CD + AD = AC
et par cette nouvelle substitution, l'égalité {c) devient la formule primitive (a) (1). »
L'autre théorème vrai dépendant de celui-là, son frère consanguin trahi par une identité de traits, est ensuite amené sur la scène sous les mêmes formes, et y joue son rôle de manifestation scientifique, à l'aide du même langage concis et savant; de pareils développements démonstratifs, quoique justes, sont de nulle valeur pour le très-grand nombre des élèves incapables de les saisir. Nous substituons à ces théorèmes des géomètres, des lois plus simples, bien que compliquées encore, parce que nous trouverons à en faire usage plus tard.
1° Dans tout triangle isocèle ou à deux côtés égaux, le carré de la base ou du côté opposé à l'angle au sommet,
soit aigu , soit oblus , est égal à deux fois le carré d'un des côtés égaux , plus deux fois le carré de l'autre côté , moins quatre fois le carré de la perpendiculaire abaissée sur la base : c'est la conséquence de la première loi particulière que nous avons démontrée sur le carré des lignes, et de ce qui sera dit bientôt sur le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Nous verrons en effet que dans tout triangle rectangle ou qui a un angle droit, le carré de l'hypoténuse ou du côté opposé à l'angle droit), est égal au carré des deux côtés adjacents ou de la base et de la perpendiculaire ; et que , par conséquent , le carré de la base est égal au carré de l'hypoténuse, moins le carré de l'autre côté adjacent ou de la perpendiculaire. Or, si de l'angle au sommet, soit aigu, soit oblus d'un triangle isocèle, on abaisse une perpendiculaire sur la base, on divise cette base en deux parties égales, et on transforme le triangle isocèle lui-même en deux triangles rectangles partiels, qui ont pour base les deux moitiés de la base générale du triangle isocèle, pour hypoténuse les deux côtés égaux de ce triangle, et pour seconds côtés adjacents, la perpendiculaire abaissée sur la base ; donc, d'après ce qui a été dit, les carrés des bases partielles des deux triangles rectangles décrits, sont égaux aux carrés de leurs hypoténuses moins deux fois (une fois pour chaque triangle) , le carré du second côté adjacent ou de la perpendiculaire ; mais nous avons vu, que quand deux ligues sont égales, le carré de leur somme est égal à quatre fois le carré de l'une des deux lignes, ou à deux fois le carré de chacune d'elles ; donc le carré de la base du triangle isocèle, ou le carré du côté opposé
à l'angle, au sommet, soit aigu, soit obtus, étant le carré de la somme de deux ligues droites égales, ou des bases des deux triangles rectangles partiels, est égal, d'après ce qui a été exposé plus haut , à deux fois le carré d'une des hypoténuses, ou de l'un des côtés égaux du triangle isocèle , plus deux fois le carré de l'autre hypoténuse ou de l'autre côté égal du triangle isocèle, moins deux fois les carrés des seconds côtés adjacents, ou moins quatre fois le carré de la perpendiculaire qui représente ses deux côtés. Les termes de ces raisonnements sont sans nul doute complexes ; mais la suite de leurs rapports est si naturelle , que leur évidence , pour peu qu'on y donne d'attention , se fait sentir irrésistiblement.
2° Dans tout triangle non isocèle ou à trois côtés inégaux, le carré de la base ou du côté opposé à l'angle au sommet, soit aigu, soit obtus, est égal au carré d'un des côtés latéraux, plus le carré de l'autre côté, moins deux fois le carré de la perpendiculaire descendue sur la base, mais plus deux fois le produit d'une des deux parties de cette base multipliée par l'autre partie : c'est une suite nécessaire de la troisième loi que nous avons formulée sur le carré des lignes , et de ce qui sera prouvé sur le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Car, si de l'angle au sommet du triangle non isocèle, on abaisse une perpendiculaire sur sa base, elle divise cette base en deux parties inégales et décompose le triangle non isocèle, en deux triangles rectangles partiels inégaux , qui ont pour base, les deux parties de la base totale du triangle primitif, pour hypoténuse ses deux côtés latéraux, et pour se-
cond côté adjacent la perpendiculaire abaissée sur la base générale; donc, d'après ce qui précède, les carrés des bases des deux triangles rectangles partiels sont égaux au carré de leur hypoténuse, moins les carrés de leur second côté adjacent, ou moins deux fois le carré de la perpendiculaire qui les représente : mais nous avons établi que , quand deux lignes sont inégales , le carré de leur somme est égal au carré de chacune d'elles, plus deux fois le produit de l'une de ces lignes multipliée par l'autre; donc le carré de la base totale du triangle non isocèle , ouïe carré du côté opposé à son angle au sommet, soit aigu, soit obtus, étant le carré de la somme de deux lignes inégales, ou des bases de deux triangles rectangles partiels, est égal au carré de leur hypoténuse, ou des côtés latéraux du triangle non isocèle , moins les carrés des seconds côtés adjacents, ou moins deux fois le carré delà perpendiculaire qui les représente, mais plus deux fois le produit d'une des deux parties de la base générale du triangle primitif, multipliée par l'autre partie. On peut confirmer par des expérimentations spéciales , ces deux lois.
Soit un triangle isocèle à angle au sommet, obtus, dont les deux côtés égaux aient chacun six mètres de longueur, et la base ou côté opposé à Fangle obtus, dix mètres : dix fois dix font cent , carré de cette base ; six fois six font trente-six, carré d'un des côtés égaux; deux fois trentesix valent septante-deux, expression de deux fois le carré d'un des côtés égaux : septante-deux et septante-deux donnent cent quarante-quatre, total qui énonce deux fois le carré de chacun des côtés semblables du triangle isocèle,
et qui dépasse de quarante-quatre le carré de la base qui n'est que de cent ; mais dans le cas présent le carré de la perpendiculaire abaissée de l'angle au sommet sur la base, est de onze, et quatre fois onze valent quarantequatre ; donc effectivement, dans le triangle isocèle proposé, le carré de la base ou du côté opposé à l'angle obtus est égal à deux fois le carré d'un des côtés égaux, plus deux fois le carré de l'autre côté, moins quatre fois le carré de la perpendiculaire. Il est facile de s'assurer que dans le triangle en exemple le carré de la perpendiculaire est de onze; car, si de l'angle au sommet du triangle isocèle décrit, on abaisse une perpendiculaire sur sa base, elle divisera cette base en deux parties égales , et convertira le triangle isocèle en deux triangles rectangles égaux qui auront pour base les deux moitiés de la base du triangle isocèle mis en hypothèse, base qui est de dix mètres, pour hypoténuse les deux côtés identiques de ce triangle primitif, et pour second côté adjacent la perpendiculaire, qui les constitue tous deux; mais dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse , étant équivalent au carré des deux autres côtés, c'est-à-dire au carré de la perpendiculaire et de la base, le carré de la perpendiculaire est nécessairement égal au carré de l'hypoténuse , moins le carré de la base : or, dans le cas du triangle isocèle que nous discutons, l'hypoténuse d'un de ces triangles [rectangles est 6 , dont le carré est 36 ; la base de ce triangle rectangle est de 5 , et son carré 25 : de 36 ôtez 25, il restera 11, ce chiffre est donc le carré de la perpendiculaire, comme nous l'avions énoncé, etc., etc. Disons maintenant sur les deux théorèmes des géo-
métries classiques reproduits plus haut, quelques mots que tous les élèves puissent entendre sans effort:
Placez une équerre de façon à ce que l'une de ses branches soit horizontale , et l'autre verticale : le soleil dardant perpendiculairement ses rayons sur la branche verticale ne produira point d'ombre, il n'y aura point de projection ; donc toute ligne droite qui forme avec une autre ligne un angle droit, n'a point de projection : mais si la branche verticale de l'instrument se rapprochait de la branche horizontale, pour former avec elle un angle aigu, le soleil illuminant perpendiculairement la branche penchée, produirait une ombre sur la branche horizontale, et cette ombre est la projection de la ligne inclinée sur la ligne horizontale ; la projection géométrique d'une ligne est donc le transport perpendiculaire de tous ses points sur une autre ligne; on détermine cette projection, en abaissant de l'extrémité libre de la ligne penchée, une perpendiculaire sur l'autre ligne ; la partie de la dernière ligne comprise entre la perpendiculaire et son point de réunion avec la première, est la longueur de la projection: si la branche verticale de l'équerre s'écartait au contraire de la branche horizontale, et formait avec elle un angle obtus, ou plus grand que l'angle droit, elle serait penchée en arrière, et ne pourrait plus avoir de projection, évidemment, sur la ligne horizontale elle-même, mais sur son prolongement en arrière, c'est là seulement que tomberait son ombre, sous les rayons d'un soleil perpendiculaire ; donc toute ligne droite qui forme un angle obtus avec une autre ligne, ne peut avoir de projection que sur son prolongement ; ces idées préalables étant une fois posées:
Soit un triangle rectangle dont l'hypoténuse ait cinq mètres, le côté vertical trois mètres, et le côté horizontal ou la base quatre mètres : Seize , carré de la base ou côté opposé à l'un des angles aigus du triangle, est égal à vingt-cinq, carré de l'hypoténuse , plus neuf, carré du côté vertical, total trente-quatre, moins dix-huit, manifestement : or dix-huit est deux fois le produit du côté vertical trois , multiplié par lui-même; car ici la projection de l'hypoténuse sur ce côté vertical ; est ce côté même, puisqu'il est compris tout entier entre la perpendiculaire même de l'extrémité de l'hypoténuse sur lui et son point de jonction avec l'hypoténuse : remarquez que cette perpendiculaire de l'hypoténuse constitue la base même du triangle, donc dans le triangle proposé se trouve vérifie^ ce premier théorème des auteurs: Que dans un triangle, le carré du côté opposé à un angle aigu, est égal au carré d'un des autres côtés, plus le carré de l'autre côté , moins deux fois le produit de ce côté multiplié par la projection de l'autre sur lui.
Soit un autre triangle obtusangîe , dont la base ou le côté opposé à l'angle obtus mesure 7 mètres de longueur, et chacun des deux autres côtés 4 mètres : 49, carré de la base 7, ou côté opposé à l'angle obtus, est égal à 16, carré d'un des deux autres côtés 4, plus 16, carré de l'autre côté (total trente-deux), plus 1 7 : or, ce dernier chiffre est deux fois le produit de quatre multiplié par 2 4- 1/8, ou de l'un des deux autres côtés multiplié par la projection de l'autre; car dans le cas qui nous occupe, un des côtés latéraux du triangle, formant un angle obtus avec l'autre côté , n'a de projection , que sur son prolongement , et
cette projection est ici de 2 plus un 1/8; donc dans le triangle cité, le carré de la base ou du côté opposé à l'angle obtus, est égal au carré de Pun des deux autres côtés, plus le carré de l'autre, encore plus deux fois le produit de ce côté multiplié par la projection de l'autre non pas sur lui, mais sur son prolongement, conformément pour le fond au second théorème des géomètres. On ne peut préciser, que par l'expérimentation positive, la projection d'un côté d'un triangle sur un autre, à moins que le triangle ne soit rectangle et que la projection nesoit le côté vertical tout entier de ce triangle, ou à moins que l'on ne connaisse parfaitement la base et la valeur des deux autres côtés, et que l'on ne puisse déterminer par quel chiffre devrait être multiplié deux fois un des côtés, pour compléter, dans le triangle obtusangle, le carré de la base ou du côté opposé à l'angle obtus avec les carrés des deux autres côtés; ou pour égaliser, dans le cas de l'angle aigu, par une soustraction suffisante, le carré de la base ou du côté opposé à l'angle aigu avec les carrés des autres côtés. La clarté des démonstrations du vrai fait les maîtres animés, les disciples enthousiastes, et verse sur les uns et les autres d'indescriptibles délices. Lorsque l'esprit conçoit avec puissance et une sorte de transport, il est comme irrésistiblement entraîné à communiquer la science qui l'exalte, à la faire valoir avec ardeur, pour partager avec d'autres le charme dont il ressent l'empire; parce qu'en transmettant sa haute impression, il se donne à lui-même un témoignage sensible de sa propre grandeur par un secret retour. Le zèle d'un maître passe de son âme dans l'âme des disciples pour l'échauffer, et
devient pour eux une bienfaisante lumière; car leurs facultés étantplus énergiquement appliquées, perçoivent avec une lucidité plus vive les rapports surprenants des phénomènes qui se déroulent à leur contemplation. Les mathématiques, bien enseignées, loin de dessécher, comme on le leur reproche, l'imagination, féconderaient les plus brillantes sources de son essor, par les étonnantes et admirables harmonies qu'elles dévoilent à la raison, souvent ravie d'assister à de si merveilleux spectacles.
