Revue de Métaphysique et de Morale, juillet

raisonnement spécial aux mathématiques, et qui se dislingue d'un raisonnement syllogistique ordinaire en ce qu'il ne saurait être ramené à une chaîne d'un nombre fmi de syllogismes : il s'agit de la démonstration par récurrence. On sait en quoi elle consiste. Pour établir une proposition dont l'énoncé est relatif à un nombre entier n quelconque, on démontre :

1° Que cette proposition est vraie pour n = 1 ;

2^ Que, si elle est supposée vraie pour n = p, elle est vraie aussi pour n = p -i- i. Puis on raisonne ainsi :

La proposition est vraie pour 1, donc elle est vraie pour 2; elle est vraie pour 2, donc elle est vraie pour 3; et ainsi de suite. Elle est donc vraie d'une façon générale pour un nombre quelconque n.

A chaque pas de ce raisonnement, il serait aisé d'exprimer ce que l'on dit sous forme syllogistique, appliquant à chacun des cas particuliers successifs que l'on considère la majeure générale : Si le théorème est vrai pour p, il est vrai pour p -h i. Si on se propose d'établir que le théorème est vrai pour un nombre particulier, 5, ou 8, ou 10, il saute aux yeux qu'on y parviendra à l'aide d'un nombre déterminé de ces raisonnements élémentaires : on aura construit un raisonnement syllogistique ordinaire; mais en revanche, dit iM. Poincaré, on n'aura fait qu'une vérification parliculière, et non pas une démonstration générale. Au contraire, si l'on veut établir la proposition pour tous les nombres, de façon à obtenir un théorème général, seul véritablement objet de science, il faut énoncer une infinité de syllogismes, il faut (( franchir un abîme que la patience de l'analyste, réduit aux seules ressources formelles, ne parviendra jamais à combler ». Cet abime se trouve franchi grâce au raisonnement par récurrence qui « permet de passer du fmi à Tinfini ». Cette solution nous semble impliquer une idée

juste, mais elle a le tort, à nos yeux, de la dissimuler et d'en diminuer l'importance par le fait qu'elle ne la saisit qu'à travers un mode de raisonnement trop particulier.

La méthode par récurrence ne s'emploie pas constamment. Nous donnât-elle vraiment le secret de la puissance de l'esprit dans certaines parties des mathématiques, nous n*y apprendrions pas grand'chose pour les raisonnements d'Euclide, et même pour les démonstrations d'arithmétique pure qui aboutissent à des conclusions générales sans employer manifestement cette méthode. A moins que, inconsciemment, toutes les fois qu'une proposition est établie dans sa généralité, il n'y ait au fond quelque chose de la méthode par récurrence. Mais à nos yeux c'est le contraire qui semble vrai; et cette méthode ne nous paraît présenter aucun caractère logique qui ne se retrouve dans les démonstrations habituelles des mathématiques.

D'abord pourquoi veut-on qu'il soit ici particulièrement besoin d'une infinité de syllogismes? Tant que le nombre en est fini, le raisonnement n'aboutit qu'à une vérification particulière : est-ce bien sûr? — Si, prenant le nombre 5, par exemple, j'énonce la suite des raisonnements élémentaires qui conduisent à cette conclusion : « La proposition est donc vraie pour 5 », qu'importe ce qu'il peut y avoir de particulier à ce nombre, si le mode de démonstration est général? Or la majeure qui sert pour chaque syllogisme est absolument générale : Si le théorème est vrai de p, il Test de p -i- i. La raison de chaque conclusion est dans ce fait que le nouveau nombre suit le précédent, et non pas dans ce fait que c'est tel nombre particulier venant après tel autre. Dès lors la démonstration présentée pour 5, par exemple, nous paraît avoir tous les caractères d'une démonstration générale. Quand, pour établir une propriété

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d'un triangle, je commence par en tracer un sur le papier, nécessairement particulier, désigné par des notations particulières, qui songera à contester la généralité du raisonnement, si seulement je ne m'appuie jamais sur aucun des caractères particuliers de la figure? Ouvrez un traité d'arithmétique et voyez la démonstration par laquelle on prouve, par exemple, que tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un deux divise l'autre : si l'auteur raisonne sur des nombres déterminés, jugera-t-on qu'il ne fait qu'une vérification?

Halte-là, dira-t-on, le cas n'est pas le même. On ne s'appuie en effet dans ces exemples sur aucun caractère spécial à la figure ou aux nombres choisis, tandis que la méthode par récurrence, appliquée au nombre 5, s'appuie manifestement sur ce que 5 vient après 4, lequel vient après 3, lequel suit 2, lequel enfin suit 1. Elle ne sert donc véritablement que pour 5.

Pardon ! elle vaut pour tout nombre qui vient après un autre, lequel vient lui-même après un autre, et ainsi de suite, de telle sorte qu'on puisse revenir à 1 par une série d'un nombre fini et déterminé de pas successifs. Or un nombre entier quelconque est dans ce cas.

Tient-on à se débarrasser des notations arithmétiques et à démontrer le théorème non plus pour 5 mais pour îî, nombre fini et déterminé, mais quelconque, en ce sens que nous ne voulons pas faire intervenir sa valeur particulière ? Nous recommencerons la série des raisonnements élémentaires :

Le théorème est vrai de 1, donc il l'est de 2 ;

Il est vrai de 2, donc il l'est de 3. Supprimons ensuite ces mots « et ainsi de suite, — ou et cetera », où l'on croit voir l'indice d'un abîme caché, d'un infini mystérieux, et déclarons que, quel que soit n, — du moment qu'il est supposé fini, —

on pourra atteindre n à l'aide d'un nombre fini de lignes analogues aux deux premières, où les nombres sont successivement remplacés par les suivants. Gela suffit pour que la démonstration soit complète.

