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de la science purement spéculative. Le^ unes et les autres ne lui semblaient pas relever du même ordre d'idées ; et, de fait, pour les Grecs, la Géométrie et la Géodésie s'opposaient dans leur objet, comme la Logistique, science des calculs pratiques, et l'Arithmétique ou science des nombres proprement dite.

C'est peut-être, va-t-on dire, aller chercher trop loin l'explication d'un fait très simple. Les formules d'évaluation numérique pour les surfaces et les volume.^- exigent remploi courant de la notion de mesure. Or les Grecs connaissaient fort bien le cas de l'incommensurabilité de deux grandeurs : ils n'ont pas songé à introduire dans un énoncé quelconque la valeur numérique d'un rapport qui a bien des chances de ne pas exister. — Nous ne pensons pas qu'à cet égard les Grecs fussent aussi loin de nous qu'on pourrait croire. D'une part, si nous consentons plus volontiers à parler de nombre incommensurable, de mesure d'une quantité incommensurable, c'est avec le sentiment bien net que, dès la moindre application, ce nombre figurerait en réalité par une valeur approchée. Et, d'autre part, — à rester en dehors de toute évaluation effective, — les Grecs ne répugnaient nullement à l'idée d'un rapport incommensurable. Leur façon de définir la raison de deux quantités homogènes^ d'une façon générale, abstraction faite de la question de savoir si les quantités sont ou non commensurables', leur façon de traiter ensuite les égahtés de raisons, ou proportions, montrent qu'ils n'étaient pas plus eifrayés que nous par la notion du rapport de grandeurs incommensurables. — « Apollonius, dit Marie dans son Histoire des Mathématiques, eût certainement regardé comme fou l'homme qui serait venu lui proposer d'introduire la longueur

1. « Aôyo; è-ttI ô-jo u.îy£9wv Ôl).oyîvwv r, xa-x 7:r,'uy.6-:r,-3. 7:pb; a>,/.v-|/,a T.o'.y. zy.in'.z. » (L. V.)

du pied d'Agamemnon, par exemple, dans la démonstration de ses théorèmes sur les coniques. » Certes cela est très vrai, mais un géomètre d'aujourd'hui ne penserait pas autrement à cet égard qu'Apollonius. Ne cherche-t-il pas comme lui des relations géométriques nécessairement indépendantes du choix de toute unité? Si Euclide ou Apollonius s'abstiennent plus rigoureusement que nous de toutes considérations de mesure numérique, c'est bien en partie parce qu'ils sentent l'inutilité de ces considérations pour la science pure, en partie parce que les mesures numériques ne pourraient être ordinairement qu'approchées, et suffisantes tout au plus pour quelque usage pratique. Mais alors, au fond, il faut bien voir où est la distinction essentielle aux yeux des Grecs, entre ce que contiennent leurs livres de géométrie et ces sortes de formules qu'ils en ont systématiquement écartées. Elle rentre dans la distinction plus profonde qui fait mettre d'un côté ce qui est la science pure, la science générale, indépendante de toute condition particulière, et en même temps exacte, parfaite, ne maniant que des éléments rigoureusement déterminés, bref ce qui est la science proprement dite, spéculative et désintéressée, — et d'autre part ce qui ne vise que l'application. Les idées des Grecs sur l'incommensurabilité mettaient en évidence un élément d'imperfection, d'inexactitude, dans toute opération de mesure, mais c'était loin d'être le seul. Auraientils pu parler de figures absolument exactes, de cercles parfaits, de carrés rigoureux, et même de droites véritablement droites, à propos des choses matérielles au milieu desquelles nous vivons et qui tombent sous les sens? De là cette séparation si nettement tranchée entre tout ce qui répond de près ou de loin aux préoccupations pratiques, et ce qui s'élève au-dessus d'elles et ne concerne que la Science purement désintéressée.

Ce n'est pas que chacune des vérités successives / énoncées par Euclide ait en elle-même son intérêt tout entier. Il y a dans l'iFUvre un enchaînement qui permet d'attribuer à tel théorème, ou à telle série de propositions, ce rôle utilitaire en un sens qui consiste à préparer telle démonstration capitale. Ainsi le premier livre tout entier marche manifestement vers la démonstration de la grande propriété caractéristique du triangle rectangle, qui clôt ce livre. Ce théorème lui-même n'a pas été démontré en vain; il servira notamment à justifier une série de relations quantitatives fondamentales exposées au second livre, et ainsi de suite. L'œuvre entière converge merveilleusement vers le problème capital qui en est comme le couronnement, à savoir la construction des cinq polyèdres réguliers. S'il est donc permis de parler en certains sens de l'utiUté de tel ou tel détail, c'est de la même faron qu'à propos d'une œuvre d'art, pour exprimer le merveilleux enchaînement de toutes les parties. Le terme suprême où aboutit l'auteur des « Éléments », la construction des polyèdres réguliers, est en lui-même le plus opposé qu'il est possible à toute considération pratique.