ARTICLE VIII
Suite du même sujet. — Carré de l'hypoténuse.
Nulle révélation scientifique n'a jeté plus d'éclat dans les siècles, que le carré de l'hypoténuse. Ce problème, éternellement fameux, et résolu, dit-on, par Pythagore, dont il fait la gloire, plane comme un brillant fanal sur toutes les parties des sciences géométriques. La trigonométrie entière, à peu de chose près, est fondée sur les propriétés du carré de l'hypoténuse, puisqu'elles servent à en inaugurer presque toutes les lois ; on les utilise pour découvrir les rapports d'étendue de la circonférence avec son diamètre, ou avec un de ses rayons; les lois des lignes inclinées leur empruntent leurs plus claires démonstrations; elles interviennent pour décider pratiquement une foule de questions particulières pleines d'intérêt. Nous avons déjà répété, par anticipation, bien des fois, le théorème qui suit, pour en tirer les plus remarquables avantages :
Dans tout triangle rectangle, le carré construit sur l'hypolénuse ou sur le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés construits sur les autres côtés formant l'angle droit, et que l'on nomme côtés adjacents.
On fait briller expérimentalement de plusieurs manières la rigueur mathématique de ce beau théorème :
Soit un triangle rectangle dont un des côtés adjacents à l'angle droit, mesure six mètres de longueur, l'autre côté adjacent huit mètres, et l'hypoténuse dix mètres : 10 multipliés par 10 valent cent; le carré de l'hypoténuse est donc décent : 6 fois 6 font 36 ; 8 fois 8 font 64; 36 et 64 donnent 100 ; dans le triangle rectangle en exemple, la somme des carrés des côtés adjacents est donc rigoureusement égale au carré de l'hypoténuse.
Soit un autre triangle rectangle, dont l'hypoténuse offre 13 mètres de long, l'un des côtés formant l'angle droit, 5 mètres, et l'autre côté 12 mètres : transportez le carré du plus grand côté adjacent qui est de 12, sur le carré de Phypothénuse qui est de 13 mètres de longueur en tous sens : 12 mètres étant pris sur deux des côtés de ce carré , il n'en restera que 25 mètres carrés, 13 sur une des deux lignes libres, et 12 sur l'autre ; mais 25 mètres sont exactement le carré du plus petit côté adjacent qui est de 5 mètres; donc, dans le nouvel exemple de triangle rectangle, le carré del'hypolhénuse est strictement égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Toutes les expérimentations que vous pourrez tenter, vous dévoileront toujours, qu'on peut renfermer adéquatement dans le carré de l'hypoténuse, les carrés des deux côtés adjacents; mais, quand l'hypoténuse sera incommen-
snrable avec les autres côtés formant l'angle droit, pour réaliser les carrés de ceux-ci dans le carré de l'hypoténuse, il faudra les réduire en fractions de diverses sortes; car si des parties d'une même forme ou de mômes dimensions pouvaient, en se multipliant, représenter exactement tous ces carrés, leurs lignes ou côtés pourraient s'évaluer par une même mesure et seraient dès-là même commensurables.
Il ne sera pas sans opportunité de tracer quelques observations supplémentaires : 1° Le carré mathématique étant essentiellement le produit d'un nombre multiplié par lui-même, il est incontestable que, dans d'innombrables cas, aucun nombre de mesure commune multiplié par luimême ne saurait produire ce que l'on nomme le carré de l'hypoténuse; ce n'est donc point un carré relatif proprement dit, ou rigoureux, cependant alors même on peut encore le considérer en lui-même, ou intrinsèquement, comme un carré absolu; parce que, constamment, on peut, au moyen de parallèles, le partager en un certain nombre de portions parfaitement égales, telles que 25, 64-, 100, etc., dont quelques-unes étant multipliées par ellesmêmes donneront ce carré: c'est là l'explication naturelle de l'énigme que nous avons proposée plus haut à nos lecteurs (Page 27).
2° Quoique la ligne génératrice du carré de l'hypoténuse, soit, dans une série de cas sans terme, incommensurable avec les côtés adjacents du triangle rectangle, toutefois le carré de l'hypoténuse lui-même est toujours commensurable avec les carrés de ses côtés formant l'angle droit; parce qu'étant le total de leurs mesures communes, on peut toujours exprimer avec la dernière précision, par un
chiffre de mesure connue, le rapport de sa surface avec celle de ses carrés corrélatifs : supposez que les* deux côtés adjacents aient chacun pour carré 25 mètres de superficie, le carré de l'hypoténuse se trouvant de 50 mètres, n'est-il point clair que le rapport de son étendue avec celle des autres carrés, sera précisément celui de 50 mètres à 25, et qu'on pourra l'énoncer sans excédant ni défaut, ou strictement?
3° Le carré de l'hypoténuse est encore toujours commensurable en ce sens, que le nombre des points de sa ligne de génération, étant multiplié par lui-même, ou répété autant de fois qu'il contient de parties infiniment petites, engendrera ce carré qui sera en môme temps géométrique et numérique ou du domaine de l'arithmétique.
4° Bien que dans une infinité de cas aucun nombre de mesure commune ne puisse faire éclore le carré de l'hypoténuse, il est possible malgré cela, en toute occurence, de le déterminer, soit en multipliant un nombre de mesure commune par un autre nombre, soit par des additions d'unités connues : lorsque le carré de l'hypoténuse est de 18 mètres, nul nombre de mètres multiplié par lui-même ne donnera ce produit; mais on pourra l'obtenir en multipliant 6 mètres par 3, et à plus forte raison par diverses opérations additionnelles de mètres.
Veut-on expliquer une machine compliquée? On la démonte, et on en fait voir, un à un, isolément, les rouages et les leviers ; on les montre ensuite entre eux dans les rapports les plus simples, puis dans une série de rapports de plus en plus complexes, jusqu'à ce que la machine soit recomposée toute entière. Par ce* artifice, on fait par-
venir l'esprit naturellement et sans effort, sur une pente douce et habilement ménagée, à des hauteurs que sans cela il n'eut pu atteindre ou qui l'auraient glacé d'effroi.
Avez-vous une démonstration embarrassante par la complexité de ses idées, ou la transcendance de ses rapports, à développer? Démontez-la semblablement, soumettez-en à l'esprit, une à une séparément, les parties diverses; faites-les figurer après cela dans des rapports de plus en plus composés jusqu'à ce que vous aurez épuisé la démonstration entière.
La preuve scientifique du carré de l'hypoténuse, est, faute d'une méthode analytique suffisamment lucide, mal comprise par un certain nombre d'intelligences, ou demeure, dans ses résumés trop concis pour elles, inaccessibles. Démembrez donc, partie par partie, cette démonstration célèbre : Séparez d'abord le triangle que l'on emploie pour montrer l'égalité du plus grand carré des côtés adjacents du triangle rectangle, avec le plus grand segment ou la plus grande portion du carré de l'hypoténuse; décrivez-le isolément; faites voir que ce triangle étant très-penché, il faut, pour avoir sa hauteur, prolonger sa base et abaisser de son sommet une perpendiculaire sur ce prolongement; que pour concevoir clairement qu'il a la même hauteur que le carré auquel on le compare et qui est construit sur sa base même, il faut de son sommet, jusqu'au côté supérieur du carré mener une ligne parallèle à toute la base ; qu'alors ces deux figures, étant comprises entre deux mêmes parallèles, l'une inférieure et l'autre supérieure, ont nécessairement la même élévation ou la même hauteur ; faites voir encore que ce triangle
très-penché est radicalement la moitié d'un carré de même base et de même hauteur ; il restera alors établi qu'il est exactement la moitié du carré avec lequel on le met en rapport : séparez le second triangle dont on se sert pour prouver la même égalité du plus grand carré des côtés adjacents du triangle rectangle, avec le plus grand segment du carré de l'hypoténuse ; décrivez-le solitairement; faites voir qu'étant pareillement très-penché, il faut, pour évaluer sa hauteur, prolonger sa base, abaisser de son sommet une perpendiculaire sur ce prolongement; que pour saisir l'identité de sa hauteur avec celle du plus grand segment du carré de l'hypoténuse, il faut mener de son sommet, sur le côté supérieur de la grande portion du carré de l'hypoténuse , une ligne parallèle à sa base entière qui fournit en même temps la base du grand segment du carré de l'hypoténuse ; que ces deux figures s'élevant alors entre deux mêmes parallèles, ont inévitablement la même hauteur; et que le triangle est par là même la moitié de la grande portion du carré de l'hypoténuse, comme ayant la même base et la même élévation que ce carré long : confrontant après cela entre eux les deux triangles précédents, vous montrez qu'ils ont un même angle compris entre deux côtés égaux, qu'étant superposés ils se confondraient, qu'ils sont identiques ; et que représentant adéquatement l'un la moitié de la valeur du grand carré des côtés adjacents, et l'autre la moitié de la valeur du grand segment du carré de l'hypoténuse, ces deux moitiés égales à deux triangles égaux, sont impérieusement égales entre elles, et, emportent avec la même nécessité, l'égalité de leur tout ou des deux carrés comparés. Les mêmes opérations
étant accomplies sur le plus petit carré des côtés adjacents, et sur le plus petit segment du carré de l'hypoténuse, l'égalité de ces deux figures surgit à la démonstration : mais dès que les deux portions du carré de l'hypoténuse sont identiques au carré des deux côtés adjacents du triangle rectangle, vous en inférez en déduction finale, que le carré entier de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés : et l'esprit n'a pas cessé un moment de saisir avec une complète évidence, les rapports successifs de ces étonnantes constructions, des raisonnements qu'elles fondent: éternel honneur de la raison humaine.
La perpendiculaire qui, du sommet de l'angle droit s'abaisse sur l'hypoténuse, divise cette hypoténuse et son carré en deux parties proportionnelles au côté du triangle formant l'angle droit; ces deux portions se nomment les deux segments de l'hypoténuse et du carré construit sur son développement : elles sont inégales ou égales , selon que les deux côtés adjacents, ont entre eux des rapports d'inégalité ou d'égalité; le triangle rectangle est dans ce dernier cas isocèle.
Après avoir établi le principe fondamental de l'égalité mathématique du carré de l'hypoténuse, avec les carrés des deux côtés constituant l'angle droit, le classique Blanchet formule ce théorème complexe :
« Dans tout quadrilatère la somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des diagonales, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint leur milieu (4) : »
(1) Géométrie, p. 72.
Ce théorème dans sa généralité est faux; en voici la preuve sans réplique : on nomme quadrilatère toute figure qui a quatre côtés; le carré parfait dont les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits, appartient donc à Tordre des quadrilatères : or les deux diagonales d'un carré parfait, se coupent à angles droits et transforment le carré en quatre triangles rectangles isocèles , dont les hypoténuses sont les côtés mêmes du carré : mais dans un triangle rectangle isocèle, ou dont les deux côtés adjacents sont égaux, le carré de l'hypoténuse équivaut à deux fois le carré d'un des côtés égaux; donc les carrés des quatre côtés du quadrilatère parfait, ou des hypoténuses des quatre triangles rectangles isocèles, formés par ces deux diagonales, sont égaux par leur somme à 8 fois le carré d'un de leurs côtés, ou à 8 fois le carré de la moitié d'une des deux diagonales du quadrilatère; ou à deux fois, ni plus ni moins, le carré de chacune des deux diagonales; car nous avons précédemment établi cette belle loi : Que quand deux lignes sont égales, le carré fait sur leurs sommes, est égal à quatre fois le carré de l'une de ces deux lignes; il suit que le carré formé sur une diagonale entière est équivalent à quatre fois le carré d'une de ses deux moitiés, représentant l'un des côtés des quatre triangles rectangles isocèles du quadrilatère parfait métamorphosé ; et que par conséquent les carrés construits sur les deux diagonales, équivalent à 8 fois le carré d'une de leurs moitiés ou d'un des côtés des triangles dénommés, ou bien à la somme des carrés de toutes leurs hypoténuses, puisque celte somme, d'après ce qui vient d'être dit, vaut 8 fois le carré d'un des côtés adjacents ; il est
donc faux , que la somme des carrés des quatre côtés de tout quadrilatère , soit égale , non-seulement au carré de chacune des deux diagonales ; mais multiplement au carré des perpendiculaires qui se prolongeraient du milieu d'un des côtés du quadrilatère, aux côtés opposés : l'addition de ces derniers carrés est toute entière erronée pour le quadrilatère parfait.
