SUR LA NOTION DE LIMITE EN MATHÉMATIQUE

B. — Pas le moins du monde.

A. — Mais si vous êtes sérieux, dites-moi, je vous prie, de quel droit vous passez de vos deux: suites de longueurs à une longueur limite? Quand vous considériez le nombre 0,999... et que vous disiez : 1 en est la limite, je pouvais comprendre : La diflërence entre

1 et 0,999... est successivement jt., ttw-;, ttwwjv ^^^^ tombe au-dessous de toute valeur. De même la somme 1 + ,^ H- 01 + ••• tend vers 2 parce que sa

ditl'érence avec 2 devient aussi petite que je veux, c'est entendu. Toutes les fois qu'une quantité fixe est connue telle qu'une autre, variable, s'en approche indéfiniment, vous voyez dans la première la limite de la seconde, soit; mais vous heurtez vraiment la complaisance la moins rebelle, quand, à propos de nos suites de périmètres, vous faites brusquement sortir de terre une quantité limite, comme un Dcus ex machina. Car enfin, d'où sort-elle, celte longueur limite? Où est-elle, quelle est-elle, comment est-elle? Vous m'affirmez que les périmètres en approchent indéfiniment? Mais le sens même de votre affirmation m'échappe si je ne sais pas quelle est cette chose dont ils approchent indéfiniment. Soyez sincère : vous me demandez , renonçant à la démontrer , d'admettre l'existence d'une telle limite, au nom d'un postulat qui se glisse entre le début de votre raisonnement et la conclusion. Ce postulat vous parait si facile à accepter que vous n'avez pas conscience du trou qu'il fait dans la suite des déductions. Et cependant, ce trou est un abîme. Je me représente aisément sur une droite les longueurs OA,, OAj,... OAui puis OB,, OB2,... OBb, des périmètres inscrits et circonscrits, et vois nettement deux séries de points, les A et les B, dont les premiers restent tous en deçà des seconds, et enfin tels que la distance de deux points

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Aa , Bn devienne aussi petite qu'on veut. Mais c'est là tout ce qui est clair dans ma représentation. Quand j'essaie de resserrer les points en augmentant leur nombre, je ne change rien d'essentiel à cette image, la distance du point A le plus éloigné au point B le plus rapproché reste toujours une distance appréciable. Pour qu'elle s'évanouisse définitivement, ce n'est plus un nombre de points de plus en plus grand qu'il me faut voir, c'est un nombre infini. Vous voulez que je prolonge mes deux suites en sens opposé jusqu'à ce qu'elles se rejoignent, ne dites plus : de façon qu'elles se rapprochent autant que je voudrais. Non, votre longueur limite n'a de sens que si ces deux suites se rejoignent; elle n'existe pas sans cela! Ne croyez pas échapper à la difficulté en me disant que vous considérez la plus grande des longueurs OAn , ou la plus petite des longueurs 0B„ , ces longueurs maximum et minimum ne m'apparaissent encore que par la prolongation jusqu'à son dernier élément d'une suite illimitée. Avouez que j'ai bien le droit de frémir, à vous voir sous-entendre de sangfroid un fait aussi inconcevable.

B. — Il eût été dommage d'interrompre celte critique que me vaut bien innocemment ma démonstration ! Si vous voulez m'entendre maintenant, sachez d'abord que je n'ai jamais eu la moindre envie de vous taire accepter comme évidentes de jolies fantaisies, que je comprends du reste aussi peu que vous. Quand des propriétés établies sur les suites p,, p,.... p„ et P,,.-- Pd, je conclus à une longueur limite commune , je ne prétends pas démontrer quelque chose de plus! je n'aperçois pas a priori, et ne connais pas, indépendamment de mes deux suites, une longueur que je songe à leur comparer : j'en crée une. non pas à Vaide des suites prolongées jusqu'à leur dernier terme (le ciel me préserve d'une telle audace), mais à propos de ces suites, ce qui n'est pas la même chose.

