XOTF, S LU LA G K 0 M É T R I E GRECQUE

Que l'hisloire de la pensée scientifique peut être d'un grand secours au philosophe, préoccupé des conditions oii se forme et progresse la connaissance humaine : cela n'est plus à prouver. Nous voudrions seulement ici demander à la géométrie grecque un enseignement sur un des problèmes les plus généraux de la philosophie scientifique : nous voulons parler du rôle de l'idée théorique, de la pensée pure vis-à-vis de l'application. L'opposition de ces termes n'a évidemment rien d'absolu. La mathématique, dans son ensemble, représente l'idée, quand on la met en regard de toutes les autres sciences plus ou moins concrètes; mais dans le domaine propre de ce qui s'appelle d'ordinaire la mathématique pure, on voit bien vite les méthodes suivre des directions différentes selon que le géomètre est plus ou moins exigeant pour la pureté de l'idée, et qu'il écarte de plus en plus les qualités relativement sensibles et concrètes de l'intuition, pour se réfugier dans l'intelligible pur, là où l'esprit semble n'avoir affaire qu'à lui-même, c'est-à-dire dans la quantité, dont la formation semble résider dans le pouvoir de la pensée de se répéter autant qu'elle veut, tout en restant identique

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à elle-même. C'est ainsi qu'à la géométrie s'oppose l'analyse qui semble trouver en celle-là la première occasion de s'appliquer. C'est ainsi encore que, même dans l'analyse, les notions fondamentales ne se présentent pas de la même façon à tous les esprits. S'il s'agit, par exemple, de la généralisation progressive du nombre, il est possible, pour la comprendre, de faire plus ou moins appel à l'inluilion, et de voir à des degrés divers, dans les progrès successifs de la pensée mathématique, des postulats de cette intuition ou au contraire des constructions quantitatives de l'esprit'. D'ordinaire, le géomètre moderne se montre si vivement attiré vers toute méthode qui l'éloigné de l'intuition qu'il semble souvent exagérer son besoin d'intelligibilité, et qu'aux yeux de beaucoup de penseurs, il tombe dans un symbolisme artificiel, soit par son désir de substituer à outrance le calcul aux constructions géométriques, soit par sa tendance à chasser l'intuition naturelle de toute notion qu'il utilise. Ne semble-t-il pas renverser systématiquement l'ordre des deux termes théorie et pratique, idée pure et application, de façon à créer cette illusion que le premier terme aurait quelque sens, quelque raison d'être sans le second? On croit souvent qu'il y a là comme une mode de notre temps, un changement de direction en tout cas par rapport à la mathématique grecque, qu'on oppose d'ordinaire à l'analyse des modernes. On se trompe; et nous voudrions justement mettre en évidence, par quelques exemples simples et d'ailleurs bien connus, que l'elTort du mathématicien pour s'attacher à l'idée pure ne date pas d'aujourd'hui et que dès lors il doit avoir, pour se justifier, des raisons plus profondes qu'on ne le croit d'ordinaire.

1. Voir la première partie de la thèse de M. Couturat, De l'infini mathémulique.

G. MiLHAUD. — Le Uationnc'. 10

I. — Notre premier exemple sera relatif à la lliéorie des coniques. Aujourd'liui, pour les définir, on écrit le polyn(jme général du second degré en x et // et on régale à zéro. Lorsqu'on est amené ensuite à montrer dans les lignes que représente une telle équation précisément ces courbes si connues, ellipse, hyperiDole, parabole, antérieurement étudiées en géométrie élémentaire, à l'aide do leurs propriétés focales, ou comme sections planes d'un cône, quel est l'étudiant, si peu méditatif qu'il soit, que cette constatation ne remplit pas de quelque étonnement? N'est-ce pas justement une de ces circonstances où l'on croit le plus vivement sentir la distance qui nous sépare de la pensée géométrique telle que l'ont maniée les anciens? Et pourtant, en retrouvant, à l'aide dune relation du second degré entre x et y, entre l'abscisse et l'ordonnée, des courbes que l'on connaissait déjà comme sections d'un cône, nous retombons, api'cs un détour, sur le procédé même qui servit à l'origine à les définir et à les étudier. Le géomètre grec, dans sa théorie des coniques, n'allait pas du problème concret au problème abstrait, de la ligne tracée sur un cône par un plan sécant aux relations quantitatives auxquelles elle peut donner naissance, et dont elle est l'occasion, — mais au contraire il allait de l'abstrait au concret, de la quantité à la qualité, de certaines relations, étudiées déjà pour elles-mêmes, à un problème concret qui en fournissait une application naturelle.