Le carré long ou parallélogramme est une autre espèce de quadrilatère : ses deux diagonales en convertissent la surface en quatre triangles isocèles, dont deux à angles au sommet obtus, deux à angles au sommet aigus, et qui ont pour baseles quatre côtés du parallélogramme. Or, d'après une des lois que nous avons précédemment inaugurées dans la science, il est positivement établi : que dans tout triangle isocèle à angle au sommet soit obtus soit aigu, le carré de la base est égal à quatre fois le carré d'un des côtés égaux, moins quatre fois le carré de la perpendiculaire abaissée de l'angle au sommet sur la base; donc la somme des carrés des bases des quatre triangles partiels du parallélogramme ou des quatre côtés de ce quadrilatère, est équivalente à seize fois le carré d'un des côtés de ces triangles, ou d'après ce qui a été expliqué il n'y a qu'un moment, à deux fois le carré de chacune des deux diagonales du parallélogramme, moins deux fois le carré des deux lignes qui joindraient entre eux les milieux de ces côtés opposés, et qui sont les perpendiculaires de ces quatre triangles; donc il est faux cette fois encore, que dans tout quadrilatère, la somme des carrés de ses quatre côtés, est égale à deux fois le carré de chacune de ses diagonales , moins quatre fois le carré des lignes
droites qui uniraient entre eux les millieux de ces quatre côtés. Oa ne peut donc en géométrie, sous peine de s'exposer aux plus lourdes méprises, généraliser au delà de ce que l'expérimentation autorise à le faire; là, comme dans toute autre science, pour s'élever au-dessus de l'erreur, il ne faut point s'élever au-dessus des faits dans ses affirmations, ni oulre-passer leurs sens légitimement combinés.
ARTICLE IX
De quelques démonstrations géométriques imparfaites ou impossibles.
Il se rencontre dans les classiques de géométrie, des démonstrations assez nombreuses que rend imparfaites , tantôt le défaut capital d'idées essentielles, tantôt l'insuffisance des développements : nous n'en produirons que quelques exemples :
Les collaborateurs Paschal et Eisseric démontrent comme il suit ce théorème : « Que deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun, et un côté égal :
« Deux triangles ne peuvent pas avoir deux angles égaux sans que le troisième soit aussi égal, cela posé, soient les deux triangles ABD, abd, dans lesquels on a AD = ad , angle A = a et angle D = d : je dis qu'ils seront superposables. En effet, portons abd sur ABD, en faisant coïncider les bases égales AD, ad puisque l'angle A= a, le côté ab prendra la direction AB, en sorte que l'extré-
mité b sera sur l'un des points de la droite AB, de même, puisque D = d le côté db se couchera sur DB et l'extrémité b appartiendra aussi à la droite DB ; mais alors le point b, devant être à la fois sur les deux lignes AB, DB ne peut tomber ailleurs qu'à leur intersection unique B : donc les deux triangles donnés coïncideront dans toutes leurs parties et seront égaux (1). » Les autres auteurs répètent les mêmes mots sacramentels , sur ce théorème ; mais l'esprit n'est point satisfait ; car il était utile de rappeler : que les trois angles d'un triangle , étant constamment égaux à deux angles droits , il est impossible que deux triangles aient deux angles identiques sans que leur troisième angle ne soit le même ; parce qu'il est la valeur différentielle de la valeur totale des deux premiers angles, à celle de deux angles droits: il était indispensable en outre de prouver : que dans deux triangles, les côtés latéraux qui ont une base identique etforment avec elle deux angles égaux, ne sauraient produireleur troisième angleégal qu'à une même distance de leurs extrémités à la base, démonstration qui, du reste , est très-simple; car, si ces deux côtés formaient leur troisième angle avec une moindre longueur, leurs angles seraient plus rapprochés de la base, et par conséquent plus ouverts; et s'ils le réalisaient avec une plus grande étendue , cet angle serait plus aigu , ses deux côtés étant moins écartés vers leurs points de réunion, ainsi qu'on peut s'en assurer par les tentatives expérimentales les plus faciles à exécuter. « Trois points non en ligne droite déterminent une cir-
conférence , écrivent plus loin MM. Paschal et Eisseric : soient les trois points donnés A, B, G, joignons-les par des droites et des milieux M et N, élevons les perpendiculaires MS, NV qui se couperont en un point 0; ce point commun aux deux perpendiculaires, sera à égale distance des trois points donnés A, B, C, donc si de ce même point 0 comme centre et avec l'oblique OA pour rayon , on décrit1 une circonférence, elle passera par les deux autres points B, G. D'ailleurs le centre 0 et le rayon OA étant unique , les trois points donnés ne peuvent appartenir qu'à une seule circonférence (1). »
Vous avez établi imparfaitement , obscurément , que par les trois points mis en exemple , on peut faire passer la courbe d'une circonférence; vous avez supposé, plutôt que démontré scientifiquement, qu'on ne pourrait faire passer par ces trois mêmes points qu'une même ligne circulaire ; mais trois points peuvent offrir des dispositions bien différentes de la combinaison que vous avez proposée; et c'était pour vous une tâche nécessaire, avant de hasarder une conclusion générale , de dévoiler aux sens : que dans les assemblages les plus extraordinaires de trois points non placés sur une même ligne, on peut toujours décrire une courbe circulaire qui les embrasse dans son évolution; il était aussi impérieusement prescrit par la philosophie, de montrer expérimentalement, que dans toutes ces systématisations de trois points, on ne peut jamais faire passer par leur totalité deux circonférences de différents diamètres.
Soit un V renversé et dont les branches soient un peu plus écartées que de coutume : supposez que le sommet du V renversé soit marqué d'un point saillant, et ses extrémités libres, de deux autres points reconnaissables : si par le milieu de la branche gauche et à une égale distance du point de son extrémité libre et de celui du sommet, vous tracez une perpendiculaire dans l'intérieur du V; et si par le milieu de la branche droite, à une distance égale de son extrémité libre et du point du sommet, vous menez pareillement dans l'intérieur du V, une autre perpendiculaire ; ces deux lignes infailliblement se rencontreront en un point central.
Or, si de ce centre ou point de réunion des deux perpendiculaires, vous étendez aux deux points extrêmes du V, et au point de son sommet , des lignes droites , je dis que ces trois lignes seront égales et les rayons d'une même circonférence; car les lignes du point central à l'extrémité droite, et au sommet, étant deux obliques également éloignées du pied d'une perpendiculaire, et abaissées de son sommet sur une base identique, auront la même longueur, d'après ce qui sera prouvé plus loin de l'égalité d'étendue de deux lignes obliques descendues du sommet d'une même perpendiculaire, sur une ligne horizontale/ommune : pour une même raison, les deux obliques menées du centre de réunion à l'extrémité gauche du V, et à son sommet, étant à une égale distance du pied de leur perpendiculaire, seront également longues; toutes trois seront donc d'une même dimension , puisque les deux extrêmes sont égales à celle du sommet; une même circonférence pourra donc comprendre dans son dévelop-
pement, les trois points auxquels elles aboutissent. On ne doit point se dispenser, nous le redisons, dans les cas disparates, où il est douteux que trois points bizarrement arrangés, soient susceptibles d'avoir un centre commun, de démontrer, par une similitude de construction, l'application immuable du principe absolu.
Voulez-vous tenter de décrire sur les trois points non en ligne droite, deux circonférences de différentes amplitudes : il faudra pour cela trouver un second centre; mais prendrez-vous ce centre dans l'espace limité par les trois points? Vous ne réussirez point à le fixer à une égale distance de ces trois points; car si vous le rapprochez du point supérieur, vous l'éloignerez d'autant des deux autres ; si vous le rapprochez du point extrême gauche , vous l'écarterez du point extrême droit, et réciproquement. Choisirez-vous le centre nouveau en dehors de l'enceinte des trois points? Vos essais seront tout aussi vains :
Soient deux points assez rapprochés et réunis par une ligne horizontale ; soit un point supérieur situé vers le milieu de cette ligne horizontale : de ce point supérieur même tracez une perpendiculaire indéfinie , qui passe à une égale distance des deux points horizontaux; si d'un point donné de cette perpendiculaire , vous parvenez à faire passer une circonférence par les trois points articulés, je dis que vous ne pourrez y faire passer ni une circonférence plus petite, ni une circonférence plus grande; car, si la conférence était plus petite, son arc ayant pour corde la ligne horizontale , serait plus convexe , son sommet se trouverait plus loin de la ligne horizontale, et
passerait au delà du point supérieur ; si la circonférence était plus grande, son arc sous- tendu par la ligne horizontale, serait plus aplati, et passerait en deçà du point supérieur. Cependant à partir du centre vrai d'abord rencontré, de chaque point de la perpendiculaire prolongée à l'infini, pendant une durée éternelle, on pourrait toujours mener aux deux points extrêmes de la ligne horizontale, deux lignes droites égales, qui seraient des rayons de cercle, faire passer par ces points extrêmes, une infinité de circonférences incessamment grandissant, dont les arcs s'abaisseraient de plus en plus, se rapprocheraient sans cesse de la ligne horizontale , sans y atteindre jamais par leurs sommets ; supposez que le point supérieur ne soit distant que d'un millimètre de la ligne horizontale, c'est dans ce faible intervalle, qu'une infinité de circonférences se redresseront de plus en plus, s'avanceront sans cesse, éternellement, vers la ligne horizontale , sans s'y confondre jamais, parce que leurs arcs seront toujours des lignes courbes et non des lignes droites, et qu'ils représenteront essentiellement des portions de circonférence. Ces asymptotes, plus claires, plus saisissantes, que celles des courbes hyperboliques, ne sont pas moins prodigieuses.
Les traités classiques, sur les rapports de contact de deux circonférences extérieures l'une à l'autre, instituent cet énoncé théorique :
« Deux circonférences qui extérieurement ne se touchent qu'en un point, ne se confondent non plus que dans ce seul point, et restent extérieures l'une à l'autre sans se pénétrer. »
Mais ce point de contact est-il quelque chose d'inétendu, comme le prétendent les géomètres , au début de leur science ? Supposez que deux circonférences se touchent en réalité par rien, et la plus palpable et la plus lourdedemeat dissonnante des absurdités, puisque se toucher et ne pas se toucher serait une même chose : entendrezvous par le point de contact de deux circonférences extérieures, la plus faible étendue que l'œil puisse apercevoir? mais ce qui est à peine perçu par une mauvaise vue, apparaît deux ou trois fois plus grand à une vue meilleure ; et ce que l'œil le plus perspicace ne saisit que comme un point, se montrera cent fois ou deux cents fois plus long, sur le champ d'un microscope grossissant cent fois ou deux cents fois les diamètres : direz- vous que le point unique par lequel les circonférences se touchent, est la plus petite étendue qui soit concevable? mais ce qui est étendu en longueur a deux extrémités et une partie moyenne qui les sépare ; celte partie a donc un milieu et par conséquent deux portions intégrantes, qui elles-mêmes ont leur milieu et leurs portions intégrantes, ainsi de suite sans fin ; donc il est d'une intrinsèque impossibilité que deux circonférences ne se touchent que par un point : cette démonstration est inattaquable, les pensées qu'elle embrasse sont l'évidence même : vous pourrez cependant démontrer aussi mathématiquement et aussi lucidement, le contraire : car, il est indéniable : qu'il ne saurait exister de nombre qui soit infini; puisque quel que puisse être un nombre, on peut toujours y ajouter et l'accroître : or, si une circonférence définitivement, ne se composait pas de point indivisible, chacune de ses parties renfermerait
un nombre infini de points, manifestement; en effet,, admettant comme fini, ce nombre, on arriverait nécessairement à l'indivisible : ce raisonnement est aussi inattaquable dans chacun de ses jugements partiels que le premier; l'analyse mathématique la plus claire, la plus rigoureuse, et la plus logiquement conduite, d'une idée et des éléments essentiels que la raison y découvre, peut donc aboutir à l'absurde ou à démontrer sévèrement le pour et le contre : ces opérations de l'esprit changeront- elles la nature de leurs résultats, et transformeront-elles leurs illusions en vérités certaines, lorsqu'on les aura hérissées de signes algébriques, emblèmes propres à abriter de leurs ténèbres l'erreur et à l'empêcher d'être reconnue ? Les questions qui tiennent aux théorèmes qui précèdent immédiatement sont à jamais insolubles, et on ne doit les discuter en géométrie, que pour montrer l'inanité de l'analyse algébrique, lorsqu'elle prétend marcher seule , et que les sentences auxquelles elle s'élève ne sont pas positivement confirmées par les faits raisonnes.
article x.
