoncée par un nombre précis, et de fournir, étant élevée au carré, des racines d'une irréprochable rigueur ; mais qu'elle se trouve commensurable avec deux côtés au moins du parallélogramme dont elle fait partie, et que l'hypoténuse des deux triangles rectangles à angles adjacents inégaux qu'elle engendre, possède des propriétés analogues.

Entre deux lignes parallèles horizontales élevez une perpendiculaire de dix pieds : du sommet de cette perpendiculaire abaissez une diagonale de quinze pieds; du point où cette diagonale touche la parallèle inférieure , faites remonter une seconde perpendiculaire jusqu'à la parallèle supérieure; vous aurez construit manifestement un carré long rectangle, dont la diagonale de quinze pieds pourra être exprimée en termes précis, être portée au carré, etc., et avoir une mesure commune avec deux de ses côtés au moins , puisqu'ils ont chacun une valeur exacte de dix pieds : on comprend de suite que l'hypoténuse des deux triangles à côtés adjacents inégaux dans lesquels la diagonale décompose le carré long, ayant la même valeur que cette diagonale même qui la représente, réclame les mêmes privilèges d'extraction de racine adéquate et de commensurabilité.

Remarquons que les chiffres précis étant inépuisables, et formant une chaîne indéfinie, pourront enfanter un nombre sans terme de parallélogrammes composés d'après la même méthode, et dont les diagonales seront commensurables avec deux de leurs côtés, et réaliser une quantité indéfinie de triangles rectangles à côtés formant l'angle droit inégaux, dont les hypoténuses auront une commune mesure avec un de leurs côtés au moins.

Les faits éloquemment significatifs que nous venons de dérouler, nous révèlent par des milliers de voix, que, dans la géométrie comme dans les autres sciences, il ne faut point, en généralisant, dépasser les témoignages positifs de l'expérimentation ou de l'expérience , et que si , pour libeller des lois, on les perd de vue , on s'expose aux plus

étonnantes déceptions, et on embrasse de honteuses illusions, qui se transfigurent en principes éternels, au détriment de la vérité et de l'essor progressif de la science ; la géométrie est donc fondamentalement soumise à l'empire des mêmes maximes philosophiques , que les autres connaissances humaines. Il demeure cependant, en quantités effrayantes, des lignes droites dont les carrés n'ont qu'une racine d'approximation ; ces lignes n'ont donc elles-mêmes, non plus, qu'un carré approximatif, variable, puisque ce qui est approximatif peut à des degrés différents se rapprocher du vrai , selon que l'on prend des fractions plus faibles et en plus grand nombre; il serait donc faux que la somme des carrés des côtés adjacents d'un triangle rectangle exprimât essentiellement et avec rigueur le carré de l'hypoténuse : nous léguons un moment à nos lecteurs cet os à ronger, en attendant qu'il se rompe de lui-même et dans son ordre de succession. Quoiqu'il existe un ensemble prodigieux de lignes droites qui sont incommensurables entre elles , il n'est malgré cela aucune ligne droite qui , géométriquement, ne soit commensurable en elle-même, ou qui ne puisse être mesurée exactement par une de ses portions ; ou, en d'autres termes , qui ne soit divisible en autant de portions égales qu'on peut le désirer.

Entre deux parallèles tracées horizontalement, décrivez une perpendiculaire parfaitement commensurable, ou de 15 centimètres strictement sans plus ni moins ; du sommet de cette perpendiculaire, abaissez obliquement une ligne incommensurable quelle qu'elle soit, qui arrive au contact avec la parallèle inférieure : si entre les deux parallèles extrêmes, vous dessinez 14 autres parallèles ayant

entre elles une même distance, vous partagerez infailliblement la perpendiculaire commensurable, en 15 parties égales, chacune d'un centimètre : je dis que vous diviserez concomitament , la ligne oblique incommensurable en autant de portions complètement égales entre elles, quoique n'ayant aucune commune mesure avec les premières; car, des parallèles sont identiques; étant superposées elles se confondent, et on peut les envisager comme ne formant qu'une seule et même ligne ; donc cette ligne incommensurable oblique qui traverse plusieurs parallèles, tombe sur chacune d'elles et les coupe toutes avec un même degré d'obliquité ; donc elle est elle-même divisée par elles en portions mathématiquement égales, si elles sont également distantes l'une de l'autre; car l'inégalité de quelques-unes de ces parties ne pourrait venir ou que de ce qu'elles seraient plus ou moins inclinées que les autres sur leurs parallèles respectives ; ou de ce que ces parallèles seraient inégalement écartées : or aucune de ces diversités, dans notre hypothèse, n'existe, et ne saurait en déterminer une dans la longueur des divisions de la ligne incommensurable. De là découlent naturellement quelques conséquences que nous allons déduire : il résulte en effet : 1° qu'à une distance perpendiculaire, double, triple, quadruple, quintuple, etc., une ligne oblique est d'une étendue double, triple, quadruple, quintuple , etc. ; 2° que chacune de ses portions égales s'écarte, d'une même valeur, de la perpendiculaire ; puisque la disparité de son éloignement ne pourrait reconnaître pour cause, qu'une différence d'obliquité ou de longueur dans ses partitions : or, nulle de ces conditions ne