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A. — Expliquez-vous. Je vois bien poindre à Thurizon une de ces définitions lantasliques qui vous servent à fuir toutes les difficultés.... mais j'avoue cette fois que votre procédé m'échappe.

B. — C'est bien simple, deux séries illimitées de longueurs géométriques satisfaisant aux conditions que vous savez, peuvent toujours être considérées comme définissant une longueur nouvelle.

A. — Laquelle?

B. — Une longueur supérieure à toutes les premièies, et inférieure à toutes les autres.

A. — .le ne la vois pus: prouvez-moi qu'elle existe.

B. — Je n'ai rien à prouver : elle existe parce que je le veux, comme tout être mathématique qui reçoit l'existence d'une définition. Au surplu.-^, nous n'entendons peut-être pas dans le même sens ce terme d'existence. Tandis qu'il s'agit pour vous de je ne sais quelle consistance plus ou moins concrète de l'objet, j'ai conscience, moi. que je crée des fictions. L'existence est concevable pourvu que rien ne soit contradictoire dans les conditions qui la définissent, voilà tout. Eh bien, il me plait, toutes les fois que je suis en présence de deux suites de longueurs satisfaisant aux mêmes conditions que nos périmètres, d'inventer, le mot ne me fait pas peur, une longueur supérieure aux premières et inférieure aux secondes : à vous de l'accepter ou, sinon, de dire pourquoi vous n'en voulez pas.

A. — Je ne peux accepter une définition à la fois aussi vague et aussi arbitraire : vague, parce que je ne sens pas a priori qu'une chose unique soit déterminée par elle; arbitraire, parce que je me demande si je peux même en concevoir une.

B. — Regardez de plus près : quelles sont les conditions qui délini.ssent la nouvelle longueur? Elle doit être comprise entre celles des deux séries. Il suffit,

pour qu'il n'y ait là rien de contradictoire, que toutes les longueurs de la deuxième soient supérieures à celles de la première, condition réalisée par hypo-. thèse. Et ensuite, le lait que la différence des périmètres inscrits et circonscrits tombe au-dessous de toute valeur, empêche évidemment qu'il y ait plus d'une longueur satisfaisant à ma définition.

A. — Sur ce dernier point nous serons facilement d'accord; j'accepte qu'il ne puisse y en avoir plus d'une, mais l'unique longueur possible, je ne la vois pas encore. Vous vous contentez de me dire : les conditions auxquelles elle doit satisfaire ne se contredisent pas, cela ne suffit pas. Vos fictions, vos inventions, ne sont pas des êtres exclusivement logiques. Vous raisonnez ici comme si les conditions, auxquelles vous soumettez la longueur limite, la constituaient par elles-mêmes. Ces conditions ne sont que des propriétés ajoutées à d'autres. Vous en affublez un objet qui existe déjà par lui-même et possède des attributs déterminés, puisqu'il appartient au genre longueur. Me voilà bien avancé, de savoir que vos attributs accessoires sont compatibles entre eux; c'est pour moi un détail presque insignifiant : sont-ils compatibles avec l'essence qui caractérise la longueur, la longueur indéterminée? Parmi les déterminations particulières que peut affecter l'étendue rectiligne, s'en trouve-t-il une qui réponde à vos conditions? Voilà la vraie question.

B. — Nous ne sommes pas près de nous entendre si vous ne consentez à vous débarrasser de certaines chimères, qui semblent vous tenir fort à cœur. Quelle est cette essence de la longueur, ou de l'étendue rectiligne antérieure ontologiquement aux déterminations que je construis? Je ne la connais pas, ni ne veux la connaître. Une longueur n'existe pas pour moi autrement que déterminée, que limitée; et un état de longueur, ou une longueur particulière a

