SUR LA NOTIOX DE LIMITE EN MATIIÉMATIQUE

A. — Vous l'iivouerai-je? toutes les fois que je vois intervenir dans les traités de géométrie ou d'analyse la notion de limite, je me sens troublé ; je ne vois plus clair. Il me semble que le livre où je m'instruis cesse d'être un ouvrage de mathématiques, ou encore que l'auteur du traité fait appel, pour le besoin de ses démonstrations, à quelque chose de mystérieux, comme les savants du moyen âge, à bout de ressources, invoquaient sans hésiter des causes cachées qu'ils décoraient des plus beaux noms... Je crois bien que je ne suis pas le seul à demander de la lumière; mais ce qui me frappe, c'est la tranquillité sereine, le calme parfait avec lequel se déroulent dans les traités ces suites de propositions qui me surprennent si étrangement. Entre nous, je me demande parfois si les mathématiciens ont conscience de toutes les dilficultés qu'ils soulèvent eux-mêmes.

B. — Quelles dilïicultés peuvent bien vous troubler dans la notion de limite? Lorsqu'une quantité varie, s'il arrive que sa dilférence avec une quantité fixe finisse par tomber au-dessous de n'importe quelle valeur assignée d'avance, on dit qu'elle a pour limite cette quantité fixe. Le nombre 0,9119... a pour limitel,

G. MiLHAUD. — Le Halioiinel. 9

quand le nombre des chitïres décimaux croit indéfiniment, car la différence avec 1 est yrr;, si l'on prend n

chiffres. La somme 1 -i- ,-^ H- rr2 + •■•• -^ iô^,'> ^^^^

la valeur est 'i — ^-^r, a pour limite :2, quand n grandit

indéfiniment. N'est-ce pas très clair?

A. — Eh quoi! vous acceptez sans sourciller ce fait d'un quantité qui doit passer par une suite illimitée d'états pour en atteindre un définitil? Ne faut-il pas prendre un nombre infini de 9, pour que votre nombre 0,999... atteigne la valeur 1? et de même n'est-ce pas un nombre infini de

termes qui séparent la somme 1 -h :^ H- .. H- 7,7,, quel

que soit n, du nombre limite 2?

Vous me direz encore très tranquillement, je le sais, que la longueur de la circonférence est la limite du périmètre d'un polygone inscrit dont le nombre des côtés augmente à l'infini; mais je ne peux aussi aisément que vous entrevoir cette infinité réalisée. Ou bien je considère le terme, ce que vous appelez la limite, et alors je ne peux y rattacher la chose variable, qui à mesyeux en reste séparée par un abime infranchissable; ou bien je vois l'élément qui varie, mais ne peuxle suivre jusqu'au terme de sa variation, et cesse par conséquent de saisir le fait de la limite.

B. — Vous ne m'avez sans doute pas compris : qui vous demande de saisir tant de choses étranges? Lorsque je dis : le nombre 0,99.9... a pour limite 1, voici ce que j'entends : Fixez-moi un nombre aussi

petit que vous voudrez : . ^^ ^^ -, par exemple. Il

suffira d'écrire au moins G chiffres décimaux pour que la différence entre 1 et le nombre variable tombe au-dessous de cette valeur.

SIU LA NOTION DK Ll.AfirE KN MATHEMATIQL K 147

A. — Fort bien, et puis?

B. — Et puis c'est tout, je ne veux pas exprimer autre chose; c'est tout ce que contient la définition de la limite.

A. — Libre à vous de le croire, mais c'est précisément alors en quoi vous vous trompez : si vous dites que le nombre 0.09... a pour limite 1, cela implique évidemment que le nombre s'approche de la valeur 1 jusqu'à l'atteindre. La valeur 1 se trouve engendrée par une sommation spéciale de nombres. Avoir une limite, pour une chose variable quelconque, n'est-ce pas synonyme d'atteindre une limite? Une limite qui ne s'atteint pas n'en est pas une. Portez vos regards sur le monde qui s'oflre à vos yeux, et où nous puisons tous les éléments do nos pensées. Si le débit d'une source diminue jusqu'à épuisement, vous présenterez le tarissement comme la limite de cette diminution. La nuit absolue qui succède au crépuscule pourra s'appeler la limite de la lueur décroissante du jour. Le repos complet d'un pendule ébranlé,

dont les oscillations seront de moins en moins sensibles, est la limite d'un mouvement de plus en plus faible. Tous ces exemples et une infinité d'autres ne nous montrent-ils pas la limite comme un dénouement, comme un terme d'une série d'états? Il ne saurait donc y avoir le moindre doute; quand on parle de limite, on sous-eiitend une variation qui se termine. Or, je ne comprends pas ce que peuvent être vos suites illimitées qui aboutissent à un dernier élément.