Un passage du commenlaire de Proclus sur Euclide nous permet, sur le témoignage d'Eudème ici invoqué, de faire remonter l'origine de la théorie aux Pythagoriciens eux-mêmes qui auraient déjà traité le fameux problème de la parabole des aires. Un cas particulièrijment simple fait aisément comprendre en quoi consistait essentiellement ce problème. Soit une longueur AB et une aire S, on demande ou bien de

l'K.NSKE l'L'HE ET INTl ITION

construire une longueur AC telle que le rectangle de côtés AB, AG ait une aire égale à S; ou bien de construir3 AG tel que le rectangle de côtés AB, AG, augmenté du carré de A G, BDEF, ait une aire égale à S; ou bien enfin de construire AC tel que le rectangle de côtés AB, AC, diminué du carré de AG, ait une aire égale à S.

Le premier problème est celui de la parabole simple, le second, celui « de la parabole en lujperbole d'un carré », le troisième est le problème de « la parabole en eUipse d'un carré ». Dans notre langage moderne nous dirions simplement qu'on se propose de trouver une longueur x satisfaisant à l'une des trois équa-

tions S = ax, S = ax -h jj -, S = ax — .c - ; et il suffit de s'exprimer de la sorte, ne changeant rien d'ailleurs à la signification elle-même du problème, pour faire sentir ù (juel point on est bien ici sur le domaine propre de la quantité. Au fond il ne s'agit de rien moins que de la construction des racines d'une équation du second degré '.

La fameuse question de la « section d'or » — ce que nous appelons « division d'une droiie en moyenne et extrême raison », — est un cas particulier de ce problème. Si en effet AB est une droite donnée, on se propose de trouver x tel que AB x (AB — x) = x\

l. Cf. Paul Tannery, /'t' lu solution fiéomélricjue des prohVe»ics fin second der/vé avant Euclidr [Mémoires de la Société des sripnrrs pliysiques et naturelles de DordeaitT, t. IV).

OU encore tel que AB x x -h x^ ^ AB^ Il s'agit donc de faire sur AB la parabole de l'aire du carré de AB, en hyperbole d'un carré. — Ce n'est pas ainsi, que, dans le livre II, Euclide énonce cette question. Au livre Yi seulement se trouvent présentés le langage et les solutions du problème de la parabole des aires, — solutions généralisées d'ailleurs en ce sens que le rectangle de nos exemples simples est remplacé par un parallélogramme, et que le carré en excès ou en défaut est remplacé par un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné. Voici d'ailleurs les énoncés d'Euclide :

Prop. XXVIII. — A une droite donnée appliquer (Tiapà TT^v o-Jiû'jTj £ijO£Î-jiv ... -y.p-aoy.ÀsTv) un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée et qui soit défaillant (IaÀîïttov eïoe'.) d'un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

Prop. XXIX. — A une droite donnée appliquer un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée et qui soit excédent (u-ecSxâXov eioe-.) d'un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

Pour traduire ces énoncés en langage moderne, il suffit de généraliser les relations simples du premier cas, et d'y sub.stituer celle-ci : S^a.t- h- Ka;-. les trois cas K = 0, K > 0, K < o, correspondant à la parabole simple, à la parabole en hyperbole, à la parabole en ellipse.

Yoilà donc jusqu'ici étudiées par le géomètre grec des relations purement quantitatives; car, pour ne pas trouver en eux un algorithme spécial semblable au nôtre, et pour ne voir que des carrés, des rectan gles, ou des aires de parallélogrammes, là où nous substituons les termes a.v, K.r-, nous n'en saisissons pas moins ce qu'il y a au fond de la pensée des Grecs. Les distinctions parabole, ellipse, hyperbole ne répondent nullement à des courbes do telle ou telle forme.

PEN-^Ki: l'LRE ET INTUITION

mais uniquement à des constructions quantitatives se présentant dans telles et telles conditions.

Quel rapport va donc exister entre ces constructions théoriques et la section plane d'un c<"ine? — Ce n"est même pas dans Euclide, à la suite des questions abstraites pures, que nous pourrions trouver l'application au problème concret. 11 nous faut ouvrir le livre d'Apollonius pour comprendre le rapport de celui-ci à celles-là.

Soit, dit Apollonius ', un cùne de sommet A, dont la base soit le cercle Br. le plan du triangle ABr contenant l'axe; coupons le C(3ne par un plan dont la trace sur le plan ABF soit ZH, parallèle à AT, et qui coupe le plan de base suivant la droite AE. perpendiculaire au diamètre ZH. Soit enfin une longueur Z0 qui soit à ZA comme le carré construit sur BV est au rectangle de cùtés AB, AT. — K étant un point quelconque de la section, et K\ perpendiculaire à ZH, — Z\, l'absci-sse du point K, est justement la longueur à construire dans la parabole de l'aire KÂ- faite sur la droite Z0. — De là le nom de parabole donné à la section plane.

Lor-sque ZH n'est plus p irallèle à AT prop. Xll et XIII), Apollonius trouve que Z.V est toujours la longueur à construire dans la parabole de l'aire KÂ", mais, suivant les cas, en hyperbole ou en ellipse d'un rectangle semblable à un rectangle donné, — faite sur une droite connue. De là les noms d'hyperbole