UO LE RATIONNEL

droite? nous l'avons déjà remarqué : c'est plus que partout ailleurs un indéterminé, visant quelque détermination future. C'est tout cercle, tout triangle, que la pensée géométrique examinera dans des circonstances quelconques. Séparé de cette sorte de réalisation future, ce « tout cercle », « tout triangle », n'est rien. Ces mots ne prendront leur signification totale qu'à la condition d'achever de se déterminer dans le futur, dès qu'il sera question de problèmes où entrent cercles et triangles. Ils représentent en puissance des éléments qui devront passer à l'acte pour devenir objets de pensée. — Mais en même temps, lorsque se fait ce passage à l'acte, quand le géomètre considère tel cercle, tel triangle, quelle est la nature de cet objet qu'il soumet à son étude? — On pouvait dire, en un certain sens, il est vrai, que dans le syllogisme classique, « Socrate» réalisait dans un cas particulier la notion d'humanité, mais que de caractères spéciaux il faudrait énumérer pour donner quelque idée, soit au point de vue physique, soit au point de vue moral, de ce qui fait que Socrate est tel homme et non pas tel autre. Ici, au contraire, quand le géomètre a dit : Du point 0 comme centre je décris un cercle de rayon OA », ou bien: « Je trace le triangle ABC », n'est-ce pas un minimum de conditions particulières, juste nécessaire pour qu'une chose déterminée soit substituée à une chose indéterminée, qui se trouve distinguer ce cercle, ce triangle, du cercle ou du triangle en général? La figure que l'on a sous les yeux peut être plus ou moins étrange, le rond peut être plus ou moins parfait, les côtés du triangle plus ou moins droits, les lignes plus ou moins épaisses, tracées avec un crayon qui les colore en rouge ou en bleu, ou avec la craie sur un tableau noir, ou dans le sable par une main plus ou moins habile, qu'importe? Ce cercle, ce triangle, ce n'est pas ce que voient les yeux du corps, mais bien ce

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que, à l'occasion de celte figure, contemplent les yeux de l'esprit, c'est-à-dire la définition qu'il a formulée une fois pour toutes, fidée qu'il a tant contribué à fixer lui-même, l'essence qui lui est particulièrement intelligible puisqu'elle a été, le plus que c'est possible, l'œuvre de son activité propre. En deux mots, il repense à cet instant ce qu'il a pensé une fois déjà. Au lieu de dire qu'il fait rentrer un cas particulier dans un plus général en appliquant à « ce cercle » ce qu'il avait énoncé de (n tout cercle », il est plus exact encore de dire que, dans des circonstances nouvelles, à l'occasion de quelque nouveau problème, il reste fidèle à lui-même; il se conforme à l'attitude qu'il a décidé désormais de prendre; il repense, il reveut ce qu'il a pensé et voulu. On peut bien parler d'identité pour faire sentir ce qu'il y a de particulièrement rigoureux dans le syllogisme géométrique, mais qu'on y prenne garde : il ne s'agit pas de cette identité sans vie, sans force, immobile et inféconde, qui aurait même quelque peine à se formuler en un jugement véritable. L'identité dont nous rapproche le syllogisme géométrique est une identité vivante, c'est celle de la pensée qui marche, et qui, dans son mouvement continu, sent le besoin de rester d'accord avec elle même, de se répéter fidèlement, de vouloir indéfiniment ce qu'une fois elle a voulu.

S'il est permis maintenant de parler de rigueur plus ou moins parfaite dans le raisonnement syllogistique, ce n'est pas seulement pour opposer le domaine mathématique à tout autre. Dans celui-là même le géomètre se déclarera d'autant plus satisfait que son esprit se sentira plus rapproché de lui-même, pour ainsi dire, — que l'objet de ses études se prêtera plus aisément à une intelligibilité complète, à une assimilation parfaite, — qu'il se prêtera mieux au mouvement de sa pensée une et identique dans ses répétitions, — que cet objet sera donc plus homo-

gène, plus dénué de toute qualité sensible ou intuitive, qu'il s'approchera davantage enfin de la quantité pure. C'est ainsi que l'analyse, de plus en plus dégagée de l'intuition géométrique, paraîtra en même temps de plus en plus rigoureuse. C'est ainsi qu'en géométrie même, moins l'intuition interviendra dans la démonstration, plus elle séduira le mathématicien. Nous n'insisterons pas ici sur ces remarques qui ont fait l'objet d'un chapitre de notre « Essai sur la certitude logique ». Nous avons voulu seulement achever de justifier notre thèse, en présentant les choses sous un jour quelque peu difTérent, et en nous réclamant aujourd'hui, moins d'une identité logique, objective et statique, pour ainsi dire, que de l'identité subjective et dynamique de la pensée.

