Notanfimcnt par Coiirnof, op. cit

Et maintenant il est aisé de faire sentir les caractères propres du syllogisme géométrique. Le meilleur moyen pour cela, c'est de montrer qu'il échappe, ^ le plus qu'il est possible, aux critiques de l'Ecole

anglaise. On sait en quoi consistent ces critiques. Soit le syllogisme :

Tous les hommes sont mortels; Socrate est homme; Socrate est mortel.

Ce raisonnement est un cercle vicieux, car je ne peu* affirmer la première proposition que si je suis convaincu de la vérité de la dernière. Socrate non mortel serait en elfet une exception suffisante pour infirmer la certitude de la majeure. — Et aussi, dit en substance Stuart Mill, c'est une étrange fantaisie que de donner à la majeure une généralité absolue en même temps qu'inutile. L'affirmation que tous les hommes sont mortels est pour nous une façon de tenir compte de ce que Jean, Pierre, Jacques, etc ont été mortels. De tous les cas particuliers dont nous avons pu former un registre, nous avons tiré une proposition qui, par son extension, dépasse le registre, puis nous sommes descendus de la proposition générale à un cas particulier. N'est-il pas plus simple et plus sincère de conclure directement des cas particuliers connus à celui dont il sera maintenant question? N'est-ce pas en tout cas la seule manière de faire disparaître le cercle vicieux?

Quelle que soit en elle-même la valeur d'une théorie qui nous demande de conclure du particulier au particulier, n'est-il pas clair qu'elle devie;it au moins inutile dès qu'il s'agit du syllogisme géométrique, pour la raison bien simple qu'il n'est plus facile d*y voir un cercle vicieux?

Reprenons, pour nous faire comprendre, l'exemple

du syllogisme classique. Ce qui rend surtout le cercle vicieux manifeste c'est qu'il y est question d'un ensemble, d une collection, — et que l'on conclut en affirmant chez l'un des individus une propriété que l'on a d'abord déclarée appartenir à tous. Il semble que le défaut soit déjà moins apparent si à la formule : « Tous les hommes sont mortels », on substitue celle-ci : a Tout homme est mortel ». Mais au fond la difficulté n'a pas disparu. Il ne s'agit plus, il est vrai, d'une collection limitée, formée d'un nombre déterminé d'individus, — que Ton saisit simultanément daus une seule vue, lorsqu'on énonce la propriété qu'ils possèdent tous. « Tout homme » signifie tout homme connu ou inconnu, tout homme qui a vécu, qui existe ou qui pourra jamais venir au monde. Mais cependant, n'est- il pas toujours nécessaire que tel homme particulier, auquel je peux songer, tel homme défini dans le présent, le passé ou l'avenir par quelque circonstance qui le détermine, — n'estil pas nécessaire, dis-je, que celui-là soit mortel luimême pour que la majeure puisse s'énoncer sous sa forme universelle? et si la certitude de la majeure dépend toujours de celle de la conclusion, le cercle vicieux subsiste : il subsistera tant qu'il sera permis de parler de l'exception qu'apporterait à la formule générale le cas d'un homme non mortel. Un seul moyen, s'il était raisonnable, s'offrirait à nous de nous retirer ce droit, ce serait de faire entrer la mortalité dans la définition de ce qui caractérise un homme. Dès lors plus d'exception possible; car si tel individu qui, par ses autres caractères, semblait être un homme, se trouvait non mortel, nous cesserions aussitôt d'y reconnaître un homme. Ce serait fort simple, — mais bien étrange en vérité. Nous n'avons songé à cet attribut des hommes que pour avoir constaté la mortalité de tous ceux qui ont vécu. Nous avons d'abord, durant une expérience plus ou moins

longue, appelé homme l'individu caractérisé par d'autres qualités, et nous avons constaté que celle-là, la mortalité, s'y ajoutait invariablement : c'est cette addition d'un attribut à d'autres déterminés que nous avons voulu énoncer d'une manière générale, et, parce que nous déciderions tout à coup de l'exiger par une définition, nous ne ferions pas disparaître ce qu'il y aurait d'exceptionnel au cas où l'attribut en question cesserait d'accompagner ceux auxquels nous l'avons toujours vu associé. Pour nous mettre à l'abri des objections logiques, pour supprimer le cercle vicieux, nous aurions formé une définition que ne justifierait aucune raison suffisante.

