Cf. Paul Janet, Revue philosophique, août

LE HATIO.NWEL

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rappellera qu'on peut les prolonger snivnnt m direction quand on aura deux poims cSot' -e cest une des constructions qu'on .wurnS ' que de les joindre par une droite ...ri- .f^'^'y'e»-, lïénérni • f„ ","' "'^°''C, etc. .. Ln théorème

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dans le cas de la géométrie, c'est l'esprit qui va prendre son essor et se livrer, sur les éléments qu'il s'est donnés, à des constructions sans fin. Les formules générales auxquelles il devra se conformer, et qui sont d'abord les définitions et postulats fondamentaux, ne sont pas d'ailleurs de nature à amortir son élan et à ralentir sa marche : mais bien plutôt elles l'invitent à aller de l'avant, elles écartent les restrictions, car elles lui disent que le domaine à parcourir est illimité et homogène dans tous les sens, et s'adapte merveilleusement à son pouvoir de se répéter à l'infini'.

Mais si la forme syllogistique ne gêne pas l'essor de la pensée, ce n'est du moins pas elle qui détermine la marche en avant. Le géomètre y tient il vraiment? Voyez Deseartes. Pour lui, les pas successifs du raisonnement géométrique sont franchis à la clarté do la lumière naturelle : ils forment une suite d'intuitions directes, qui n'aurait que faire de l'appareil scolastique. — Mais n'y a-t-il pas quelque exagération chez Descartes? Certes jamais aucun géomètre ne consentira à exposer patiemment ses démonstrations sous la forme d'une série de syllogismes complets. Euclido est déjà fort minutieux, trop parfois à notre gré, et il est loin de présenter chaque détail du raisonnement en alignant consciencieusement les trois propositions réglementaires. Mais n'est-il pas vrai cependant qu'en tout cas ce qui manque aux syllogismes est véritablement sousentendu? Si, en s'interrogeant soi-même, on ne sent pas suffisamment que les intermédiaires supprimés sont indispensables pour amener une conviction par-

4. Cf. Liard, Définilions géométriques^ p. 66. G. MiLHAUD. — Le Rationnel.

faite, qu'on songe à la manière dont on persuadera les autres, et il est certain que la seule façon de faire tomber tous les doutes sur la rigueur d'un raisonnement qu'on expose, sera précisément de rétablir, pour chaque affirmation, le syllogisme complet dont elle est la conclusion.

D'où vient donc cette vertu magique de la déduction? 11 importe de s'arrêter quelques instants à ce problème : ce sera d'ailleurs pour nous l'occasion de nous demander si vraiment la rigueur démonstrative est tellement liée à la forme logique elle-même qu'il faille déclarer également rigoureux tous les raisonnements syllogistiques.

L'idée qui vient le plus naturellement à l'esprit, quand on veut se rendre compte de la valeur démonstrative du syllogisme, c'est d'abord de songer au principe d identité. Peut-on interpréter un syllogisme de telle sorte qu'on se sente ramené par lui à affirmer que « A est A » ? Soit le syllogisme :

Tout A est B ; Or G est A; Donc G est B.

a. — Si nous essayons de traduire en extension nous pouvons dire : '

A est « une partie de B » ; G est (( une partie de A » ;

Donc G est « une partie d'une partie de B », c'est-àdire « une partie de B ».

Avons-nous ramené chacune des affirmations à une identité? Non évidemment, car :

1" Il est faux que A et « partie de B » soient identiques. Lors même que nous indiquerions exactement dans quel rapport précis cette partie est au tout, le sujet et l'attribut de la proposition ne seraient pas exactement les mêmes : et la preuve c'est qu'on

passe de A à B en ajoutant quelque chose à A, tandis qu'on passe de B à A en ôtant quelque chose à B ' ;

2o La conclusion n'est autre que la mineure où j'ai remplacé A par ce une partie de B » ; mais puisque, d'après la remarque précédente, il n'y a pas identité entre ces deux termes, de quel droit ai-je substitué l'un à l'autre? — On dira peut-être qu'il suffit que les propositions énoncent des égalités numériques, pour que cette substitution soit permise.

A = fraction de B;

G = fraction de A;

G = fraction de « fraction de B » ^ fraction de B.

Je remplace, dans une égalité numérique, un terme A par un autre, « fraction de B », qui lui est numériquement égal. Mais il s'agit d'un rapport qui n'est pas l'égalité absolue, l'identité, comment me donne-t-il ce droit? 11 faut bien, pour répondre à une pareille question, énoncer d'abord, d'une façon générale, que l'égalité numérique autorise la substitution de termes égaux comme Tidenlité elle-même, ce qui déjà est différent du principe d'identité. En appliquant ensuite le postulat général ainsi posé au cas que nous considérons, c'est un syllogisme en forme que l'on énonce; de sorte que finalement celte prétendue justification logique d'un syllogisme se fait elle-même par un syllogisme, dont la majeure est un postulat.

p. — Essayons d interpréter notre syllogisme en compréhension. La majeure signifie que l'attribut B se trouve parmi ceux de A; B est dans A. Pour que je puisse voir là l'affirmation dune identité, il faut que je fasse abstraction de tous les attributs de A autres que B; il faut que dans A je ne voie que B, de

1. Cf. Boulroiix, De la contingence des lois de la Nature, cbap. I.

façon à donner à la première proposition celte signification : B est B >. Pour la mineure, il faut une double réduction : d'abord je dois ramener C à n'être qu'un de ses attributs A, et celui-ci à n'être qu'un de ses attributs B; de sorte que C devient B et que la mineure ne fait que répéter ce que disait la majeure : B est B. C'est aussi ce que dira la conclusion; et finalement le syllogisme sera devenu :

B est B; B est B; B est B.

Nous aurons atteint peut-être à la véritable identité; mais le syllogisme a disparu ; il n'en resîe qu'une ombre uniforme où tout est venu se confondre. Pour le justifier, nous l'avons supprimé.

Ce serait une illusion de croire que le principe de contradiction puisse réussir là où échoue le principe d'identité. Qu'on essaie en effet, après avoir énoncé : « tout A est B, - C est A », de dire : il serait donc contradictoire que C ne fût pas B. Besterait à dire avec quoi cela serait contradictoire. Avec les prémisses sans doute, mais pourquoi? sinon parce qu'on fait d'abord résulter de ces prémisses — sans le dire explicitement — qu'elles entraînent nécessairement : Cest B. Socrate non mortel serait contradictoire avec cette vérité que tout homme est mortel, mais pourquoi? sinon parce que, tout homme étant mortel, et Socrate étant homme, il doit être mortel. La contradiction qui nous choque c'est tout simplement que Socrate fût à la fois mortel et non mortel : elle n'apparaît dans notre pensée que si d'abord nous avons accepté la rigueur du syllogisme.

Peut-on, a défaut des principes d'identité ou do contradiction, invoquer quelque formule générale