De la pyramide, du cône, etc.
Depuis plus de deux mille ans la géométrie répète avec orgueil : « Que la pyramide est le tiers d'un prisme de même base et de même hauteur : que le cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur perpendiculaire. »
« On nomme cylindre un corps rond allongé qui a deux
bases planes, limitées par une circonférence et qui est de même épaisseur ou de même diamètre dans toute son élévation : une tour parfaitement ronde et de même diamètre dans toute sa hauteur, une colonne qui serait également épaisse dans tout son développement, seraientdes cylindres ; un cône est un corps rond allongé qui a une base plane circulaire, et qui, diminuant graduellement d'épaisseur, se termine en pointe ; un pain de sucre à sommet effilé, une flèche qui serait parfaitement ronde et aiguë représenteraient des cônes. Le prisme est un corps triangulaire ou carré , ou à un plus grand nombre de faces latérales, qui a deux bases planes, et dont l'épaisseur est la même dans toute son évolution ; telle serait une tour carrée d'une grosseur égale dans son ascension totale ; telle serait encore une poutre parfaitement équarrie. La pyramide, analogue au cône, est un corps allongé triangulaire ou carré ou à faces plus nombreuses, qui a pour base une surface plane et qui décroissant graduellement par nuances insensibles , se termine en pointe; une flèche carrée ou triangulaire et qui se terminerait en pointe imperceptible réaliserait une pyramide, etc. »
Pour démontrer que la pyramide est le tiers, en solidité ou en volume, d'un prisme de même base et de même hauteur, les géomètres, après avoir divisé un prisme triangulaire en trois pyramides devenues classiques, prouvent, en les comparant deux à deux, qu'elles ont même base et même hauteur entre elles et avec le prisme dont elles sont issues ; mais pour que deux surfaces soient égales en valeur, il ne suffit pas qu'elles aient même base et même hauteur; il faut en plus qu'elles soient régulièrement des-
sinées, et qu'elles offrent le même nombre de côtés : une surface qui présenterait des saillies et des dépressions, ou qui accuserait d'autres irrégularités, ne serait pas égale en valeur à une surface régulière, quoique de même base et de même hauteur, évidemment : et si l'une était limitée par quatre côtés et l'autre par cinq ou par un nombre plus grand, elles ne seraient point encore égales, par cela seul qu'elles auraient même base et même hauteur ; car nous établirons plus loin, que même à pourtour identique, une figure a d'autant plus de surface qu'elle est terminée par plus de côtés : il n'en est pas autrement des solides : si l'un est difforme, et l'autre à forme régulière, ils ne sont* plus assimilables ; ou si l'un n'a que quatre faces et que l'autre en étale cinq , ils pourront être d'un volume fort différent, nonobstant l'égalité de leur base et de leur hauteur; parce que à circuit égal, quatre lignes qui forment une figure renfermeront plus de points, que trois lignes composant une figure triangulaire. Or, des trois pyramides dans lesquelles les géomètres partagent leurs prismes, il s'en trouve une dont la configuration est de quatre faces, et qui peut passer jusqu'à un certain point pour régulière : l'autre a une conformation extérieure de cinq faces de dimensions diverses et trahit plusieurs irrégularités ; elle n'est donc pas avec ces dissemblances, comparable à la première : la troisième pyramide, dotée seulement de quatre côtés, est informe , se distingue par les caractères les plus saillants de dissimilitude inqualifiable; elle ne saurait donc, étant grevée de ces disparités considérables, être assimilée ni à la seconde pyramide ni à la première; bien que ces trois pyramides aient deux à
deux, et en les changeant de position même base et même élévation ; on ne peut donc conclure qu'elles sont égales entre elles en volume , dès que deux d'entre elles sont diversement irrégulières, et que l'une compte plus de faces. Quoi I en présence de ces témoins incorruptibles , devant ces dissemblances essentielles et accusatrices, vous avez le courage d'identifier des solides si disparates, et de prononcer l'égalité absolue de leur volume par cette seule considération que vous avez constaté l'égalité de leur base et de leur hauteur, oubliant les rapports frappants et décisifs de difformité qui les différentient ! Si vous raisonniez au flambeau de la même dialectique, dans les autres parties de la science, vous les rempliriez de rêves extravagants, et la géométrie ne serait plus qu'une mystification absurde et honteuse.
Considérant les cylindres comme des prismes d'une infinité de côtés, et les cônes comme des pyramides à faces infiniment petites, les auteurs de géométries classiques ont promulgué ce corollaire, suite naturelle de leur spéculation : « La solidité du cône est le tiers de celle d'un cylindre de même base et de même hauteur. » Si le premier théorème flotte dans l'incertitude, s'il n'est appuyé que sur une démonstration erronée, la conséquence que l'on en fait sortir, est encore moins légitimement un dogme scientifique; car les assimilations du cylindre au prisme, du cône à la pyramide, ne sont point des évaluations rigoureuses; ce n'est que par une appréciation approximative, que l'on peut regarder un cylindre comme un prisme d'une infinité de côtés, et le cône comme une pyramide à faces infiniment petites.
Que Ton divise dans sa longueur un cylindre en trois portions égales , on ne parvient point avec le choix d'une matière molle , à composer trois cônes réguliers égaux entre eux, et de même base et de même hauteur que le cylindre : du moins n'avons-nous pas réussi dans des tentatives réitérées de ce genre : nous avouons, que de ces épreuves délicates éminemment , on ne saurait rien conclure rigoureusement ; parce qu'il faudrait une main habile et très-exercée pour les amener à un état de perfection qui satisfit la science; trois cônes parfaitement réguliers et réalisés en métal facile à façonner, étant disposés sur un des plateaux d'une balancent un cylindre de même base et de même hauteur et en même substance métallique sur l'autre plateau, révélerait aux regards leurs rapports de solidité, très-approximativement; et en jetant dans un cylindre creux de même base et de même hauteur, et à moitié rempli d'un liquide coloré , les trois cônes, on constaterait par l'ascension du liquide, leurs rapports de solidité avec le cylindre ; nous n'avons point d'autres voies expérimentales pour résoudre cet intéressant problème. Car il est impossible de diviser un prisme triangulaire, le plus simple de tous, l'élément générateur des autres prismes, en trois pyramides régulières dont la comparaison détaillée et sous tous les rapports essentiels, permit philosophiquement d'inférer leur égalité en capacité ou en volume.
ARTICLE XI
Des troncs de pyramides, des troncs de cônes.
Si par un plan ou par une lame conduite parallèlement à la base, on tranche dans leur hauteur une pyramide, un cône, et qu'on en enlève les portions supérieures, ce qu'il en reste se nomme tronc régulier de pyramide, tronc de cône; lesquels à vrai dire ne sont, l'un qu'un prisme qui, à sa base inférieure, aurait des proportions plus grandes, et l'autre, qu'un cylindre qui, à sa base inférieure, serait plus ample : d'après ces prémisses, on pourrait déjà prévoir quels seront les théorèmes classiques des auteurs :
« Tout tronc de pyramide, proclament à l'unanimité les géomètres, est égal à trois pyramides de même hauteur que ce tronc, et qui aurait pour base, l'une, la base inférieure du tronc de pyramide, l'autre, sa base supérieure, et la troisième, une base moyenne proportionnelle entre les deux premières ; » ce qui étant plus approfondi, revient à cette formule : Qu'un tronc de pyramide est égal à trois pyramides partielles, qui toutes auraient la même hauteur que le tronc, et pour base commune, une moyenne proportionnelle entre ces deux bases, ou à la moitié des deux bases additionnées ; ce qui se réduit encore à cette formule identique, fondamentalement : Qu'un tronc de pyramide est égala un prisme de même élévation perpendiculaire, et qui aurait pour base, la moitié de ses deux bases additionnées : on peut s'assurer sans peine, par des calculs comparatifs, de cette intime équivalence, que les au-
teurs dans une inconcevable supercherie, ne semblent pas reconnaître. Mais étudions comparativement dans leurs applications pratiques, et dans les oracles de l'expérimentation, les principes géométriques généralement admis, sur l'appréciation de volumes des pyramides, des cônes et de leurs troncs respectifs : soit une pyramide de 24 pieds d'élévation, et de 16 pieds carrés de base; 4 pieds de long sur 4 pieds de large : 16 étant multiplié par 24, donne 384 pour total, ce qui est la valeur d'un prisme qui aurait les dimensions indiquées ; mais la valeur de la pyramide qui n'est que le tiers de celle-là, équivaudra donc à 128 pieds cubes.
Admettons que cette pyramide est coupée par le milieu de sa hauteur ; son tronc restera de 12 pieds d'élévation ; sa base inférieure sera toujours de 4 pieds de long et de 4 pieds de large ou de 16 pieds carrés : sa base supérieure se trouvant au milieu de la hauteur de la pyramide primitive, ne sera plus que de 2 pieds de long sur 2 pieds de large, 4 pieds carrés; d'après les géomètres, le volume de ce tronc de pyramide, sera donc équivalent à ceux de trois pyramides partielles, dont l'une aurait pour base, la base inférieure du tronc, l'autre sa base supérieure, et la troisième, une moyenne proportionnelle entre les deux précédentes , ou la demi-somme de ces bases additionnées :
12 fois 16 font 192, valeur d'un prisme ayant les proportions de base et de hauteur indiquées; mais la pyramide dont la solidité n'est que le tiers de cette valeur, ne sera que de 64 ;
Seconde pyramide : 12 fois 4 donne 48, pour le prisme
qui aurait ces dimensions de hauteur et de base ; le volume de la pyramide qui n'en est que le tiers sera de 16 pieds cubes ;
Troisième pyramide : celle-ci ayant la même hauteur que les deux précédentes, et pour base la moitié de leurs bases additionnées, aura pour valeur nécessairement la moitié de la somme de leurs valeurs, ou 40 pieds cubes, le total des leurs étant de 80; d'où il suit que les valeurs réunies des trois pyramides partielles dans lesquelles a été décomposé le tronc de pyramide donneront 120;
Or, la portion qui a été enlevée, étant de 12 pieds d'élévation et de 4 pieds carrés de base produira encore une valeur de 16 pieds cubes, qui étant ajoutée à 120 pieds cubes, expression du volume du tronc de pyramide, donnera pour le volume total de la pyramide 136 pieds cubes; mais cette pyramide entière ayant été calculée, d'après d'autres principes de la géométrie, s'est trouvée n'être que de 128 pieds cubes; le bon sens et la philosophie, d'accord, concluent forcément que les principes posés relativement à l'évaluation du volume de la pyramide et du tronc de pyramide , par les classiques géomètres , entraînant des résultats dissonnants et inconciliables, sont dans leur ensemble, erronés, antiscientifiques, inacceptables.