Mais cette façon de procéder nous choque particulièrement ici parce qu'il est question d'une chose si clairement donnée, l'homme, — d'un objet se posant de lui-même si spontanément à notre connaissance, tellement en dehors, semble-t il, de toute tentative de notre part de fixer nous-mêmes les limites de sa compréhension, que nous ne pouvons accepter de résoudre la difficulté par une simple définition. Si seulement il s'agissait d'une de ces choses dont l'existence et les propriétés sont mises à jour scientifiquement par le physicien ou le chimiste, nous nous déciderions avec moins de peine à fixer une notion définitive, à arrêter la liste des qualités caractéristiques de ce que nou.^ nommerions de telle façon, au risque d'avoir à mettre d'accord cette attitude avec les contradictions possibles de l'expérience. Mais tout devient plus clair encore, et il semble bien que nous échappions véritablement ainsi aux objections de Stuart Mill, quand nous parvenons au domaine géométrique. Que la majeure soit une (( demande », une « notion commune », ou une « définition », peu importe : le seul fait que le géomètre l'a inscrite à la première page de son livre signifie qu'il va la prendre pour point de départ, qu'il

se propose de marcher désormais dans la construction de sa science, en se conformant à celte majeure. Quand donc il énonce, par exemple : toute droite finie peut se prolonger indéfiniment, la certitude de cette proposition ne saurait dépendre pour lui de ce qui adviendra pour telle ou telle droite qui se pourra rencontrer désormais, car on ne se donne le droit de parler de droite qu'autant que le prolongement indéfini est possible. Et non seulement ici on n'aura nul besoin de la théorie de Mill, qui prétendait seule supprimer tout cercle vicieux, en concluant directement de certains cas particuliers à un cas nouveau, mais . même on ne lui reconnaîtra aucun sens. Les cas parculiers antérieurs à la formule générale n'existent pas; ou du moins, et c'est ce que nous entendons, ils n'existaient pas pour le géomètre. Quelles que soient les raisons qui lui ont suggéré le choix de cette formule de préférence à d'autres, c'est en tout cas pour lui une formule qui, loin de résumer le passé, inscrite à la première page de la science, vise uniquement le futur. Ainsi nous consentons à faire une place à part au raisonnement géométrique; mais ce n'est pas pour le séparer du raisonnement syllogistique, bien au contraire c'est pour reconnaître aux syllogismes dont il e; t formé une valeur logique toute particulière.

Eh quoi! Voilà donc la démonstration géométrique ramenée au syllogisme! la vieille logique peut s'enorgueillir d'un pareil résultat : la géométrie a-t-elle le droit d'en être lière? Si son processus est une déduction continue, ses prétendues nouveautés ne seront jamais que des conséquences implicitement contenues dans des prémisses posées une fois pour toutes, de telle manière que la géométrie tout entière, si loin qu'elle soit poussée, ne consiste qu'en un dévelop-

pement analytique de quelques données premières : c'est là ce qui pourrait s'appeler piétiner sur place et non point marcher en avant. Et comment comprendre cela, si l'on songe au progrès incessant de la géométrie, ainsi qu'à l'essor vertigineux de la pensée mathématique? Comment concilier la nature syllogistique des raisonnements avec la marche en avant qu'ils permettent à l'esprit de réaliser?

Kant a beaucoup insisté sur ce que, contrairement à l'opinion commune, les propositions de la géométrie et des mathématiques en général ne sont pas analytiques. Serait-ce de ce côté que nous pourrions trouver une réponse claire à notre question? Pour en décider, ouvrons la Critique de la raison pure ou les Prolé<jo)uènes qui la répètent à peu près sur ce point, et reportons -nous aux explications qui s'y trouvent. Elles sont particulièrement explicites à propos d'un exemple qui, pour être emprunté à Tarithmétique , n'en est pas moins instructif :

7 -h 5 = 12. La première remarque de KaiJt, c'est que le concept de la somme (7 -h 5) ne contient pas le nombre môme qui y correspondra : j'ai beau tourner et retourner dans ma pensée l'union de 7 et de 5, je n'y découvrirai pas qu'elle conduit au nombre 12. On pourrait répondre à cela que le nombre 12 n'apparaît pas en efTet par la simple considération de la somme 7 -i-5, et qu'il faut une démonstration pour passer de celle-ci à celui-là : toute la question est de savoir si cette démonstration va être synthétique, si elle va vraiment ajouter quelque chose au concept de la somme, ou si elle va seulement mettre en évidence ce qui, sans apparaître d'abord, y était cependant contenu. Or un leibnitien, par exemple, eût exposé ce raisonnement fort simple, fondé sur les définitions premières de l'arithmétique, qui, prenant après 7 successivement les miQmbres 7 -i- 1 ou 8,