Le sentiment de l'infinité de syllogismes venait peut-être de ce qu'on parlait d'une démonstration valable pour tous les nombres en même temps. Mais à quoi bon faire intervenir ici plus qu'en toute autre démonstration arithmétique l'ensemble infini des nombres entiers? N'e.4-ce pas tenir compte de tout ce que cette idée a de clair et d'efficace, que d'avoir en vue un nombre entier quelconque n? et la proposition mathématique n'atteint-elle pas ainsi toute sa généralité et toute sa signification?

Nous sommes loin de contester le droit de parler d'infinité dans le raisonnement mathématique; mais cette infinité, il nous répugne de la voir dans le nombre des syllogismes qu'il faudrait énoncer pour présenter sous forme logiquement complète telle sorte de démonstration. Nous la retrouvons toutes les fois que le mathématicien raisonne sur une notion générale, toutes les fois qu'il énonce une proposition générale, toutes les fois qu'il manie dans son langage un terme dont la signification est générale. L'infinité que recèle la méthode par récurrence n'at-elle pas figuré déjà avec toute sa puissance, toute son efficacité, toute sa signification, quand, avant le raisonnement final, on a, je ne dirai pas « démontré » mais seulement a énoncé » cette phrase: « Si le théorème est vrai pour p, il Test pour p -+- 1. » Elle se trouve dans toute proposition d'arithmétique où il est question d'un nombre quelconque. Elle se trouve, a fortiori, peut-on dire \ dans toute proposition de géométrie : « Z)a>?s un triangle^ la somme des angles

1. Puisqu'il n'y a même plus de loi spéciale permettant de former les éléments successifs dans un certain ordre.

est égale à deux droits; dans un cercle les rayons sont égaux; etc. » Un triangle, un cercle, qu'est-ce que cela signifie, sinon tous les triangles, tous les cercles, que l'esprit pourra se représenter, n'importe où dans l'espace, n'importe quand, dans n'importe quelles circonstances, avec n'importe quelles déterminations particulières des côtés, ou du rayon, etc.? Au surplus cette infinité, qui n'est en somme que ïindéfinitë des cas possibles, ne nous éloigne pas autant qu'on pourrait croire de celle où M. Poincaré a bien raison de voir ce l'affirmation de la puissance de l'esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie du même acte, dès que cet acte est une fois possible ». — Mais alors n'est-ce pas elle aussi que nous retrouvons môme dans un simple concept général ? Le seul fait pour l'esprit de former une notion et de la définir par un ensemble de qualités caractéristiques, le fait de créer ainsi un objet de pensée, ne s'accompagne -t-il pas nécessairement de ce sentiment qu'on le repensera le même quand on voudra, autant de fois qu'on voudra, dans des circonstances indéfiniment variées? Car infinité et identité se rejoignent ici pour se fondre dans l'unité consciente de l'esprit. Si la démonstration mathématique puise une partie de sa force dans cette infinité, — ce que nous sommes loin de contester, — ce n'est pas le seul mode de raisonnement qui en profite. La pensée logique, partout où elle s'exerce, se fonde sur efie, et c'est d'elle en particulier que le syllogisme tire toute sa signification. Ainsi nous ne trouvons pas de ce côté non plus quelque raison suffisamment claire de ce fait que les raisonnements de la géométrie, tout en revêtant une forme syllogistique, ont le pouvoir de progresser, et d'accroitre sans cesse la connaissance théorique.

Le moment enfin venu de nous expliquer sur ce point, oserons-nous dire tout na'ivement et tout fran-

LE IIAISONNEMENT GÉOMÉTUIQLE ET LE SYLLOGISME 131

chement que nous ne croyons même pas à l'existence de la difficulté? Le syllogisme à nos yeux ne s'oppose nullement à la marche en avant de la pensée. La conclusion se présente en conformité absolue avec les prémisses, mais encore faut-il que les prémisses soient d'abord énoncées; et l'esprit, dans le rapprochement qu'il fait de deux propositions, accomplit déjà un acte synthétique, qui suffirait à éloigner toute idée d'inertie et d'immobilité ^ Il est bien clair que le choix des circonstances particulières où la majeure va s'appliquer, c'est-àdire le choix de la mineure, est, à lui seul, la source d'une quantité inépuisable de conclusions nouvefies infiniment variées. Et il serait vraiment trop facile de multiplier les exemples, pour que nous n'en laissions pas le soin au lecteur. Le moindre raisonnement déductif est d'ailleurs une chaîne de syllogismes : l'activité de l'esprit, en dirigeant cette chaîne, en appelant, après chaque syllogisme, un ensemble de deux autres prémisses, trace elle-même la voie aux conclusions nouvelles. Doute-t-on qu'ainsi la pensée progresse véritablement? Il suffit, peut-être, pour mieux le sentir, de dépouiller le raisonnement de la forme logique et d'énoncer successivement les conclusions des syllogismes : Étant donné le triangle ABr, prolongeons AB et XV en BA, TE; — prenons sur ces droites des longueurs BZ, TH égales; —joignons BH, rZ; — les triangles ABH, AfZ sont égaux; — les droites BH, VZ sont égales; — les angles ABH, AfZ sont égaux; — les triangles BfZ, Bril sont égaux ; — les angles TBH, BrZ, sont égaux ; ~ les angles ABr, AFB sont égaux ; C. Q. F. D.

Mais nous voudrions insister sur ce que, en mathématique surtout, la forme syllogistique ne gêne pas le mouvement de la pensée. Ceux qui ne compren-