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droit à l'existence, pourvu seulement que les propriétés de quantité qui la conditionnent ne soient pas contradictoires. Vous me direz que c'est encore là de Tarbitraire : contentez-vous, je vous prie, de me voir rester conséquent avec moi-même. J'ai mon espace, mon étendue, ma longueur. Leur essence n'est autre chose que le contenu de mes définitions. Vous demandez si j'ai bien le droit d'associer certaines conditions de quantité à Tèlre qui constitue l'étendue rectiligne. Songez que dans la notion même de longueur ou de distance de deux points, je fais • entrer, par définition, si vous voulez, que l'association soit toujours possible, pourvu que ces conditions ne soient pas contradictoires entre elles. Si vous protestez, je vous dirai simplement que votre espace n'est pas le mien , que vos longueurs ne sont pas les miennes.

A. — Ainsi donc, voilà jusqu'oi^i vous devez fuir, loin du domaine de pensée commun à tous les hommes, pour vous mettre à l'abri des objections, et assurer la rigueur de vos raisonnements. Si les difficultés ne disparaissent qu'à ce prix, je comprends en vérité la répugnance que doivent inspirer encore aux meilleurs esprits les branches des mathématiques fondées sur la notion de l'infini. On a disputé près de deux siècles sur la légitimité du calcul infinitésimal, je n'en suis pas surpris; comme il a dû sembler à nos pères qu'on rompait définitivement avec l'ancienne mathématique....

B. — On a disputé deux siècles, parce qu'il n'est pas aussi aisé que vous pensez peut-être de dissiper tous les nuages à l'aide de déiinitions. 11 ne suffit pas, en face d'une difficulté qui parait insoluble, de dire : les choses seront ainsi parce que j'en conviendrai. Une élaboration est avant tout nécessaire pour démêler, par une minutieuse dissection des raùsonnements, les points [jrécis sur lesquels reposent les démonstrations, et pour les dégager des données plus

OU moins confuses qui se présentent d'abord avec toute leur obscure complexité. Ce travail d'élaboration, au seuil d'une branche nouvelle des mathématiques, est au fond comparable à celui qui a été la condition indispensable à la formation même de ces sciences. Comme celui-là, il a pour effet renonciation de quelques propositions précises, condensant en elles-mêmes tout ce qu'il faut de matière nouvelle pour le chapitre qui commence. Ces propositions n'ont plus qu'à devenir des définitions pour que la chaîne des déductions qui paraissait rompue soit enfin renouée. Mais lorsque, grâce à de longs efforts, parfois inconscients, les mathématiciens ont rendu la rigueur à leur science, sachez admirer l'importance do ce beau résultat. Lui seul garantit le caractère mathématique des études nouvelles, qu'avaient senti d'instinct les premiers chercheurs. On ne l'avait pas attendu pour cultiver ces études, et, ne fût-il jamais atteint, leur ensemble n'en formerait pas moins un domaine précieu.K et fécond pour l'intelligence humaine. Seulement, nous ne serions plus en droit d'affirmer qu'il se présente comme une suite naturelle de la géométrie et de l'analyse. Mais maintenant que, pour ce qui concerne le calcul infinitésimal, le problème de reconstruction logique est résolu, et que pleine satisfaction nous est donnée....

A. — Au prix que nous savons....

B. — ...j'ai peine à comprendre votre étonnement: n'est-ce pas à ce même prix, c'est-à-dire à la condition de se créer un monde de fictions, que les mathématiques doivent leur existence même, en tant que sciences rigoureuses? — N'est-ce pas dès le début qu'il entre dans leur nature, et leur tendance, de fuir les difficultés, comme vous dites, en se retranchant derrière les notions, dont l'existence n'est due qu'à leurs définitions? Lorsque, à l'occasion de deux suites illimitées de longueurs, j'ai voulu en consi-

