f- 1 ou 9... eût peu à peu conduit au nombre

Mais Kant ne se borne pas à sa première remarque. Il déclare que l'intuition intervient clans la démonstration. Qu'entend-il par là? Serait-ce simplement qu'elle soutient la pensée en plaçant sous les unités abstraites de l'arithmétique des choses concrètes, telles que doigts, cailloux, points...? Serait-ce que l'intuition contribuerait seulement à faciliter le mouvement de la pensée? Cette interprétation serait assez naturelle étant donné que, pour mieux convaincre son lecteur, Kant cite l'exemple de nombres plus grands; et il est clair que l'aide apportée par 1 intuition dans le raisonnement arithmétique, tel que nous venons de le présenter, est d'autant plus appréciable que les nombres dont il s'agit sont plus grands. Mais si l'intuition, aux yeux de Kant, ne jouait que ce rôle auxiliaire, l'importance de ce rùle dépendrait de la puissance d'abstraction du mathématicien, rt pourrait devenir nulle en certains cas, au moins quand il s'agirait de nombres aswe/. simples. Kant a certainement en vue une intervention plus «'iïcclivG de l'intuition. « On est obligé, dit-il, d'apin 1, r Ix son aide l'intuition, ses cinq doigts, par ext^mple..., et ainsi, on ajoute une à une les unités des cinq cho.seB données dans l'intuition au concept des sept aulre». » Ainsi il n'y a pas de puissance d'abàtra(!ti()ri (jui tienne : la pensée ne pourrait pas elTectuer l'addilion de cinq unités aux sept autres, sans un snhstratum intuitif. Mais qu'est-ce qui fait donc la dirncullé? N'est-il pas possible de dire : 7 et 1 font 8, 8 et 1 font 9, etc.? Kant nous eût sans doute répondu que la pensée, livrée à ses propres ressources, no saura pas saisir l'instant où les unités ajoutées successivement seront au nombre do cinq. Un arithméticien d'aujourd'hui n'aurait pourtant pas de peine à expliquer qu'il sait se former uiui ^ilo do «igru's 1, 2, 3, 4..., qu'il est capable de répéter do mémoire. A mesure qu'il formera les nombrw 7 -i- 1 ou 8,

8 l 1 OU 0, il lui suffira de nommer successivement

chacun de ces signes ïx partir du premier jusqu'à 5, pour parvenir sûrement à la somme 7 -h 5. Mais Kant eût alors demandé de quel droit ces signes répondent aux nombres, comment chacun d'eux représente une collection contenant une unilé de plus que le précédent, et pourquoi enfin le résultat auquel conduit cette façon de procéder est bien véritablement la somme de 7 et de 5. 11 faudrait bien avouer cette fois qu'on n'a échappé à l'intuition qu'en formant des définitions destinées à reproduire le contenu des postulats fondamentaux qu'elle nous révélait. Enfin l'idée de Kant apparaît avec d'autant plus de clarté que nous essayions d'en contester la légitimité : l'intuition est nécessaire au raisonnement par lequel se trouve élablic l'égalité 7 — 5 = 12, loiil ^simplement parce qu'elle nous a fourni le pocluUt .^iir lequel se fonde l'addition arithmétique. S'il fallait insbtor pour montrer (|ue nous tenons bien là la vraifî pensée de Kant, nou.s citerions le d6U.\l^me exemple qo*il (loniM) de proposition synthétique : c ÏJi ligne droite cël le plus court chemin d'un iH>inl à un autre », ce qui pour lui était manifcstcmcnl un |Kislulat premier; el enfin nous notis reporterions à celte opinion fornniléo dans les Prolégomènes que la natui-e synthôti((U(! des jugements mathématique;» ne s'oppo^pas h la possibilité dune déuMMistralion iin.ily(i<]ue, maiïs «uppost; seulement des propositions .<vnUiéliqueà dont elle peut découler '.