Cette Géométrie dont Euclide nous donne déjà un modèle aussi parfait n'a pas été confectionnée par lui brusquement. Nous savons qu'elle est l'œuvre des siècles qui l'ont précédé. Avec quelle étonnante rapidité les progrès s'étaient réalisés, avec quelle ardeur les Grecs avaient cultivé cette Géométrie, comme ils avaient su non seulement en reculer très loin les bornes, mais aussi la douer d'une force d'expansion et d'une fécondité telle que les travaux d'Archimède et d'Apollonius vont en être comme la suite naturelle et que les savants vont bientôt trouver

UNE CONDITION DU l'HOGRES SCIENTIFIQUE 81

en elle un instrument merveilleusement adapté aux applications astronomiques,... j'y ai trop souvent insisté pour y revenir. Ce qui me frappe maintenant, et sur quoi je voudrais attirer l'attention, c'est le rapprochement de ces deux faits : d'une part le développement colossal qu'a reçu la mathématique pendant un temps relativement court, la force d'expansion indéfinie dentelle parait douée, sa fécondité, même au point de vue des applications, et, d'autre part, le caractère de science désintéressée et purement spéculative qu'elle a manifesté. Il est impossible, aussitôt que la pensée fait ce rapprochement, de ne pas songer qu'il y a là plus qu'une coïncidence curieuse, et que le désintéressement, l'éloignement de toute préoccupation pratique, chez le géomètre grec, a pu être une des causes profondes des progrès de sa science, et du même coup, de sa fécondité future à Fégard des applications ellesmêmes. Du moins si cette vue semble tout d'abord audacieuse, nous pouvons la soumettre à une épreuve intéressante. Les progrès qui semblaient devoir être à jamais continus, se sont ralentis, puis même complètement arrêtés. Une longue éclipse a suivi. Passons brièvement en revue les explications que peut suggérer une pareille extinction, après un si vif éclat : peut-être se dégagera-t-il de cet examen que le ralentissement du progrès scientifique a suivi de près la disparition d'un élément, — décidément vital — je veux dire du désintéressement avec lequel la science était cultivée.

Faut- il d'abord s'arrêter à cette tradition des anciens philo.sophes et de la plupart des religions, qui d'une façon ou d'une autre place l'âge d'or dans le passé, et déclare l'humanité condamnée désormais à suivre des chemins difficiles, à voir toutes ses œuvres nécessairement précaires, incomplètes et jamais définitives? Pour Platon c'étaient les hommes

d'autrefois qui étaient près des Dieux. Aristote disait que les arts et les sciences ont été souvent trouvés et souvent perdus. La loi du progrès continu n'est pas, ou n'est plus le fait de riiumanilé. — Si intéressantes que puissent être de semblables théories, on ne saurait y avoir recours qu'en se déclarant incapable de trouver une explication naturelle : cela équivaudrait à un abandon de la question.

Admetlra-t-on que Téchafaudage scientifique construit par les anciens a manqué de solidité, faute chez eux d'une organisation suffisante'? Les efforts des savants étaient isolés; les moyens de les grouper, de les associer, de les amener à produire quelque œuvre durable, faisaient défaut. Les anciens n'avaient pas, comme nous aujourd'hui, ce ces livres imprimés, mémoires, monographies, œuvres complètes, recueils périodiques, où, sous diverses formes, la science est inscrite et déposée, à mesure qu'elle se fait ' ». Ils ne connaissaient pas comme nous les Académies, les Instituts, les Universités. — Cela est trop clair; mais d'abord il ne faut rien exagérer : les livres, les bibUothèques abondaient autrefois; les foyers de la science ne manquaient pas non plus. Sans parler de l'École d'Alexandrie, ne se groupait-on pas autour d'un Platon, d'un Aristote, d'un Pythagore, ou d'un Théodore de Cyrène, et ne formait-on pas alors des sociétés comparables jusqu'à un certain point à nos sociétés savantes d'aujourd'hui? — Ensuite, à quelle époque l'éparpillement des efforts industriels dut-il être le plus considérable? X'est-il pas évident que du vii^ au iv" siècle, quand, par exemple, Thaïes en Asie Mineure, Pythagore en Italie, Démocrite sur les côtes de Thrace, Hifipocrate à Chios, contribuaient chacun pour sa part à grossir l'œuvre mathématique des Grecs, — n'est-il pas évident, dis-je, qu'on ne