H. — Je vous en prie, ne comparez pas mes exemples aux vôtres. Ils appartiennent à deux mondes distincts. Quand vous me montreriez l'univers entier attestant, par les spectacles inliniment divers qu'il ùlfre à nos yeux, qu'une limite est le terme efîectif d'une suite d'états antérieurs, cela me laisserait indifférent. .Je vous ai dit m i déllnition, elle laisse com-

plètement en dehors d'elle-même le fait de savoir si la limite est ou non atteinte.

A. — Mais c'est de l'arbitraire!

B. — Peut-être, cela m'est égal.

A. — Vous vous attribuez le droit d'ôter d'une notion, certainement commune à tous les êtres qui pensent, quelque chose d'aussi essentiel?

B. — Pourquoi pas? — Ma notion à moi est celle que détermine exactement ma définition : je n'ai pas à en connaître d'autre.

A. — Je ne demanderais pas mieux que de vous suivre sur ce terrain, mais prenez garde, après avoir posé ainsi une définition arbitraire, de vous mettre en contradiction avec vous-même dans l'usage que vous, en ferez désormais. Que de fois n'ai-je pas lu dans vos traités un raisonnement de ce genre : Ayant une égalité X = Y entre deux expressions variables X, Y, qui ont pour limites respectives L, L', on passe à la limite, et on écrit L = L'. Djus ce passage, contesterez-vous que l'on suive chacune des variables jusqu'à l'instant où elles deviennent L et L'?

Pour citer un exemple plus précis, si vous cherchez à déduire un élément quelconque relatif à une tangente (soit l'angle qu'elle fait avec une direction fixe), du même élément relatif à la corde qui joint deux points infiniment voisins, ne faites-vous pas tourner la corde jusqu'à ce qu'elle se confonde avec la tangente, sa position limite? Si vous arrêtiez en chemin cette rotation, de quel droit continueriez-vous à étendre à la tangente les équations établies pour la corde? Pour moi, j'y vois une explication : vous suivez les éléments variables jusqu'à ce qu'ils atteignent leurs limites, et vous appliquez, comme vous dirait Leibniz, le principe de raison suffisante. Il n'y a pas de motif pour que les équations vraies pour tous les états successifs des éléments ne restent pas

SLR LA NOTION DE LIMITK EN MATIIÉ.MATIQLE 14U

indéfiniment vraies, jusqu'au moment compris où ils se transforment en leurs limites.

B. — Libre à vous de trouver là une explication; mais ma seule définition me permet de vous en donner une autre, à laquelle vous reconnaîtrez au moins l'avantage de se passer de toute espèce de principe : Si j'ai établi l'égalité X ^ Y, c'est que, à chaque instant de la variation, les valeurs de X et de Y sont les mêmes : la difTérence entre X et sa limite L est donc égale à la dilTérence entre Y et L, et si la première finit par tomber au-dessous de toute valeur, il en est de même de la seconde ; ce qui revient à dire, d'après ma définition même, que Y a aussi pour limite L. En d'autres termes, les limites de X et de Y sont égales. Le passage à la limite n'est que dans les mots, la conclusion en est indépendante.

A. — J'entends, mais laissez-moi vous soumettre une question qui vous oblige à descendre de vos généralités, et où il faudra bien prendre parti sur ce point de savoir si la limite sera ou ne sera pas atteinte. Je veux parler du fameux problème d'Achille et de la tortue. Achille va iO fois plus vite que la tortue qui, au moment du départ, a une avance de 10 mètres par exemple. Quand Achille aura franchi cette avance, la tortue aura parcouru 1 mètre; la distance qui les sépare sera donc de 1 mètre. Quand

