Poincaré, Rev. de Mèlaphys. et de Morale, janvier 1S

LE IIAISONNE.MENT GÉOMÉTRIQUE ET LE SYLLOGISME 11. ï

tels et tels ordres d'idées, et nous pensons bien nousmême, nous le dirons dans la suite, que le syllogisme géométrique se fera remarquer par des caractères intéressants. Mais enfin est-il ou non permis de parler de syllogismes à propos des raisonnements de la géométrie? Voilà le point essentiel. A la rigueur, la réponse qu'on fera à une pareille question dépendra de l'idée que chacun se fait du syllogisme. Mais pourtant ne peut-on indiquer quelque caractère fondamental auquel il se reconnaisse? Nous avons dit incidemment qu'il est avant tout une suite de propositions telles que, les deux premières étant posées, la troisième en résulte nécessairement, et, depuis Aristote, personne n'a contesté cette définition. Le syllogisme n'est-il pas en outre essentiellement le raisonnement déductif, c'est-à-dire le procédé par lequel l'esprit rattache une affirmation à une autre plus générale qui la comprend? Au fond même, n'estce pas pour retrouver ce caractère du syllogisme qu'on sent le besoin d'y voir des attributs, — éléments de quelque compréhension qui les renferme, — et des espèces, parties de genres qui les contiennent, de façon à saisir clairement la marche déductive de la pensée? Or chacun des raisonnements élémentaires dont se compose une démonstration géométrique présente certainement ce caractère. Soit, par exemple, celui-ci :

Une droite peut être prolongée indéfiniment;

AB est une droite finie;

AB peut être prolongée indéfiniment.

Le sujet de la majeure c'est toute droite finie qu'il pourra nous arriver de rencontrer à propos d'un problème quelconque, dans une construction quelconque; c'est toute droite qu'il nous plaira de tracer ou d'envisager à un moment quelconque. Le sujet de la mineure et, par conséquent, celui de la conclusion, c'est plus particulièrement un des cùtés du triangle

LE RAïIONiNEL

isocèle à propos duquel on veut démontrer que les angles à la base sont égaux. Et ce raisonnement a pour fonction essentielle de rattacher à un fait général la propriété particulière affirmée de ce côté AB. Ne reconnaissons-nous pas là le caractère propre de la déduction?

Ainsi pour nous les raisonnements géométriques sont bien composés de syllogismes. Et d'ailleurs n'était-ce donc pas déjà l'opinion d'Aristote, dont la manière de voir a son imporlance dans une question de ce genre?

D'une part, dans les Derniers Analytiques (I, 2), voulant montrer en quoi diffèrent le 'sy'logisme et la démonstration, Aristote explique que celle-ci n'est autre chose que le syllogisme dont les prémisses sont certaines. Or par démonstration il faut entendre la démonstration scientifique, et surtout la démonstration géométrique : la géométrie n'élait-elle pas, aux yeux des Grecs, r£7:icTr:u.r, par excellence? — D'autre part, quelques chapitres plus loin, Aristote déclare que c'est le syllogisme de la première figure qui est le plus scientifique. « C'est par celui là, dit-il, que les sciences mathématiques donnent leurs démonstrations, l'arithmétique, la géométrie, l'optique, et on peut dire toutes les sciences qui étudient le pourquoi des choses. » Ainsi, contrairement à une opinion exprimée quelquefois', en affirmant que la démonstration géométrique procède par syllogismes, nous n'avons pas Aristote contre nous : nous nous accordons même avec lui jusque dans cette remarque relative à la figure ordinaire du syllogisme géométrique; car les raisonnements élémentaires tels que nous les avons présentés sont de la première figure.