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dérer une nouvelle, comprise entre elles, il vous a semMô que c'étnit là un acte sans précédent en malhématiques, et vous avez réclamé à grands cris qu'on vous en montrât la légitimité. Eh bien! prenons un exemple plus simple : qu'à propos d'une longueur AB, je vienne à parler de la moitié de cette longueur, comme cela arrive si souvent dans les commencements mêmes de la géoniélrie, songerez-vous à faire la moindre objection? il ne vous viendra pas à l'idée de me dire : « C'est très bien de définir la moHiê de AB une longueur qui, ajoutée à elle-même, reproduise AB; mais encore faut-il montrer qu'il existe un être répondant à cette définition. Les conditions de quantité auxquelles vous l'assujettissez ne sont pas contradictoires, soit! mais qui m'assure que l'essence de l'étendue rectiligne est compatible avec elles? » Et, en vérité, vous n'auriez pas moins raison de parler ainsi que dans notre exemple de tout à l'heure. Si l'existence garde pour vous ce sens concret, auquel vous semblez tenir, vous n'avez qu'un moyen déchapper ici à la difficulté, c'est d'admettre sans démonstration, sous la forme d'un postulat, approprié à votre cas, que, étant donnée une longueur, il en existe une autre qui en est la moitié : Cela revient en somme à reconnaître dans la suite des déductions géométriques, un trou non moins infranchissable que votre abime de tantôt. Pour rétablir la continuité de la chaîne logique, il faut bien, que vous en ayez conscience ou non, consentir à ce qu'une longueur, pour le géomètre, ne soit pas autrement définie que par des relations de quantité; il faut bien renoncer, dès le début de toute considération géométrique, ù faire intervenir cette essence qui n'aurait qu'à revêtir une détermination particulière pour devenir une certaine longueur: il faut enfin que la distance de deux points soit pour nous une notion absolument adéquate à la quantité pure.

A. — Mais si vous dites vrai, pourquoi donc est-on si peu d'accord parmi vous quand il s'agit de choisir entre les longueurs ou les nombres abstraits pour définir toutes les déterminations possibles de la quantité pure? Vous savez comme moi que les valeurs incommensurables, par exemple, ne sont pas présentées partout de la même manière. On les introduit comme limites de suites de valeurs approchées, mais les uns veulent que ces valeurs soient représentées par des longueurs, et c'est une longueur limite qu'ils donnent pour la signification du nombre nouveau; les autres excluent toute espèce de longueurs, et ne consentent à manier que des symboles numériques. Pensez-vous qu'on soit aussi convaincu que vous le dites de l'équivalence mathématique du nombre et de la longueur?

B. — La divergence d'opinions que vous signalez est peut-être un dernier écho des discussions sans fin qu'ont suscitées chez les mathématiciens euxmêmes les notions d'infini et de continuilé. Mais, au fond, elle se réduit à peu de chose, et il me semble facile de signaler les points de vue distincts qui correspondent aux diverses opinions. Prenons, par exemple, la définition de la racine cubique de 2. Les notions élémentaires d'arithmétique suffisent pour le calcul de deux suites de nombres a^, a,.... «„ , et b^, 6,,... h:, tels que les cubes des premiers sont inférieurs à 2, les cubes des seconds supérieurs à 2, et tels en outre que la dilTérence l)^ — «^ tombe audessous de tojte valeur assignée d'avance. Eh bien, voici, je crois, à quoi on peut ramener les diflérenles façons d'en tirer racine cibique de 2. Les uns considèrent deux suites illimitées de longueurs mesurées par les nombres a,, a,,... «„ , — b^, h^,... 6n , et, jugeant alors d'après ce que leur montre une intui tion claire de l'étendue rectiligne, ils considèrent comme évident que les deux suites de points formées