Achille l'aura franchie, la tortue aura parcouru tq de

mètre; ce sera la nouvelle distance des deux coursiers, qui deviendra après chaque instant le iO'' de ce qu'elle était avant cet instant. Vous savez comment concluait Zenon. Cette distance, devenant indéfiniment le dixième de ce qu'elle était, ne sera jamais nulle : Achille n'atteindra jamais la tortue. J'imagine, si je me suis suflisamment pénétré de vos procédés, que votre réponse est toute prête. La

loO Lii: uation.m:l

suite ^ "•" Ta + fM> + ••• des chemins que parcourt

la tortue a pour limite jt-. quand le nombre des éléments croît indéfiniment. D'un autre côté, en supposant le mouvement uniforme, et la vitesse de la tortue égale à 1. pour fixer les idées, la somme des durées

des chemins successifs 1 -^ ta -r- tjt. -+- ■• a aussi pour limite jy de seconde. Et vous en concluez que la rencontre aura lieu dans jr- de seconde, à une dis-

tance du point de départ de la tortue égale à -q- de

mètre. N'admettez-vous pas en raisonnant ainsi que les deux quantités variables — le chemin parcouru et la durée du chemin — atteignent l'une et l'autre leurs limites?

B. — Au risque de vous surprendre beaucoup peutêtre, je vous déclare que je n'ai aucune envie de raisonner de la sorte.

A. — Aio:s vous acceptez la conclusion de Zenon?

B. — Nullement, mais si son raisonnement ne prouve pas à mes yeux que la rencontre n'a pas lieu, celui dont vous me supposez coupable ne démontrerait pas davantage qu'elle eût lieu.... Je m'explique : Bien n'est plus vrai que cette affirmation de Zenon, que, après chaque parcelle de chemin parcouru, la distance deviendra le dixième de ce qu'elle était, et cela indéfiniment. Mais il faut s'entendre sur le sens de ce dernier mot : il signifie « si grand que soit le nombre de petits chemins dont je ferai la somme ». Il est bien clair que prendre le 10^ d'un nombre, puis le 10" du résultat obtenu, et ainsi de suite, forme une série d'opérations sans fin, que je peux pousser aussi loin que je veux. En procédant de la sorte, je ne peux

SLU LA NOTION DK LIMITE EN MATHÉMATIQIE 1 ij 1

tomber sur le point ou sur l'instant de la rencontre. Mais qu'est-ce que cela prouve?

A. — Cela prouve d'abord un fait des plus importants, qui justement ne vous frappe pas assez, à mon avis, c'est que notre esprit ne peut embrasser d'un même coup une suite illimitée d'éléments supposée complète. C'est qu'il y a là pour lui une chimère incompréhensible.

li. — Sans doute, mais si intéressante que soit cette propriété négative de notre esprit, elle ne saurait avoir aucun rapport avec l'existence ou la nonexistence de la rencontre. Si notre regard a cherché dans le ciel une étoile particulière et ne l'a point trouvée, qui s'avisera de conclure qu'elle n'y est pas? Vous disposez peut-être d'instruments trop faibles, ou plutôt, la comparaison sera plus exacte ici, vous ne savez pas explorer toutes les parties du ciel. Vous l'avez dit : la suite des chemins, comme celle des

durées, apourlimite -f-. Si nombreux que soient ces

chemins ou ces durées, lorsque vous en faites la

somme, vous trouvez un nombre mterieura -q-. La

conclusion rigoureuse n'est donc pas ici : la rencontre

n'aura pas lieu ; mais : en deçà d'un point situé à une

distance de -jy de mètre du point de départ de la

tortue, en deçà dune durée égale à -^r- de seconde

commençant à l'instant du départ, la rencontre n'aura pas lieu.

A. — Et c'est tout?

B. — C'est tout ce que permet d'affirmer un raisonnement rigoureux, relativement à l'existence de la rencontre.

A. — Je crains que vous ne vous fassiez trop modeste, par peur de vous contredire. Voyons, n'êtes-

lo2 LE RATIONNEL

VOUS, pas convaincu comme moi, que la rencontre se fera, et justement à la distance et au bout du temps que mesure le nombre limité?

B. — Parfaitement, mais cette conviction a une double origine. J'admets d'abord que la rencontre a lieu : c'est là un fait qui s'impose à moi comme à vous, sans que les matliématiques y soient pour rien; et celles-ci interviennent alors pour en fixer l'instant. Le chemin total parcouru par la tortue peut être en effet envisagé comme limite du chemin variable parcouru à un instant donné. Comme celui-ci est mesuré

par la somme variable 1 -h ,^1 — .jr. H- .... tq7,i

dont la limite est -y, le chemin total est égal à -g et

de même pour la durée.