Et maintenant que noua» comprenons bien pourquoi les démonstrations géométriques ne sont pas, aux yeux de Kant, réductjblc^ii lanfdvîte, il nous est permis de nous demander si nous imuvonîi dans ses idées une réponse suffisante ik U question que nous avons soulevée. Faut-il dire que «i, «»"s sa forme

fl. ff^iêfmèMUt Qvantpropos p. fl (Irid. novvdk).

syllogislique, le raisonnement géométrique marche et progresse, c'est à cause des postulats que fournit l'intuition?

L'exemple arithmétique de Kant, qu'on a souvent une tendance à lui reprocher, était merveilleusement choisi au contraire, tel que nous l'avons interprété, pour rendre cette conclusion vraisemblable. Mais n'était-il pas justement trop bien choisi? Si on suppose que l'on n'ait pas pris soin d'inscrire, au début de l'arithmétique, comme on le fait d'ordinaire au commencement de la géométrie, les postulais fondamentaux relatifs aux nombres, on les rencontrera nécessairement à propos des problèmes les plus simples ; et, soit qu'on les énonce franchement, soit qu'on les dissimule derrière des définitions habilement construites, il faudra bien compter avec eux et leur attribuer une bonne part du succès de la démonstration. Mais c'est là la part qu'il faut faire aux données irréductibles dont personne ne songe à contester la nécessité. Qu'on les énonce d'abord sous la forme qu'on voudra; qu'on les appelle, comme Euclido, notions communes, ou demandes, ou définitions, soitî mais si, après avoir dres.é une liste plus ou moms longue, mais relativement restreinte en tout cas, de vérités premières, on énonce et on démontre, toujours comme Euclide, des propositions qui ne figuraient pas dans cette liste; si on construit un édilice gigantesque qui peut bien être considéré comme admettant cette base, mais qui la dépasse manifestement d'une hauteur prodigieuse, — la vraie question est d'expliquer comment cela est possible. Et on n'y a pas répondu parce qu'on a rappelé que l'intuition donne la base de l'édifice.

La nécessité du recours à l'intuition ne fournirait une réponse valable que si cette nécessité se poursuivait au cours de toutes les démonstrations, et s'il était vrai que pour chacune d'elles quelques nouveaux

appels à cette intuition en justifient seuls la légitimité. Mais vraiment peut-on dire qu'il en soit ainsi? Que les géomètres ne parviennent pas aisément à dresser la liste de tous les postulats qu'ils utilisent; que parfois telle démonstration, où l'on n'a d'abord rien vu qui ne dépendît de propositions explicitement énoncées, recèle quelque emprunt inconscient à l'intuition, cela est possible. Mais les mathématiciens se sont habitués à montrer à cet égard une telle exigence, et ont certainement acquis à ce point de vue un flair si affiné, que tout le monde admettra comme très restreint le nombre des cas possibles où un traité de géométrie ou d'analyse utiliserait, sans le dire, quelque postulat non expressément indiqué. Pour la géométrie en particulier, on peut déjà sans crainte appliquer cette remarque aux Eléments d'Euclide. Mais quand on n'oserait pas aller aussi loin, qui voudrait contester que dans l'ensemble des démonstrations d'Euclide, il en est quelques-unes qui ne font à l'intuition aucun emprunt nouveau? Or si, pour un seul raisonnement géométrique, la conclusion ne figure pas dans l'ensemble de toutes les propositions antérieurement admises ou démontrées, et si cependant le géomètre y parvient sans s'appuyer sur autre chose que sur cet ensemble de propositions, sans nouveau recours à l'intuition, il faut bien avouer que celle-ci n'explique pas comment se réalise le progrès de la pensée.

Ainsi donc ce n'est pas de ce côté qu'il faut chercher.

Dans un intéressant article ayant pour titre « Sur la nature du raisonnement mathématique », M. Poincaré donnait, il y a quelque temps *, une solution originale à la question que nous nous sommes posée. La clé du mystère est, à ses yeux, dans un mode de