subsiste; donc, à une distance perpendiculaire double, triple, quadruple, etc., une ligne oblique est doublement, triplement, quadruplement, etc., distante de la perpendiculaire ; 3° que si deux lignes obliques semblables sont abaissées du sommet d'une perpendiculaire, l'une dans un sens , et l'autre dans une direction contraire , elles jouiront des mêmes propriétés, c'est-à-dire, qu'à une dislance double, triple, etc., de leur point de départ, elles auront 2 fois, 3 fois, etc., autant d'étendue ; et qu'étant proportionnellement aussi éloignées de la perpendiculaire, leurs points extrêmes auront 2 fois, 3 fois, etc., autant d'écartement entre eux; 4° que les côtés égaux d'un triangle isocèle, les arêtes opposées d'un cône d'un faisceau de lumière à une dislance perpendiculaire, 2 fois ou 3 fois, etc. , aussi grande de leurs points d'union , sont doublement, triplement, etc., longs, et leurs extrémités séparées entre elles par un intervalle double ou triple, etc. Ces principes sur les lignes inclinées dominent une partie de la géométrie , et serviront à évaluer les rapports des cordes d'arc avec leurs rayons, ceux des côtés des poligones réguliers avec les rayons qui les transforment en triangles, etc.

ARTICLE IV

Du carré des lignes.

Retraçant en cela les oracles traditionnels de leur science, MM. Paschal et Eisseric posent sur le carré des lignes, ces deux théorèmes : 1° « Le carré formé sur la somme de deux lignes, est égal au carré construit sur une

de ces deux lignes, plus le carré construit sur l'autre ligne, plus deux fois le rectangle constitué par ces deux lignes combinées, ou plus deux fois le produit de Tune de ces deux lignes multipliées par l'autre. » Ces collaborateurs, comme d'autres géomètres, définissent le rectangle : « Un carré long ou un parallélogramme qui a les angles droits.» Mais il arrive quelquefois que les deux lignes dont la somme est élevée au carré, sont égales; la figure qui émane de leur combinaison, est alors un carré parfait, et non un rectangle dans le sens de nos auteurs; il fallait donc remplacer les termes spéciaux de rectangle, par l'expression plus générale de quadrilatère qui s'étend au parallélogramme rectangle et au carré à quatre angles et à quatre côtés égaux. On conçoit, que quand deux lignes sont égales, leurs sommes étant multipliées par elles-mêmes ou élevées au carré, doit donner un produit quadruple de celui d'une de ces parties ; parce qu'il est deux fois double, double par son multiplicande et double par son multiplicateur : soient deux lignes de quatre mètres de longueur chacune : leur somme, huit, étant multipliée par elle-même ou élevée au carré, aura pour produit soixantequatre, valeur quadruple de seize qui est le carré de quatre ou de l'une des deux lignes; donc quand deux lignes sont d'égale valeur, le carré de leur somme est équivalent à quatre fois le carré de l'une d'entre elles, ou à deux fois le carré de chacune d'elle : cette évidente loi n'est plus exacte quand les deux lignes sont d'une inégale valeur : soient deux lignes dont l'une de trois mètres de long et l'autre de six: leur somme neuf étant élevée au carré, son produit quatre-vingt-un n'est représenté