Note complémentaire.

Nous avons parlé du syllogisme dans cette étude, comme s'il n'existait que la première figure. C'est que non seulement nous pensons, avec Aristote, que c'est la forme vraiment scientifique, la forme essentielle du syllogisme; mais aussi nous continuons à croire, comme Kant, malgré les efforts ingénieux qui ont été tentés de notre temps pour prouver le contraire, que les deux autres figures se ramènent sans difficulté à la première. Nous choisirons un exemple pour faire comprendre notre pensée. Soit ce syllogisme de la deuxième figure :

Nul A n'est B; Tout C est B; Nul C n'est A.

Il suffit de renverser la première proposition pour se ramener à ce syllogisme de la première figure :

Nul B n'est A; Toute est B; Nul C n'est A.

LE KAISOX.Nt.MlLXT GEOMCTUIQLL: ET LE SYLLOGISME 143

Toute la question est- de savoir ce qui autorise la conversion de la majeure. Si la légitimité de ce procédé s'établit à l'aide d'un syllogisme qui ne soit pas de la première figure, la conversion n'est plus permise, et les deux figures sont irréductibles l'une à l'autre. Or justement, d'après M. Lachelier, c'est ce qui arrive, et voici le syllogisme sur lequel on se serait fondé pour passer de « Nul A n'est B » à « Nul B n'est A » :

Nul A n'est B; Tout B est B ; Nul B n'est A.

Il est manifestement de la deuxième figure. Cela prouve à nos yeux que la conversion peut se justifier comme on l'indique, mais non point qu'elle ne puisse se justifier autrement. Le raisonnement que voici nous semble réussir aussi bien, et même avoir l'avantage d'aller plus droit au fond des choses. Il repose sur la signification même de ces mots : Nul A n'est B, d'après laquelle l'idée exprimée par ce jugement relativement aux deux termes est symétrique, pour emprunter un mot au langage mathématique. Cette proposition peut en effet se traduire ainsi : A et B s'excluent l'un l'autre. L'universelle affirmative « A est B », qu'on l'interprète en extension ou en compréhension, attribue aux deux termes des rôles réciproques différents, parce que, de toute façon, il faut entendre que l'un contient l'autre, et que le rapport de contenant à contenu n'est pas identique au rapport de contenu à contenant. Au contraire, l'universelle négative énonce un rapport d'exclusion, d'extériorité totale de l'un des éléments par rapport à l'autre. Dans le premier cas, les ronds d'Euler se comprenaient l'un l'autre; dans le second, ils sont complètement extérieurs l'un à l'autre. Ce que le premier est au second, le second l'est au premier. Il est

clair d'après cela que l'exclusion réciproque de deux éléments peut se traduire de deux façons, exprimant l'une et l'autre la même idée absolument : ou bien « nul A n'est B », ou bien « nul B n'est A », et ces deux propositions peuvent se remplacer l'une l'autre en toutes circonstances puisqu'elles ont exactement le même sens.

Rien de plus simple d'ailleurs, si l'on y tient, que de mettre notre raisonnement sous la l'orme d'un syllogisme de la première figure. Désignons par Z cette qualité d'une proposition d'énoncer relativement à deux termes A, B, un rapport tel qu'ils jouent l'un à l'égard de l'autre des rôles identiques. Nous dirons :

Majeure. — Toute proposition Z peut être convertie; Mineure. — La proposition « nul A n'est B » est Z; Conclusion. — La proposition « nul A n'est B » peut

être convertie.

Nul doute qu'en chacun des autres cas on ne justifie la conversion par un raisonnement analogue, quand on ira tout droit à la raison essentielle qui autorise cette conversion, c'est-à-dire évidemment au .sens précis de la proposition dont il s'agit.