A. — Enfin je vous y prends! Vous identifiez le

chemin total parcouru avec la limite -^. Cela n'im-

plique-t il pas que vous voyez dans cette dernière limite un terme effectivement atteint?

B. — Nullement. Que lu rencontre soit considérée comme une limite réellement atteinte, cela est évident; mais c'est un fait étranger aux mathématiques.

La limite de la somme -j-^ + .... rrr ne cesse pas

de répondre à ma définition. En l'égalant à la limite concrète du chemin parcouru, je sous-entends seulement que celui-ci satisfait aux exigences de la définition mathématique, à savoir, que la difiërence entre elle et le chemin variable tombe au-dessous de toute valeur. Que de plus la limite concrète remplisse d'autres conditions, cela m'est indilTérent. En résumé : Si on donne le fait de la rencontre, et qu'on demande d'appliquer les mathématiques à la recherche de l'instant où il a lieu, la notion de limite, telle que je l'ai définie, permet bien de résoudre

SUll LA. NOTION DE LIMlïl': i:.N MATHEMATIQUE 1.S3

rigoureusement la question. Si l'on ne donne pas le fait a priori, elles autorisent seulement une conclusion négative : la rencontre n'a pas lieu en deçà de certaines limites.

A. — Laissez-moi du moins enregistrer cet aveu : pour être conséquent avec votre définition, vous n'avez pu affirmer, par la considération des suites illiniitées, l'existence de la renconti'e.

B. — Mais reconnaissez de votre côté que l'impuissance ne survient qu'au moment d'une application concrète, et qu'en eux-mêmes mes raisonnements restent absolument rigoureu.x.

A. — Nous verrons plus tard, je ne suis encore qu'au début de mes objections. Admettons que vous rejetiez par votre définition le souci de savoir si la variable atteint ou non sa limite. Une autre difficulté saute aux yeux, que cependant vous ne semblez pas voir : Tout ne devient-il pas incompréhensible si par sa nature même cette limite ne peut pas s'atteindre? Or c'est ce qui arrive : le terme dont l'élément variable s'approche indéfiniment est le plus souvent d'une espèce nouvelle, différant par son essence même de l'élément variable. La limite et la chose variable répondent à des définitions distinctes. Pour me borner à un exemple courant, la circonférence est envisagée comme limite d'un polygone, dont le nombre des côtés croit indéfiniment. Mais si grand que soit ce nombre, nous ne cessons jamais d'avoir un polygone, une figure formée de droites, essentiellement distincte d'une circonférence. Dites tant que vous voudrez que vous ne suivez pas les polygones jusqu'à leur transformation en circonférence, il n'est pas moins vrai que vous leur donnez une limite incompréhensible. Il y a là, avouez-le, comme un mystère dont l'explication se trouve enveloppée dans un autre, la réalisation d'une infinité d'éléments. C'est sous le couvert de cette dernière monstruosité

154 Li: RATIONNEL

facilement et inconsciemment reconnue capable des conséquences les plus étranges, que vous vous permettez de taire un cercle avec un polygone dune infinité de côtés!

B. — Que de fantômes effrayants auxquels je me verrais en butte, si je ne me souvenais mieux que vous de mes définitions ! Lorsque pour moi un élément variable a une limite, cet élément est une quantité et la limite est une quantité de même espèce. Si Je ne l'ai pas dit, il est clair que je l'ai sous-entendu, puisque j'ai parlé de la différence entre ces deux quantités. Je n"ai nulle envie, croyez-le bien, d'introduire en mathématiques la notion d'une diderence en qualité, que pourraient présenter deux êtres de structure difterente. La qualité n'est pas mon fort; je la rejette autant qu'il m'est possible, pour ne m'attacher qu'à la quantité. Vous me faites dire que la circonférence est la limite des polygones inscrits, mais si je me suis jamais exprimé de la sorte, ce ne peut être qu'une façon de parler. Prise à la lettre cc'tc locution est à mes yeux dépourvue de sens. Polygones, circonférence, ce sont là pour vous des êtres doués dune certaine forme déterminée, et vous pensez que je peux dire : la première forme se modifie au point de se fondre dans la deuxième. Que vous me connaissez peu! Ces figures ne m'intéressent que comme occasions de quantités, si je peux m'exprimer ainsi. Or parmi les quantités dont elles suggèrent l'étude se trouve, par exemple, leur longueur. Et quand j'énonce cette proposition : la longueur de la circonférence est la limite des périmètres des polygones inscrits, je donne à ceux-ci pour limite une quantité de même espèce, de l'espèce longueur.