ni par quatre fois le produit de trois ou par trente-six; ni par quatre fois le produit de six multiplié par six, ou cent quarante -quatre; ni par deux fois le carré ou le produit de trois , plus deux fois le produit ou le carré de six, puisque le chiffre définitif est nonante ; mais par le carré de trois ou neuf, plus le carré de six , ou trentesix , total quarante-cinq, plus une fois le carré de six , ou de la ligne de la plus grande valeur , trente-six et quarante-cinq offrant pour total quatre-vingt-un. Cette seconde loi cependant, est elle-même en défaut, lorsque Tune des deux lignes n'est pas d'une valeur double de de l'autre, comme trois et six : supposez deux ligues d'un rapport différent, comme trois et cinq ; leur somme, huit étant multipliée par elle-même, son produit ou carré soixante-quatre, ne se trouvera plus équivaloir à neuf, carré de trois , plus vingt - cinq , carré de cinq , plus vingt-cinq encore, carré du chiffre le plus élevé ou de la plus grande ligne, puisque le total de toutes ces valeurs n'est que de cinquanle-neuf: on peut ici toutefois remonter à une loi plus générale, qui renferme rigoureusement toutes les applications , et dire avec la géométrie classique : que le carré de la somme de deux lignes, équivaut au carré de Tune de ces deux lignes, plus le carré de l'autre, plus deux fois le produit de l'une de ces deux lignes multipliée par la seconde; dans l'exemple cité, soixante-quatre, carré de huit, somme des deux lignes dont l'une serait.de trois mètres, et l'autre de cinq, est égal à neuf, carré de trois, plus vingt-cinq, carré de cinq (total trente-quatre) , plus deux fois le produit de cinq multiplié par trois, trois fois cinq font quinze; deux

fois quinze font trente; trente et trente-quatre ont pour total ultime soixante- quatre. Nous sommes entré dans ces détails, pour montrer que dans la géométrie, comme dans toutes les autres branches du savoir de l'homme, des lois essentielles, fondées sur les rapports intimes des choses, sont susceptibles de varier selon les cas, et que l'on ne peut philosophiquement, dans leur généralisation, les étendre à des cas nouveaux, avec certitude, sans des vérifications préalables, à l'aide d'une expérimentation spéciale.

Deuxième théorème : « Le carré construit sur la différence de deux lignes est égal au carré de chacune de ces deux lignes, moins deux fois le rectangle résultant des deux lignes combinées, ou moins deux fois le produit d'une de ces deux lignes multipliée par l'autre. » Soient deux lignes , l'une de quatre et l'autre de neuf mètres de longueur; leur différence est cinq, dont le carré vingtcinq est mathématiquement équivalent à seize, carré de quatre, plus quatre-vingt-un, carré de neuf (total nonante-sept), moins deux fois trente-six ou septante-deux, excès de nonante-sept sur vingt-cinq. Chaque lecteur peut expérimenter sur l'infinité des autres nombres, et s'assurer positivement que le principe est d'une exactitude absolue.

Ces démonstrations claires et simples , sont préférables à celles des classiques , pour des intelligences médiocres qu'une grande complexité d'idées lasse par un ingrat labeur, et frappe comme de vertige loin de les illuminer heureusement.

ARTICLE VIL Du carré construit sur les différents côtés des triangles.

MM. Paschal et Eisseric, à la suite de tous les autres géomètres, établissent théoriquement : « 1° Que dans un triangle quelconque , le carré du côté opposé à un angle aigu , est égal au carré des deux autres côtés , moins deux fois le rectangle formé par l'un de ces côtés et la projection de l'autre sur lui , ou moins deux fois le produit de la valeur d'un de ces côtés multipliés par la projection de l'autre. -2° Que dans tout triangle obtusangle, le carré construit sur le côté opposé à l'angle obtus, est égal au carré de chacun des deux autres côlés , plus deux fois le rectangle formé par Pun de ces côtés combiné avec la projection de l'autre, ou ce qui est une même chose , plus deux fois le produit de Pun de ces côtés multiplié par la projection de l'autre sur lui. ■ Les deux collaborateurs ne daigûent point expliquer ce que c'est que la projection d'un des cotés d'un triangle sur un autre côté ; cette définition . entrant comme élément essentiel dans la démonstration des deux théorèmes, était indispensable cependant. Voici comme ces deux auteurs établissent géométriquement leurs énoncés théoriques :

Soit le triaDgle ACB dont l'angle A est aigu et dont CD est la hauteur : je dis qu'on aura :

(a) BC = AB~+AC — 2ABXAD.

En effet, la perpendiculaire CD détermine deux triangles rectangles, et l'on a :

(b) BC = CD + DB.

Mais afin d'introduire dans cette expression les côtés AB, AC, observons que BD = AB — AD, et qu'en vertu du lemme 11 , on aura :

DB = AB-f AD — 2ABXAD,

donc si l'on substitue celte valeur de DB dans l'égalité (b), on obtiendra :

Mais le triangle rectangle ACD donne :