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par les extrémités des longueurs se rejoignent en un point déterminé. A ceux-là s'appliqueraient vos critiques de tantôt, s'ils avaient la prétention de donner à cette évidence un caractère logique. Mais il n'en est pas ainsi le moins du monde, ils se contentent de poser là une sorte de postulat semblable à celui des parallèles, ou à tout autre dont on peut avoir besoin à un instant donné, renonçant très modestement à le démontrer. Ceux-là sont dans la vérité historique, sinon mathématique. Car il est bien évident que l'existence concrète de cette^longueur limite apparaît malgré nous dans cette représentation que vous voudriez rejeter, faute de l'expliquer. Qu'on le comprenne ou non, notre esprit est doué d'une faculté avec laquelle il faut bien compter, c'est d'entrevoir, sans cependant pouvoir s'y conduire par degrés, le terme idéal d'une variation indéfinie. N'est-ce pas ainsi que nous passons de l'image d'un fil ou d'un rayon, en diminuant de plus en plus son épaisseur, à la conception d'une droite infiniment mince? N'est-c& pas ainsi qu'en atténuant de plus en plus les rugosités d'une surface, nous arrivons à nous formerl'idée d'une surface parfaitement polie? C'est peutêtre en ce fait que consiste au fond celui de la continuité que nous attribuons aux objets de l'intuition. Quoi qu'il en soit, un postulat qui se fonde sur lui peut s'énoncer avec une conviction égale à celle qu'entraînent les axiomes fondamentaux de la géométrie. Et ceux qui se contentent de l'appliquer dan& les questions que nous examinons ensemble, ne mériteront pas pour cela le reproche de rompre avec les méthodes de géométrie ancienne.

Mais enfin le postulat avoué est un appel direct à l'intuition, il invoque un fait inexplicable et, à cause de cela, doit disparaître. De là une deuxième tendance opposée : supprimer toute longueur, ne voir que des suites de nombres, se débarrasser de ce que la

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notion de nombre contenait encore, à savoir une loi particulière de formation qui ne s'appliquait qu'aux nombres entiers ou fractionnaires, et convenir que , les deux suites servent à définir un symbole nouveau, qu'on appellera encore un nombre, et quon dira cornpris entre les deux suites. Voilà le procédé que vous trouvez aujourd'hui dans la plupart des traités d'analyse. Il suit évidemment, dans l'évolution naturelle des idées, la méthode fondée sur l'intuition, ne s'explique même complètement que par elle, mais enfin rend possible désormais sans postulat l'introduction des incommensurables.

Si l'on y regarde de près, ce dernier procédé repose sur la généralisation de la notion de nombre. D'abord assujetti à revêlir la forme entière, puis la forme d'une fraction, le nombre finit par devenir un symbole dans la définition duquel la forme n'entre plus du tout. C'est du reste ici encore un cas parliculier de la tendance mathématique à atténuer le rôle de la qualité, à l'exclure même autant que possible.

Enfin, il est facile de substituer aux symboles purs des longueurs, à la condtiion bien entendu de ne plus voir ce substratum prétendu continu que donne l'intuition, sans quoi nous reviendrions à la première méthode. Les longueurs, dénuées de tout ce qui touche à leur forme, et prises, par définition, comme pouvant satisfaire à toutes conditions de quantité non contradictoires, serviront aussi bien que les nombres à définir toutes les déterminations de la quantité. La crainte d'utiliser sans démonstration quelque donnée de l'intuition ne doit pas empêcher de reconnaître l'identité absolue des deux méthodes, c'est-à-dire l'équivalence parfaite des deux notions mathématiques de nombre et d'étendue recliligne, une fois dépouillées l'une et l'autre de tout contenu formel.

A. — Vous concluez à cette identité en vous fondant en somme sur votre définition de la distance....

Sni L.V NOTION UK LI.MITi: KN .MATIlKMATiOL K 167

Décidément, il y a trop de délinitiuns dans vos éclaircissements. Elles font votre sécurité, et ce sont elles au contraire qui troublent la mienne. Vous regardez à travers des verres trop adaptés à voire usage personnel; ce qui m'intéresse le plus est précisément ce dont ils cachent la vue.

B. — Tant pis pour vous, si vous n'êtes pas ébloui par ce qu'ils laissent voir, je veux dire par la lumineuse clarté de l'idée, de la notion intelligible.