A. — GY'St jouer sur les mots : je ne saurais admettre que la longueur d'une ou plusieurs droites soit une quantité de même espèce que la longueur d'une courbe. La différence de deux longueurs de

SUR LA NOTION DK LIMITE EN MATHÉ.M.VTIQrE lo5

nature aussi diverse ne m'est pas moins incompréhensible que la différence de deux formes. Il faudrait que je pusse concevoir, pour les dire de même espèce et les comparer raisonnablement, des fragments de droite coïncidant avec des portions de la circonférence, une ligne brisée pouvant s'appliquer sur le cercle. Vous le voyez, ngus en revenons toujours à la transformation mystérieuse du polygone en cercle. B. — Parce que vous revenez sans cesse à la figure concrète du cercle. Mais encore une fois elle n'existe pas pour moi. Le mot longueur ne désigne qu'une seule espèce de quantité, à savoir la distance rectiligne de deux points; quand je parle de la longueur de la circonférence, j'ai en vue 'par définition la limite des périmètres des polygones inscrits.

A. — Vraiment, c'est merveilleux! et vous êtes parfait dans l'art d'escamoter les difficultés. Il vous suffit de décréter que la longueur de la circonférence sera cette limite, pour qu'elle le soit!

B. — Mais sans doute, pourvu que je n'y voie jamais autre chose.

A. — Savez-vous au moins si votre définition s'accorde avec la réalité? Si vous avez à calculer le tour d'une roue connaissant son rayon, ou la longueur d'un fil enroulé autour d'une bobine, de quel droit, appliquant les conclusions de vos raisonnements théoriques, y substituerez-vous les limites de polygones inscrits?

B. — Je n'en sais rien, ni ne veux le savoir. Ma mathématique e.st rigoureuse, et cela me suffit. Qu'on suppose réalisée dans un être concret la propriété qui caractérise ma notion de la longueur de circonférence, et mes conclusions s'ap;)liqueront d'elles-mêmes. Retirez celle hypothèse, et il n'y a plus lieu de faire appel à ma géométrie. Je confectionne un outil au si parfait que possible, à vous de voir, à vos risques et périls, dans quel cas il sera opportun de s'en servir.

A. — Eh bien, puisque vous voilà si modeste en présence de la moindre application, j'aurais mauvaise grâce à insister. J'accepte que la longueur de la circonférence soit par définition la limite des polygones inscrits, du moins je suis en droit de vous demander : Ces polygones ont-ils une limite? où est cette quantité fixe, cette longueur déterminée, dont les périmètres approcheront indéfiniment?

B. — Votre question est légitime, et je veux y répondre. Considérez d'une part une suite illimitée de polygones inscrits se succédant d'après une loi arbitraire, telle seulement que le nombre des côtés croisse indéfiniment, et que tous les côtés tendent simultanément vers zéro. En même temps, considérez les polygones circonscrits que j'appellerai correspondants : ils s'obtiendront en menant les tangentes à la circonférence en tous les sommets de chaque polygone inscrit. Je peux vous démontrer les deux propositions suivantes :

1*^ Les périmètres Pj, p.„ ... Pa des polygones inscrits sont inférieurs à un quelconque des périmètres Pj, P.,, ... Pn des polygones circonscrits; 1" La différence P„ — Pa de deux polygones correspondants peut être rendue aussi petite qu'on veut, pouvu qu'on prenne n assez grand .

A. — J'admets ces propriétés, et vous fais grâce de leur démonstration.

B. — Mais alors c'est fini : il existe une longueur comprise entre les deux suites de périmètres, et qui est leur limite commune L.

A, — Pardon, il y a évidemment malentendu. Je n'exigeais pas la démonstration des deux propriétés que vous avez énoncées, mais une fois posées ces vérités, comment raisonnez-vous?

B. — Je ne raisonne plus. La longueur L s'en déduit immédiatement.

A. — Vous voulez rire?