Si l'on expérimente dans des cas extrêmes, la désharmonie ressort encore plus; elle est révollante: soit une pyramide de 100 pieds de hauteur, mais ayant toujours pour valeur de sa base, 16 pieds carrés; 1600 pieds cubes représenteraient donc le volume d'un prisme de l'élévation et de la base exposées; et 533 pieds cubes et un tiers ex~ primeraient la solidité exacte de la pyramide.
Enlevons seulement par un plan parallèle à la base, un pied d'ascension à cette pyramide : le tronc qui en résultera aura 99 pieds de hauteur; et son volume, d'après le théorème de la géométrie, équivaudra aux volumes de trois pyramides intégrantes, de même hauteur, et dont l'une aura pour base, la base inférieure du tronc de pyramide, ou 16 pieds carrés ; une autre offrira pour base la base supérieure du tronc de pyramide qui sera moindre qu'un pouce carré ; et la troisième réclamera pour base , une moyenne proportionnelle entre les deux premières, ou un peu plus de 8 pieds carrés :
16 fois 99 donnent 1584, dont le tiers est de 528, volume calculé de la première pyramide.
La seconde pyramide intégrante ayant pour base la base supérieure du tronc de pyramide, qui n'est pas d'un pouce carré , son volume ne sera pas équivalent à un demi-pied cube;
La troisième pyramide dont la base est d'un peu plus de 8 pieds carrés, ou un peu plus de la moitié de la base de la première pyramide, avec une même hauteur, aura évidemment pour volume, un peu plus de la moitié du volume de cette pyramide ou de 528 pieds cubes, c'est-à-dire que sa solidité individuelle sera d'un peu plus des 264 pieds cubes , qui, étant ajoutés à 528, produiront pour volume total des trois pyramides réunies, un peu plus de 792 pieds cubes; telle sera donc aussi la valeur du tronc de pyramide qui a été décomposé en ces trois pyramides partielles; mais nous venons de voir que la pyramide totale, avant d'être tronquée, n'a été évaluée qu'à 533 pieds cubes et demi; la différence des valeurs est
donc énorme ou de plus de 250 pieds cubes, quoique obtenue toutes deux pour un seul et même solide , d'après les principes solennellement posés par la géométrie : les géomètres ne se sont donc jamais avisés d'approfondir dans les faits, ou dans leurs applications pratiques, des principes aussi inadmissibles. Nous lisons dans MM. Paschal et Eisseric littéralement cette observation : « Mais comme les poutres présentent en générale des irrégularités et que leur prix n'est pas élevé, on se contente dans la pratique de les considérer comme des cylindres ou comme des prismes dont la base serait une section perpendiculaire à l'axe et pratiquée sur le milieu de leur longueur; soit par exemple une poutre ronde dont les extrémités mal unies ne permette pas de mesurer les diamètres. Avec un ruban gradué ou une ficelle on mesurera les circonférences des deux bouts, dont on prendra la longueur moyenne, ou bien la circonférence du milieu de la longueur; on calculera la surface du cercle correspondant et on la multipliera par la longueur de la poutre (1). »
MM. Paschal et Eisseric, dans la partie de l'application de leur travail, calculent en outre positivement le volume du tronc de cône, en le considérant comme partagé en trois pyramides, en évaluant isolément chacune d'elles, et en en prenant finalement le total, par une série d'opérations laborieuses, sept fois plus grandes que celles, que nécessiterait leur dernier mode de mensuration ; on peut donc conclure qu'ils regardent sérieusement comme mathématiquement inexacte et seulement approximative, la mé-
(f) Géométrie, p. 251.
thode d'évaluation qui consiste à envisager le tronc de pyramide , et le tronc de cône, comme un prisme, et un cylindre qui auraient pour hauteur celle de ces troncs, et pour base spéciale une moyenne proportionnelle entre les bases inférieures et les bases supérieures de ces mêmes troncs; mais s'ils s'étaient donné la peine de comparer entre eux les résultats des deux procédés, ils auraient reconnu avec quelque surprise sans doute, leur identité absolue. Dans notre premier exemple, le tronc de pyramide, apprécié par le calcul successif de ces trois pyramides, s'est élevé à 120 pieds cubes, sa base inférieure étant de 16 pieds carrés, sa base supérieure de 4 pieds, et son élévation de 12; mais une pyramide de même hauteur, c'est-à-dire de 12 pieds, et d'une base moyenne proportionnelle entre 16 pieds et 4 pieds carrés, c'est-àdire de 10 pieds carrés, détermine le même produit, puisque 10 multiplié par 12 donne 120 rigoureusement : dans notre second exemple, le tronc de pyramide calculé d'après la valeur de ces trois pyramides constituantes à eu pour volume, un peu plus de 792 pieds cubes; mais étant transformé en un prisme de même hauteur que le tronc de pyramide ou de 92 pieds d'élévation, et d'une base moyenne entre les deux bases du même tronc de pyramide, c'est-à-dire d'un peu plus de 8 pieds carrés, aurait pareillement produit, par la multiplication de sa base par sa hauteur, un peu plus de 792 pieds cubes ; les deux méthodes sont donc mathématiquement les mêmes; la fausseté de l'une emporte la fausseté de l'autre.
ARTICLE XII
Des triangles sphériques.
Legendre et Blanchet, acceptant sans doute l'héritage de ceux qui les ont devancés, exposent scholastiquement cette étrange définition : « Un triangle sphérique est une portion de la surface delà sphère comprise entre trois arcs de grands cercles (1). » Que dirait-on d'un grammairien qui, après s'être demandé : Qu'est-ce qu'un nom en général? répondrait : Que c'est un mot qui sert à désigner quelques personnes ou un petit nombre de choses ; c'est-àdire, qui donnerait la définition spéciale du nom propre, au lieu de la définition générale du nom prise dans toute son extension ? Telle et aussi est extravagante l'irréflexion des auteurs de géométrie, qui, devant définir le triangle sphérique dans sa généralité, donnent l'explication exclusive d'une seule des espèces multiples qui appartiennent à cette classe de triangles ; car il est des triangles sphériques qui se composent uniquement de trois arcs de petits cercles; il en est qui sont formés par deux portions de petits cercles combinées avec une portion de grand cercle; il en est qui résultent d'une portion de petit cercle et de deux arcs de grands cercles ; il en existe enfin qui sont terminés par trois arcs de grands cercles : la distraction des géomètres est ici d'autant plus extraordinaire, que dans la pratique on ne rencontre peut-être pas une seule
(1) Blanchet, p. 206.
fois, un seul triangle sphérique produit par trois portions de grands cercles, à évaluer; et que, soit qu'il s'agisse d'apprécier diverses parties d'un méridien, soit qu'il faille calculer la distance en ligne droite, de deux localités terrestres , placées sur des degrés de latitude et des degrés de longitude différents, on n'a constamment à soumettre aux opérations de mensuration trigonomélrique, que des triangles sphériques engendrés par un arc de grand cercle, et par deux arcs de cercles que Ton nomme petits, parce qu'ils divisent la sphère en deux portions inégales , ou par un arc de petit cercle, et deux arcs de grands cercles partageant la sphère en deux portions égales, ou par trois arcs de petits cercles. A partir de cet écart capital, les géomètres entassent des affirmations absolues, qui sont autant de déviations scientifiques, et de sentences erronées : 1° « La somme des trois côtés d'un triangle sphérique, est inférieure à deux demi-circonférences. » Mais si d'un pôle d'une sphère à l'autre pôle , vous tracez une demi-circonférence ; et que des deux mêmes pôles vous dessiniez deux autres portions de circonférences, qui en se réunissant formeraient un angle, vous composeriez un triangle sphérique dont les trois côtés dans leur ensemble ne seraient pas inférieurs en longueur à deux demi-circonférences; cette proposition contient en elle-même sa preuve évidente : « Sur une même sphère et sur deux sphères de même diamètre, deux triangles qui ont leurs trois angles égaux chacun à chacun , ont semhlablement leurs trois côtés égaux. » Mais si de deux points pris sur l'équateur d'une sphère, et séparés par un intervalle de trente degrés, vous dirigiez deux quarts de circonférences
vers l'un des pôles de cette sphère, vous détermineriez un triangle sphérique qui aurait deux angles droits à sa base, et un angle de trente degrés à son sommet : or, vous pourrez de tous les cercles parallèles à l'équateur, et qui sont en nombre indéfini, mener des portions de circonférence-au même pôle de la sphère, former une infinité d'autres triangles sphériques, qui tous auront deux angles droits à leurs bases , et un angle de trente degrés à leur sommet, qui conséquemment auront leurs trois angles égaux chacun à chacun , quoique leurs côtés soient dans tous d'une dimension différente. Sur une même sphère , ou sur des sphères de même diamètre, deux triangles sphériques qui ont un côté égal, et deux angles égaux, sont égaux par là même dans toutes leurs parties. * Cela est complètement exact dans les triangles rectilignes, mais non, évidemment, d'après ce qui précède, dans tous les genre de triangles sphériques, car on vient de voir qu'une multitude illimitée de triangles sphériques sont susceptibles d'avoir leurs trois angles égaux , et leurs côtés trèsdifférents : or il est indubitable qu'en leur donnant sur les cercles parallèles plus petits, une base égale en longueur à celle du plus grand, ils ne cesseront point d'avoir deux angles droits ou égaux à leur base, bien que leurs côtés décroissent en étendue, successivement, du cercle équatorial aux pôles : « Un triangle sphérique peut avoir nonseulement un angle obtus, mais deux et trois, même. » C'est impossible , dans les triangles sphériques produits par trois arcs de grands cercles , et dont les trois côtés seraient toujours inférieurs en longueur à deux demi-circonférences, comme l'entendent les géomètres : vous
pouvez à votre gré, avec trois arcs de petits cercles, réaliser sur une sphère deux triangles présentant trois angles obtus ; il vous sera facile d'en décrire avec une demi-circonférence allant d'an pôle de la sphère à l'autre, et avec deux autres portions de circonférences qui n'auront leurs points de rencontre angulaires qu'à plus d'un quart de circonférence perpendiculaire de la base; mais dans les conditions de triangles sphériques si déraisonnablement limitées par les auteurs vous ne réussiriez point à accomplir celte triplicité d'angles obtus, dans vos tentatives répétées d'expérimentation; ces auteurs ont trop écrit en l'air, d'après des imaginations peu raisonnées, et n'ont point assez consulté les faits chargés de traduire au dehors intégralement leurs théorèmes et d'en sanctionner tous les modes d'expression. « Les surfaces des triangles sphériques sont proportionnelles aux angles (1). » Il suivrait de celte lui que : Un triangle sphérique qui serait doté de trois angles droits, n'offrirait jamais une surface d'un tiers plus grande que celle de tout autre triangle sphérique de même hauteur: or, de deux triangles sphériques de même hauteur, si l'un a un angle droit ou de nouante degrés , au sommet, et que l'autre n'ait cet angle que d'un degré, ou de la nonantième partie de celui de l'autre, sa surface ne sera non plus que la nonantième partie de celle de l'autre, car telle sera aussi la longueur proportionnelle de sa base, portion circulaire qui n'aura qu'un degré d'étendue, tandis que la base de l'autre aura nonante fois autant de longueur ou de degrés ; les triangles sphériques
(i) Lcgcndre, Trigonométrie.
de même élévation, sont donc entre eux, non comme tous leurs angles en général , mais comme leurs angles au sommet exclusivement : si deux triangles sphériques ne sont pas de même hauteur, ils sont entre eux comme les produits de leur base multipliée par leur hauteur, ou , en d'autres termes, leurs surfaces sont proportionnelles à ces produits spéciaux et non aux angles. Ce n'est point seulement sur les sphères, et sur les autres corps arrondis dans tous les sens, qu'il existe des triangles dont les trois angles par leur valeur totale soient supérieurs à deux angles droits ; car si par deux lignes qui se coupent à son sommet, vous divisez la surface convexe d'un cône en quatre triangles égaux, chacun de ces quatre triangles, quoique non sphériques, aura trois angles droits; les deux angles de sa base seront droits, comme étant formés par des lignes tombant perpendiculairement sur la circonférence de la base du cône ; de même que chacun des triangles produits sur une demi-sphère, par deux demi-circonférences se croisant à son sommet, et s'inclinant sur sa base, est doté de deux angles droits, et sur cette même base : chacun des quatre triangles égaux de la surface convexe du cône , a un angle droit encore au sommet, parce que cet angle est constitué par deux lignes brisées il est vrai, mais qui se coupent perpendiculairement non dans un des sens de leur brisure, mais dans le sens de leur face horizontale. On peut remarquer ici qu'une lacune importante subsiste dans les auteurs , lorsqu'ils traitent des lignes perpendiculaires; car pour être complets, il faudrait qu'ils envisageassent les perpendiculaires, non-seulement comme tombant sur des lignes droites ho-
rizontales, mais comme tombant sur la convexité de lignes brisées ou de lignes courbes, où elles déterminent deux angles obtus; comme tombant sur la concavité d'une ligne courbe ou brisée, où elles déterminent des angles aigus, et comme tombant sur Tune des faces horizontales d'une ligne courbe ou brisée, où elles déterminent deux angles droits; n'est-il point vrai que sur un plan droit et horizontal, on peut décrire des cercles et d'autres courbes qui se confondront parfaitement avec le plan ; ces lignes courbes ont donc elles-mêmes des côtés horizontaux dont tous les points sont sur un même niveau : une demisphère ne va-t-elle pas en diminuant d'épaisseur de la circonférence de sa base à son sommet? les demi-circonférences , qui partagent sa surface en quatre triangles égaux, sont donc penchées sur la circonférence de la base avec laquelle cependant elles forment deux angles droits; parce qu'elles descendent perpendiculairement sur une de ses faces horizontales et qu'elles ne sont penchées que dans le sens de sa concavité, comme les deux lignes courbes qui se croiseraient au sommet d'un cône et convertiraient sa surface convexe en quatre triangles égaux : bien que penchées Tune sur l'autre au sommet du cône , et sur la circonférence de sa base, elles font cependant surgir des angles droits ; parce que ce n'est point sur des faces convexes ni sur des faces concaves, mais sur des faces horizontales qu'elles tombent perpendiculairement; il est constant en outre que deux des quatre triangles engendrés sur la surface convexe d'un cône, par deux lignes courbes peuvent avoir leurs trois angles d'une valeur totale qui approche de celle de quatre angles droits, si les
deux lignes génératrices se coupent sur son sommet à angles très-obtus. Cependant malgré cette supériorité remarquable de la somme de leurs trois angles, sur celle de deux angles droits, on mesure tous les triangles de la surface convexe d'un cône, en multipliant simplement leur base, rectifiée ou transformée en ligne droite, par leur hauteur, sans avoir le moindre égard à l'excès de leurs angles sur deux angles droits ; pour être conséquents , il faut donc que les géomètres évaluent leurs triangles sphériques, en mullipliant leur base redressée ou transformée en ligne droite, par leur hauteur pareillement redressée , sans aucun égard à la supériorité en valeur de leurs trois angles sur deux angles droits ; d'où il est toujours impérieux de conclure que les surfaces des triangles sphériques ne sont point mathématiquement proportionnelles à leurs angles, mais en général à la moitié des produits de leur base multipliée par leur hauteur, sauf les correctifs essentiels qui seront faits plus loin. Il n'est point surprenant que les auteurs de géométrie, qui ne traitent que des triangles sphériques que l'on n'a jamais à apprécier dans la pratique, à l'exclusion des trois sortes de triangles usités, ne disent pas un mot des diverses espèces de quadrilatèressphériques, carré parfait, losange, parallélogramme, trapèze; puisque la surface de notre planète, qui est une sphère aplatie, réalise ces figures aussi bien que les figures triangulaires. Citations textuelles.
« La somme des trois côtés d'un triangle sphérique est moindre que la circonférence d'un grand cercle (1). »
(I) Blanchet, p 206.
« Deux triangles situés sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux dans toutes leurs parties lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun (1). »
« Si deux angles tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont équiangles ou ont les angles égaux entre eux, ils seront aussi équilaléraux. Celte proposition n'a pas lieu dans les triangles rectilignes, où de l'égalité des angles on ne peut conclure que la proportionnalité des côtés (2). »
« La somme des angles de tout triangle sphérique est moindre que six et plus grande que deux droits (3). » — « Un triangle sphérique peut avoir deux ou trois angles droits, deux ou trois angles obtus (4). »
ARTICLE XI IL De la superficie de la sphère.
Une sphère est un corps arrondi dont tous les points extérieurs formant sa surface sont à une égale distance d'un point intérieur que l'on nomme centre. Si par un plan on partage la sphère en deux moitiés, chacune de ses moitiés s'appelle demi-sphère ou hémisphère : on nomme grand cercle de la sphère la surface de la base d'une de ces demi-sphères, et grande circonférence celle
(!)Rlanchet, p. 206.
[2) Ibidf, p. 119.
(3) Ibid.. p. 220.
[&) Ibid., etc.
qui divise la surface delà sphère en deux portions égales : une petite circonférence est toute ligne courbe qui divise cette surface en deux portions inégales : on désigne sous la dénomination de diamètre de la sphère toute ligne droite qui, d'un point de sa surface, se rend au point opposé, et divise un de ses grands cercles en deux parties égales : la moitié d'un diamètre , est un rayon ; c'est une ligne droite qui du centre se rend à un point de la surface : lorsque l'on envisage un des diamèlres de la sphère, comme une ligne autour de laquelle elle tournerait, ce diamètre prend le nom d'axe; ses deux extrémités sont des pôles : il y a autant de diamètres et d'axes dans une sphère qu'il y a de points composant la surface d'une de ses moitiés; et il y a deux fois autant de rayons; si par un plan quelconque, on partage la superficie de la sphère en deux portions soit égales soit inégales, chacune de ses deux portions a reçu scientifiquement le nom de calotte sphérique : toute portion de la sphère comprise entre deux parallèles, est une tranche, ou un segment sphérique; sa surface est une zone; la calotte sphérique est donc une zone comprise entre deux plans, dont l'un est seulement tangent à la sphère, sans la diviser : ces notions essentielles étant bien déterminées, on demande quelle est la superficie totale de la sphère? Les géomètres répondent :
« Que la superficie générale de la sphère est égale à quatre fois la surface d'un de ses grands cercles, ou à quatre fois la surface de la base d'une de ses deux moitiés. »
On sait, que pour avoir la surface d'un cercle, on mul-
tiplie toute sa circonférence par le quart de son diamètre, ou par la moitié d'un de ses rayons; d'où il suit, que pour avoir la valeur de la surface entière de la sphère, il faut multiplier une de ses grandes circonférences, ou la circonférence de la base d'une de ses moitiés, par tout son diamètre, ou par toute la hauteur d'un de ses axes, selon les géomètres.
Blanchet : « La surface de la sphère, pouvant être considérée comme une zone dont la hauteur est égale au diamètre, a pour mesure la circonférence d'un grand cercle multipliée par le diamètre (1). »
Legendre : « La surface d'une zone sphérique quelconque est égale à la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle (2). »
Pascal et Eysséric : « L'aire d'une calotte ou d'une zone c'est-à-dire la surface convexe d'un tronc de cône s'obtient en multipliant la circonférence d'un grand cercle de la sphère par la hauteur perpendiculaire de celte calotte ou de cette zone (3). »
« D'après le principe des infiniment petits, que nous avons pris pour règle, si nous nous représentons la circonférence ADB du cercle générateur de la sphère comme subdivisée en une infinité d'éléments rectiiignes, la surface de révolution produite pourra être considérée comme l'assemblage des surfaces convexes d'un nombre infini de troncs de cône; et l'on comprend dès-lors qu'il suffira de
(1) Pages 238 et 239.
(2) Page 259.
(3) Page 224.
savoir mesurer la surface d'un de ces troncs pour calculer celle de la sphère totale (1). »
Quoiqu'arrivés les derniers, ces collaborateurs n'ont donc point dérogé ici aux enseignements séculaires de leurs sciences. Mais si la sphère entière n'est qu'une continuité de troncs de cône superposés, ses deux pôles, ou les deux extrémités de son axe doivent être des surfaces planes ou des bases de troncs de cône : or des sommets d'une sphère ne sont que des points, et non des surfaces produites par l'enlèvement de la portion culminante ou supérieure d'un cône; il est donc impossible, mathématiquement, d'assimiler la sphère à une série exclusive de troncs de cône.
Si de la base inférieure d'un tronc de cône, on mène à sa base supérieure un certain nombre de lignes, on convertit sa surface convexe toute entière en trapèzes : or si de la base de deux demi-sphères on prolonge jusqu'à leurs sommets respectifs, un certain nombre de lignes, on convertit leurs surfaces convexes entières, en triangles; comme on le ferait de la surface convexe d'un cône, et non en trapèze, comme la surface convexe d'un cône tronqué; si l'on peut comparer la sphère à quelqu'autre solide, c'est donc à un double cône et non à une série de cônes tronqués qu'on peut géométriquement l'assimiler ; il est donc faux que pour mesurer la surface de la sphère, il suffise de savoir calculer la surface convexe d'un tronc de cône, puisque la sphère est autre chose qu'un tronc de cône général résultant d'un assemblage très-
grand, le supposa-t-on , de troncs de cône particuliers.
Le tronc de cône inférieur d'une demi-sphère, aurait pour circonférence de sa première base, une des grandes circonférences de la sphère même; si donc on peut obtenir la surface convexe de toute zone sphérique ou de tout tronc de cône, comme le veulent ces auteurs, en multipliant sa hauteur perpendiculaire, par une des grandes circonférences de la sphère, il est évident que Ton pourra mettre en principe : qu'on peut évaluer exactement la surface convexe d'un tronc de cône, en mutipliant sa hauteur perpendiculaire par la circonférence de sa base inférieure ; or :
Soit un tronc de cône de 12 mètres de hauteur perpendiculaire et d'une circonférence de 22 mètres à sa base inférieure ; la circonférence de sa base supérieure, n'étant que de 11 mètres : d'après le principe général proclamé par toutes les Géométries , d'un unanime accord , pour la mensuration de la surface convexe d'un tronc de cône , considérée comme un trapèze , il faudra additionner les pourtours ou circonférences des deux bases , et eu multiplier la demi-somme par toute la hauteur inclinée du tronc de cône qui, étant à peine d'un huitième de mètre plus grand que la hauteur perpendiculaire représentée par 12 mètres, donnera pour produit 192 environ ; mais si l'on multiplie parla hauteur perpendiculaire 12, la circonférence de la base inférieure du tronc de cône, qui est de 22 mètres, on aura 266 mètres carrés, avec l'énorme différence de 74 mètres du résultat que vient d'offrir la loi de mensuration ordinaire de la surface convexe du tronc de cône , consacré par des démonstrations spé-
ciales ; comment les géomètres ne saisissent-ils pas mieux la prodigieuse désharmonie de leurs principes, puisque leur première méthode d'évaluations entraîne des résultats si différents de ceux de la seconde méthode qu'ils proclament maintenant pour l'estimation de la surface de la sphère. Il ne suffit donc pas de savoir comment on mesure communément la surface convexe d'un tronc de cône, pour pouvoir apprécier la superficie totale de la sphère , ainsi qu'ils l'annoncent imperturbablement.
Lorsque de la circonférence d'un cercle on trace des lignes droites à son centre, on transforme toute sa surface en triangles; les géomètres en ont conclu que, pour calculer la surface d'un cercle, il faut le considérer comme un triangle rectiligne général , et multiplier sa base ou sa circonférence redressée, par la moitié de la hauteur d'un de ses rayons ou d'un de ses triangles particuliers.
Lorsque de la circonférence de la base d'un cône on trace un plus ou moins grand nombre de lignes jusqu'à son sommet, on transforme également sa surface convexe en triangles; les géomètres en ont conclu que pour avoir la valeur de la surface convexe d'un cône, il faut la considérer comme un triangle rectiligne général et mutiplier sa base ou sa circonférence redressée , par la moitié de sa hauteur inclinée , ou de la hauteur d'un de ses triangles spéciaux , sans aucun égard à la supériorité des trois angles de ces triangles sur la somme de deux ou môme de trois angles droits.
Quand de la base d'une demi-sphère on mène une multiplicité plus ou moins grande de lignes jusqu'à son sommet, on métamorphose pareillement toute sa surface
convexe en triangles parfaitement réguliers ; il faudrait donc, pour être conséquent, conclure, comme précédemment, que pour obtenir la valeur de la surface convexe d'une demi-sphère, on doit la considérer comme un grand triangle recliligne, et multiplier le pourtour de sa base, ou sa circonférence redressée , par la moitié de sa hauteur aussi redressée et traduite en ligne droite : nous défions les géomètres d'articuler aucun motif théorique qui les autorise à accueillir leurs principes pour le cercle et le cône, et à le braver, à le répudier mathématiquement ou scientifiquement pour les demi-sphères.
Les géomètres classiques font entrer la hauteur inclinée et la hauteur perpendiculaire d'une zone sphérique, le rayon de la sphère représentant une de ses grandes circonférences , et le rayon de la circonférence moyenne de la zone sphérique, représentant celte circonférence moyenne, dans deux triangles semblables ou ayant leurs trois angles égaux , et proportionnels ; ils établissent ensuite entre les termes de ces triangles cette remarquable proportion : La hauteur inclinée de la zone sphérique, est à sa hauteur perpendiculaire, comme le rayon de la sphère représentant une de ses grandes circonférences, est au rayon de la circonférence moyenne de la zone sphérique, représentant cette même circonférence moyenne : or, dans toute proportion , on obtient un même produit, en multipliant l'un par l'autre les deux termes extrêmes , ou les deux termes moyens ; donc on déterminera le même produit ou une même valeur, en multipliant la hauteur inclinée de la zone sphérique, un des termes extrêmes de la proportion exposée, par sa circonférence moyenne qui
est l'autre terme extrême, ou en multipliant la hauteur perpendiculaire de la zone sphérique, égale à une portion de Taxe, et formant un des termes moyens de la proportion, par une des grandes circonférences de la sphère, représentée dans le second terme moyen : soit cette proportion : 4 est à 2 comme 8 est à 4, il est évident qu'on réalisera le même produit, c'est-à-dire 16, soit qu'on multiplie les deux extrêmes l'un par l'autre , ou 4 par 4, soit qu'on multiplie l'un par l'autre 2 et 8 , qui sont les deux termes moyens. Mais ces artifices ingénieux , ces raisonnements savants et profonds ; que j'admire sans nul doute, ne sont ici que des paralogismes; parce que les démonstrations ne sont relatives qu'à des triangles uniquement composés de lignes droites : or la surface de la sphère n'est formée que de lignes courbes ; et le rayon d'une sphère, le rayon de la circonférence moyenne d'une zone sphérique , ne représente point exactement des courbes circulaires , puisque la fixation des rapports de longueur de la circonférence, à un de ses rayons, n'est qu'approximative. Ce n'est qu'hypothétiquement, conventionnellement, et par approximation, que l'on admet que la circonférence génératrice de la surface de la sphère , résulte d'une infinité de petites lignes droites qui en font radicalement un polygone; mais qui dit approximation, dit une estimation qui contient une nuance d'inexactitude; et de même qu'une infinité de petites lignes, engendre une ligue totale considérable ; ainsi une nuance d'erreur infiniment petite, étant répétée un grand nombre de fois, peut donner lieu à une erreur finale très-appréciable; il faut donc pour tous les solides dont la surface est un dé-
veloppement de lignes courbes ajoutées à elles-mêmes , constater expérimentalement autant que possible , quelle erreur définitive et totale entraînent leurs lignes de générations multipliées et spécialement la circonférence de la base des demi-sphères, répétées une quantité innombrable de fois en diminuant progressivement de diamètres jusqu'au sommet, avec une courbure sur la hauteur, à chacune de ces additions :
Soit une demi-sphère reposant horizontalement sur sa base , couvrons sa surface convexe entière de petites bandes représentant des demi-circonférences allant toujours en grandissant depuis les points extrêmes ou les deux pôles de la demi-sphère, jusqu'à son milieu ou son équateur ; puis inclinant cette demi-sphère , recouvrons toute sa base d'autres bandelettes dont chacune corresponde exactement à une demi-circonférence; ces bandelettes recouvrant toute la base représenteront les diamètres de toutes les demi -circonférences recouvrant la surface convexe totale de la demi-sphère. Mais la demicirconférence est une fois et demie, plus un quatorzième de fois le diamètre, eu longueur; l'ensemble de toutes les demi-circonférences de la surface convexe de la demisphère, sera donc, sous le rapport de leur seule longueur, une fois et demie, plus un quatorzième de fois, l'ensemble des diamètres de la base, ou ce qui est une même chose, cette base elle-même ou la surface d'un grand cercle; d'où il résultera que la superficie des deux demi-sphères ou de la sphère entière, sera d'après cette première appréciation, égale à trois fois, plus deux quatorzièmes de fois ou un septième de fois , la surface d'un grand cercle.
Nous devons ajouter que les demi-circonférences qui recouvrent la surface convexe de la demi-sphère, ne sont pas seulement une fois et demie, plus un quatorzième de fois, leur diamètre, par leur longueur, qu'elles sont aussi une demi-fois, plus un quatorzième de fois, plus large vers leur milieu ; mais comme cet excès de largeur *a en diminuant du milieu de chaque demi-circonférence à ses deux extrémités, jusqu'à être réduite alors à celle du diamètre, il n'est légitimement accordé que d'en prendre la moitié ; l'ensemble des demi-circonférences , sera donc, sous ce second rapport, encore un quart de fois, plus un vingt-huitième de fois , plus grand que l'ensemble des diamètres correspondants ou que la base de la demisphère , valeur qui étant doublée pour les deux sphères , réalisera une demi-fois , plus un quatorzième de fois, la surface d'un grand cercle; total partiel qui étant ajouté au premier total obtenu de trois fois plus un septième de fois la surface d'un grand cercle , donnera ultimement pour la superficie entière de la sphère, trois fois et demi, plus trois quatorzièmes de fois, la surface d'un grand cercle : cette évaluation expérimentale diffère donc d'un quatorzième de l'évaluation théorique, fondée sur des hypothèses que préconisent les géomètres ; la surface de notre planète, estimée à vingt-huit millions de lieues carrées, compterait deux millions de moins ; la surface du Soleil, et celle des grosses planètes , Jupiter, Saturne , amoindrie d'un quatorzième, éprouverait une perte bien autrement effrayante.
En calculant la surface des triangles de la demi-sphère, d'après les principes ordinaires, c'est-à-dire, en multi-
pliant leur base ou la grande circonférence de la demisphère, parla moitié de leur hauteur ou par un huitième de circonférence, et pour les deux hémisphères, par un quart de circonférence, on aurait pour produit et pour surface intégrale de la sphère, trois fois la surface d'un grand cercle , plus un septième de fois ; il faudrait conséquemment, d'après le contrôle de l'expérimentation que nous venons de décrire, ajouter à cette somme le septième de son expression, plus un quarante-deuxième.
Il est des mathématiciens qui ont obtenu par le calcul, pour la dimension relative de la circonférence, trois fois la valeur du diamètre, plus quatorze centièmes ; cette formule est un peu moins forte, que celle qui est communément acceptée, et qui assigne à la circonférence pour étendue relative, trois fois celle du diamètre, plus un septième ; car un septième de diamètre figurerait quatorze nonante-huitièmes :
Or, des centièmes étant des fractions plus petites, quatorze d'entre elles donnent une valeur intrinsèque plus faible ; notre chiffre expérimental de la surface de la sphère, selon cette appréciation, différerait donc, un peu plus encore, du chiffre théorique qu'ont provoqué les géomètres, en appliquant les lois de la proportionnalité, vicieusement ou dans un cas de disparité; car là où il existe une disparité, il n'y a plus d'assimilation légitime, et toute conclusion absolue devient logiquement impossible.
Il serait enfin d'un éminent intérêt, pour rendre aussi exacte que possible la solution du problème, de faire confectionner avec un métal très-malléable, tel que le plomb, une sphère d'un diamètre médiocre aussi parfaitqu'une industrie
avancée peut l'accomplir; de déposer celte sphère dans un cylindre creux transparent, à demi-rempli d'un liquide coloré, en constatant à quelle hauteur elle fait monter ce liquide, et à quel cylindre elle est équivalente ; puis d'estimer quelle quantité cubique précise elle représente, et quelle superficie il faudrait multiplier par une partie du diamètre de la sphère, pour produire cette solidité. Mais il serait impérieux, dans ce dessein, de fixer préliminairement avec plus de certitude le principe de mensuration de la pyramide ; car c'est comme un assemblage d'une infinité de petites pyramides, que l'on mesure la sphère, qui en effet, lorsqu'on divise, par des opérations successives, ses grandes portions, en fragments toujours plus petits, se décomposent en un nombre indéfini de petites pyramides, qui ont pour base sa superficie entière ; et pour hauteur son rayon.
ARTICLE XIV
De la section des sphères par un plan et de la solidité des segments sphériques.
Les collaborateurs Pascal et Eysséric démontrent ce théorème : « Toute section faite par un plan dans une sphère est un cercle.
» Soit un plan sécant HG, dont la trace sur la surface de la sphère AB est indiquée par la courbe mnp; je dis que cette courbe est une circonférence de cercle. En effet, du centre C de la sphère abaissons la perpendiculaire CD sur le plan sécant, et menons les rayons Cm, Cn, Gp aux divers
points de cette courbe ; enfin, joignons ces mêmes points au pied D par les droites Dm, Dn, Dp, etc., qui seront perpendiculaires à CD, puisqu'elles passent par son pied D dans le plan GH. Par conséquent, les triangles CmD, CwD, CpD sont rectangles et de plus égaux comme ayant un côté commun CD et pour hypoténuses les rayons de la sphère Cm, Cw, Cp, etc.; donc on aura Dm = Dn = Dp = etc.; et par suite EmnpG est une circonférence de cercle dont D est le centre.
» Donc, enfin, toute section d'une sphère par un plan est un cercle qui a pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur ce plan sécant (1). »
Cette démonstration , dans son expression littérale, paraît sacramentelle chez les géomètres, toute imparfaite, toute insuffisante qu'elle est; car tous les points de la surface d'une sphère étant également éloignés de son centre, tous ses rayons, lors même qu'ils seraient à des distances très-différentes d'un point central, sont égaux; il fallait donc pour rendre la démonstration complète, et d'une entraînante évidence, faire entrer dans son développement un autre élément essentiel, c'est-à-dire que tous les rayons dont les extrémités forment le pourtour de la section de la sphère, représentent des lignes obliques parfaitement égales, abaissées du sommet d'une même perpendiculaire, et aboutissant au même plan horizontal, et que par là même ils sont à une distance égale du pied de cette perpendiculaire ou axe pour eux centrale, d'après ce théo-
rème ailleurs établi : Que lorsque plusieurs lignes obliques abaissées du sommet d'une perpendiculaire et descendant jusqu'à la môme base horizontale, sont d'égale longueur entre elles, elles sont nécessairement toutes à une égale distance du pied de cette perpendiculaire; et que par conséquent du pied de cette perpendiculaire comme centre, on peut, si elles sont rangées tout autour, faire passer par leur extrémité une circonférence; il suit de là qu'il fallait préciser davantage le théorème dans son expression, et dire : Que toute section de la sphère faite sur un seul et même plan ou par un plan toujours mené dans la même direction, ou selon une même ligne droite, est un cercle ou une surface dont le pourtour est une circonférence ; en procédant avec celle clarté et cette précision, on sait où l'on va, et quelle voie il faut suivre pour atteindre, sans dévier, le but. Ce n'est que par des démonstrations conduites à la faveur du plus grand jour, que l'on satisfait l'esprit, qu'on le captive sous l'ascendant d'un doux charme, et qu'on fait de l'instruction un instrument de bonheur.
Legendre et Blanchet : « Tout segment de sphère compris entre deux parallèles, a pour mesure la demi-somme de ses bases multipliée par sa hauteur, plus la solidité de la sphère dont cette même hauteur est le diamètre. »
« Soient BE, DF les rayons des bases du segment, EF etc., etc. (1). »>
On entend, avons-nous déjà dit, par segment d'une sphère, une des portions qui la constitue, et qui serait
(I) Page 270.
comprise entre deux plans parallèles: d'après les principes des géomètres que nous avons exposés plus haut, et qui veulent que l'on considère la sphère comme un ensemble de troncs de cône superposés, ou comme formée par la révolution autour de son axe, d'un demi-polygone d'une infinité de côtés, tout segment sphérique serait un tronc de cône, infailliblement : or nous avons vu que quand on évalue un tronc de pyramide, et par là même un tronc de cône envisagé scientifiquement comme un tronc de pyramide à une infinité de faces, en multipliant la demisomme de ses deux bases, par toute sa hauteur, on obtient un produit beaucoup trop considérable, quelquefois énormément faux ; que serait-ce si on y ajoutait une valeur de plus, comme les géomètres le posent ici en loi, et le démontrent par leurs auxiliaires algébriques accoutumés, pour un tronc de cône de la sphère? L'erroné s'élève jusqu'à l'absurde. Que n'eût point gagné la science composée de parties morcelées et de tant de disparates, entre les mains plus philosophiques des géomètres, s'ils eussent daigné collationner leurs principes dans des faits complets et raisonnés propres à en déceler la dissonnance ou l'harmonie et en faire saillir à tous les regards l'exactitude ou l'illusion?
ARTICLE xv.
De l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole.
Si par un plan ou une lame mince, parallèle à la base, on tranche dans sa hauteur un cône, la section sera un cercle et son pourtour une circonférence : si l'on tranche,
par un plan oblique à son axe un cône dans sa totalité, la section sera une courbe allongée ou une ellipse, dit-on ; si par un plan dirigé en dehors de son axe, et parallèlement à cet axe, on coupe un cône, la section sera une parabole; ce sera un hyperbole, si l'on coupe dans sa hauteur le cône, par un plan oblique à son axe mais qui, ne traversant point le cône tout entier, aboutit à un point de sa base : les quatre courbes que nous venons de décrire, prennent le nom de section conique, parce qu'on les produit en sectionnant le cône ; si l'on tranche par un plan sécant parallèle à leur base, un cylindre, un paraboloïde, un hyperboloïde, c'est-à-dire des solides engendrés par une parabole, et par une hyperbole exécutant un mouvement de révolution autour de leur axe, la section dans tous ces cas, sera un cercle pareillement : si par un plan oblique à son axe et qui le traverserait lui-même complètement, on tranche un cylindre, on obtient une ellipse; mais la section présenterait-elle de même une figure elliptique, si l'on tranchait par un plan oblique à leur axe, un paraboloïde, un hyperboloïde ? est-il bien certain qu'en coupant, par un plan oblique à sa ligne centrale perpendiculaire, un cône dans son élévation, on détermine une courbe elliptique rigoureusement ? On pourrait démontrer, par des considérations spéculatives, que non ; car une ellipse, se compose, même dans le sens de son allongement, de deux moitiés parfaitement semblables, qui pourraient se superposer et se confondre : or, lorsqu'on tranche un cône obliquement à son axe, de haut en bas, on franchit supérieurement une portion de moindre diamètre, et inférieurement une portion de plus large dimension et quelquefois
beaucoup plus considérable ; c'est à une expérimentation exécutée par des mains exercées et excellemment habiles, qu'il appartient de résoudre positivement la question.
L'ellipse peut scientifiquement se définir : Une courbe allongée ayant pour extrémités deux portions de circonférence plus petite, et pour développement intermédiaire deux portions de cercle plus grand : tous les points de ces arcs de cercle plus petit, sont à une égale distance de deux points centraux que l'on nomme foyers; la ligne droite qui joint entre eux les deux foyers, est l'excentricité de l'ellipse; la ligne qui parcourt la courbe elliptique dans sa plus grande longueur, en la divisant en deux parties égales, se désigne sous le nom de grand axe de l'ellipse : le petit axe coupe perpendiculairement par son milieu, le grand axe ; leur point d'intersection, est le centre de l'ellipse : deux lignes qui, des deux foyers vont se réunir sur un point quelconque de la courbe elliptique, sont les rayons vecteurs.
Selon la collaboration toute récente de MM. Pascal et Eysséric : « On peut, nous citons textuellement, tracer, d'après un mode de faire, connu sous le nom de procédé du tonnelier, une ellipse par un mouvement continu, en fixant aux deux foyers les deux extrémités d'une ficelle5représentant le grand axe, et en faisant glisser une pointe le long de cette ficelle uniformément tendue (1). »
Mais si au moyen d'une corde quelconque fixée par ses deux extrémités aux deux foyers, on pouvait, à l'aide d'une pointe, tracer une ellipse, la partie plus petite de la
corde, représentant le rayon d'un plus petit cercle, et la plus grande partie de la corde, représentant le rayon d'un plus grand cercle, pourraient au point extrême de l'ellipse déterminer une même portion de circonférence; il serait donc possible de faire passer par un grand nombre de points communs, deux circonférences de diamètres trèsdivers : or nous avons vu qu'on ne saurait faire passer par plus de deux points deux circonférences de différente amplitude. Mais lorsque décrivant, au moyen d'une pointe appuyée sur la corde génératrice, une courbe, par un mouvement continu, on est parvenu à la hauteur d'un des foyers, alors les deux portions de la corde, et la ligne droite joignant les deux foyers, forment un triangle rectangle, dont le plus grand segment de la corde est l'hypoténuse : eh bien! aussitôt qu'on s'éloigne de ce point, et que l'on remonte vers le sommet correspondant de l'ellipse prétendue, l'angle droit du triangle devient obtus, s'ouvre de plus en plus, la portion de la corde qui lui est opposée, s'allonge de plus en plus, l'autre portion diminuant proportionnellement jusqu'au plus haut point de la courbe; cette partie extrême, étant constituée par des rayons d'une longueur incessamment différente, ne saurait donc être de toute évidence une portion de circonférence, puisque tous les rayons d'un arc de circonférence sont essentiellement égaux : comment des savants qui ont réuni leurs forces intellectuelles, pour mieux faire, ont-ils pu admettre une ânerie pareille? Comment les géomètres qui se glorifient d'être si sagaces, si précis, si rigoureux, ont-ils pu souscrire depuis des siècles à un si sot préjugé? La parabole est par son essence dotée d'un foyer encore; tous les points de
son sommet doivent donc être également distants de ce foyer : MM. Pascal et Eysséric nous apprennent (1) à réaliser celte courbe par l'artifice d'un procédé analogue, en fixant l'extrémité d'une ficelle au foyer de la parabole, l'autre extrémité étant attachée à un point éloigné, et en faisant glisser une pointe sur cette corde tendue; mais il est manifeste, souverainement, qu'ici comme pour l'ellipse, à partir du niveau du foyer, la corde et la pointe n'engendrent qu'une portion de courbe dont tous les points sont inégalement distants du foyer et qui ne sauraient, partant, constituer le sommet d'une parabole. Nos deux collaborateurs prétendent que la parabole n'est essentiellement qu'une ellipse immense dont le second foyer serait reculé à un éloignement infini (2); nous avons déjà observé : Que les deux extrémités des branches de la parabole, s'écartant sans cesse l'une de l'autre, seraient, à une distance infinie, séparées par un intervalle infini, et que par conséquent, il s'en faudrait de tout un infini qu'elles pussent se réunir pour former la seconde extrémité d'une ellipse, ou un arc de circonférence dont tous les points fussent à une égale distance d'un second foyer. Ne cessera-t-on de proférer, à la honte de l'esprit humain, comme scientifiques, d'aussi monstrueux non-sens, dans un ordre de connaissances qui préconise si haut son exactitude modèle et la rigueur de ses procédés analytiques? La géométrie a-t-elle jamais daigné analyser ici ces énormes contradictions? Voici la remarquable et lucide définition que ces
(1) Pa-« 262.
;2) Ibut.
Messieurs nous donnent de la courbe hyperbolique : « L'hyperbole est une courbe composée de deux branches infinies et opposées NBC, SAP, dont les distances des divers points M, N, Q à deux points fixes , F, F', ont entre elles une différence constante et égale à l'intervalle AB qui sépare les deux branches (1). » C'est comme si à cette question : Qu'est-ce qu'un éperon? on répondait : C'est une paire de tiges courbes, qui étant opposées par leurs sommets, et séparées par un certain intervalle, ont leurs divers points également distants de tel autre point de l'espace qui les isole! Jetterait-on par une semblable élucidation, des éclairs bien brillants sur ce que c'est que cet adjuvant d'équitation que l'on nomme éperon? La courbe hyperbolique existe isolément, elle possède ses propriétés individuelles, qu'il faut d'abord démontrer, avant de l'envisager comme systématisée avec elle-même ou conjuguée, et de déterminer mathématiquement les propriétés et les lois de cette combinaison curieuse dont l'éclatant trophée est le prodige des asymptotes.
MM. Pascal et Eysséric posent en principe général : « Que pour évaluer la surface d'une ellipse il faut prendre la demi-somme de ses deux axes additionnés, et en faire le diamètre d'un cercle dont la superficie sera celle de l'ellipse (2). » Pour faire saillir davantage la fausseté de cette loi, appliquons-la à un des cas extrêmes : supposons un cylindre extraordinaire d'un centimètre de diamètre seulement et de cent mille centimètres de hauteur; ad-
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(2) Ibid. '
mettons en outre que par la section la plus oblique possible de ce cylindre, on aura formé une ellipse dont le grand axe sera, à peu de chose près, égale à la hauteur de la tige cylindrique : la surface de cette ellipse considérablement excentrique, sera moindre que cent mille centimètres carrés : or, le cercle dans lequel vous la transformerez, en prenant la moitié de ses deux axes additionnés pour en composer un diamètre, présentera un rayon de près de vingt -cinq mille centimètres, et sa circonférence d'environ trois cent mille centimètres, étant multipliée par la moitié du rayon, ou par plus de douze mille centimètres, donnera des milliards de centimètres carrés pour la surface du cercle, et pour celle de l'ellipse dont il est la métamorphose; l'étonnante exagération du résultat nous dispense d'un commentaire superflu. Nous pourrions démontrer par d'autres considérations puissantes l'erroné de la maxime, ce que nous avons dit est certes fort suffisant. Une ellipse résultant essentiellement de deux portions égales de petit cercle, et de deux portions semblables de plus grand cercle, pour la mesurer aussi approximativement que possible, ii faut estimer la surface des portions de petit cercle, en multipliant l'étendue de leurs arcs par la moitié des rayons; calculer ensuite les portions de plus grand cercle, en les transformant en deux petits segments, et en deux quadrilatères que l'on apprécie ensuite d'après les lois connues; la même méthode de décomposition est applicable à la détermination de la surface de toutes les autres courbes.
MAI. Pascal et Eysséric remarquent : * Que sous une voûte parfaitement elliptique, si à l'un des foyers, on par-
laii à voix basse, eu se dirigeant vers un point quelconque de la voûte, les paroles parviendraient à l'autre foyer (1). » Cet énoncé est trop général ; car si de l'un des deux foyers, on se dirigeait vers l'un des poinls de la portion correspondante de petite circonférence, les sons reviendraient au foyer même d'où ils seraient partis et n'arriveraient point à l'autre foyer. Des diverses courbes que nous venons de parcourir, la plus célèbre, la plus grandiose dans son application pratique, est l'ellipse réalisée dans les çieux par les mouvements des planètes, celui de leurs lunes ou satellites, et par celui plus merveilleux encore des comètes, ces agiles messagères de l'univers; une seule d'entre elles a paru décrire cependant une parabole, courbe qu'elle n'épuisera jamais, pendant la durée éternelle des mondes.
